江西省赣州市2023届高三模考押题卷（二）数学试题（含解析）

江西省赣州市2023届高三模考押题卷（二）数学试题

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一、单选题

1.已知全集U={123,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则金(MuN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

2.已知(a+Ai)i=2-3i,a,bwR、则()

A.a=-3,b=—2B.a=3,/?=-2C.a=3,b=2D.a=-3,b=2

3.若角。的终边经过点(-1,-2),则sin6(l+sin29)=()

sin0+cos。

66-22

A.-B.——C.-D.——

5555

4.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60。，底面圆的半塑为8,则圆锥的侧面积为()

A.3847rB.392兀C.398兀D.4047r

x+y<2

5.设x,y满足约束条件r-)W2t则z=x+2)，的最大值为()

x-2y+4>0

A.1B.2C.4D.8

6.已知正项等比数列何｝满足巴为2%与4的等比中项，则5詈=（）

a\+。3

A.—B.?C.V?D.2

22

7.某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）

全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论错误

A.频率分布直方图中。的值为007

B.这100名学生中体重低于60kg的人数为70

C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62

D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为56.25

8.已知抛物线C：V=2x的焦点为尸，过点（2,0）的直线交。于/>、。两点，线段PQ的

中点为则直线A//的斜率的最大值为（）

A.如B.JC.巫D.1

622

9.在正方体/^。。-4"©"中，M、N,尸分别为A%AG,A。的中点，则下列结

论中错误的是（）

A.MN11AD、B.平面MNP//平面BCQ

C.MNLCDD.平面MNPJ_平面48。

10.已知圆C："-1）2+（），-2）2=5,圆C'是以圆f+y2=l上任意一点为圆心，半径

为I的圆.圆。与圆C交于4B两点.则当/AC/?最大时，|CC|=（）

A.1B.V2C.75D.2

11.已知4=£1083€1=31082©,0=5，则（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

12.已知函数y=a-2lnx,（』WxWe）的图象上存在点时，函数y=f+1的图象上存在

e

点N,且M,N关于k轴对称，贝IJ”的取值范围是（）

二、填空题

13.已知向量）=（1,2）,〃=（—写出一个与”垂直的非零向量c=.

14.从A,8等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则A,8不同时入选的概

率为.

15.已知A8C的内角A,B,C所对边的长分别为44c,已知•工8c的面积S满足

S+c）2=（4&+8）S+a2,则角A的值为.

16.已知函数“X）及其导函数尸（X）的定义域均为R,记屋力”），若/（|一2,，

试卷第2页，共4页

g(2+x)均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是.

①〃0)=0；②g(-£|=。；③/(—1)=〃4)；④g(—l)=g⑵.

三、解答题

17.在.ABC中，。是边AC上一点，CD=1,BD=2,AB=3,cosNBDC二.

8

(2)求一AOC的面积.

18.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物

和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现

随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

“厨余垃圾”箱“可回收物''箱“其他垃圾''箱

厨余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

(I)试估计厨余垃圾投放正确的概率

(II)试估计生活垃圾投放错误的概率

(IH)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱「其他垃圾”箱的投放量分别为a.b.c,

其中a>0,a+b+c=600.当数据@力©的方差/最大时，写出a,b,c的值(结论不要求证明)，

并求此时$2的值.

222

()±：?=-[(x,-x)+(x-x)+'+(xlt-x)],其中工为数据,、与、匕的平均数)

n

19.如图I,在直角梯形A8C。中，AD//BC,点七为8。的中点，点厂在

AD,EF〃AB,BC=EF=DF=4,将四边形C"E沿E/边折起，如图2.

参考答案：

1.A

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：MUN={1,2,3,4},则加(MUN)={5}.

故选:A.

2.A

【分析】利用复数的运算及复数相等的概念求解即可.

【详解】解因为e+〃i)i=2-3i,所以4+5=2—3i,则。=一3,h=-2.

故选:A.

3.A

【分析】先根据三角函数的定义求出sinacos。，再将型丝上独啰化简，代入sin。,cos。

sincos。

的值计算即可.

-22-11

［详解］若角。的终边经过点(T—2),贝岫皿=后亍=-而,8$夕二后=-国，

sin/?(l+sin20)sin0(sirrO+ZsinOcosO+cos?0)sin^(sin/7+cosZ?)2

sing+cosOsinO+cos。sinO+cos。

=疝恤皿+8冽=-强卜方^H

故选:A.

4.A

【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.

【详解】设圆锥的半径为二母线长为/,则/-8,

由题意知，2"二］/,解得：/=48,

所以圆锥的侧面积为Ttrl=8x487t=3847t.

故选：A.

5.C

【分析】作出可行域,利用其几何意义转化为截距最值即可得到答案.

【详解】作出可行域如图中阴影部分所示,

答案第1页，共14页

当直线经过点A时，纵截距］最大,

联立［x-2y;4=0,解得［个,则A（0,2）,

x+y=2［y=2

此时Zg=0+2X2=4.

故选：C.

6.B

【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得=八解得g、；，化简

%+为2

【详解】设等比数列｛q｝的公比为,

由题意得4：=2%.&,即a%4=2%2”，

v«,>0,^>0,•,42=3，

9+%。4(1+力|

q+/4(1+/)21

故选：B.

7.D

【分析】运用频率分布直方图中所有频率和为I,求出“值，再根据频率分布直方图中的频

率、百分位数、平均数的计算公式进行计算.

【详解】对于选项A:因为5x(0.01+0.02+0.04+0.06+4)=1,解得。=。.()7,所以A正确.

对于选项B:体重低于60kg的频率为5x(0.01+().06+().07)=().7,所以人数为0.7x100=70,

所以B正确.

答案第2页，共14页

对于选项C:因为5x（0.01+0.06+0.07）=0.7,5x（0.01+0.06+0.07+0.04）=0.9,

所以体重的第78百分位数位于［60,65）之间，设体重的第78百分位数为“，

贝IJ（0.01+0.07+0.06）x5+（x-60）x0.04=0.78,解得x=62,所以C正确.

对于选项D:体重的平均数约为

0.01x5x47.5+0.07x5x52.5+0.06x5x57.5+0.04x5x62.5+0.02x5x67.5=57.25,

所以D错误.

故选：D.

8.A

【分析】分析可知直线P0与上轴不重合，设直线PQ的方程为x股+2,设点P（&），）、

。（9,为），将直线的方程与抛物线。的方程联立，利用韦达定理求出点”的坐标，利用

基本不等式可求得育线MF斜率的最大值.

【详解】易知抛物线C的焦点为尸（；，。），设点夕（与）»、。区必），

若直线PQ与无轴重合，则直线。。与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意,

,

设直线PQ的方程为汇=，呼+2,联立「2）可得9_2冲-4=0,

y=2x

A=4/zr+16>0,由韦达定理可得X+%=2〃?，则土产="?."21+2=加2+2,

故点M（"『+2,m）,MF-+3,

m2

/n_11瓜

若直线的斜率取最大值，则〃>o,所以，W="T"3=-"T-I3=T.

m+不加+丁2jm-

22mY2m

当且仅当，〃二袅…）眈即当…当时,等号成立,

故直线Mr斜率的最大值为逅

6

故选:A.

9.D

【分析】求得MN与AR位置关系判断选项A；求得平面MNP与平面8CQ位置关系判断选

项B；求得MN与C。位置关系判断选项C；求得平面MNP与平面A3。位置关系判断选项

D.

答案第3页，共14页

【详解】对A.在VA/G中，因为N分别为A'AC的中点,

所以MNI/BC「又BC\〃AD\、所以MN//AR,A正确.

对B,在A4B。中，因为M,P分别为A],%。的中点,

所以用P//4O.因为例产也平面BQ。，8Du平面8G。,

所以MP//平面灰；。.

因为MN//4G,MNN平面8G。，3。1匚平面36。,

所以MN//平面8G。.又因为MQcMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP//平面8CQ,B正确.

对C,因为MN〃AR,AD.A.CD,所以MNJ_CD,C正确.

对D,取BO的中点£,连接AMEC、,则/REG是二面角A-BO-G的平面角.

设正方体棱长为4贝IJCO$NA£G==r°•

又0。＜“氐；＜180。，则幺氐"90。，所以平面4即与平面8G。不垂直.

又平面MNP//平面BQ。，所以平面MNP与平面人出。不垂直，D错误.

故选：D.

10.D

【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解

作答.

答案第4页，共14页

【详解】依题意，在J3C中，|AC|=|BC|=逐，如图,

显然O＜|AB|W2,NAC8是锐角，sin幺4=▲?=幽，又函数¥=sinx在人外上递

2\AC\2x/5VZJ

增，

因此当且仅当公共弦A8最大时，NAC3最大，此时弦A8为圆C'的直径，

在Rtz^ACC中，ZACC=90，MC|=1,所以|CV|=AC『AC『=2.

故选：D

11.A

【分析】变换。=二，b=-^~,c=E,构造/（司=4,确定函数的单调区间得到

ln9In8Ine-Inx

/（9）＞/（8）＞/（e2）,得到答案.

设=则‘'=当x«e,M）时，冏号＞0,函数单调递增，

故/⑼＞〃8）＞/（叫，即

故选：A

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及

数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

12.A

【详解】因为函数y=V+l与函数丁=-犬-1的图象关于x轴对称，

根据已知得函数,V=。-21nx，dwxWe）的图象与函数），=-/_］的图象有交点，

e

即方程〃-21nx=-12-1石一，e上有解，

e

答案第5页，共14页

即。=21nx-d一1在xe[二，e]上有解.

令g(x)=21nx—[T9],

创“、2r2-2x22(1-丁)

贝ijg'(x)=一―2x=----------=----------，

XXX

可知g(Y)在-J上单调潮增，在口向上单调递减,

e

故当x=l时，且(入)必=晨1)=-2,

由于gg)7—',g(e)=l-e2,E.-3-p->l-e2,

所以1-e24a《-2.

故选：A.

13.(1,-1)(答案不唯一)

【分析】首先计算a-6=03),设c=(x,)，)，利用垂直则数量积为0有3x+3y=0,赋值即

可.

【详解】由题意可知。一人=(3,3),设c=(%,y)，贝IJ3x+3y=0,

取x=l，则y=-1，则与支一，垂直的非零向量可以为。=(1,-1),

故答案为：(1,-1).

14.—/0.7

10

【分析】对另外3处水样监测点编号，利用列举法结合古典概率求解作答.

【详解】设5处水样监测点分别为A,&C,O,E,从中随机选择3处的结果有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE.BDE.CDE,共10种情况，

其中A,台同时入选的有共3种情况，

37

所以A,8不同时入选的概率尸=1-挤喘.

7

故答案为：(

15心

6

【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得cosA+l=(G+2)sinA

答案第6页，共14页

求解8sA可得角A的值.

【详解】由已知得〃+/-/+幼。=(475+8)5,

根据余弦定理和三角形面积公式，

得2〃ccosA+2hc=(0+2)-2bcsinA,

化简为cosA+1=(G+2)sin4,

由于Ae(0,兀)，所以cosA+1=(y/3+2)71-cos2A,

化简得(4+26kos2A+COSA-(3+2G)=0,

即[(4+2@cosA-(3+2@](cos4+1)=0,

解得cosA=@,或CQSA=-1(舍)，

2

由于Aw(O,兀)，所以A=J.

□

故答案为：7

O

16.®@

【分析】将题干转化为抽象函数的性质，根据原函数与导函数图象间的关系可得解.

【详解】因为“-2)，g(2+x)均为偶函数,

\7

所以/仔一2,=/

月(2+x)=g(2-x),

1，/

所以〃3-同=/(力，g(4-x)=g(x),则f(—l)=/(4),故③正确；

函数/(“，g(x)的图象分别关于直线产；，-2对称，

又g(x)守'(力，且函数/("可导，由函数“X)图象关于直线产]对称，所以其单调性在

V处改变，导数值为零,所以g图=0,g(37)=—g(x),所以g(x)关于点整0卜寸称,

又g(x)图象关于42对称，所以g(x)的周期为T=4x(2-?=2,所以g(-g)=g]£|=O,

所以g(4-x)=g(x)=—g(3—x),所以g(—l)=g(l)=—晨2),故②正确,④错误;

若函数/(X)满足题设条件，则函数/(x)+C(。为常数)也满足题设条件，所以无法确定

/("的函数值，故①错误;

答案第7页，共14页

故答案为：②③.

17.(1)2

⑵场

8

【分析】⑴△ABO中，根据余弦定理求AO的长；

(2)/XAB。中，根据余弦定理求cosA,即可求sinA,再根据三角形的面积公式求解.

【详解】(1)因为cosN/3DC=J,

O

贝IJcosZADB=cos(兀一NBDC)=-cos4BDC=--BD=2,4/?=3,

8

△A8O中，AB2=AD2+BD2-2ADBD-cosZADB,

即9=/1O2+4_2X2XAOX(一"),解得：A£>=2或人。=<(舍),

所以AD=2；

,AB2+AD2-BD29+4-43

⑵cosA=---------------=-------=—

2-AB-AD2x3x24

因为0<A<兀,

所以sin4=Jl—8sAC=AO+DC=2+1=3,

4

所以S=—xABxACxsinA=—x3x3x^-=^^-.

…2248

18.(I)(II)0.3;(III)-=600方=0,c=0,时,方差取得最大值8000.

【详解】(I)厨余垃圾一共有400+100+100=600吨，其中投放正确的有400吨，所以概

田“400_2

=力-----------=一

400+100+1(X)3

(II)生活垃圾一共有1000吨，其中投放错误有30+20+100+20+100+30=300吨，所以

概率为迎=0.3

1000

(III)由题意得：

222222

x=2OO,S=-[(a-200)2—g—200)+(c-200)]=-[a+Z?+c-400(〃+〃+c)+3x200"]

33

=-[(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca-3x2002]

=1[600、2ab-2bc-lea-3x2002]<|[6002-3x2002]=8000

当且仅当时a=600,〃=c=。取等号

答案第8页，共14页

19.(I)证明见解析

⑵童

3

【分析】(1)取。尸中点G,连接AG,EG,CG,分别证得4G//8C和GE//OC,结合面面

平行的判定定理，证得平面AGE〃平面6c。，即可证得AE〃平面68.

(2)由4)=275,得至1J。尸2=A£>2+AL,证得AOJ_4/L连接。石，把该几何体分割为

四棱锥。-M£尸和三棱锥。-4CE,结合锥体的体积公式，即可求解.

【详解】⑴证明：取OF中点G,连接4G,EG,CG,

因为CE//GF.CE=GF,所以四边形CEFG是平行四边形，

所以CG//EF//AB且CG=EF=AB,

所以四边形A8CG是平行四边形，所以AG//BC,

因为AGu平面AGE,且BCz平面8CO,所以AG〃平面8CD

同理可知：四边形CEGO是平行四边形，所以GE//OC,证得GE〃平面86,

因为4G,GEu平面AGE,且AGcGE=G,8。,。。(=平面8。。8(7^^=。，

所以平面AGEII平面BCD,

因为A£u平面AGE,所以AE//平面BCD.

⑵解：若AQ=2后，

因为4/=2,DF=4,则。尸2=八。2+八产2,故AOJ./U7,

所以4/),4及AQ两两垂直，

连接。E,该几何体分割为四棱锥D-ABEF和三棱锥D-BCE、

贝IJ%-A8EF=gS矩形ABEFAQ=；X2X4X2+=16,,

答案第9页，共14页

因为平面8CE//平面AZ）心故勿一8"=匕_BCE=；SBCE-A8=gx哼X22X4=¥

所以该几何体的体积为V=V…+V“BCE=邛.

20.⑴弓+>2=1

⑵弓

【分析】（1）由短轴长，即四边形4片&生的周长得a,5的值，得椭圆的方程；

（2）设直线/的方程为,，=丘+叫由题攵=0,〃件0,与椭圆联立方程，得演+毛=-翳彳

3Ac+1

5nr-5表示出△OPQ的面积，解得女的值.

5K+1

【详解】⑴由|441=2,得乃=2,即6=1,

由四边形4心&方的周长为4迷，得4x/7乔=4遍，即/=5,

所以椭圆的方程为]+）3=1.

（2）设直线/的方程为尸丘十〃？（々工0,〃?工0）,N（x2,y2）,

则A-：,。），M'（F，Y）,

k

r2

X_2

联立方程组｛丁+'=,消去y得,（53+1）犬+10加一+5川一5=o,

y=履+m

A=（IOk〃）2-4（5公+1）（5^2-5）>0,得5&2>/]

10km

内+七=一5公+1

直线MN的方程为）」必=""。一工2）,

国+工2

答案第10页，共14页

令I),得)+%=型3,

%+x2Xj+x2

-\0k

又因为N%+xj|=$(监+〃?)+x(Ax+/〃)=2kX\X?+/〃(,+x)=

221253+1

所以Q(哈，WQ的面积*忍=2,得一I经检验符合题意,

所以人的值为斗

21.(1)见解析

【分析1⑴设g(%)=/'(x)=lnx-2or+l,对g(“求导，分aW0和。>0讨论即可；

(2)分离参数得〃=2一紧，设以x)=N±-S，利用导数研究其值域与图像即可.

x2x'x2厂

［详解】(1)设g(%)=/(x)=Inx-2〃x+1,g(x)的定义域为(。,+8),g,(x)=--2a.

X

当时,g'(x)>0,g(x)在(。,+8)上为增函数，在(。,+<»)上单调递增；

当。>0时,令<(幻=。,得"=-!-.

2a

若X€(0,5)，贝IJg'(x)>°名(幻单调递增，

若XC,则grM<O,g(x)单调递减.

综上，当〃4()时J'(x)在((),+8)上单调递增;

当"0时J’(x)在区间(0,5)上单调递增,在区间五|T上单调递感

⑵直线,=9与曲线尸/⑴有两个交点,即关于，的方程小■尔二1有两个解,

整理方程，得4=g

X

令回幻=止一工淇中/>0,

x2x~

u,/、1-Inxe2x-xlnx+e2

则m0(x)=­―+-r=-----5-----

X~XX

令$(x)=x-xlnx+e2,贝IJs(x)=-】nx.

当0<xv1时W(x)>0,此时函数s。)单调递增,

当x>1时,s'(x)<0，此时函数s(x)单调递减.

答案第11页，共14页

由s⑴=l+e2,s((?)=0,

f#O<x<1&t,x-xlnx+e2=x(l-Inx)+e2>。，则°'(x)>0,

当1<x<e?时,s(x)>s[2)=0,则(p\x)>0,

当X>d时,5(X)<5(e2)=0,则(P(x)<0,

则函数以x)在区间(0©)上单调递增,在区间K2,内)上堂调递减,

则。(初皿=^(e2)=TT-

当%趋近于+O0时,例幻趋近于0,即当A>e2时,e(x)>o；

当上趋近于0时,(p(x)趋近于9,

作出如图所示图象：

故要使直线尸:与曲线y=/(x)有两个交点则需0