金融工程讲稿风险管理

第十一章利率风险管理

前言：金融风险

现代金融学的三大支柱为时间优化、资产定价和风险管理。风险管

理是现代金融的支柱之一，也是金融工程的核心。我们将学习风险

的定义与风险管理过程，重点研究风险的度量、利率风险及其管理、

股票价格风险及其管理。

—.风险的概念

常见的风险定义有三种：

第一，风险是未来损失的可能性。

这是人们对于风险的传统理解，但是风险即可能导致损失，也可能

带来正收益，故该定义相对狭隘了。

第二，风险是未来结果对期望的偏离。

这个观点源于Markowitz投资组合风险的定义，这个定义反映了风险

的两面性，能直接与方差等波动性指标相联系，特别适用于金融领

域中的市场风险分析。

第三，风险是未来结果的不确定性。

这个定义相对抽象并且具有一般性，可以适用于经济政治和社会等

几乎所有领域。

二、风险管理的过程

尽管风险从一开始就是金融的本质特征，但是直到20世纪70年代

以后，随着布雷顿森林体系的瓦解，金融管理的逐步放松与国际资

本流动规模的日益扩大，风险和风险管理才逐步成为现代金融的核

心。

现代风险管理的全过程可以分为风险识别、风险度量与风险管理控

制三个环节。

(-)风险识别

1.市场风险

市场风险又称为价格风险，是市场价格波动而引起的风险。从来源

看，市场风险可以进一步分为利率风险、汇率风险、股票价格风险

和商品价格风险等等。

随着市场的发展和研究的深入，从市场风险中又进一步发展出波动

率风险、相关性风险、三阶矩风险和四阶矩风险。

与其他风险相比较，由于市场价格数据可得并且数据数量大，市场

风险具有数据优势和易于观察计量的特点，一般可以通过数量的方

式来度量和管理。同时市场中往往同时存在多种对于某一资产的价

格变化具有敏感性的资产，这使得市场风险的管理与对冲相对比较

容易实现。这两个特点决定了在所有的风险中，市场风险的管理技

术是目前最为成熟的。

2.信用风险

信用风险又称为违约风险、对手风险，是指债务人或者交易对手未

能践行合约所规定的义务或者信用质量发生变化给债权人或金融产

品持有人所带来的风险。

信用风险分解：对方违约或信用状况发生变化的可能性大小；由此

造成的损失大小。

3.流动性风险

一般认为存在两种流动性风险：市场流动性风险、资金流动性风险

市场流动性风险是指由于市场交易量不足无法按照当前的市场价格

进行交易所带来的风险；资金流动性风险是指现金流不能满足支付

义务，往往迫使机构提前清算。

4.操作风险

操作风险指因为欺骗、未授权活动、错误、效率低或者系统失灵招

致损失的分析。

具体有：执行风险，由于诈骗和技术问题招致的风险，模型风险（模

型风险指的是由于错误的模型或者参数选择不当导致对于风险或交

易价格估计错误而造成损失的概率）

（二）市场风险的度量

风险管理过程的第二个环节是对于风险进行合理的度量。我们先来

研究市场风险的度量。

市场风险度量体系主要包括三个组成部分：敏感性分析，在险值，

情景分析和压力测试。

1.敏感性分析（sensitivityanalysis）

敏感性分析是指在保持其他条件不变的前提下，研究单个市场风险

因子的变化对金融产品或资产组合的收益或经济价值产生的可能影

响。主要的敏感性指标有Beta系数，久期和凸性。

（三）风险管理和控制

1.风险分散

风险分散，是指通过多样化的投资来分散与降低风险。Markovitz的

资产组合理论最早系统的提出了风险分散的策略和思想。长期实践

证明，资产的非系统风险是可以通过分散化的投资来加以降低或者

消除。风险又被划分为系统风险和非系统性风险，系统风险是指一

些影响大市的风险，比如利率的变化、减税、经济衰退等等；非系

统性风险是指个别投资项目特有的风险，如该公司的产品出现问题

导致利润减少、工人罢工等等。根据Markovitz的资产组合理论可

以得到：

（1）若两种资产的收益率相关系数不为1（即不完全正相关），分散

投资于这两种资产就能够降低风险。

（2）由相互独立的多种资产组成的资产组合，当组成资产的个数足

够多时，资产组合的非系统性风险可以降低为0.

2.风险对冲

风险对冲，又称为套期保值，是指针对金融资产所面临的风险，利

用特定资产或者工具构造相反的风险头寸，以减少或者消除其潜在

风险的过程。与风险分散不同，风险对冲既可以管理非系统性风险,

也可以管理系统性风险。长期以来，风险对冲是管理市场风险的有

效方法，具体来讲，风险对冲策略包括Beta系数、久期、Delta和

Gamma的套期保值等等，关键之处在于套期保值比率的确定

3.风险转移

风险转移，是指通过购买某种金融资产或者其它的合法措施将风险

转移给其它经济主体。风险转移主要通过购买保险、担保和信用证

等工具将风险合法地转移给第三者。

4.风险规避

当一个人或者一个机构对于某种风险没有比较优势，这种风险又不

是与其天然相伴的，就可以选择风险规避，避免涉足这种风险。比

如金融机构在面对风险时，选择退出市场或者只承担有限风险，就

是一种风险规避。

5.风险补偿与准备

风险补偿是指事前对于所承担的风险要求比较高的风险回报。风险

准备是指针对预期的损失提取相应的准备金，以抵补未来可能发生

的损失，以保证金融机构的正常运行。

Beta系数

收益率为。的第j个资产的Beta系数，定义为

Coy亿，力）

生=2=PjM—~

说明：考虑P种不同资产（风险资产）和一份无风险资产f（收益率为

缶实际上就是存贷款利率）构成一个P+1投资组合

卜=卬跖+…+吗弓+"用9=X：叱w+吗加。

单基金定理告诉我们，有效组合的收益率可以表示为

r=arf+（\-a）rM=a+brM

第j个资产的收益率为。应该有表达式

(1.1.31)

5=a+brM

或者说，我们有理由用市场组合收益率和无风险收益率预测第j个资

产的收益率为小

引理：最小方差线性预测

设丫表示未观察变量，X],…,Xg表示观察变量，则最小方差线性预测

问题

Y=a+blX.+--+b(lX(i

的解为

a=E(Y)-Z[也EX,.

%。(Cov(Y,X^

：=(Co咚X,)「：

kJ〔cix"

根据引理，收益率々.的最小方差线性预测为

〃*+/加

其中

0=(Gou(b，①)[Cou(0,%)=,a*=勺一WM

%

由此可见，第j个资产的Beta系数是用市场组合收益率和无风险收

益率预测第j个资产的收益率时，其最小方差线性预测量中市场组合

收益率的系数。此时有

r.=a/3rM+£iinwhichE(sj)=0(1.1.32)

根据(L1.32),当我们用市场组合和无风险资产的投资组合来预测与，

就可以写为

。=(1-4)。+万3+3=>

。・一。="山一。)+与=>勺一。=〃(劭一。)

则关于超额收益率的期望有

3一B仙M-。)<1.1.33)

第j个资产收益率的方差

o；=后4+Var(£j)(1.1.34)

1.1.4Beta系数和资本资产定价

资产定价取决于资产收益率，所以资本资产定价的核心在于确定收

益率，Beta系数提供了估计收益率的一种方法：如果已经基金M的

收益率的估计值，则资产j的收益率估计为勺=月(即—rf)+r于

对于变量X和Y,若有y=G+/X,则称用为X和Y的敏感性指标。

(1.1.33)告诉我们，市场组合的超额收益率每增加1个单位，第j

个资产的超额收益率大概增加片个单位，市场组合的方差每增加1

个单位，第j个资产的方差大概增加从2个单位。这种敏感性分析在

证券投资中常用。牛市市场组合的超额收益率比较大，应该选择Beta

系数大的股票来获得高收益，熊市中市场组合的超额收益率比较小

常常是负数，应该选择Beta系数小的股票来降低损失，震荡市市场

组合的风险大，也应该选择Beta系数小的股票来降低损失。

力＞1—激进的；力＜1—保守的的力=1一中性的

1.2久期

1.2.1久期的概念

令P—资产价值，y-到期收益率，?=/(、).

资产的利率风险，一般被表述为资产价格变动的百分比对于到期收

益率的敏感性，即

△P

limP(1.2.11)

A.y-»O

利用Taloy展式得到

进一步的

dPdP

\P~dy1AP~dy

—«AAynhm--------=

PPAy—。PAyP

dP

由于利率与资产价格大多数情况下是反向运动的，所以?<0,故

久期定义为

dP

D=S(1.2.12)

P

久期是表示资产的利率风险的指标。久期越大，利率风险越大；久

期越小，利率风险越小。

2.在险值VaR(ValueatRisk)

2.1概念

在险值是指在一定概率水平a%(置信水平)下，一金融资产或者证

券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。

实际上，计算VaR是在回答一个问题：在未来N天内，有a%的把握

认为损失不会超过多少？例如某证券组合期限为1天，置信水平为

99%的VaR值为10万元，这表明该证券组合在未来1天内的损失只

有1%的可能性会超过10万元，或者说，有99%的把握认为该证券组

合在未来1天内的损失不会超过10万元。

1.利率风险的概念

利率风险是指由于利率的变动而对某个经济实体的收入或净资产价

值的潜在影响。

利率风险有两种：

(1)投资风险；

(2)收入风险。

2.利率风险的度量

(1)利率的敏感性缺口分析

商业银行的资产负债表分为利率敏感性资产与负债和非利率敏感性

资产与负债，定义

利率的敏感性缺口二利率敏感性资产-利率敏感性负债

缺口利率上升利率下降

>0盈利亏损

<0亏损盈利

(2)久期duration(持续期)分析法

①麦考利久期(MacauIayduration)

久期的概念最早是由麦考利在1938年首先提出的，麦考利久期是使

用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间，它是债券在未来产

生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金流的现值在债券价

格中所占的比重。定义

m

例1假设银行贷款期限为5年，年利率是10%,贷款票面价格为1

万元，到期收益率为10%,求其久期。

解

P5□oo1_+joooo^=loooo

JT(I+o.iy(i+o.i)5

cox=0.0909,692=0.0826,=0.0751,以=0.0683,695=0.6826

DM=Z；W=4.17(year)

例2假设面额为1000元的3年期债券，每年支付一次利息，息票率

为10%,

(1)若市场利率为12%,求其债券的久期；

(2)若市场利率为5乐求其债券的久期；

(3)若市场利率为20%,求其债券的久期；

(4)若债券是零息票率，求其债券的久期。

解⑴。=2.73;(2)。=2.75;(3)。=2.68;(4)。=3

②久期的意义

利率上升，久期减小，利率下降，久期增大；

贴息债券的久期等于到期时间。

③久期的一般概念

令P—资产价值，y-到期收益率，P=/(y).

资产的利率风险，一般被表述为资产价格变动的百分比对于到期收

益率的敏感性，即

△P

lim

Ay->0Ay

利用Taloy展式得到

dP仆、1/p1d"P〃

"AD=丁3)+不*>3)+…+7丁(Ay)+

ay2!ayn\ay

进一步的

dPdP

\P~dy\\P~dy

——«-^-AAynhm------=

PPA）T。PAyP

由于利率与资产价格大多数情况下是反向运动的（方=SH"T））,所以

dP

豆＜0,故

P

久期定义为

dP

D=-空

P

久期是表示资产的利率风险的指标。久期越大，利率风险越大；久

期越小，利率风险越小。

④与麦考利久期的关系

推导：债券定价公式

CnA.

>------xt+------

dp]_1j(l+y)(1+W

dyp1+yP

3..在险值VaR(ValueatRisk)

3.1概念

在险值是指在一定概率水平a%（置信水平）下，一金融资产或者证

券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。

实际上，计算VaR是在回答一个问题：在未来N天内，有a%的把握

认为损失不会超过多少？例如某证券组合期限为1天，置信水平为

99%的VaR值为10万元，这表明该证券组合在未来1天内的损失只

有1%的可能性会超过10万元，或者说，有99%的把握认为该证券组

合在未来1天内的损失不会超过10万元。即

Pr（AH<TO）=1%oPr（An>-10）=99%

一般的

Pr（AH<-VaR）=（100-«）%

其中ATI表示投资组合价值的未来变动。所以-VaR就是人口1-。％的

分位数。

直观上，VaR是将整体损失的可能性概括为一个简单的数字，能够让

人立刻知道“最糟糕的情况会如何”，是使用最广泛的风险指标之一,

在适用性方面，VaR既可以度量市场风险，也可以度量信用风险

2.2VaR的参数

时间长度，置信水平，An的分布特征

(1)时间长度

选择时间长度N就是确定要计算资产在未来多长时间内的最大损失,

原则上应该根据资产的特点和投资组合管理的需要确定。一般来说,

流动性强的交易头寸往往需要以每日为周期计算风险收益和VaR,而

一些期限比较长的头寸如养老金则可以以每月为期限

一个使用公式：N天VaR值=1天VaR值xVJ?

(2)置信水平的选择

置信水平的大小选择代表了对于结果需要多大的把握和信心。例如

95%的置信水平意味着预期100天内大概有5天的损失超过VaR值，

若置信水平提高为99%,意味着预期100天内大概只有1天的损失超

过对应的VaR值。

置信水平一般在95%-99%。RiskMetrics选择95%,美洲银行选择

99%,巴塞尔委员会则要求采用99%。

(3)△口的分布特征

2.3VaR的基本计算方法

参数解析法，模拟法

假设V—资产组合的价值，n个风险因子E，…,S”，满足

风险因子51,…总的变化率为

r=,inwhich,并且

r~N(0,£)

(1)单风险因子的VaR值

<〜N（O,cr；）ndS~Ng,S；o；）

—〜N（O,l）nPr=1—a%

S巴gqJ

Pr（dSj<Sq：“「a%）=1-。％n

VaRi=-Sq；〃-a%=S,q产0%

(2)资产组合的VaR值

令

则A,表示资产组合对于风险因子S,的一阶敏感系数。

根据Taloy展式，资产组合增量近似表示为

dV=2LA典=E-=14,皿=及SY其中

△=(A,△J,S=成ag(E,S”)

引理(多元正态分布的线性变换)设

y〜NpW，2),Z=〃+BkxpYnZ〜做S+BR,BEB，)

根据引理，我们有

dV-N(O,"SESA)o~〜N(0,l)

'7JA52sA

(dV、/

=>Pr,<u=l-tz%=>PrlJV<u

L}A/9%1%

UA'SZSA-)\“R

=>VaR=—%%dNSESk=%%SSESA=UR'BR

例3：假设一个价值为100万元的股票头寸，该股票的日波动率为

1.9%,该投资组合的价值变动服从正态分布，投资组合的价值的预

期变动为。.试计算10天时间置信水平为99%的在险值。

解:=10,a=0.99,5=1000000,o-=1.9%,则1天的在险值为

VaR=Sb%99=1000000x0.019x2.33=44270

thenVaRfor10daysis

44270x710=139994

例4：目前资产A和资产B的日波动率分布为1.5%和1.8%,两种资

产收益率之间的相关系数的估计值是0.3,一个价值为30万元的资

产A和50万元的资产B组成的投资组合，其置信水平为99%的10

天在险值是多少元。

解：N=10,a=0.99,§=300000,cr=1.5%5=500000,cr,.=1.5%,,

I'rA'A

则1天的在险值为

VaR1=S](T/0.99=10485,VaR1==20970

thenVaRfor10daysare

10485x710=33156,20970x7lO=66312

A,=—,A=一,夕=0.3=>

182?8

94.5

6464

54.525

8>8；

94.51

'10485

=(1048520970)6464=147702

4.525、20970

64>

VaR=14770

3.利率风险管理

3.1基于远期的利率风险管理

例5假设美国银行需要fix3个月后开始的100万美元、期限为

6个月的基于LIBOR的融资利率，即3个月后，银行将贷出6个

月期的100万美元给客户，然而，客户需要立即从银行处确定利

率，而另一方面，银行自己不能给出利率承诺，除非银行能fix自

己的融资成本。银行与某个远期利率协议交易商联系。当时6个

月的LIBOR报价为&25%。银行向交易商询问3个月对9个月期

的LIBOR远期报价，交易商给出8.32%,即远期利率协议交易商

报出在3个月后开始的6个月期LIBOR存款利率为8.32%O银行

（作为合约的买方）接受了。在这个利率基础上，银行向客户报

出8.82%O银行利用它自己内部制订的对于最优信用等级客户的

贷款利率是LIBOR加50个基本点这一贷款规则，来完成这笔交

易。也就是说，银行在融资成本LIBOR上加上50个基本点，来

实现自己的利润并抵补所承担的信用风险。

试分析银行如何利用远期利率协议来保证自己的收益。

第十二章股票价格风险管理

1.资产收益率

（1）单期收益率

若红利发放，则

P,

总收益率二=1+K

匕］

（2）多期收益率

pk-l

K期的总收益率二=1+«（左）=口（1+隼/）

P.kj=0

k-\

于是K期收益率凡（k）="（1+犀））-1

J=o

如果K期取为k年，则年化收益率为

1

-女-111

n（i+%）t

_>0_

（3）连续复利收益率（对数收益率）

r=In=InP-InP.

%i

K期连续复利收益率rt=In=In月-InP—=ft忆

意义：1单位资产，收益率为R,1年后1+R,连续复利收益率r,

则lim(l+上=e,=>e=1+1?=>r=ln(l+1?)=In

nJPt_x

(5)超额收益率

*

D_r

(6)投资组合收益率

R<=£二吗&

Markowitz投资组合选择理论

1.基本概念

设有p种不同资产，收益率为乙,i=l,记

〃=(4,…，弓)T，〃=4r)=(〃i，・'〃p)'，E=C3(r)=(%)。

以这2种不同资产构成投资组合，权重依次为吗，则随机变量

,,

r=yl叫力的概率分布描述了投资组合的收益率分布情况，其期望

和方差是刻画rp的两个重要的量：

/=£(9)=ZI］叱"=W'〃，=Var(Rp)=W'^W

以暝，勺分别作为横座标和纵座标在平面直角坐标系上形成一个平

面区域，称为可行域。外与对应的最小％形成一条曲线，称为最小

方差集。人们已经证明这条曲线是二次曲线(见后)。在最小方差集

曲线上有一个全局方差最小点，该点上方的那一段曲线称为有效前

沿。显然有效前沿表示了投资组合的最优状态。因此对应的投资组

合w*=(讨,…,吟)称为有效组合。

2.有效组合的计算

有效组合的计算是一个最优化问题：

min卬》卬

w

w'u=u*

s."

w'l=l

因为现在做空已经是常态，所以不必限制叱叱（）。

利用多因子Lagrange乘子法，作

F(vv,2,/)=w'Ew—24(一〃*)—2/(w'1—1)

Zw=2//+/1

f♦*]("'+刃’用z=〃*

<w〃=〃=>w=S-1(2/./+/l)n

[(%+"尸1=]

w'\=1

〃*A

即汇"+川订""®+/A=4*,1CCu-A

iiA=-------------=---------------

初£-|1+/1£\=1AA+Q=1BABC-A2

AC

则一案笺

।(^(C/z-AO+Bl-A//)

w=2“("/+/l)=2

BC-A2

(4*(0〃-AS-11)+B2T1-AZ->

―BC-A2

对应的最小方差为

C(〃*)22A〃*+8

端（〃*）=

BC-A2

由此看出，b；卬沛"*构成一条二次曲线。进一步的

C*4/6\2—A~

C(〃-AC)+-----------

**)=一…。

（\A\

所以全局最小方差点为-，全局MVP为

lcC）

L-Il

w=—

c

1.1.2CAPM

考虑p种不同资产（风险资产）和一份无风险资产f（收益率为o,

实际上就是存贷款利率）构成一个p+1投资组合尺=2二产内+%+“

记

'r、

7、

G=E(/)=(M，…，4,。)'=

J

'r\F0、

£=Coy⑺=Cov

JJW0>

有效组合的计算问题就变为:

minw"Lw

w

\v口二N

w'l=l

=>minwZws.tw'^i+(1-w'\)rf=//

利用Lagrange乘子法，作

F(w,2)=wSw-22(w>+(1-W'DQ-〃*)。则有

，卬=""-。1）..i/八

四+（1-Ml）厂〃*=卬=3冠v（"一〃）=>

*

r

Z=〃~f记

_(//*-zy)£-'(//-r^l)（〃*一。）

nwK（〃-小