2022年北京市房山初三（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京房山初三（上）期末数学一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．（2分）抛物线的对称轴是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线2．（2分）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为A． B． C． D．3．（2分）如图，在中，，，，则的值为A． B． C． D．4．（2分）如图，是的直径，点，在上，若，则的大小为A． B． C． D．5．（2分）把抛物线向上平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为A． B． C． D．6．（2分）如图所示，点，分别在的，边上，且．如果，那么等于A． B． C． D．7．（2分）如图，是的直径，弦于，则下列结论不一定成立的是A． B． C． D．8．（2分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．则使成立的的取值范围是A． B． C． D．或二、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）已知，，则．10．（2分）如果一个扇形的半径是1，圆心角为，则扇形面积为．11．（2分）如图，在中，，则的度数是．12．（2分）如图，是的切线，是切点．若，则．13．（2分）已知二次函数的图象上两点，，，，若，则（填“”，“”或“”．14．（2分）如图热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，若热气球与高楼水平距离为，则这栋楼的高度为．15．（2分）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：和外一点．求作：过点的的切线．作法：如图，（1）连接；（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；（3）作直线，交于点；（4）以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点；（5）作直线，．直线，即为所求作的切线．完成如下证明：证明：连接，，是直径，点在上（填推理的依据）．．又点在上，直线是的切线（填推理的依据）．同理可证直线是的切线．16．（2分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．小球运动的时间是时，小球最高；小球运动中的最大高度是．三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题每题7分，共68分）17．（5分）求值：．18．（5分）如图，在中，，点在边上，交于点．求证：．19．（5分）如图，在中，，，于点．若，求的长．20．（5分）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，求的值．21．（5分）在平面内，给定不在同一直线上的点，，，如图所示．点到点，，的距离均等于为常数），到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接，．求证：．22．（5分）在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度．如图，在处用高1.2米的测角仪测得塔顶的仰角为，向塔的方向前进40米到达处，在处测得塔顶的仰角为，求昊天塔的高约为多少米？（结果精确到1米，，23．（6分）如图，是的直径，弦于，，．求弦的长．24．（6分）如图，在中，，，．点为线段的中点，点是边上任一点，作点关于线段的对称点，连接，交于点．连接，．当时，求的长．25．（6分）在平面直角坐标系中的第一象限内，点在双曲线上．（1）求的值；（2）已知点在轴上，过点作平行于轴的直线与，的图象分别相交于点，，点，的距离为，点，中的某一点与点的距离为，如果，在如图中画出示意图并且直接写出点的坐标．26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和点．（1）用等式表示与之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；（2）当时，结合函数图象，求的取值范围．27．（7分）如图，点是直径上一点，过作交于点，连接，．（1）求证：；（2）连接，过点做的切线，交的延长线于点．若，，求的长．28．（7分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①和②中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）如果函数的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；（3）如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数的值．

参考答案一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．【分析】根据二次函数的顶点式，对称轴为直线，得出即可．【解答】解：抛物线的对称轴是直线．故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．2．【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式即可求得的值．【解答】解：设反比例函数的解析式为，函数的图象经过点，，得，反比例函数解析式为．故选：．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．3．【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正切的定义求解．【解答】解：，，，，．故选：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义．4．【分析】根据圆周角定理求出答案即可．【解答】解：，．故选：．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．5．【分析】根据向上平移纵坐标加求得结论即可．【解答】解：把抛物线向上平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为，即．故选：．【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数图象的平移性质是解题的关键．6．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再代入求出即可．【解答】解：，，，，，，故选：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．7．【分析】根据垂径定理进行判断即可．【解答】解：弦，过圆心，，，，即选项、、都正确，当根据已知条件不能推出和一定相等，故选：．【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．8．【分析】观察函数图象得到当或，一次函数的图象在反比例函数图象下方．【解答】解：在第一象限内，一次函数值小于反比例函数值时自变量的取值范围是或；故选：．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．二、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：，，故答案为：30．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．10．【分析】直接根据扇形的面积公式求解．【解答】解：这个扇形的面积．故答案是：．【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长）．11．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，．故答案为：．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．12．【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．【解答】解：是的切线，，，，，故答案为：65．【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．13．【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得时随增大而增大，进而求解．【解答】解：，抛物线开口向下，对称轴为轴，时，随增大而增大，，，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，抛物线开口向下，当时随增大而增大．14．【分析】求这栋楼的高度，即的长度，根据，在和中分别求出，就可以．【解答】解：在中，，，，．在中，，，．故答案为：．【点评】此题主要考查了仰角俯角问题，以及利用三角函数关系解直角三角形，题目难度不大，是中考中常考题型．15．【分析】连接，，根据圆周角定理可知，再依据切线的判定证明结论；【解答】证明：连接，，是直径，点在上（直径所对的圆周角是直角），．又点在上，直线是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），同理可证直线是的切线，故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，线段垂直平分线的作法等知识，读懂题意，掌握基本的尺规作图是解题的关键．16．【分析】先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出的顶点坐标即可．【解答】解：，，，当时，有最大值，最大值为45．故答案为：3，45．【点评】本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题每题7分，共68分）17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入计算即可．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．【分析】由，可得出，再结合公共角相等，即可证出．【解答】证明：，，．又，．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是证明．19．【分析】分别解两个直角三角形求出和的长即可．【解答】解：，，，，，，，．【点评】本题考查了解直角三角形、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，求出和的长是解题的关键．20．【分析】由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出值，再结合点在反比例函数图象上，由此即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：反比例函数的图象经过点，．点在反比例函数的图象上，，解得：．故的轴为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出与点的坐标有关的方程是关键．21．【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．【解答】证明：根据题意作图如下：是圆周角的角平分线，，，．【点评】本题主要考查圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键．22．【分析】设米，分别在和中，表示出和的长度，然后根据米，求出的值，继而可求出电视塔的高度．【解答】解：如图，设米，在中，，，，在中，，，，，解得：．米，则（米．答：这个电视塔的高度约为35.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．23．【分析】根据，求出的度数，再求出的长．根据垂径定理即可求出的长．【解答】解：，．，．弦于，．在中，，，，．．【点评】此题考查了垂径定理和圆周角定，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是本题的关键．24．【分析】如图1中，过点作于．根据三角函数的定义得到，如图2中，根据垂直的定义得到，根据折叠的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1中，过点作于．在中，．如图2中，，，，沿将折叠得到．，，，，，，，即，，．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．25．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）画出函数的图象，根据图象即可求得．【解答】解：（1）点在双曲线上，，的值为8；（2）如图：由图象可知，点的坐标为或或或．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．26．【分析】（1）将代入函数解析式可得，则抛物线对称轴为直线．（2）由点坐标可得所在直线为，过点作轴交轴于点，可得为等腰直角三角形的斜边，从而可得点当时和时点的坐标为或或或，再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．【解答】解：（1）将代入得，，抛物线对称轴为直线．（2）点坐标为，点所在直线为，点在直线上，过点作轴交轴于点，则，，为等腰直角三角形的斜边，当时，，当时，，或，，点坐标为或或或，点坐标为或或或，当时，抛物线开口向上，抛物线经过点，对称轴为直线，抛物线经过点，抛物线开口向上时，抛物线不经过，，将代入得，解得，将代入得，解得，．时，抛物线开口向下，抛物线不经过，，将代入得，解得，将代入得，解得，，综上所述，或．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，通过分类讨论求解．27．【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据同角的余角相等证明结论；（2）根据题意画出图形，根据切线的性质得到，进而得到，根据正切的定义、勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：为的直径，，，，，；（2）解：是的切线，，，，，，，，即，设，则，由勾股定理得：，，，，，，．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．28．【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；（2）由题意可