近代物理导论曹禺第十三章

第十三章近独立粒

子

的最概然分布

概率基础知识

在概率理论中，被研

究对象所出现的每一个结

果称为一个“事件”，在一

定条件下必然会发生的事

件，称为必然事件。必然

不会发生的事，称为不可

能事件。这两种事件有一

个共同的特点，就是事先

可以对其发生与否作肯定

性回答，它们统称为确定

性事件。

1、随机事件的概率

在一定的条件下，如

果一个事件可能发生也可

能不发生，称此事件为随

机事件，与其相应的自然

现象称为随机现象。如投

掷硬币时，正面朝上是一

个随机事件。对于随机事

件，在一次试验或观测中

是无法预知其结果的，但

当观测次数N趋于无穷时,

某一事件（事件A）发生的

次数刈与总观测次数N的

比值将趋于某一稳定的极

限值。这个极限值可以作

为随机事件A出现可能性

的客观量度，称为事件A

发生的概率乜：

今，当巴=时，不可

PfiNmTSN0'A

能发生；当心=1时，A肯

定发生。

显然。〈巴<1,事实上，试验

的次数不可能无限多，但

是，只要试验次数足够多，

我们就可以用力来表示事

件发生的概率，如掷一质

量均匀的硬币，若只掷少

数几此,正面向上和北面

向上的次数可能相差很

大，但随着掷的次数的增

加，会发现正面向上和背

面向上各建的可能性，于

是可以说掷硬币时，正面

向上和北面向上的概率各

为

2、互斥事件概率的加法定

律

在一定的条件下，不可能

同时发生的两个事件，称

为互斥事件，如掷硬币时,

正面、背面不可能同时向

上，所以正面向上和背面

向上是互斥事件。

设A、B是互斥事件，在

N次观测中，事件A出现刈

次，事件B出现M次，则出

现事件A或B次数为

所以，A、B中任意一个出

现的概率为

^A+B怛"沪=巴+丹

两个互斥事件中任意一个

出现的概率等于两个事件

出现的概率之和，称为概

率的加法定理，推广至n

个互斥事件：

+P

々+&+&……+4="+……An

如掷硬币时，正面向上,

背面向上出现的概率为:

rr1

若某一随机现象总共包

含n种互斥事件

A，4,4...An,则由概率加法

n

定理知：］弓=1,称为概率

的归一化条件，它表明，

在一次观测中，全部互斥

事件中总有一个是要发生

的。

3、独立事件概率的乘法定

理

如果两个随机事件彼

此没有任何关联，一个事

件发生与否与另一事件发

生与否毫不相关，这两个

事件称为独立事件，如同

时掷二硬币，第一枚出现

正面向上与第二枚出现背

面向上是毫无关联的，是

两个独立事件。

设A、B是两个独立事件,

这两事件同时（依次）发

生记为48。以刈表示在N

次观测中事件A发生的次

数刈=%N。NAB表示在N次

观测中事件A和事件B同

时发生的次数，这也是在

事件A发生的次数刈中事

件B发生的次数NA.LRNA

••NA.B=PAPBN

则事件A和B同时发生的

概率为：

PA.B=挺*=PAPB

两个独立事件同时发生的

概率等于两事件各自发生

的概率的乘积，称为概率

的乘法定理。

如同时掷两枚硬币时，第

一枚正面向上,第二枚背

面向上同时发生的概率为

111

—X————

224，

推广至n个独立事件:

以A2A“=24…以

4、随机变量的概率分布

如果一变量以一定的概

率取各种可能值，这变量

称作随机变量，分为离散

型和连续型。

离散型：离散型随机变

量所取的数值是可数的分

立值，以X表示随机变量,

4……4•……Z表示离散型随机

变量的可能取值,

/……月表示取相应值

的概率

'%］，・・・・・，%,.，……、

=>

j,./，..................'匕>

称为随机变量X

的概率分布。显然，*。斗=1

连续型：连续型随机变

量可取某一区间内的一切

数值，以X表示连续型随

机变量，假设它的取值X

在a与b之间，随机变量x

取值在X-X+公的概率"(X)

表为dP(x)=p(^x)dx,P(%)称为概

率密度，满足以下条件：

/?(%)>0，『夕(%)公=1

/(X)=J〃尤)夕(%)办

5、统计平均值和涨落

离散型：设随机变量X的

可能取值为X],X?,・・・,xno设在N

次试验或观测中，测得X

取上述数值的次数相应为

则X的算术平均值

xxiNi

为七厂。当Nfs，X的算术

平均值趋于一定的极限,

称作X的统计平均值。

灰=1面交2=＞胪*=ZXjPi

NTSNi8Ni

B：X取巧的概率。

连续型随机变量X,统计平

均值X=Jw(x)/积分遍及

X的取值范围。

X|+X2=Z（瓦±%2,）e=X]+X2.

i

独立Xi,X?,X]x2=ZPijxMx2j

U

=2单涌/2/=耳•瓦

y

另一类平均值，方均值,

定义为

X?=X%"X?=卜2夕(工世

由于各次观测结果不一定

等于统计平均值，引入一

个量描述X在其统计平均

值又上下涨落的平均幅度,

由于

Zx=(x-x)=^.-x)z>

=!>/一又2《=0

ii

AX不能用来表示涨落。用

方差描述涨落

(AX)2=(X-X)2=(X2—2X5+R)

江汽-2#+52卜

=2>2-25=m_又2

iii

——2--------------2--r—?

X2—2XX+X-=X2—2XX+X=X2—X-

国对大的偏差是敏感的,

它表明了随机变量取值的

分散程度，由越小，随机

变量的取值越靠近平均

值。

还可引入相对涨落人等更

A

能说明精确度。

1粒子运动状态的

经典描述

统计物理学是从物质

的微观运动来阐明物质宏

观性质的科学。由于物质

是大量微观粒子组成的，

每个粒子在不停地运动，

在统计物理中把物质的宏

观性质看作是大量粒子作

热运动的平均效果，而把

系统的宏观量看作是对应

微观量的统计平均值。

统计物理中讨论的系统

是由大量微观粒子组成

的，大约有1铲数量级，描

述大量粒子组成的系统的

宏观性质的量称为宏观

量，描述单个粒子性质的

物理量称为微观量。

粒子（指微观粒子）的运

动状态是指它的力学运动

状态。一般来说，微观粒

子遵从量子力学规律，不

过在一定极限条件下，经

典理论还是有意义的。

粒子运动状态的经典描

述

对于一个自由度为一的粒

子，它在任一时刻的运动

状态，由粒子的〃个广义坐

标1,%,……％和与之共朝的一

个广义动量AE，”在该时

刻的值确定，粒子的能量£

是其广义坐标和广义动量

的函数：

£二£(0,・・％《,・・・金)

如果存在外场，£还是描

述外场参量的函数。

为了形象地描述粒子的

力学运动状态，用

4，.必片,…出共2r个变量为直

角坐标，构成2r维空间，

称为相空间或4空间。粒子

在某一时刻的力学状态

(1,…,%,[,..,月)可用相空间的'一

个点来表示，称为粒子运

动状态的代表点。当粒子

的运动状态随时间改变

时，代表点相应地在以空间

中移动，描绘出一条轨迹,

称为相轨迹，〃空间中的广

义体积，称为相体积。

统计物理中的几个例子

(1)自由粒子

当自由粒子在三维空间

中运动时，其自由度为3,

所以相空间是6维的，粒

子在任一时刻的位置由坐

标x,y,z确定，共机的动量分

别为

Px=mx,Pv=myP7=mz

相空间坐标分别为

（%,y’z,巴,［，4）

当自由粒子在一维空间

运动时，自由度为1,相空

间维数为2,坐标（%』）。

（2）一维线性谐振子

质量为m的粒子，沿着无

轴在平衡位置附近作角频

率为①的谐振动，称为线形

谐振子，其自由度为1,可

以用一个坐标工和一个动

量p来确定其运动状态，其

〃空间是二维的，谐振子的

能量p

X

£+dc

P21

£=-----\--mar2x2

2m2

等能面（，一定）是相空间中

的一条椭圆曲线，改写

22、

为:Px

mco1

两个半轴长分别为

己=同和4E

椭圆面积：S（e）=g£=资

而能量在£-£+八£之间的相

体积为：

2%

§（£+△£）-S（力誓△”了最

谐振子能量£不同，椭圆

不同。

2.粒子运动状态的量子

描述

微观粒子服从量子力学

规律

波粒二象性：粒子一波

-#">

£=hco9P=hk

一粒子量,（叫波量

普朗克常量

1h»

^=-=1.055x10-7.5

四=0［同=国］小M

海森堡不确定关系

△q邸〜h

经典：粒子沿轨道运动。

量子：无轨道。X，尸不能同

时确定。

量子态——量子力学中

微观粒子的运动状态

量子态数的计算，量子的

描述

(1)自由粒子

先考虑一微自由粒子，设

粒子在长为L的一维容器

中，边界条件可取驻波条

件(〃⑼〜⑷=o)或周期边界

条件(〃(%)=犷(%+9)取周期边界

条件,〃(%)=〃(%+£)自由粒子波

函数为夕(力

“(X)="(X+L)=*xL=]

ZL=2〃〃H=0,±1,±2,

人人W人

.2万

%=一%

”L

一^维自由粒子动量

24方h

弋=力勺=等〃「7%，%=0,±1,±2,.…

一维自由粒子能量

P22/%2n2

£=------^-ncr2X•n=0,±L±2,....

2mml}xx2mL9r

所以，%是表征一维自由粒

子运动的量子数，对于在

边长为L的立方体内运动

的三维自由粒子，其波函

数〃(羽丁/)""二小厂户》考虑到

周期边界条件：

〃(乂y,z)=〃(％+[y,z),

〃(%,y,2)=〃(%,y+1z)9

〃(用y,z)=〃(%y.z+L)

与一维情况一样，可得粒

子动量

上nP=-nP=-n.

L%，yLy9zZLz

%，%，%=0,±1,±2,..・・

粒子能量

尸+尸，+町=S（〃「+〃：+〃」）

所以，（%%，%）这组数就是表

征三维自由粒子运动的量

子数，不同的⑷…）代表不

同的量子态，而当（凡，〃、，？）不

同（代表不同的量子态），

但%2+〃；+一样时，就表示

不同的量子态具有相同的

能量，即在同一能级上有

不止一个量子态，此时称

此能级是简并的，简并度

就是方程：〃J+Y+〃”竽

整数解的个数。

考虑在体积V=?内，在

P、fP\+dR,P「P,+dP、,上“R+dK的

动量范围内自由粒子的量

子态数，由于不同的

Y+%2+%2代表不同的量子

态,且(B1B)与〃:+〃,2+%2>

对应，在产「2+附的范围内,

可能的R的数

dnx=^dPx

同理：在4"、+”的范围内,

可能的△数ad%=*dP,

在4-E+化的范围内，可能

的尸Z数目为dn7=—dP,

h

所以在PxfP、+dPx,Py-Py+dP、,

PUP二范围内可能的（匕P"）

数目，即可能的量子态数

目为

£3V

dnxdnydnz=—dPxdPydPz=—dPxdPydPz(*)

hZz

上式可用不确定关系来理

解，由不确定关系可知：

粒子的坐标V不确定值与

动量不确定值AP满足:

△q/\Pxh

这反映在量子力学中粒

子的轨道概念是不存在

的，因为粒子的位置和动

量是不可能同时确定的。

这也是粒子波动性的反

映，因为不能把粒子看成

一个点，而要看成波包，

因此若用坐标4和动量P来

描述粒子的运动状态，一

个态必然占有"空间的一

定体积，称之为相格。对

于自由度为1的粒子，相

格的大小为J对于自由度

为〃的粒子，各自由度的坐

标和动量的不确定值M和

M分别满足A^AT?«h相格大小

r

为…….….…\Prxh

这是自由度为厂的粒

子的一个量子态在〃空间

所占有的体积。（*）式表示

三维自由粒子的量子态数

等于其在〃空间占有的体

积除以相格大小(一个量

子态占有的〃空间体积)

用动量空间的球坐标P,仇(p

来表示。

P、=尸sinSeos0,Py=PsinOsin0,

Pz=Pcos0

体积元：P2sinOdPdOdcp

在体积V内，动量大小

在P—P+dP内，方向在

efe+do,(pf(p+(i(p的范围内，自

由粒子可能的状态数为：

VP2sinOdPdddcp

对所有方向求知，对从0—>7T

积分，°从0-2万积分，便得

到在体积V内，动量大小

在P-P+〃的范围内（动量方

向任意），自由粒子可能的

状态数为：

在能量£—+范围内，i

由粒子可能的状态数为:

2?（2咐3s^de=D（£）de,。（£）=（2jnp-

表示单位能量间隔内的可

能状态数，称为态密度。

若考虑进粒子的自旋s

则上述的所有状态数均还

须乘上自旋简并度2S+1,对

即乘以2。

3.系统微观运动状

态的描述

仅讨论全同和近独立

粒子组成的系统

全同粒子系统

全相同属性（如相同的质

量、电荷和自旋等）的粒

子组成的系统。

近独立粒子系统——系统

中粒子之间相互作用很

弱，相互作用的平均能量

远小于单个粒子的平均能

量，因此可以忽略粒子之

间的相互作用，整个系统

的能量可表达为单个粒子

N

的能量之和£=1弓

其中々为第，粒子的能量,N

总粒子数，且与仅为汕粒子

的坐标和动量及外场的函

数。

但应注意，仅独立粒子

之间虽然相互作用，各粒

子完全独立地运动，彼此

毫不相干，这些粒子所组

成的系统也就无从达到热

力学平衡了。

系统的微观状态

经典：按经典力学观点，

由全同粒子组成的近独立

粒子系统，其粒子是可以

分辨的，可以编号的，对

于N个粒子组成的系统，

当给出了第1,第2、、、、

第N号粒子的运动状态的

代表点处于4空间的哪些

相格中时，就给出了系统

的一个微观状态，或者说N

个编了号的粒子的代表点

在4空间中按相格的一种

分配方式对应系统的一个

微观状态，当然，N个编了

号的粒子的代表点按相格

的不同分配方式对应系统

的不同的微观状态，如交

换两个粒子的代表点在〃

空间的位置，相应的系统

的微观状态是不同的。

量子:

全同性原理：全同粒子是

不可分辨的，在含有多个

全同粒子的系统中，如果

将两个全同粒子交换，不

改变整个系统的微观运动

状态。

不可分辨是因为微观

粒子具有波动性,在两个

波重叠的区域无法区分哪

个是第一个波，哪个是第

二个波，也就无法区分哪

个是第一个粒子，哪个是

第二个粒子。

在量子力学中粒子分为

二类：波色子----自旋为

整数，费米子自旋为

半整数。

对于费米子，服从泡利不

相容原理的限制，即每个

单粒子量子态最多只能容

纳一个费米子。

对于波色子，不受泡利不

相容原理的限制，即每个

单粒子量子态上可以被任

意数目的波色子所占据。

另一种全同粒子组成的

近独立粒子系统

玻尔兹曼系统由可

分辨的全同近独立粒子组

成的，且处在每个单粒子

量子态上的粒子数不受限

制的系统。确定由全同近

独立粒子组成的系统的微

观状态归结为确定每个单

粒子量子态上的粒子数，

对于可分辨的全同粒子还

要进一步确定到哪些粒子

处于哪个量子态上。

对于相同粒子数的系统,

由于玻尔兹曼系统受限制

最少，交换粒子产生系统

的不同的微观状态，所以

其微观状态数最多，对于

波色系统，受全同性原理

限制，交换粒子不产生系

统的不同微观状态，所以

其微观状态数比玻尔兹曼

系统少，对于费米系统,

不但受全同性原理约束,

更受泡利不相容原理限

制，其微观状态数比波色

系统少。所以对于相同数

目的粒子系统，就微观状

态数而言:

玻尔兹曼系统波色系

统费米系统

例如：对于一个二粒子系

统，每个粒子有3个量子

态

玻尔兹曼：

量子态2

3

可分辨A,BAB

AB

AB

BA

A

BA

A

B

B

A

波色系统：12

3

不可分辨AA

AA

AA

A

A

A

A

A

A

费米系统：12

3

不可分辨AA

A

A

A

A

4.等概

率原理

等概率原理：对于平衡态

的孤立系统，粒子数N,体

积V,能量E,都给定时，

系统各个可能的微观状态

出现的概率是相等的。

由玻尔兹曼于19世纪70

年代提出的这个等概率原

理，是统计物理的一个基

本假设，不能由其他的更

基本的原理推导而得，它

的正确性由它所导出的种

种推论均与客观实际相符

而得到肯定。等概率原理

是平衡态统计物理的基

础。

对于处于平衡态的孤立

系统，粒子运动是完全无

序的，系统微观状态的出

现是完全随机的，没有理

由认为满足宏观条件的所

有可能微观状态中，哪一

个微观状态出现的概率具

有更大的可能性，因而认

为所有可能的微观状态出

现的概率是相等的。

5.分布和

微观状态

设有一个由大量全同近

3

独立粒子组成的系统,K

备确定的粒子数N,能量E,

和体积V,以%表示粒子的

能级，例表示能级J的简并

度。

设N个粒子在各能级的分

布描述如下：

能级弓，*2，•…弓，・…

简并度①2…”①I,•…

粒子数,•・•,・・・♦

即能级々的简并度为外,

有6个粒子占据,。。。。。能

级2的简并度为何，有用个

粒子占据,。。。。用符号⑷

表示数列,^^2,・・•・,I・・・・称为一

个分布。对于具有确定的

粒子数N,能量E和体积v

的系统，分布｛叫必须满足

条件

N工3=E

i'i

（所有粒子数能量之和为

系统能量）

分布和微观状态是两个

不同的概念，给定了粒子

按能级的一个分布⑷，只

是确定了在每一个能级巧

上的粒子数许，但系统的微

观状态并未被唯一确定，

确定系统的微观状态要求

确定处在每一个单粒子量

子态上的粒子数，如前所

述，一般情况下，单粒子

的能级是简并的，能级与上

有例个量子态，确定了个能

级上的粒子数，并不能前

确定粒子在能级上各量子

上的分配，因此，一个分

布⑷可对应许多不同的微

观状态，例如对于波色系

统和费米系统，在给定分

布后，要确定波色或费米

系统的微观状态，还必须

确定每个能级上。,个粒子

占据其叼个量子态的方式，

对于玻尔兹曼系统，由于

粒子是可分辨的，所以确

定系统的微观状态就要求

确定每一^个粒子的单粒子

量子态，因此给定了分布

同后，为了确定玻尔兹曼

系统的微观状态，还必须

确定在各个能级句上究竟

被哪些个粒子占据，以及

在每一个能级句上个粒子

占据其个量子态的方式。

总之，与一个分布｛可｝相应

的系统的微观状态往往是

很多的。而微观状态数对

于玻尔兹曼系统，波色系

统和费米系统是显然不同

的。

给定分布⑷后，三种系统

的微观状态数

1、玻尔兹曼系统

对于玻尔兹曼系统，粒子

可分辨，可以对粒子进行

编号，。,个编了号的粒子

占据能级句上的用个量子

态时，第一个粒子可以占

据2个量子态中的任一

个，有例种可能的占据方

式，由于一个量子态可以

容纳的粒子数不受限制,

在第一个粒子占据了某

个量子态后，第一'第

三。。。个粒子仍然有助种

可能的占据方式，于是。,

个编了号的粒子占据能

级句上的为个量子态共有

“种可能的占据方式，因

此，在玻尔兹曼系统中,

ai个粒子占据能级J上的

助个量子态时,是彼此独

立互不关联的，分布{〃/}

中，4,4,…”功,…个编了-6

的粒子分别占据能级

・上个量子

态的可能占据方式共有

““种，由于玻尔兹曼系

统的粒子可分辨，所以交

换粒子将给出系统不同

的微观状态，将N个粒子

加以交换，不管是否在同

一能级上，总的交换数为

N!（全排列）。在这些交

换数中应除去在同一能

级2/上为个粒子的交换数

。人因为这已在“'中考虑

了，这种交换是不产生新

的分布的。因此不同能级

N!

间粒子的交换数为币

所以对于玻尔兹曼系统,

与分布4相应的微观状

态数是

N'一

I

前例N=2,1=1,①]=3,%—2

QM.B=32=9

N=2,/=1,2,q=2,q=1

｛%生｝。｛2。｝=而=4

7!

C｛】L而2H=4

2、波色系统

对于波色系统，粒子不可

分辨，每个单粒子量子态

能够容纳的粒子数不受

限制，先计算。,个粒子占

据能级句上的助个量子态

有多少种可能的方式，为

了计算这个数目，以

aa……表示量子态1,

2ooooo9以。表7P粒子,

将它们排成一行，每个量

子态后面0的数目表示在

该量子态上的粒子数，所

以最左方为量子态1,如

对于5个量子态和10个

粒子的一种排列

0OO[2|O|3][4|OOO[5]OOOO

表示量子态1上有2个粒

子，量子态2上有1个粒

子，量子态3上无粒子，

量子态4上有3个粒子，

量子态5上有4个粒子。

[l[0[2]00|l]000[4]0|5|000也是一种占据

方式

由于规定了最左方总是量

子态1,余下的量子态和粒

子的总数为（可+q-1）,它们共

有（母+q-1）!种排列方式。因

为粒子是不可分辨的，交

换粒子不产生新的状态，

所以应除去粒子之间的相

互交换数初，量子态之间也

不应交换，因此也应除去

量子态之间的相互交换数

（供-1）!,所以。/个粒子占据能

级J上的助个量子态的可能

方式有

W黑鬻种，相当

于。/+助―1空位中用助T个捧

（代表量子态）去填，或

用。/个粒子去填，每个空位

只能填一个捧或粒子，用

捧（粒子）填时，共有

CH,…，剩余的空位就

是粒子（捧）。

将各能级结果相乘，就得

波色系统中任意一个分布

⑷所对应的微观状态数

为'：•xn/®q!广（例一.1:）!

4!

----二

前例/=1，例=3,q=2,。B・E6

2!2!

1.费米系统

对于费米系统，粒子不可

分辨，且由于泡利不相容

与原理，每个单粒子量子

态最多只能容纳一个粒

子，。,个粒子占据能级J上

的g个量子态（小阻），相当于

从例个量子态中挑出。/个

来为粒子所占据,

种可能方式，将各能级结

果相乘，就得到费米系统

中任意一个分布佃｝所对应

的微观状态数为：

4/!（助一Q/）!

前彳列/=1,q=39=2,QF,D=3

若在波色系统或费米系统

中，任一能级上的粒子数

均远小于该能级的量子态

数（简并度。即（对

所有的/）

则波色系统的微观状态数

可近似为

Q二口（、+"/T）!二口(可+a,-1)(@+为-2)....g

B.EiJ^!（^-i）!"n

%!

。仆8

g+cif—L可+〃/—2,…，〜cOj

费米系统的微观状态数可

近似为

T-r例！一口可（助一1）....（可-0+1）

/⑷一]Jq!（助=]J融

a门"，二^M.B

1J。/!N\

g_\»…，①i—cif+L〜G)I

台1称为经典极限条件，也

称非简并条件。

这个非简并条件表示在每

个单粒子量子态上平均粒

子数远小于1,这就是说绝

大多数单粒子量子态是没

有被粒子占据的，因此，

泡利原理的限制不起作

用，故波色系统的微观状

态数在非简并条件下趋于

相同的量肝。Q/8是在玻

尔兹曼粒子分布对应的系

统微观状态数可区分情况

下得出的，而波色子和费

米子是满足全同性原理

的，交换粒子不产生新的

状态，故要除去由于交换

粒子而产生的状态数，除

以N!

经典统计中的分布和微观

状态数

在经典力学中，一个一个自

由度的粒子在某一时刻的

运动状态由他的广义坐标

,q2,4厂和广义动量相，…E

确定，相应于〃空间中的一

点，系统在某一时刻的运

动状态由系统的N个粒子

的坐标和动量

%1'02'…"/八耳）■（，=1,2,....,N）,确定。

相应于〃空间的N个点，由

于q和P是连续变量，”

）和不系可统数的的微，观为［运计箕（竟以

嬴态数，我们将也为

为大小相等的小间隔，使

3qi3Pi=4,〃o是一个小量，

也］=［卬*这样就将〃空间分

成一个个的相格,对于具

有一个自由度的粒子，其〃

空间的相格体积为

6qv...6qrSP...…6Pr=h\f假设为足够

小，就可以由粒子运动状

态代表点所在的相格确定

粒子的运动状态，处于同

一相格的代表点，代表相

同的运动状态，显然，％愈

小描述就愈精确，在经典

力学，瓦可以取任意小的数

值。在量子力学，由不确

定关系限制％不能小于〃。

当取%=用,我们称为半经典

描述。将4空间化为许多体

积元A*/=l,2.•…）以与表示运动

状态处于A例内的粒子的能

量（A助越小越精确），由于

粒子的微观运动状态由大

小为%0的相格确定，所以

△用内粒子的运动状态数为

察，它与量子统计中（量子

描述）的简并度相当。N个

粒子处于各A例的分布可以

描述如下：

体积元A例,八例,…”△助,.…

“简并度”（△例中的态数）

A。1\co2\col

能量J9&2，••••，£I，・・・・

粒子数,^^2,・・♦・,/,・♦♦・

表示有4个粒子的运动状

态代表处于△助中，经典粒

子可以分辨，处于一个相

格内的经典粒子数没有限

制，因此在经典统计中与

分布⑷对应的微观状态数

Qd可以按得到玻尔兹曼系

统的叫的方法，求得为

以例—>

6.玻尔兹曼

分布

前面求得了不同系统得一

个粒子分布｛叫所相应的微

观状态数，不同的分布对

应不同的微观状态数，由

等概率原理知，对于平衡

态的系统，每一个可能的

微观状态出现的概率是相

等的，所以相应于微观状

态数最多的粒子分布出现

的概率最大，这种分布称

为最概然分布，对于玻尔

兹曼粒子系统最概然分

布，称为玻尔兹曼分布。

现推导玻尔兹曼分布

斯特林公式：当机>>1时,

m\-mme~m

ln//z!=m(lnm-l)+—ln(2^m)x机(in/TZ—1)

对于玻尔兹曼粒子系统,

分布M｝所对应的微观状态

数为：。=而下，

/

^lnQ=——81lnQ=-------L

。，Q2

玻尔兹曼分布是对应于。

最大的分布，由于In。随。

的变化是单调的，它们的

极值位置相同，可以等价

地讨论使山。为极大的分

布

InQ=InN!-，In0!+，4Ing

设所有的生均很大，利用斯

特林公式，得

InQ=N（lnN-1）-工。/（E+g

pNInN-£a.Inq+Z〃/Ing

ii

为求得使InQ为极大的分布

⑷，必须

InQ=In6fz-da{+da{In69z

“iii

=-h»=。

由于&,/=l,2......）不是独立变

量，而是要满足约束条件

N=〃,£=W%（确定的粒子数

和能量）

对于有确定的粒子数N和

能量E的系统，有泌？物=0,

y

3E=^sl8al—0

所以要求的Q极值，是条件

极值，应用拉格朗日待定

乘子法来求，引入拉格朗

日乘子。和夕乘上面二个式

子，并从51n。中减去，得

8\nCL-a3N-p8E=ba,—0

7

根据拉氏乘子法原理，每

个前得系数均对于零，

这是选。和夕的要求，所以

喘+戊+的=0,勾=叩-。-网简并度

为。/的能级与上的粒子数。

这就是玻尔兹曼粒子系统

中粒子的最概然分布，称

为玻尔兹曼分布，拉氏乘

子a和夕由

N=2-网及石=$>,勺=£巧*。—网

iIii

对能级求和

能级£/有。/个量子态，处于

其中如何一个量子态的平

均粒子数应该是一样的，

因此，处在能量为区的量子

态S上的平均粒子数£为

fs=葭一限单个量子态上的平

均粒子数

而N=E=Z"«阻对量子

s7s

态求和。

说明：

(1)、上面只证明了玻尔

兹曼分布使In。的一阶微

分等于零，即In。取极值,

但要证明这个极值是极大

值，还需证明玻尔兹曼分

布使山。的二阶微分小于

零

a

2i

8lnQ=-^8a1

/g7/①

由于勾>0,故〃lnQ<0,因

此玻尔兹曼分布是使InO为

极大的分布。

(2)玻尔兹曼分布是出现

概率最大的分布，对于宏

观系统，于最概然分布相

应的。的极大值非常陡，使

其它分布的微观状态数于

最概然分布的微观状态数

相比几乎接近于零，为说

明这一点，我们将玻尔兹

曼分布的微观状态数。与

对玻尔兹曼分布有偏差

6at(/=1,2,..)的一个分布的

微观状态数。+AQ加以比

较,将ln(Q+AQ)展开,得:

ln(fl+AQ)=Infl+SlnQ+gs?lnQ+..…

1

=InQH—8^9InO+....

2

^lnQ=O

将SlnO=-Zln色川皿明二回上

IJ9l%

代入上式，得

(\

In(Q+AQ)=InO-ZIn%3s

2I4

假如对玻尔兹曼分布的相

对偏离为*〜1°5（很小）,

则

1Q+AQ1

In---------二—

Q2

=—J_xioT°z。/二—』xi(r10N

2/2

对于N=K)23的宏观系统，有

Q+AQ~X1O-,O7V-11O_1OX1O23一1()13

———=ee2XPC

*乙

几乎接近0

这说明即使与最概然分布

仅有极小偏离的分布，它

的微观状态数与最概然分

布的微观状态数相比也是

几乎接近于零的，这就是

说最概然分布的微观状态

数非常接近于全部可能的

微观状态数，根据等概率

原理，处于平衡态下的孤

立系统，每一个可能的微

观状态出现的概率相等，

因此平衡态下的孤立系统

绝大部分时间将处于最概

然分布，玻尔兹曼分布，

如果我们忽略其他分布而

以为平衡态下粒子实质处

于玻尔兹曼分布,所引起

的误差应当是可以忽略

的，其它分布所相应的微

观状态数虽很小，但还是

有一定概率出现，这就导

致处于平衡态的系统存在

着偏离平衡态的涨落现象

以篝…可得经典玻尔兹曼

分布的公式：竽

‘%

其中。/满足

N=Y包1E=YS「网包

7.波色分布和费米

分布

考虑处于平衡状态的孤立

系统，具有确定的粒子数

N,体积V和能量E。

£/(/=1,2,表示粒子的能级，助

表示能级,的简并度，以⑷

表示各能级上的粒子数，

分布⑷必须满足条件

II

对于波色系统，与分布⑷

相应的系统的微观状态数

。为

对于费米系统，与分布⑷

相应的系统的微观状态数

。为

?、

/〃/!(助一勾)!

由等概率原理，对于处在

平衡态的孤立系统，每一

个可能的微观状态出现的

概率是相等的，因此，使Q

从而山。极大的分布，出现

的概率最大，只最概然分

布

对于波色系统

lnO=Z[ln(q+q-l)!-lnq!-ln(q-1)Q

假定〃,»1M»1因而

Q+q-12例+%,①[-1支助并用斯

特林公式山初=加（lnm—1）,于是

lnQ=Z｛（G/+q）[ln（例+〃/）_]-a（lntz-l）-^（ln^-1

/tz

=Z]（可+a，ln（q+，/）一qIna,一例In用

的的变化网将引起InC有变

化SinQ,使Q从而InQ有极

大值的分布必使51nQ=09于

是

31no=Z[5〃/ln（例+q）+8a1-8atIn-3弓]

i

=Z[ln（例+Q/）_lna/pq=0

i

但各物不独立，必须满足

二个约束条件：

3N=—0SE=Z*/。/—0

I9i

用拉氏乘子a和』乘这两

个式子，并从51n。中减去，

得

Z[ln(q+6zz)-lnaz-a-=0

i

根据拉氏乘子法原理，各M

的系数为0(这是选”的要

求)

ln(@+0)一山〃/-a-psl=0

g

即a'~*网_]

波色系统中粒子的最概然

分布，称为波色——爱因

斯坦分布，简称波色分布,

拉氏乘子”由下式确定

£%=2_]1=N

I[匕

==E对能级求和

II匕1

_g

%/+网+1

+费米-狄拉克

一波色——爱因斯坦

这是处于能级J上的助个

量子态的粒子数。

每个量子态的平均量子数

应该一样，所以在能量为£

的量子态s上的平均粒子

数为

/=——!—

Jsa+

e^+1

+费米——狄拉克

一波色——爱因斯坦

N——?__"J

一网±，呢对量子态

y1eA±1

求和。

在前面三种分布的推导

中，均用了如al»1,0»1等条

件。实际上，这些条件不

一定满足，因此，前面的

推导有严重缺点，但结果

是对的，方法比较直观,

正确的推导要用系综理

论，但比较抽象。

.三种分布的

关系

玻尔兹曼分布a,=①《一吩阳

Fermi----Dirac

_____g

Q/一±1

Bose----Einstein

费米一一狄拉克分

CD11

S=<0玻尔兹曼分布

+S

-1波色一一爱因斯坦分布

1

产网+8

当戏〉〉1时，对Fermi或Bose

分布均有分母中±i可忽略,

%=geag都趋于玻尔兹曼

分布

而才》1*«1经典极限条件

或非简并性条件，这表示

每个能级上的绝大多数量

子态未被占据，泡利原理

不起作用，费米子与波色

子的差别几乎消失，趋于

同种分布，玻尔兹曼分布,

这在气体非常稀薄，粒子

的波动性可以忽略下成

立，气体稀薄导致粒子间

的距离比德波罗意波长得

多，