高考数学一轮复习几何证明选讲课时训练选修4-1

选修4­1几何证明选讲第1课时圆的进一步认识1.(2017·镇江期末)如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，点E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点．求证：直线PC经过点E.证明：连结AE，EB，OE，由题意知∠AOE＝∠BOE＝90°，因为∠APE是圆周角，∠AOE是同弧上的圆心角，所以∠APE＝eq\f(1,2)∠AOE＝45°.同理可得，∠BPE＝eq\f(1,2)∠BOE＝45°，所以PE是∠APB的平分线，又PC是∠APB的平分线，所以PC与PE重合，所以直线PC经过点E.2.如图，圆O的两弦AB，CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q.求证：PF＝PQ.证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以ADF＝ABC.因为PF∥BC，所以AFP＝ABC.所以AFP＝FDP.又因为APF＝FPD，所以△APF∽△FPD.所以eq\f(PF,PA)＝eq\f(PD,PF).所以PF2＝PA·PD.因为PQ与圆O相切，所以PQ2＝PA·PD.所以PF2＝PQ2.所以PF＝PQ.3.如图，圆O与圆P相交于A，B两点，点P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F.若CD＝2，CB＝2eq\r(2)，求EF的长．解：连结PB，∵BC切圆P于点B，∴PB⊥BC.又CD＝2，CB＝2eq\r(2)，由切割线定理得CB2＝CD·CE，∴CE＝4，DE＝2，BP＝1.∵EF⊥CE，∴△CPB∽△CFE，∴eq\f(EF,PB)＝eq\f(CE,CB)，EF＝eq\r(2).4.如图，AB，AC是圆O的切线，ADE是圆O的割线，求证：BE·CD＝BD·CE.证明：∵AB是圆O的切线，∴∠ABD＝∠AEB.∵∠BAD＝∠EAB，∴△BAD∽△EAB.∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(AB,AE).同理eq\f(CD,CE)＝eq\f(AC,AE).∵AB，AC是圆O的切线，∴AB＝AC.∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(CD,CE)，即BE·CD＝BD·CE.5.(2017·南通、泰州模拟)如图，已知△ABC内接于圆O，连结AO并延长交圆O于点D，∠ACB＝∠ADC.求证：AD·BC＝2AC·CD.证明：证明：连结OC.因为∠ACB＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC，所以∠ACB＝∠ABC.因为OC＝OD，所以∠OCD＝∠ADC.所以∠ACB＝∠OCD.所以△ABC∽△ODC.所以eq\f(AC,OC)＝eq\f(BC,CD)，即AC·CD＝OC·BC.因为OC＝eq\f(1,2)AD，所以AD·BC＝2AC·CD.6.(2017·苏北三市模拟)如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且点A为弧MN的中点，点D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的大小．解：连结AN，DN.因为A为弧MN的中点，所以∠ANM＝∠ADN.而∠NAB＝∠NDB，所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB，即∠BCN＝∠ADB.又∠ACN＝3∠ADB，所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°，故∠ADB＝45°.7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以边AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与边AB，AC分别交于点E，F，EC与圆O交于点D，连结AD并延长交BC于P.(1)求证：AE·AB＝AD·AP.(2)已知AE＝EB＝4，AD＝5，求AP的长．(1)证明：连结EF，则∠AEF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴B，C，F，E四点共圆．则∠AFE＝∠B.∵∠ADE＝∠AFE，∴∠ADE＝∠B.∴B，P，D，E四点共圆．则AE·AB＝AD·AP.(2)解：∵AE＝EB＝4，AD＝5，∴AB＝8.由(1)AE·AB＝AD·AP，得AP＝eq\f(32,5).8.(2017·苏锡常镇二模)如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC.证明：连结OD，设圆的半径为R，BE＝x，则OD＝R，DE＝2BE＝2x，在Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2＝OC•OE，∴R2＝OC(R＋x)①.∵直线DE切圆O于点D，∴DE2＝BE•AE，∴4x2＝x(2R＋x)②，∴x＝eq\f(2R,3).代入①，解得OC＝eq\f(3R,5)，∴BC＝OB－OC＝eq\f(2R,5)，∴2OC＝3BC.9.如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE.证明：连结BP，∵AB是圆O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠BPC＝90°.在Rt△BPC中，∵E是边BC的中点，∴BE＝EC，∴BE＝EP，∴∠1＝∠3.∵B，P为圆O上的点，∴OB＝OP，∴∠2＝∠4.∵BC切圆O于点B，∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠2＝90°，从而∠3＋∠4＝90°，∴∠OPE＝90°.∴OP⊥PE.10.(2017·金陵中学质检)如图，已知AB为圆O的直径，C，F为圆O上的两点，OC⊥AB，过点F作圆O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DA·DB.证明：连结OF.∵DF切圆O于F，∴∠OFD＝90°.∴∠OFC＋∠CFD＝90°.∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC.∵CO⊥AB于O，∴∠OCF＋∠CEO＝90°.∴∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，∴DF＝DE.∵DF是圆O的切线，∴DF2＝DB·DA.∴DE2＝DB·DA.11.(2017·南通、泰州期末)已知圆O的直径AB＝4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE＝2CD，求△OCE的面积．解：设CD＝x，则CE＝2x.因为CA＝1，CB＝3，由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE，所以1×3＝x·2x＝2x2，所以x＝eq\f(\r(6),2).取DE的中点H，连结OH，则OH⊥DE.因为OH2＝OE2－EH2＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))eq\