专题13 函数模型及其应用 2023年新高考数学一轮复习方法技巧讲义（原卷版）

高中数学精编资源2/2专题13函数模型及其应用【考点预测】1.几种常见的函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型，为常数且反比例函数模型，为常数且二次函数模型，，为常数且指数函数模型，，为常数，，，对数函数模型，，为常数，，，幂函数模型，为常数，2.解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;(3)解模：求解数学模型，得出结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．【题型归纳目录】题型一：二次函数模型，分段函数模型题型二：对勾函数模型题型三：指数函数、对数函数模型【典例例题】题型一：二次函数模型，分段函数模型例1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（

）A． B． C． D．例2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边、与运动，记，将的面积表示为关于的函数，则（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，例3．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入—成本）(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.例4．（2022·全国·高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)例5．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.【方法技巧与总结】1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.题型二：对勾函数模型例6．（2022·全国·高三专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（

）A． B． C． D．例7．（2022·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为___________．（本题中取进行计算）例8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm．(1)建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;(2)求的最大面积以及此时的的值．例9．（2022·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长，大扇形半径，设小扇形半径，弧度，则①关于x的函数关系式_________．②若雕刻费用关于x的解析式为，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．【方法技巧与总结】1.解决此类问题一定要注意函数定义域；2.利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.题型三：指数函数、对数函数模型例10．（2022·全国·模拟预测）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等、目视星等和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为，目视星等为，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为（

）A． B． C． D．例11．（2022·河南·模拟预测（文））金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度与其采摘后时间（天）满足的函数解析式为，．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知，结果取一位小数）（

）A．4.0天 B．4.3天 C．4.7天 D．5.1天例12．（2022·陕西西安·三模（理））2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中△v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为（

）（参考数据：，，A．15% B．30% C．35% D．39%例13．（2022·贵州·模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）（

）A．天 B．天 C．天 D．天例14．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%例15．（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（

）A． B． C． D．例16．（2022·贵州贵阳·二模（理））2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数，（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；（单位：秒）表示地震动总持时；是衰减因子，控制下降段衰减的快慢．在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2，则当秒时，地震动时程强度包络函数值是（

）A． B．1 C．9 D．【方法技巧与总结】1.在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型.2.在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像求解最值问题.【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金R的表达式为（其中P为租赁资产的价格；N为租赁期数，可按月、季、半年、年计；i为折现率；r为附加率）．某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末支付，已知设备的价格为84万元，折现率为8%，附加率为4%，若每年年末应付租金为24.08万元，则该设备的租期为（

）A．4年 B．5年 C．6年 D．7年3．（2022·全国·模拟预测）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍4．（2022·全国·模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金．确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额．计算公式为：（：工程预付款起扣点，：承包工程合同总额，：工程预付款数额，：主要材料及构件所占比重）．某施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，该工程预付款起扣点为160万元，主要材料及构件所占比重为65%，则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的（

）A．12% B．15% C．18% D．21%5．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前污染物减少，那么再过后污染物还剩余（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·模拟预测）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C（单位：）随时间t（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（

）A．3h B．4h C．5h D．6h7．（2022·云南曲靖·二模（文））某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（

）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元8．（2022·全国·高三专题练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（

）A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习（理））某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（

）A．出租车行驶，乘客需付费8元B．出租车行驶，乘客需付费9.6元C．出租车行驶，乘客需付费25.45元D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用10．（2022·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（

）A．B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时11．（2022·全国·高三专题练习）“双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；（3）如果购物总额超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；（4）如果购物总额超过元，其中元内的按第（3）条给予优惠，超过元的部分给予折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）A．如果购物总额为78元，则应付款为73元B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元12．（2022·全国·高三专题练习）某一池溏里浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，下列说法中正确的说法是（）A．浮萍每月增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到所经过时间分别为，则三、填空题13．（2022·全国·模拟预测）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）14．（2022·辽宁丹东·模拟预测）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长4%，则2026年的利润是______万元．（结果精确到1万元）15．（2022·北京·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．其中所有正确结论的序号是__________．16．（2022·全国·高三专题练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．四、解答题17．（2022·上海交大附中高三期中）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为．(1)求实数，的值及助滑道曲线的长度．(2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）．18．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点，以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系．设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点B距离最近的垃圾投放点的距离．(1)若，求、、的值，并写出的函数解析式；(2)若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？19．（2022·上海市松江二中高三开学考试）某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气