三角函数专题复习09三角形中的最值、范围问题 训练精讲【老师版】

高中数学精编资源2/209三角形中的最值、范围问题【题型解读】【知识储备】三角形中的最值范围问题处理方法1.利用基本不等式求最值、范围-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体,一般可先由余弦定理得到等式,再由基本不等式求最值或范围,但是要注意“一正二定三相等”,尤其是取得最值的条件.2.转为三角函数求最值、范围-化边为角如果所求整体结构不对称,或者角度有更细致的要求,用余弦定理和基本不等式难以解决,这时候可以转化为角的函数,消元后使得式子里只有一个角,变为三角函数最值、范围问题进行解决.要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边【题型精讲】【题型一与角有关的最值、范围问题】例1(2022·全国·高三课时练习)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsinA－eq\r(3)a=0.(1)求角B的大小;(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围.【解析】(1)由正弦定理,得2sinBsinA=eq\r(3)sinA,又在△ABC中,sinA>0,故sinB=eq\f(\r(3),2),由题意得B=eq\f(π,3).(2)由A＋B＋C=π,得C=eq\f(2π,3)－A.由△ABC是锐角三角形,得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).由cosC=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))=－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA,得cosA＋cosB＋cosC=eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(1,2)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).例2(2022·全国·高三专题练习)已知中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求角的大小;(2)求的取值范围.【答案】(1)(2), 【解析】(1)因为,又,所以,故,由为三角形的内角得;(2)由(1)知,,,因为,所以,所以,所以,,故的取值范围,．【题型精练】1.(2022·全国高三单元测试)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为S,若.(1)求角C;(2)求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)由题设,,而,所以,又,所以,又,且,所以且,则.(2)由(1),,由,则.所以,故.2.(2022·合肥百花中学高三期末)已知中,角的对边分别为.若,则的最大值为(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵,∴,∴由正弦定理得：,即,,则,(当且仅当,即时取等号),的最小值为.∵,∴,∴的最大值为.故选：C.3.(2022·全国高三课时练习)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c－a)cosB－bcosA=0.(1)若b=7,a＋c=13,求△ABC的面积;(2)求sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))的取值范围.【解析】(1)因为(2c－a)cosB－bcosA=0,由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA=0,则2sinCcosB－sin(A＋B)=0,求得cosB=eq\f(1,2),B=eq\f(π,3).由余弦定理得b2=a2＋c2－2accosB,即49=(a＋c)2－2ac－2accosB,求得ac=40,所以△ABC的面积S=eq\f(1,2)acsinB=10eq\r(3).(2)sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))=sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A－\f(π,6)))=sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))=－cos2A＋cosA＋1,A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))),令u=cosA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)),y=－u2＋u＋1∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(5,4))).4.(2022·山东潍坊高三期末)在中,,,分别是角,,的对边,并且.(Ⅰ)已知_______,计算的面积;请从①,②,③这三个条件中任选两个,将问题(Ⅰ)补充完整,并作答.(Ⅱ)求的最大值.【解析】(Ⅰ)∵b2+∴由余弦定理知,cosA=b2+c2-a选择①②：∵b2∴4+c2-7=2c,即c2-2c-3=0,解得c=3∴∆ABC的面积S=12选择①③：由正弦定理知,bsin∵sinC=2sinB,∴∴b2+c2-7=bc(*),由*∴∆ABC的面积S=1选择②③：由正弦定理知,bsin∵sinC=2sinB,∴∆ABC的面积S=1(Ⅱ)由(Ⅰ)知,A=π3,∴∴cosB+∵0<B<2π3,∴∴sinB+π6∈(1【题型二与边有关的最值、范围问题】例3(2022·广西河池·高三期末)在中,内角,,的对边分别为,,,若,,则边上的中线长的取值范围是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】是边上的中线,在中,①,在中,②.又,,由①＋②得.由余弦定理得.,,,即,.故选C.例4(2022·山东青岛·高三期末)在中,角、、所对的边分别为、、,且满足.(1)求角的大小;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)在中,,∵,∴,即,由正弦定理得：,∴,∴,又,∴,∴.(2)由正弦定理得：,∴,,∴,∵,∴,即,∴,,∴,即.【题型精练】1.(2022·河南·高三期中)在中,,,D为BC中点,则AD最长为_________.【答案】3【解析】如图所示,设,,则,在中,由余弦定理,可得,即,①在中,由余弦定理,可得,即,②由①+②,可得,在中,由余弦定理,可得,即,解得,所以,即的最大值为.故答案为：.2.(2022·甘肃兰州·高三期中)已知分别为三个内角的对边,.(1)求;(2)若,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：,,即,即,得,即,,,又,所以.(2)解：因为,,由正弦定理其中,由于,所以当时,3.(2022·四川资阳市高三月考)在锐角中,角,,所对边分别为,,,若,,则的取值范围是______.【答案】【解析】因为,,所以由余弦定理得,所以,所以,由正弦定理得,所以,所以,因为为锐角三角形,所以,即,解得,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以的取值范围是【题型三与周长有关的最值、范围问题】例5(2022·河南·高三阶段练习)在中,角所对的边分别为,已知,且的面积,则周长的最大值是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】,即,又,解得,,又,由余弦定理可得：,,即当且仅当时取等号,则周长的最大值是,故选：B例6(2022·山东济南市高三月考)已知锐角的内角的对边分别为,且.(1)求;(2)当时,求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)∵,∴,∴,∵,∴,∴.(2)∵,∴.∵为锐角三角形,∴,∴由正弦定理可得：,周长,∵,∴,∴周长的取值范围是.【题型精练】1.(2022·陕西高三期中)在∆ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3(1)若cos∠CDB=-55,求∆ABC的面积;(2)求【答案】(1)8(2)8+4【解析】(1)设CD=m,则CB=2m,在∆BCD中,由余弦定理知,cos∠CDB=解得m=5,∴CD=由余弦定理知,cos∠CBD=∴sin∠CBD=故∆ABC的面积为S=1(2)由(1)知,CB=m,CB=2m,cos∠CDB=∴cos∠CDA=-cos∠CDB=3-m22mAC2=25+m∴AC=210-设∆ABC的周长为z,则z=AB+BC+AC=8+2m+当且仅当m=10-m2,即m=5故∆ABC的周长的最大值为8+452.(2022·绵阳南山中学实验学校月考)设锐角的三个内角的对边分别为且,,则周长的取值范围为(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】因为△为锐角三角形,所以,,,即,,,所以,;又因为,所以,又因为,所以;由,即,所以,令,则,又因为函数在上单调递增,所以函数值域为,故选C3.(2022·济南省实验月考)已知在中,角,,的对边分别为,,,满足.(1)求角的大小;(2)若为锐角三角形,,求周长的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)因为,所以,即,所以,整理可得,所以可得,因为,可得,所以,可得.(2)由正弦定理,且,所以,;所以.因为为锐角三角形,所以得,解得.所以;即周长的取值范围是.【题型四与面积有关的最值、范围问题】例7(2022·贵州金沙·高三阶段练习)在中,,D是BC上一点,且,,则面积的最大值是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】设,,,由余弦定理可得,,消去得,又,联立消去x得所以,当且仅当时等号成立,因此.故选：B.例8(2022·湖南益阳·高三期末)为边上一点,满足,,记,.(1)当时,且,求的值;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)设长为,当时,,,则,因为,所以,即所以,得,所以,所以.(2)在中,,则,由正弦定理得,又,所以,,则的面积,又,所以因为,所以,所以当,即时,有最大值.故面积的最大值为：.【题型精练】1.(2022·山东省济宁市高三月考)已知,,分别是内角,,的对边,,当时,面积的最大值为______.【答案】【解析】解:根据正弦定理边角互化结合得,由于,,所以,即,因为,所以因为,所以由基本不等式得,即,当且仅当时等号成立,所以,即面积的最大值为.故答案为：2.(2022·湖南益阳月考)(多选)设的内角,,所对的边分别为,,,,且,若点是外一点,,.下列说法中,正确的命题是(

)A.的内角 B.的内角C.的面积为 D.四边形面积的最大值为【答案】ABD【解