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文档简介
安徽省定远县藕塘中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数(,,)的部分图象如图所示,则的值分别为()A.2,0 B.2, C.2, D.2,2.函数在上的大致图象是()A. B.C. D.3.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B. C. D.4.已知为等差数列,若,,则()A.1 B.2 C.3 D.65.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()A.-2 B.-4 C.3 D.-36.设,满足约束条件,若的最大值为,则的展开式中项的系数为()A.60 B.80 C.90 D.1207.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.8.设集合,,若,则()A. B. C. D.9.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.10.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为A. B. C. D.11.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的的值为()A. B. C. D.12.下列判断错误的是()A.若随机变量服从正态分布,则B.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的充分不必要条件C.若随机变量服从二项分布:,则D.是的充分不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点是椭圆上一点,过点的一条直线与圆相交于两点,若存在点,使得,则椭圆的离心率取值范围为_________.14.已知,则展开式中的系数为__15.函数的极大值为______.16.在中,,,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,底面ABCD是边长为2的菱形,,平面ABCD,,,BE与平面ABCD所成的角为.(1)求证:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.18.(12分)已知函数(I)若讨论的单调性;(Ⅱ)若,且对于函数的图象上两点,存在,使得函数的图象在处的切线.求证:.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系.(1)设直线l的极坐标方程为,若直线l与曲线C交于两点A.B,求AB的长;(2)设M、N是曲线C上的两点,若,求面积的最大值.20.(12分)设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线过焦点的弦,已知以为直径的圆与相切于点.(1)求的值及圆的方程;(2)设为上任意一点,过点作的切线,切点为,证明:.21.(12分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点的极坐标为,,求的值.22.(10分)设函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)证明:,恒成立.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题意结合函数的图象,求出周期,根据周期公式求出,求出,根据函数的图象过点,求出,即可求得答案【详解】由函数图象可知:,函数的图象过点,,则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用,在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件,计算三角函数的周期、最值,代入已知点坐标求出结果2、D【解析】
讨论的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时,,则,所以函数在上单调递增,令,则,根据三角函数的性质,当时,,故切线的斜率变小,当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;当时,,则,所以函数在上单调递增,令,,当时,,故切线的斜率变大,当时,,故切线的斜率变小,可排除C,故选:D【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题.3、C【解析】
联立方程解得M(3,),根据MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是边长为4的等边三角形,计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x轴的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选:C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.4、B【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出.【详解】∵{an}为等差数列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故选:B.【点睛】本题考查等差数列通项公式求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5、D【解析】
设,,设:,联立方程得到,计算得到答案.【详解】设,,故.易知直线斜率不为,设:,联立方程,得到,故,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积,设直线为可以简化运算,是解题的关键.6、B【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到,再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,,即,故表示直线与截距的倍,根据图像知:当时,的最大值为,故.展开式的通项为:,取得到项的系数为:.故选:.【点睛】本题考查了线性规划求最值,二项式定理,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7、C【解析】
由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.8、A【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【点睛】本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.9、A【解析】
阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.10、C【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,因为函数的图象的一条对称轴是,所以,即,所以,又,所以的最小值为.故选C.11、C【解析】
根据给定的程序框图,计算前几次的运算规律,得出运算的周期性,确定跳出循环时的n的值,进而求解的值,得到答案.【详解】由题意,,第1次循环,,满足判断条件;第2次循环,,满足判断条件;第3次循环,,满足判断条件;可得的值满足以3项为周期的计算规律,所以当时,跳出循环,此时和时的值对应的相同,即.故选:C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题,其中解答中认真审题,得出程序运行时的计算规律是解答的关键,着重考查了推理与计算能力.12、D【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,依次对四个选项加以分析判断,进而可求解.【详解】对于选项,若随机变量服从正态分布,根据正态分布曲线的对称性,有,故选项正确,不符合题意;对于选项,已知直线平面,直线平面,则当时一定有,充分性成立,而当时,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要条件,故选项正确,不符合题意;对于选项,若随机变量服从二项分布:,则,故选项正确,不符合题意;对于选项,,仅当时有,当时,不成立,故充分性不成立;若,仅当时有,当时,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确,符合题意.故选:D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,考查理解辨析能力与运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设,设出直线AB的参数方程,利用参数的几何意义可得,由题意得到,据此求得离心率的取值范围.【详解】设,直线AB的参数方程为,(为参数)代入圆,化简得:,,,,存在点,使得,,即,,,,故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解,考查直线、圆与椭圆的综合运用,考查直线参数方程的运用,属于中档题.14、1.【解析】
由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,
它表示4个因式的乘积.
故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项.
故展开式中的系数.
故答案为:1.【点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.15、【解析】
先求函的定义域,再对函数进行求导,再解不等式得单调区间,进而求得极值点,即可求出函数的极大值.【详解】函数,,,令得,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,当时,函数取到极大值,极大值为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意定义域优先法则的应用.16、1【解析】
由已知利用余弦定理可得,即可解得的值.【详解】解:,,,由余弦定理,可得,整理可得:,解得或(舍去).故答案为:1.【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)要证明平面平面BDE,只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可;(2)以O为坐标原点,OA,OB,OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系,分别求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【详解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,设AC,BD交于O,取BE的中点G,连FG,OG,,,四边形OCFG是平行四边形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O为坐标原点,OA,OB,OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系∵BE与平面ABCD所成的角为,,,,,,.,设平面BEF的法向量为,,,设平面的法向量设二面角的大小为..【点睛】本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算,考查学生的计算能力,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.18、(1)见解析(2)见证明【解析】
(1)对函数求导,分别讨论,以及,即可得出结果;(2)根据题意,由导数几何意义得到,将证明转化为证明即可,再令,设,用导数方法判断出的单调性,进而可得出结论成立.【详解】(1)解:易得,函数的定义域为,,令,得或.①当时,时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为.②当时,时,,函数单调递减;或时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为,.③当时,时,,函数单调递增;此时,的减区间为.综上,当时,的减区间为,增区间为:当时,的减区间为,增区间为.;当时,增区间为.(2)证明:由题意及导数的几何意义,得由(1)中得.易知,导函数在上为增函数,所以,要证,只要证,即,即证.因为,不妨令,则.所以,所以在上为增函数,所以,即,所以,即,即.故有(得证).【点睛】本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可,属于常考题型.19、(1);(2)1.【解析】
(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(2),,由(1)通过计算得到,即最大值为1.【详解】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为,即;再将,,代入上式,得,故曲线C的极坐标方程为,显然直线l与曲线C相交的两点中,必有一个为原点O,不妨设O与A重合,即.(2)不妨设,,则面积为当,即取时,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,三角形面积的最值问题,是一道容易题.20、(1)2,;(2)证明见解析.【解析】
(1)由题意得的方程为,根据为抛物线过焦点的弦,以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性,可得,圆心为,半径为2.(2)设,的方程为,代入的方程,得,根据直线与抛物线相切,令,得,代入,解得.将代入的方程,得,得到点N的坐标为,然后求解.【详解】(1)解:由题意得的方程为,所以,解得.又由抛物线和圆的对称性可知,所求圆的圆心为,半径为2.所以圆的方程为.(2)证明:易知直线的斜率存在且不为0,设,的方程为,代入的方程,得.令,得,所以,解得.将代入的方程,得,即点N的坐标为,所以,,故.【点睛】本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.21、(1)曲线的直角
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