湖北省市级示范高中智学联盟2025届高三年级 12 月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省市级示范高中智学联盟2025届高三年级12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=x∈Ry=lg4−xx+2，B=A.0,1,2,3 B.−1,0,1,3

C.−2,−1,0,1,2,3 D.−2,−1,0,1,32.若复数z1，z2在复平面内对应的点关于x轴对称，且z1=1+i，则复数A.1 B.−1 C.i D.−i3.已知等差数列an的公差为−2，若a1,a3,a4成等比数列，Sn是A.8 B.6 C.−10 D.04.已知随机变量ξ∼N1,σ2，且Pξ≤−1=Pξ≥aA.9 B.3 C.92 D.5.已知ΔABC的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3a=2b，B=2A，则sinB=(

)A.−18 B.18 C.−6.将函数f(x)=sin2ωx+π3(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后与函数g(x)=A.92 B.112 C.1327.已知函数fx=x2−2,x≥0,x+4,x<0,若fA.−∞,−1515,或1515,+∞ 8.如图，底面同心的圆锥高为305，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且AB//CD，AB=CD，当四边形ABCD面积最大时，点O到平面PBC的距离为(

)

A.65 B.265 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的有(

)A.函数y=13x2−2x在1,+∞上单调递增

B.函数fx的定义域是−2,2，则函数fx+1的定义域为−3,1

C.不等式xx210.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=22，AP=AB=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动(不含端点)，则(

)A.存在点M使得BD⊥AM

B.四棱锥P−ABCD外接球的表面积为12π

C.直线PC与直线AD所成角为π6

D.当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥P−ADMN的体积是11.设函数fx=12A.∀ω∈0,1,fx在−π6,π4上单调递减

B.若ω=1且fx1−fx2=2，则x1−x2min=π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数fx=9x−a13.若n为一组从小到大排列的数−1，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则2x−y+1n的展开式中x2y14.已知a>0，b∈R，若关于x的不等式ax−2x2+bx−8≥0在0,+∞上恒成立，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知数列an满足1a1+2a2+3a3+⋯+nan=16.(本小题12分)

在ΔABC中，内角A,B,C的对边长分别为a,b,c，2a−csin(1)若b=2，求ΔABC面积的最大值；(2)若A=π3，在ΔABC边AC的外侧取一点D(点D在ΔABC外部)，使得DC=1，DA=2，且四边形ABCD的面积为5417.(本小题12分)若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ= cosθ1cosθ2.简称为三余弦定理。如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面

(1)求证：平面ACC1A1⊥平面BAD；(2)求平面ABC18.(本小题12分)

已知函数fx=ln(1)求fx(2)设函数ℎx=x2−x+m，若存在x1∈0,119.(本小题12分)黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中13的人计划只参观罗田天堂寨，另外23的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁．每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)从游客中随机抽取n人n∈N∗，记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.D

6.B

7.C

8.C

9.BD

10.BD

11.ACD

12.−1

13.−840

14.8

15.解：(1)当

n=1

时，得

a1=1当

n≥2

时，

1a1两式相减得：

nan=2n

，则检验：

a1=1

满足上式，故

an(2)由(1)知

an=则

Sn=故

12S两式相减可得：

12=12×故

Sn=2−

16.(1)解：由

2因为

B+C=π−A

，可得

a−csinA=b又由正弦定理得

a−ca=b2−c2由余弦定理得

cosB=a因为

0<B<π

，可得

B=π3

，所以

∠ABC=在

ΔABC

中，由余弦定理得

b2=即

4=a2+c2−a⋅c≥2ac−ac=ac所以

S▵ABC=所以

ΔABC

面积取得最大值

3

(2)解：设

∠ADC=θ(0<θ<π)

，则

S▵ACD=在

△ADC

中，由余弦定理得

AC2由(1)知，

∠ABC=π3

且

A=π3

，所以所以

S▵ABC=可得

SABCD=因为

0<θ<π

，故

sinθ−π3=1

，所以

θ−π3

17.解：(1)如图，过点

D

作

DE//AC

交

AA1

于

E

，连接

CE,BE

，设

AD∩CE=O连接

BO,∵AC⊥AA1又

CD=2DC1

，可得

CD=4∴

四边形

AEDC

为正方形，

∴CE⊥AD

，∵AC=AE,∠BAC=∠BAE,BA=BA

，∴▵BAC≅▵BAE,∴BC=BE

，∵O

为

CE

的中点，

∴CE⊥BO

因为

AD∩BO=O

，

AD,BO⊂

平面

BAD

，

∴CE⊥

平面

BAD

，又

∵CE⊂

平面

ACC1A1,∴

平面

ACC

(2)在

Rt▵BOC

中，

∵CO=12又

AB=4,AO=12AD=22

又

BO⊥CE,AD∩CE=O,AD,CE⊂

平面

AA1C1C,∴BO⊥

故建立如图空间直角坐标系

O−xyz

，

则

A2,−2,0

，

B0,0,2∴CB=C1B1设平面

AB1C1

的一个法向量为

m=x令

x1=6

，得

m设平面

ABC

一个法向量为

n=x2,y2令

y2=2

，得|cos ⟨故平面

ABC

与平面

AB1C1

18.解：(1)

f′x=1x−2f′1x

，

(x>0)

令

x=1故

fx=lnx−1当

x∈0,62

时，

f′x>0

，故

f当

x∈62,+∞

时，

f′x<0

，故

f故

fx

的单调增区间为

0,62

，单调减区间为

(2)

gg′x=2+2因为

2x2−x+2=2x−142所以

gx

在

0,1

上为增函数，故

gℎx=x2−x+m

故当

x∈1,2

时，

ℎxmax因为存在

x1∈0,1

，对任意的

x2∈1,2故

gxmax>ℎxmax

，即故

m<−3．

19.(1)解：由题意得，随机变量

X

的可能取值为

2,3,4

，可得

P(X=2)=(13)2=1P(X=4)=(23所以

X

的分布列如下表所示：X

2

3

4P144所以，数学期望为

E(X)=2×1(2)解：由这

n

人的合计得分为

n+1

分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，所以

Pn=Cn1⋅23⋅(由两式相减，可得

23×所以

i=1n(3)解：在随机抽取的若干人的合计得分为

n−1