2024-2025学年上海市松江区高一上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市松江区高一上学期期中考试数学检测试卷一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合，集合，若，则实数______.2.不等式的解集为______.3.函数的对称中心是______.4.已知，，则用、表示______.5.若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______.6.已知函数在区间上严格减，则的一个取值为______.7.若正数，满足，则的最小值是______.8.在平面直角坐标系中，设点，，，，定义：．若点，点为直线上的动点，则的最小值为______.9.人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中，均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍．10.已知常数，函数经过点、．若，则______.11.若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是______.12.已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14.标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）A． B． C． D．15.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．16.已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则（）A．， B．， C． D．三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）记全集，集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.

18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知函数（且）.（1）若在区间上的最大值与最小值之差为2，求实数的值；（2）若函数的值域为，求使得的实数的取值范围.

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为（米秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，．阶段0．准备1．人的反应2．系统反应3．制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数，其中.（1）若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围；（2）求不等式的解集；（3）已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合。如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围.

21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”.（1）当时，判断是否具有“性质”，并说明理由；（2）当时，证明：具有“性质”；（3）如果函数具有“性质”，求实数的取值范围.2024-2025学年上海市松江区高一上学期期中考试数学检测试卷一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合，集合，若，则实数______.【正确答案】0由，得到.解得（舍或0.2.不等式的解集为______.【正确答案】3.函数的对称中心是______.【正确答案】函数，显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得，而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为.4.已知，，则用、表示______.【正确答案】.5.若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______.【正确答案】设已知方程两根为，则，所以，解得或，又，即或，所以.6.已知函数在区间上严格减，则的一个取值为______.【正确答案】由题意知函数是偶函数，则.7.若正数，满足，则的最小值是______.【正确答案】4由题意可得，，当且仅当时等号成立，此时符合题意.所以的最小值为4.8.在平面直角坐标系中，设点，，，，定义.若点，点为直线上的动点，则的最小值为______.【正确答案】3设，则.9.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别.国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到.若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中，均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.【正确答案】1.5由题意，，所以，所以，所以2022年全球产生的数据量为，则2023年全球产生的数据量，所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍.10.已知常数，函数经过点、若，则______.【正确答案】4函数经过点、，则，，解得，，，则，解得（负值舍去）.11.若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是______.【正确答案】方程有四个不同的实数解，是方程的1个根，当时方程变为①.要使方程①有3个不为0的实数根，则函数和应有3个不同的交点，如图，显然不成立，当时与有一个交点，只需和有两个交点即可，联立，得.由，得.时和有两个交点.综上，关于的方程有四个不同的实数解的实数的取值范围是.12.已知集合，集合，其中.若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为______.【正确答案】由题意知，，则的最小值为，最大值为，所以，又因为，所以，又集合表示的区间为一个闭区间，则，化简可得，又，解得.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【正确答案】A由，又，所以，即，充分性成立；当时，即，显，时成立，必要性不成立；故“”是“”的充分非必要条件.故选：A.14.标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）A. B. C. D.【正确答案】C对于，有，所以，分析选项知C中与其最接近.故选：C.15.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D作出的图象如图所示：由，得，，可得，则，令，则，故.故选：D.16.已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则（）A.， B.， C. D.【正确答案】C集合当时，，当时，，则集合表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，，.故选：C.三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）记全集，集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）（1）.①当时，，②当时，，则，若，则，所以的取值范围为；（2）由（1）知由，则①，②，则的取值范围为.18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知函数（且）.（1）若在区间上的最大值与最小值之差为2，求实数的值；（2）若函数的值域为，求使得的实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）（1）①当时，则.②当时，则，则实数的值为.（2）因为函数的值域为，则，，则实数的取值范围为.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示.当车速为（米秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，.阶段0.准备1.人的反应2.系统反应3.制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？【正确答案】（1）2；（2）30（1）由题意得，所以，当时，，（秒，即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒.（2）根据题意要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由，得，所以即，解得，所以，故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在30千米小时.20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数，其中.（1）若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围；（2）求不等式的解集；（3）已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合。如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）见解析；（3）（1）由题意知，对任意的，恒成立，即恒成立，①当时，符合题意，②当时，则，则实数的取值范围.（2），当时，，当时，解集为，当时两根为，当时，即，解集为，当时，即，解集为，当时，即，解集为.（3），①分子分母都是二次三项式，若满足题意，则对应的图像都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，则，若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即，②当时，不符合题