数学自我小测：第二讲五与圆有关的比例线段

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则（）A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD22．如图，△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F。在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF;②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④3．如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线，若PA＝3,PB＝6，PC＝2，则PD等于(）A．4B．8C．9D．124．如图，PA，PB分别为⊙O的切线,切点分别为A，B,PA＝7，在劣弧上任取一点C，过点C作⊙O的切线,分别交PA，PB于点D，E，则△PDE的周长是（)A．7B．10C．14D．285．如图,两个等圆⊙O和⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA,OB，A，B是切点，则∠AOB等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________。7．过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9,则AB＝__________。8．如图，⊙O中的弦CD与直径AB相交于点E，M为AB延长线上一点，MD为⊙O的切线,D为切点，若AE＝2，DE＝4,CE＝3，DM＝4,求OB和MB的长．9．如图,P是⊙O外一点，PA是切线,A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B,C，PC＝2PA，D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E.证明:（1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.10．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径作圆，在AB上截取AE＝AD，其中AD为⊙O的切线，过E作AB的垂线交AC的延长线于F,求证：eq\f(AE，AB）＝eq\f（AC，AF）。

参考答案1．解析：由切割线定理得，CD2＝CE·CB，又在Rt△CAB中，△ACD∽△CBD,∴CD2＝AD·DB,∴CE·CB＝AD·DB.答案：A2．解析：由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠DBC。∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正确；由切割线定理知，∴②正确；由相交弦定理知，AE·ED＝BE·EC，∴③不正确;∵△ABF∽△BDF，∴eq\f（AB,BD)＝eq\f(AF,BF）.∴AF·BD＝AB·BF,∴④正确．故选D.答案：D3．解析：PT2＝PA·PB＝PC·PD，则PD＝eq\f（PA·PB，PC）＝eq\f(3×6，2)＝9。答案：C4．解析：∵DA，DC为⊙O的切线，∴DA＝DC。同理EB＝EC.∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝(PD＋DC)＋（PE＋CE)＝(PD＋DA）＋（PE＋EB）＝PA＋PB＝7＋7＝14。答案:C5．解析：如图，连接OO′，O′A。∵OA为⊙O′的切线，∴∠OAO′＝90°。又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切，∴OO′＝2O′A。∴sin∠AOO′＝eq\f(AO′，OO′)＝eq\f（1,2)，∴∠AOO′＝30°.又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°.答案:B6．解析：由题意知PA＝PB。PA切⊙O于点A，由切割线定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4。∴QA＝2，∴PA＝2×2＝4＝PB。答案：47．解析:如图所示:根据切割线定理，得PA2＝PB·PC，又因为PC＝（PB＋BC)，且PA＝6，BC＝9，所以36＝PB·(PB＋9），解得PB＝3.在△PAC中，根据余弦定理cos∠ACP＝eq\f(AC2＋PC2－AP2,2AC·PC）,即cos∠ACP＝eq\f（82＋122－62,2×8×12)＝eq\f(43,48)，在△ACB中，根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝82＋92－2×8×9×eq\f（43,48）＝16，所以AB＝4.答案：48．解:由于AB和CD是⊙O的两条相交弦,则AE·EB＝CE·ED。即2EB＝3×4。所以EB＝6，故AB＝AE＋EB＝2＋6＝8.所以OB＝eq\f(1，2）AB＝4。由于MD为⊙O的切线，则MD2＝MB·MA＝MB·(MB＋AB），所以42＝MB·(MB＋8），解得MB＝－4±4eq\r（2).由于MB＞0,则MB＝4eq\r(2)－4。9．分析:（1)欲证BE＝EC，由于在圆O中，可证＝，利用相等的圆周角所对的弧相等，则可证∠DAC＝∠BAD，故应由条件转化为角的关系上去寻找，我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理．对于(2），由结论中出现AD·DE，而D是AE与BC两弦之交点，联想到相交弦定理可得AD·DE＝BD·DC.从而使问题转化为证明2PB2＝BD·DC，而P,B，D,C在一条直线上,且D又是PC的中点,而PA＝PD，PA是切线，又联想到切割线定理得PA2＝PB·PC，充分利用关系转化可得答案．证明:(1)连接AB,AC,由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA。因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA,∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB,所以∠DAC＝∠BAD,从而＝.因此BE＝EC。(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.10．证明:在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，∠BAC＝∠FAE，∴Rt△ACB∽Rt△AEF.∴eq\f（AE,AF)＝eq\f（AC，AB）。又AC,AD均为⊙O的切线，且AD＝AE，∴AE＝AC.可得AB＝AF。∴eq\f（AE,AB）＝eq\f(AC,AF)。备选习题解：如图，设⊙O与△ABC各边的切点分别为F，G，H，则AF＝AH，