数学自我小测：第二讲四弦切角的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点,PC切⊙O于C点，∠PCD＝20°，则∠A等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()A．4B．5C．6D．73．如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是⊙O的切线,C为切点．若∠BCM＝38°，则∠B等于()A．32°B．42°C．52°D．48°4．如图,AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点C,AD⊥EF于点D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为（)A．2B．3C．2eq\r（3）D．45．如图,AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B,C，若∠ACE＝40°，则∠P＝__________。6．已知AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，如果∠PAB＝30°,那么∠AOB＝________.7．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝__________。8．如图，AB是⊙O的直径,直线CE与⊙O相切于点C，AD⊥CE于D.若AD＝1，∠ABC＝30°，求⊙O的面积．9．如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC＝BD，求证：AB＝ED。10．如图,BC为⊙O的直径，＝，过点A的切线与CD的延长线交于点E.（1)试猜想∠AED是否等于90°？为什么？（2）若AD＝2eq\r（5），ED∶EA＝1∶2,求⊙O的半径；(3）在（2)的条件下，求∠CAD的正弦值．

参考答案1．A2．解析：∠DCF＝∠DAC,∠DCF＝∠BAC,∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC。答案：B3．解析：连接AC,如图所示．∵MN切圆于C，BC是弦，∴∠BAC＝∠BCM。∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠B＋∠BCM＝90°,∴∠B＝90°－∠BCM＝52°.答案：C4．解析：连接BC，如图所示．∵EF是⊙O的切线，∴∠ACD＝∠ABC.又AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥EF，∴∠ACB＝∠ADC。∴△ADC∽△ACB.∴eq\f(AB，AC）＝eq\f(AC,AD)。∴AC2＝AD·AB＝2×6＝12,∴AC＝2eq\r（3）.答案：C5．解析:如图所示，连接BC,则∠ACE＝∠ABC,∠ACB＝90°。又∠ACE＝40°,则∠ABC＝40°.所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°，∠ACP＝180°－∠ACE＝140°.又AB是⊙O的直径，则∠ABP＝90°。又四边形ABPC的内角和等于360°，所以∠P＋∠BAC＋∠ACP＋∠ABP＝360°。所以∠P＝80°.答案:80°6．解析：∵弦切角∠PAB＝30°，∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°,所对的圆心角等于60°.答案：60°7．解析：连接OC.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC。又BC＝CD,∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD。又CE为圆O的切线，则OC⊥CE。∵∠ACE为弦切角,∴∠ACE＝∠B.∴∠ACE＋∠CAD＝90°。∴CE⊥AD。又AC⊥CD，∴CD2＝ED·AD＝2×6＝12，即CD＝2eq\r（3).∴BC＝2eq\r(3)。答案：2eq\r(3）8．解：∵DE是切线，∴∠ACD＝∠ABC＝30°。又∵AD⊥CD,∴AC＝2AD＝2.又∵AB是直径,∴∠ACB＝90°。又∵∠ABC＝30°,∴AB＝2AC＝4，∴OA＝eq\f（1,2）AB＝2.∴⊙O的面积S＝π·OA2＝4π。9．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA＝∠DBA。又由于∠PGD＝∠EGA,故∠DBA＝∠EGA,所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA。由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直径．（2）连接BC,DC。由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°。在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB。于是∠DAB＝∠CBA。又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由（1）得ED＝AB.10．解：(1)∠AED＝90°。证明：连接AB，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°.又∵AE切⊙O于A,＝，∴∠EAD＝∠ACB。又∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ADE＝∠ABC，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB＝90°.(2）∵AD＝2eq\r（5），DE∶EA＝1∶2，∠AED＝90°，∴ED＝2，EA＝4.又AB＝AD＝2eq\r（5)，△EAD∽△ACB,∴eq\f(AD,BC）＝eq\f（ED,AB）.∴BC＝eq\f(AD·AB,ED)＝eq\f(2\r(5)2,2）＝10.∴⊙O的半径为5。(3)连接AB,过D作DF⊥AC于F.∵在△ABC中，AC＝4eq\r（5）；在△AEC中,CE＝8，∴CD＝6。又△CDF∽△CBA，∴eq\f（DF，AB)＝eq\f(CD,CB).∴DF＝eq\f(CD·AB，CB)＝eq\f(6×2\r(5)，10)＝eq\f（6\r(5）,5）。∴sin∠CAD＝eq\f(DF,AD)＝eq\f（\f（6\r（5）,5),2\r（5))＝eq\f（3,5）.备选习题分析：(1）很明显∠ABE＝∠ACD,只需证明∠BAE＝∠CAD,转化为证明∠BAE＝∠CDB，∠CDB＝∠DCN,∠DCN＝∠CAD.(2)转化为证明∠BEC＝∠ECB。证明:(1)∵BD∥MN，∴∠CDB＝∠DCN。又∠BAE＝∠CDB,∴∠BAE＝∠DCN。又直线MN是⊙O的切线，∴∠DCN＝∠CAD.∴∠BAE＝∠CAD.又∠ABE＝∠ACD,A