数学自我小测：不等式的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．如果a,b，c满足c〈b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab〉acB．c（b－a)〉0C．cb2〈ab2D．ac（a－c)〈02．若a，b，c∈R,a＞b,则下列不等式成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f（1,b）B．a2＞b2C．eq\f(a，c2＋1)>eq\f（b,c2＋1)D．a｜c|＞b｜c｜3．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是()A．<B．eq\r（a2）〈eq\r(b2)C．〈D．eq\r(－a）〈eq\r(－b)4．已知函数f（x）(0≤x≤1）的图象为一段圆弧(如图）,若0＜x1＜x2＜1,则（）A．eq\f（f（x1)，x1)<eq\f(f(x2），x2）B．eq\f（f（x1),x1)＝eq\f(f（x2),x2）C．eq\f(f（x1），x1）>eq\f（f(x2),x2)D．eq\f(f(x1），x1)≤eq\f（f(x2）,x2）5．若a＞0,b＞0，则不等式－b＜eq\f(1,x）＜a等价于(）A．－eq\f（1,b）＜x＜0或0＜x＜eq\f（1，a)B．－eq\f（1，a）＜x＜eq\f（1，b）C．x＜－eq\f(1,a）或x＞eq\f（1，b)D．x＜－eq\f(1，b)或x＞eq\f（1，a)6．给出下列命题：①若x〈y，则a2x〈a2y;②若x〈y，则x2n＋1<y2n＋1(n∈N＋)；③若x〉y〉1，则>．其中正确命题的序号是________．7．已知不等式:①a＜0＜b;②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a；⑤b＜a且ab＞0；⑥a＜b且ab＜0．其中能使eq\f(1，a)<eq\f（1,b)成立的是________．(填序号）8．若a＞b,且eq\f(1,a）〉eq\f（1，b）,求证:a＞0且b＜0．9．设m∈R，a＞b＞1,f（x）＝eq\f(mx,x－1)，试比较f（a)与f（b）的大小．10．甲、乙两人同时从寝室出发到教室,甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同,问甲、乙两人谁先到达教室？参考答案1．解析：∵c<b<a且ac<0，∴a〉0，c〈0．∴b可能为0,也可能不为0．∴cb2〈ab2不一定成立．答案：C2．解析：取a＝1,b＝0，排除选项A;取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D；显然eq\f（1，c2＋1)＞0，对不等式a＞b的两边同时乘以eq\f(1，c2＋1)，得eq\f（a,c2＋1）>eq\f（b，c2＋1)．故选C．答案：C3．答案：A4．解析：可在函数的图象上取点A(x1,f（x1）），B（x2，f（x2）),则线段OA，OB的斜率是kOA＝eq\f(f（x1),x1),kOB＝eq\f(f(x2),x2)．由图象可以看出kOA＞kOB，即eq\f（f（x1),x1）〉eq\f（f(x2),x2）．故选C．答案：C5．解析：－b<eq\f（1,x）〈ax＜－eq\f（1,b）或x＞eq\f(1，a）．答案：D6．解析：对于①，当a＝0时，a2x＝a2y，故命题①错误．对于②,由幂函数y＝x2n＋1(n∈N＋)是增函数这一性质可知:当x<y时,有x2n＋1<y2n+1，故命题②正确．对于③，由x＞y＞1，得0＜eq\f(1,x）＜eq\f(1，y)＜1，而函数y＝logax当0<a＜1时，在(0,＋∞）上单调递减，所以>＝－1＝〉，故命题③也正确．答案:②③7．解析：因为eq\f(1，a)<eq\f(1，b）eq\f(b－a,ab）＜0b－a与ab异号，然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都能使eq\f（1,a)＜eq\f（1,b）．答案：①②④⑤⑥8．证明：eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(1，a)>\f（1，b)⇒\f（1，a）－\f（1，b）＝\f（b－a,ab)〉0，a〉b⇒a－b>0⇒b－a<0)）eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab〈0,a＞b)）a＞0且b＜0．9．解：f(a）－f（b)＝eq\f(ma，a－1)－eq\f(mb，b－1)＝eq\f(m(b－a）,(a－1)（b－1))．∵a＞b＞1，∴b－a＜0，a－1＞0，b－1＞0．∴eq\f(b－a,（a－1）（b－1)）＜0．∴当m＞0时，eq\f（m(b－a),（a－1)（b－1）)＜0，∴f(a)＜f（b）；当m＜0时，eq\f(m（b－a)，（a－1)（b－1))＞0，∴f(a)＞f（b)；当m＝0时,eq\f（m(b－a),(a－1）（b－1))＝0,∴f（a)＝f(b)．10．分析：先根据条件，表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式，然后作差比较他们所用时间的多少，所用时间少的先到达教室．解:设总路程为s，步行速度为v1,跑步速度为v2，显然v1＜v2,甲到教室所用的时间为t1，乙到教室所用时间为t2，则t1＝eq\f（\f（s,2），v1）＋eq\f（\f(s,2),v2）＝eq\f(s(v1＋v2）,2v1v2），eq\f(t2，2）(v1＋v2）＝s．∴t2＝eq\f（2s,v1＋v2)．∴t1－t2＝eq\f(s（v1＋v2)2－4s