数学课堂探究：用样本的数字特征估计总体的数字特征

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究1．平均数、中位数、众数的区别与联系剖析：平均数在度量一组数据的集中化趋势的统计量中是应用最广泛的．计算平均数时全部数据都参加运算，因此，用它来反映一组数据的集中化趋势的代表性比较好．但是它也有缺点，主要的问题是平均数是根据一组数据中的全部数据来计算的,会受到数据中那些没有代表性的极端值的影响．因此，有时在计算平均数时,先剔除个别缺乏代表性的特殊值，所得到的结果可能会更具有代表性．中位数主要受一组数据中的中间位置上的数值的影响，用中位数来反映一组数据中各数据大小的一般水平并不很精确．但中位数计算简单，与平均数相比，中位数不受数据中极端值的影响．从这个意义出发，它可以作为数据平均指标的代表值．众数并没有通常意义上的“平均”的含义．但众数在数据中出现的次数最多，说明该数值在数据中最具有代表性．众数不会受到数据中极端值的影响，但并不是每一组数据都是具有众数的．对于分组数据而言,众数常常依赖于分组的情况，分组数改变时，众数可能就有较大的变化，稳定性较差．同时众数也可能是不唯一的．2．方差、极差和标准差的特点剖析：方差、极差和标准差是从不同角度描述一组数据的离散趋势的．它们各自的特点及应用如下：虽然极差没有充分利用数据，不能提供更确切的信息，但由于只涉及两个数据，计算非常简便，所以极差在实际现场检查时经常利用，但极差没有考虑各中间值．方差充分利用了所得到的数据，提供了更确切的信息．在统计中，方差能够较好地区别出不同组数据的分散情况或程度，但方差的单位是原始观测数据的单位的平方．而标准差能够和方差一样区分数据的分散情况，且其单位与原始观测数据的单位相同．(1）当标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(2）数据组x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2,标准差为s,则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为常数）的平均数为aeq\x\to(x）＋b，方差为a2s2，标准差为as．题型一用众数、中位数、平均数估计总体【例1】某工厂人员及工资构成如下表:人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123（1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数．(2）这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？分析:本题着眼于众数、中位数、平均数各自的特点，以及适用对象．解：(1）由题中表格可知：众数为200,中位数为220，平均数为(2200＋250×6＋220×5＋200×10＋100)÷23＝300(元/周）．（2)虽然平均数为300元/周，但从题中表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．反思平均数受数据中的极端值的影响较大,降低了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更客观．题型二用方差或标准差估计总体【例2】（2013江苏高考，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环），结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．解析：由题中数据可得eq\x\to(x)甲＝90，eq\x\to（x）乙＝90．于是seq\o\al(2，甲）＝eq\f（1,5）[（87－90）2＋(91－90）2＋（90－90）2＋(89－90）2＋(93－90)2]＝4,seq\o\al（2，乙）＝eq\f(1，5)[（89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90）2］＝2,由seq\o\al(2，甲)〉seq\o\al(2,乙），可知乙运动员成绩稳定．故应填2．答案：2反思对于常用的平均数、方差、标准差的公式要能够熟练记忆，不能记错公式，造成计算上的失误，使得统计的结果失去真实的意义．另外，应用求得的标准差的结论时，要特别注意标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小,数据的离散程度较小．题型三样本数字特征的应用【例3】画出下列四组数据的频率分布条形图，并说明它们的异同点．(1)5，5,5，5,5，5，5,5，5；(2）4,4,4，5，5，5，6,6,6；（3）3,3,4，4,5，6，6,7，7；（4）2,2,2，2，5,8，8,8，8．分析：比较四组数据的异同可从它们的平均数、标准差这些数字特征入手,分析它们的集中趋势或离散程度．解：四组数据的频率分布条形图如图所示．四组数据的平均数都是5，标准差分别是0．00，0．82,1．49,2．83．虽然它们有相同的平均数，但是它们的标准差不同,说明数据的离散程度是不一样的．反思频率分布条形图可以将我们所要求的平均数、众数、中位数、标准差等数据一一用图形直观显示出来，帮助我们获取有用的信息，特别是在对两组数据间进行比较时，应用非常方便．题型四易错辨析【例4】若10个正整数的平方和是208，平均数是4,则这组数据的方差为多少?将这组数据同时减去3，则新数据的平均数为多少？方差为多少?错解:s2＝eq\f(1,10)(xeq\o\al（2，1）＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,10）－10eq\x\to(x))＝16．8，这组数据都减去3后，平均数为4－3＝1,方差为16．8－9＝7．8．错因分析：对平均数、方差的公式不清楚，致使计算结果不正确．正解:由方差公式s2＝eq\f(1,n)［（x1－eq\x\to(x）)2＋（x2－eq\x\to(x））2＋…＋(xn－eq\x\to(x)）2］，展开整理可得s2＝eq\f（1,n)[(xeq\o\al(2，1)＋xeq\o\al(2，2)＋…＋xeq\o\al（2，n))－n（eq\x\to（x))2],这里由题设n＝10，xeq\o\al(2，1)＋xeq\o