数学课堂探究：演绎推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一假言推理假言推理的规则为“如果pq,p为真，则q为真”，要想验证q为真，若p是q的充分条件，则只要验证p为真即可．此种推理方法可以将所证问题进行合理迁移．有的问题需要借助p与q的关系，进行逆推进而求参．【典型例题1】已知函数f(x）＝meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x））)的图象与函数h（x）＝eq\f(1，4)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，x)）)＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求m的值；（2)若g(x)＝f(x）＋eq\f(a，4x)在区间(0，2]上为减函数,求实数a的取值范围．思路分析：应用假言推理，根据对称的性质，f(x)图象上的点关于点A（0,1)的对称点在h(x）的图象上，代入h（x）即可求得．解：（1）设P(x，y）为函数h（x)图象上的任一点，点P关于点A的对称点为Q（x′，y′)，则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－x，,y′＝2－y。）)∵点Q（x′,y′)在函数f（x）＝meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1，x）））的图象上，∴y′＝meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x′＋\f（1，x′））).将x′＝－x，y′＝2－y代入上式，得2－y＝meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－x－\f(1，x））)。整理，得y＝meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，x）））＋2。又点P(x，y）满足h(x）＝eq\f(1,4)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x）））＋2，即y＝eq\f（1,4)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x))）＋2，∴m＝eq\f（1，4).（2）由（1）知，g（x)＝eq\f（1,4）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1,x)）)＋eq\f（a，4x)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1＋a，x)）).设x1,x2是区间（0，2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则g(x1)－g（x2)＝eq\f(1，4）（x1－x2)·eq\f(x1x2－(1＋a），x1x2)＞0对一切x1，x2∈（0，2］恒成立．∴x1x2－（1＋a)＜0对一切x1，x2∈(0，2］恒成立．∵x1x2的最大值为4，∴1＋a＞4，∴a的取值范围是（3，＋∞)．探究二三段论推理三段论推理用集合的观点来讲，就是:若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素也都具有性质P。【典型例题2】已知△ABC中,∠A＝30°，∠B＝60°,求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B.∴a＜b.其中,画线部分是演绎推理的（)A．大前提B．小前提C．结论D．三段论答案：B点评演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略．探究三传递性关系推理传递性关系推理的推理规则是“若aRb，bRc，则aRc”．要注意与三段论推理的形式及实质区别开来，三段论推理中的每一步都是一种逻辑上的衔接，且有大前提、小前提、结论三个部分，而传递性关系推理要用a，b，c之间的关系来衔接．【典型例题3】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1,求证：eq\r(a＋\f（1，2）)＋eq\r（b＋\f(1，2)）≤2。思路分析：本题属于条件不等式的证明，直接用条件a＋b＝1来推理,方向不够明确,但只要注意所求证式子的特点,我们不难想到利用传递性关系推理进行证明．证明：∵a＞0,b＞0，且1＝a＋b≥2eq\r（ab），∴ab≤eq\f（1,4）。∴eq\f（1,2)(a＋b)＋ab＋eq\f(1，4）≤1.∴eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,2））)\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，2））)）≤1。∴2＋2eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,2））)\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，2））)）≤4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，2)））＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,2））)＋2eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1，2）)）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,2）））)≤4.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a＋\f(1，2)）＋\r（b＋\f(1,2)）)）2≤4。∴eq\r（a＋\f(1，2)）＋eq\r（b＋\f(1，2))≤2.探究四完全归纳推理完全归纳推理要求把所有研究对象都要进行归纳，从而得到一个结论,完全归纳推理可以用来证明命题；而归纳推理实际上是不完全归纳推理,它是合情推理的一种形式，能产生一些结论，但需严格证明后方知真假，不完全归纳推理不能用来证明命题．【典型例题4】(教材改编题)设f（n)＝n2＋n＋41，n∈{1，2,3,…，10}，试证明f（1）,f(2)，f(3），…，f（10）都是质数．思路分析:令n取1,2,3，…，10得出f（1),f(2)，…，f（10）再判断即可．解：f（1）＝12＋1＋41＝43，f（2)＝22＋2＋41＝47，f（3）＝32＋3＋41＝53，f(4）＝42＋4＋41＝61，f（5)＝52＋5＋41＝71,f(6）＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97,f（8）＝82＋8＋41＝113,f(9）＝92＋9＋41＝131,f（10）＝102＋10＋41＝151.由上可知,n∈{1，2,3，…，10}时,f(n)＝n2＋n＋41均为质数．点评若将本例题中的“n∈｛1,2，3,…，10｝”改为“n∈N＋”结论就不成立了，可举反例f（40）来说明．探究五易错辨析易错点:在应用三段论推理来证明问题时，首先应明确什么是问题中的大前提和小前提．在应用三段论进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式任何一个出现错误,都可能导致结论错误．【典型例题5】如图，在△ABC中，AC＞BC,CD是AB边上的高．求证:∠ACD＞∠BCD.错解：证明：在△ABC中,因为CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD。错因分析:上面的证明过程中，小前提由AD＞BD