数学课堂探究：数系的扩充与复数的引入第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一复数两种几何意义的应用1．复数、点与向量有如下对应关系：2．对复平面内的点与向量的一一对应的理解要明确三点:(1)复数与向量之间建立一一对应关系的前提是向量的起点都是原点O，若向量的起点不统一，是原点以外的点，复数与向量之间就不能建立一一对应关系．（2)Z（a，b）与向量是复数z＝a＋bi(a，b∈R）的另外两种表示形式，它们都是复数z的几何表示．这种对应关系的建立，为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件．（3)为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi（a，b∈R)说成点Z或说成向量，并且规定：相等的向量表示同一个复数．【典型例题1】(1)设z＝(2m－3）＋（7＋3m）i对应的点Z在第二象限，则实数m的取值集合是__________．解析：由题意可知，点Z的坐标为(2m－3，7＋3m），因为点Z在第二象限，故eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－3<0，，7＋3m>0，))解得－eq\f(7,3）＜m＜eq\f(3,2)。答案：eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（7,3)，\f(3，2))）(2）若向量a的坐标为（x，y)，则它对应的复数应是（）A．x＋yiB．y＋xiC．x＋yi或y＋xiD．x＋yi或x－yi答案：A探究二共轭复数关于共轭复数的问题一定要清楚只有两个复数实部相等，而虚部互为相反数才是共轭复数这一规定．在复平面内，表示两个共轭复数的点是关于实轴对称的．【典型例题2】（2014山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则a＋b等于(）A．1B．2C．3D．4解析：由题意可知a＝2，且－1＝－b,∴a＋b＝3.答案：C探究三复数模的问题1．任意复数的模都表示一个非负实数，若z＝a＋bi（a，b∈R），则|z｜＝eq\r（a2＋b2）。2．复数的模表示该复数在复平面内的对应点与原点的距离，利用这一意义可解决复数模问题中的最值问题．【典型例题3】(1）已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z｜的取值范围是（）A．（1,5）B．(1,3)C．（1，eq\r（5）)D．(1，eq\r（3)）解析：∵｜z|＝eq\r(a2＋1），而0＜a＜2,∴1＜a2＋1＜5，∴1＜|z|＜eq\r(5)。答案:C（2）已知复数z＝3＋ai，且｜z|＜4，则实数a的取值范围是__________．解析：方法一：∵z＝3＋ai(a∈R），∴|z｜＝eq\r（32＋a2).由已知得32＋a2＜42，∴a2＜7。∴a∈(－eq\r(7），eq\r（7））．方法二：利用复数的几何意义,由｜z|＜4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上,所以线段AB（除去端点）为动点Z的集合，由图可知:－eq\r（7）＜a＜eq\r（7).答案：（－eq\r（7)，eq\r(7))探究四易错辨析易错点:复数的模是实数的绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时,不能当成实数的“绝对值”求解，这样易丢解．【典型例题4】已知a∈C,b∈C，则下列命题中正确的有__________．①若a＝b，则eq\x\to（a）＝eq\x\to（b)；②eq\r(｜a|2)＝|a｜；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a＝eq\x\to(b），则a＋b为实数．错