2024年高一上学期期末数学考点《常考题》含答案解析

高中PAGE1高中专题01高一上期末真题精选（常考122题29类考点专练）【题型1】集合的概念【题型2】集合间的基本关系【题型3】集合的基本运算【题型4】充分性与必要性【题型5】全称量词与存在量词【题型6】基本不等式【题型7】二次函数与一元二次方程、不等式【题型8】函数的概念及其表示【题型9】函数的基本性质【题型10】分段函数模型【题型11】指数与对数运算【题型12】指数（对数）函数过定点【题型13】指数（对数）函数图象问题【题型14】指数（对数）型复合函数的值域问题【题型15】对数型复合函数单调区间【题型16】指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小【题型17】根据不同函数增长差异选择适当的函数模型【题型18】函数零点（方程的根）问题【题型19】二分法【题型20】任意角与弧度制【题型21】三角函数定义【题型22】同角三角函数基本关系【题型23】诱导公式化简问题【题型24】三角函数的图象与性质【题型25】三角函数图象变化【题型26】求三角函数解析式【题型27】生活中的三角函数模型【题型28】三角函数中的零点问题【题型29】三角函数中的恒成立问题01集合的概念1．（2023下·广西北海·高二统考期末）用列举法可将集合表示为（

）A． B．C． D．2．（2022上·山西忻州·高三校考期末）设集合，则集合M中所有元素的和为．3．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知集合，若，则实数.4．（2022上·西藏林芝·高一校考期末）集合中只有一个元素，则实数的值是.02集合间的基本关系1．（2022上·云南文山·高二校考期末）下列式子表示正确的是（）A． B． C． D．2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或3．（多选）（2021上·福建福州·高一校联考期中）已知集合，集合，则集合可以是（）A． B．C． D．03集合的基本运算1．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）设集合，则（

）A．{2} B．{4,5} C．{3,4} D．{2,3}2．（2022上·云南临沧·高二校考期末）集合，，则（

）A． B．C． D．3．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知集合，B＝{x|}.(1)当时，求；(2)若，求实数的范围.4．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知，，其中.(1)当时，求和；(2)若，求实数的取值范围.5．（2021上·江苏常州·高一校联考期中）设为实数，集合，.(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围.6．（2017上·辽宁大连·高一庄河高中校考期末）已知全集，集合．(1)求,；(2)已知集合，若，求实数的取值范围．04充分性与必要性1．（2022上·贵州黔西·高二校考期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023下·辽宁·高二校联考期末）“”是“方程有实数解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（多选）（2023上·四川凉山·高一统考期末）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．4．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．05全称量词与存在量词1．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知命题，都有，则为（

）A．，都有 B．，使得C．，都有 D．，使得2．（多选）（2023上·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考期末）命题p：，是假命题，则实数b的值可能是（

）A． B． C．2 D．3．（2020上·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）命题：“，都有”的否定：.4．（2016上·安徽合肥·高二统考期末）命题“”为假命题，则实数的取值范围是.06基本不等式1．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2021上·陕西延安·高二校考期末）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（多选）（2022上·重庆巫山·高一校考期末）下列说法正确的有（

）A．若，则B．因为，所以C．（且）D．若正数x，y满足，则的最小值为34．（2020下·浙江宁波·高一校联考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值．07二次函数与一元二次方程、不等式1．（多选）（2020上·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．2．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是．3．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）设关于x的函数，其中a，b都是实数.(1)若的解集为，求出a、b的值；(2)若，求不等式的解集.4．（2021上·云南曲靖·高一校考期末）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.08函数的概念及其表示1．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数满足：对任意的非零实数x，y，都成立，.若，，则（

）A． B． C．2 D．32．（2023上·甘肃临夏·高一校考期末）下列两个函数相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2020上·陕西延安·高一校考期末）已知函数，则（

）A． B．C． D．4．（2023上·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）已知函数，则.5．（2023下·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数，满足．(1)求的值；(2)若，求的解析式与最小值．09函数的基本性质1．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（

）A． B． C．D．2．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（

）A． B．C． D．3．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，则．4．（2022上·云南临沧·高一校考期末）已知函数是定义在区间上的奇函数，且在上是单调递增的，若实数a满足，求实数a的取值范围．5．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t的不等式．6．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）已知函数，不等式的解集为，且.(1)求函数的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式.7．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．(1)求；(2)用定义证明的单调性；10分段函数模型1．（2020上·广东汕尾·高一海丰县彭湃中学校考期末）已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（多选）（2022上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C． D．若，则的值是23．（2019下·江苏宿迁·高二统考期末）设函数，若，则实数的取值范围是.4．（2020上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是.5．（2021上·浙江·高一期末）满足：对任意都有成立，a的取值范围．6．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为.7．（2022上·天津滨海新·高一校考期末）已知，函数，当时，不等式则的解集是；若函数的图象与x轴恰有2个交点，则的取值范围是.8．（2020上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则.若存在，使得，则.9．（2020上·浙江湖州·高一统考期末）已知函数（，且），则，若函数的值域为，则实数的取值范围是.11指数与对数运算1．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）（1）；（2）计算：.2．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）计算下列各式的值：(1)(2)3．（2022上·吉林·高一校考期末）计算下列各式的值(1)(2)4．（2022上·广东深圳·高一校考期末）（1）化简；（2）．12指数（对数）函数过定点1．（2022上·云南红河·高一校考期末）函数，的图象过定点，则的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（

）A．4 B．2 C． D．13．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）实数且，则函数的图象恒过定点．4．（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函的图象过定点13指数（对数）函数图象问题1．（2022上·河北邯郸·高一统考期末）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．2．（2021上·陕西渭南·高一统考期末）若定义运算则函数的值域是（

）A． B． C． D．3．（2019上·浙江金华·高三校联考期末）在同一直角坐标系中，函数，的图象不可能的是（

）A． B．C． D．4．（2023上·陕西西安·高一统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（

）A． B．C． D．5．（2023上·湖南益阳·高一校联考期末）函数（且）的图像大致为（

）A． B．C． D．6．（多选）（2022上·广西百色·高一统考期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（

）A．.

B．

C．

D．

14指数（对数）型复合函数的值域问题1．（2021上·广西南宁·高一上林县中学校考期末）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．0 C．5 D．92．（2022上·云南楚雄·高三统考期末）已知奇函数在上的最大值为，则（

）A．或3 B．或2 C．2 D．33．（2022上·广东深圳·高一校考期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是．4．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）函数的值域为，则实数的取值范围为.5．（2020下·江苏盐城·高一统考期末）设函数．(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．6．（2023上·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）求函数的值域.15对数型复合函数单调区间1．（2023下·江西赣州·高二统考期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．(1，+∞)2．（2016上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调递增区间是．3．（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）函数的单调递减区间为．16指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小1．（2022上·江西上饶·高三校考期末）设函数（且），是定义域为R的奇函数．(1)求的值；(2)若，试判断函数单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围

.2．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知函数，若是定义在R上的奇函数．(1)求；(2)判断函数的单调性并证明；(3)解关于的不等式．3．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知函数.(1)用定义证明：函数在上是减函数；(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.4．（2023上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数为奇函数.(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；(2)求不等式的解集.17根据不同函数增长差异选择适当的函数模型1．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．(1)求m的值及用x表示S；(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．2．（2023上·贵州黔东南·高一统考期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）离太阳的距离(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；①；②；③．(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．3．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t79101113种植成本Q1911101119为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，②，③，④．(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；(2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．18函数零点（方程的根）问题1．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数.(1)当时，求解的零点；(2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围；(3)讨论函数的零点个数.2．（2023上·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且．(1)求函数和的解析式；(2)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围．3．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.(1)若函数的值域为，求的值；(2)若时，函数对一切正整数，在区间内总存在唯一零点，求的取值范围.19二分法1．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.62．（2023上·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．3．（多选）（2023上·浙江丽水·高一统考期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（

）A．

B．

C．

D．

20任意角与弧度制1．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是.2．（2023下·北京延庆·高一统考期末）在半径为的扇形中，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．3．（2023下·北京昌平·高一统考期末）扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素.小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为（

）

A． B． C． D．21三角函数定义1．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，角以ox为始边，终边经过点，则值是（

）A． B． C． D．2．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．22同角三角函数基本关系1．（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或2．（多选）（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．3．（多选）（2022上·湖北孝感·高一校考期末）已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．4．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则.5．（2022上·云南昆明·高一校考期末）已知，求下列各式的值.(1)；(2).23诱导公式化简问题1．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知的终边上有一点，则的值为.2．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，且，化简并求的值.3．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知角的终边经过点．(1)求及的值；(2)若函数，求的值．24三角函数的图象与性质1．（2023上·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（多选）（2023上·广西贵港·高二统考期末）若函数，则（

）A．的最小正周期为B．直线是图象的一条对称轴C．是的一个零点D．在上单调递增3．（多选）（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．函数最小正周期为 B．C．在区间上单调递减 D．方程在区间内有个根4．（多选）（2023下·江西赣州·高一统考期末）已知函数，若，，且在区间上单调递减，则下列说法正确的有（

）A．B．对任意，均有C．函数在区间上单调D．5．（多选）（2023下·辽宁锦州·高一统考期末）下列关于函数的说法正确的是（

）A．定义域为 B．在区间上单调递增C．最小正周期是 D．图象关于直线对称25三角函数图象变化1．（2022上·青海西宁·高三统考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度2．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度3．（多选）（2022上·吉林·高一校考期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（

）A．函数在区间上为增函数B．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．点是函数图象的一个对称中心D．函数在上的最大值为14．（多选）（2023上·山东聊城·高三校联考期末）函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（

）A．函数图象关于对称 B．函数图象关于对称C．在单调递减 D．最小正周期为5．（多选）（2023上·河南新乡·高一校联考期末）为了得到函数的图象，只要将函数图象（

）A．所有点的横坐标缩短到原来的，再把得到的图象向右平移个单位长度B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，再把得到的图象向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的D．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的26求三角函数解析式1．（多选）（2023下·江西南昌·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到的图象，则下列说法正确的有（

）

A． B．C． D．是的一个对称中心2．（多选）（2023下·浙江嘉兴·高二统考期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（

）

A．B．C．在区间上单调递减D．为偶函数3．（多选）（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知某曲线部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．一条对称轴方程为C．在上单调递增D．图象可以由图象向左平移个单位长度得到4．（2021下·湖北武汉·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；5．（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知函数的部分图象如图所示．将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象．

(1)求的解析式；27生活中的三角函数模型1．（多选）（2023上·吉林·高一统考期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用．如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是，则下列说法正确的是（

）A．筒车的半径为，旋转一周用时B．筒车的轴心距离水面的高度为C．时，盛水筒处于向上运动状态D．盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点2．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为秒．

3．（2023下·江西上饶·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

(1)求函数的表达式；(2)求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；(3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）4．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数，，，的图象如图所示．

(1)求的解析式；(2)设若关于的不等式恒成立，求的取值范围．28三角函数中的零点问题1．（2023下·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）已知函数(1)求的单调递减区间；(2)若，函数的解恰有3个，求实数a的取值范围．2．（2023上·广西玉林·高一统考期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数．求方程在上的所有根之和．3．（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最值．(3)对于第（2）问中的函数，记在上的5个零点从小到大依次为，求的取值范围．29三角函数中的恒成立问题1．（2023下·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式和单调递增区间.(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.(3)设，若恒成立，求实数c的最小值.2．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出范围.

专题01高一上期末真题精选（常考122题29类考点专练）【题型1】集合的概念【题型2】集合间的基本关系【题型3】集合的基本运算【题型4】充分性与必要性【题型5】全称量词与存在量词【题型6】基本不等式【题型7】二次函数与一元二次方程、不等式【题型8】函数的概念及其表示【题型9】函数的基本性质【题型10】分段函数模型【题型11】指数与对数运算【题型12】指数（对数）函数过定点【题型13】指数（对数）函数图象问题【题型14】指数（对数）型复合函数的值域问题【题型15】对数型复合函数单调区间【题型16】指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小【题型17】根据不同函数增长差异选择适当的函数模型【题型18】函数零点（方程的根）问题【题型19】二分法【题型20】任意角与弧度制【题型21】三角函数定义【题型22】同角三角函数基本关系【题型23】诱导公式化简问题【题型24】三角函数的图象与性质【题型25】三角函数图象变化【题型26】求三角函数解析式【题型27】生活中的三角函数模型【题型28】三角函数中的零点问题【题型29】三角函数中的恒成立问题01集合的概念1．（2023下·广西北海·高二统考期末）用列举法可将集合表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】.集合表示为.故选：D.2．（2022上·山西忻州·高三校考期末）设集合，则集合M中所有元素的和为．【答案】【详解】因为且，所以时，，符合题意；时，，符合题意；时，，符合题意；时，，符合题意；时，，符合题意；时，，符合题意；时，，则时不符合题意；所以集合共有个元素，元素之和为.故答案为：.3．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知集合，若，则实数.【答案】0【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性；若，则，故，满足题设，所以.故答案为：04．（2022上·西藏林芝·高一校考期末）集合中只有一个元素，则实数的值是.【答案】【详解】因为集合中只有一个元素，则，解得.故答案为：.02集合间的基本关系1．（2022上·云南文山·高二校考期末）下列式子表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确；对于选项B，根据集合的关系知，错误；对于选项C，根据集合的关系知，错误；对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误.故选：A.2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】当时，无解，此时，满足题意；当时，有解，即，若，则，所以要使，需满足，解得；若，则，所以要使，需满足，解得.综上，实数a的取值范围为.故选：A.3．（多选）（2021上·福建福州·高一校联考期中）已知集合，集合，则集合可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】因为集合，对于A：满足，所以选项A符合题意；对于B：满足，所以选项B符合题意；对于C：满足，所以选项C符合题意；对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC.03集合的基本运算1．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）设集合，则（

）A．{2} B．{4,5} C．{3,4} D．{2,3}【答案】D【详解】由题设.故选：D2．（2022上·云南临沧·高二校考期末）集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】集合，，则，故选：B.3．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知集合，B＝{x|}.(1)当时，求；(2)若，求实数的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，.（2），则，解得,所以实数的取值范围为.4．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知，，其中.(1)当时，求和；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【详解】（1）当时，，所以，.（2）若，则，则，解得.故实数的取值范围是.5．（2021上·江苏常州·高一校联考期中）设为实数，集合，.(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，或(2)【详解】（1）集合，时，，所以，又因为，所以或，（2）由，得或，即或，所以实数m的取值范围是.6．（2017上·辽宁大连·高一庄河高中校考期末）已知全集，集合．(1)求,；(2)已知集合，若，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）全集，集合；∴；，∴；（2）∵，又集合，且，∴，解得，∴实数的取值范围是．04充分性与必要性1．（2022上·贵州黔西·高二校考期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】先说充分性：当，比如，此时：不成立，所以“”不是“”的充分条件；再说必要性：，所以成立，所以“”是“”的必要条件.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B2．（2023下·辽宁·高二校联考期末）“”是“方程有实数解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，此时的方程为，即无解，所以有实数解；因为，所以，即，所以方程有实数解；所以“”是“方程有实数解”的必要不充分条件．故选：B.3．（多选）（2023上·四川凉山·高一统考期末）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】因为方程至多有一个实数根，所以方程的判别式，即：，解得，利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.故选：BC.4．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由，解得，记，由，解得，记，∵“”是“”的充分非必要条件，∴真包含于，即，解得.故答案为：05全称量词与存在量词1．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知命题，都有，则为（

）A．，都有 B．，使得C．，都有 D．，使得【答案】D【详解】命题，都有，所以为，使得，故选：D.2．（多选）（2023上·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考期末）命题p：，是假命题，则实数b的值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】AB【详解】因为命题p：，是假命题，所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，则有，解得：，根据选项的值，可判断选项符合，故选：.3．（2020上·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）命题：“，都有”的否定：.【答案】，都有【详解】由全称命题的否定，得命题：“，都有”的否定为：，都有.故答案为：，都有.4．（2016上·安徽合肥·高二统考期末）命题“”为假命题，则实数的取值范围是.【答案】【详解】解：命题“”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，则其否定为真，所以当时，恒成立，满足题意；当时，只需，解得：.所以实数的取值范围是.故答案为：.06基本不等式1．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】,.故选:D.2．（2021上·陕西延安·高二校考期末）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为.故选：A.3．（多选）（2022上·重庆巫山·高一校考期末）下列说法正确的有（

）A．若，则B．因为，所以C．（且）D．若正数x，y满足，则的最小值为3【答案】ACD【详解】对于A，由可得，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，由可知当且仅当时，等号成立，而，显然等号不成立，所以错误，可知B错误；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立；即可得成立，所以C正确；对于D，由可得，则，当且仅当，即时，等号成立；即D正确.故选：ACD4．（2020下·浙江宁波·高一校联考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值．【答案】/【详解】因为，所以，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：07二次函数与一元二次方程、不等式1．（多选）（2020上·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AD【详解】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确；对于B项，由已知可得，3、4即为的两个解.由韦达定理可得，，解得，代入可得.又，所以，所以解集为，故B项错误；对于C项，由B知，，，，代入不等式可得，化简可得，解得，所以，不等式的解集为，故C项错误；对于D项，由已知可得，当时，有，故D项正确.故选：AD.2．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是．【答案】【详解】设，则在的最大值为4，因为关于的不等式在上有解，即，解得，故答案为：.3．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）设关于x的函数，其中a，b都是实数.(1)若的解集为，求出a、b的值；(2)若，求不等式的解集.【答案】(1)(2)当时，解集为；时，解集为;时，解集为.【详解】（1）的解集为，则的开口向上，是对应方程的两根，则，即；（2）若，则，，当时，，则的解集为当时，若，即时，的解集为；当时，，的解集为；综上：当时，解集为；时，解集为时，解集为.4．（2021上·云南曲靖·高一校考期末）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立.所以.（2）不等式等价于.当即时，不等式可化为，不等式的解集为；当即时，不等式可化为，不等式的解集为；当即时，不等式可化为，此时.综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.08函数的概念及其表示1．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数满足：对任意的非零实数x，y，都成立，.若，，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【详解】由题意可得，，又，所以，而，可得.故选：B2．（2023上·甘肃临夏·高一校考期末）下列两个函数相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【详解】对于A，，定义域为R，，，故A不正确；对于B，定义域为R，定义域为，故B错误；对于C，，的定义域为，故C正确；对于D，定义域为，的定义域为，故D错误；故选：C.3．（2020上·陕西延安·高一校考期末）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，设，则所以，所以故选：D4．（2023上·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）已知函数，则.【答案】/0.5【详解】因为，所以，故，故答案为：.5．（2023下·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数，满足．(1)求的值；(2)若，求的解析式与最小值．【答案】(1)11；(2)，.【详解】（1）因为函数，满足，所以当时，.（2）由，得，于是，即，因此，当时，，所以的解析式是，最小值为.09函数的基本性质1．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（

）A． B． C．D．【答案】C【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，所以的定义域为，又因为在上单调递增，所以在上单调递减，又因为，则，所以，解得或，所以的解集为．故选：C．2．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由题意得为偶函数，且在上，单调递减，故在上单调递增，因为，故，所以，当时，恒成立，满足要求，当时，在上恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，综上，a的取值范围为A选项，由于，A正确；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，显然不是的子集，D错误.故选：ABC3．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，则．【答案】【详解】由已知可知是偶函数，且，故.故答案为：4．（2022上·云南临沧·高一校考期末）已知函数是定义在区间上的奇函数，且在上是单调递增的，若实数a满足，求实数a的取值范围．【答案】【详解】由题意可得，则，故实数a的取值范围为．5．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t的不等式．【答案】(1)；(2)在上是增函数，证明见解析；(3)．【详解】（1）由题意，解得，此时，满足，所以；（2）在上是增函数，证明如下：设任意的且，，又，则，，，，所以，即，所以在上是增函数；（3）不等式化为，又是奇函数，则，再由（2）得，解得．即解集为．6．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）已知函数，不等式的解集为，且.(1)求函数的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为函数，不等式的解集为，所以且0和2为方程的两个根，则有，解得，，又因为，则，可得，，所以.（2）因为，图象开口向上，对称轴为，①当时，函数在上单调递增，所以；②当，即时，函数的对称轴在区间内，故；③当，即时，函数在上单调递减，所以；综上所述：.7．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．(1)求；(2)用定义证明的单调性；【答案】(1)0；(2)见解析.【详解】（1）令，则由题意可得，（2）任取且，即，由题意可得，而当且仅当时，，所以，即，所以函数在单调递减.10分段函数模型1．（2020上·广东汕尾·高一海丰县彭湃中学校考期末）已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数在R上为减函数所以满足解不等式组可得.故选:D2．（多选）（2022上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C． D．若，则的值是2【答案】BCD【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；对B：当时，；当时，；则的值域为，故B正确；对C：当时，，故C正确；对D：当时，，解得，不合题意；当时，，解得或（舍去）；综上所述：若，则的值是2，故D正确；故选：BCD．3．（2019下·江苏宿迁·高二统考期末）设函数，若，则实数的取值范围是.【答案】【详解】作出函数的图象如图，由图可知，满足的实数m的取值范围是．故答案为：．4．（2020上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是.【答案】【详解】当时,,此时值域为若值域为,则当时.为单调递增函数,且最大值需大于等于1即,解得故答案为:5．（2021上·浙江·高一期末）满足：对任意都有成立，a的取值范围．【答案】【详解】因为对任意都有成立，不妨设，则有，所以为减函数，所以需满足：，解得：.则a的取值范围.故答案为：6．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为.【答案】【详解】依题意，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以当时，函数的值域为.故答案为：7．（2022上·天津滨海新·高一校考期末）已知，函数，当时，不等式则的解集是；若函数的图象与x轴恰有2个交点，则的取值范围是.【答案】【详解】，，则当，得；当，得；综上，当时，不等式则的解集是.函数的图象与x轴恰有2个交点等价于恰有两个根，又，.故当，根为1、2，符合题意；当，根为1、2、3，不合题意；当，根为1、3，符合题意；当，根为3，不合题意；故的取值范围是.故答案为：；.8．（2020上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则.若存在，使得，则.【答案】6【详解】（1）；（2）作出函数的图象，可得，，，，；故答案为：；6.9．（2020上·浙江湖州·高一统考期末）已知函数（，且），则，若函数的值域为，则实数的取值范围是.【答案】7..【详解】解：∵，∴，∴；当时，，要函数的值域是，只要即可，解得，故答案为：，．11指数与对数运算1．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）（1）；（2）计算：.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）原式.（2）原式.2．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）计算下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)5【详解】（1）原式.（2）原式.3．（2022上·吉林·高一校考期末）计算下列各式的值(1)(2)【答案】(1)(2)10【详解】（1）.（2）.4．（2022上·广东深圳·高一校考期末）（1）化简；（2）．【答案】;.【详解】（1），（2）.12指数（对数）函数过定点1．（2022上·云南红河·高一校考期末）函数，的图象过定点，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，可得，当时，有，故其过定点.故选：C.2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（

）A．4 B．2 C． D．1【答案】D【详解】由（且），令，则，即的图象恒过定点，则，由，所以，，又，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.3．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）实数且，则函数的图象恒过定点．【答案】【详解】令，则，所以函数的图象恒过定点.故答案为：.4．（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函的图象过定点【答案】【详解】由函数为幂函数，可得，即，解得或，当时，可得在单调递增，不符合题意，舍去；当时，可得在单调递减，符合题意，此时函数，令，即，可得，所以函数的图象恒过定点.故答案为：.13指数（对数）函数图象问题1．（2022上·河北邯郸·高一统考期末）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵，∴为奇函数，A不正确；很显然有三个零点分别为0，±1，，只有C符合.故选：C.2．（2021上·陕西渭南·高一统考期末）若定义运算则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得：，作函数与函数的图象，如下图所示：

由图可知：，易知其值域为.故选：C.3．（2019上·浙江金华·高三校联考期末）在同一直角坐标系中，函数，的图象不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在轴右侧（定义域为），所以A是不可能的；对于B来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以B是可能的；对于C来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以C是可能的；对于D来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以D是可能的.故选：A.4．（2023上·陕西西安·高一统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减，又时，，A正确，B错误；对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误.故选：A.5．（2023上·湖南益阳·高一校联考期末）函数（且）的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，函数定义域为，有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.故选：C.6．（多选）（2022上·广西百色·高一统考期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（

）A．.

B．

C．

D．

【答案】BD【详解】由题意得，中若，，则，若，，则；中表示纵截距.对于A，图像中，图像中，故A错误；对于B，图像中，图像中，故B正确；对于C，图像中，图像中，故C错误；对于D，图像中，图像中，故D正确；故选：BD14指数（对数）型复合函数的值域问题1．（2021上·广西南宁·高一上林县中学校考期末）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．0 C．5 D．9【答案】A【详解】设，则（），对称轴为，所以在上单调递增，所以.故选：A.2．（2022上·云南楚雄·高三统考期末）已知奇函数在上的最大值为，则（

）A．或3 B．或2 C．2 D．3【答案】B【详解】由已知可得，.因为是奇函数，所以，所以，即，解得，即.当时，则，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.所以在处有最大值，所以，整理可得，解得或（舍去），所以；同理，当时，函数在上单调递减，所以在处有最大值，所以，整理可得，解得或（舍去），所以.综上所述，或.故选：B.3．（2022上·广东深圳·高一校考期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由函数，令，令，可得，要使得函数的值域为，则的值域能取遍一切正实数，当时，则满足，解得；当时，可得，符合题意；当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.4．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）函数的值域为，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由函数的值域为及对数函数的图像和性质可得，是值域的子集，当即时，的值域为，显然成立；当即时，二次函数的对称轴为，所以由一元二次函数的图像可得，解得，.综上，故答案为：5．（2020下·江苏盐城·高一统考期末）设函数．(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：的图象关于原点对称，为奇函数，，，即，．所以，所以，令，则，，又，，解得，即，所以函数的零点为．（2）解：因为，，令，则，，，对称轴，当，即时，，；②当，即时，，（舍；综上：实数的值为．6．（2023上·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）求函数的值域.【答案】【详解】当时，，令，则，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，所以当时，取得最小值为；当时，取得最大值为.所以函数的值域为，也即函数的值域为.15对数型复合函数单调区间1．（2023下·江西赣州·高二统考期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．(1，+∞)【答案】C【详解】令，由，可得或，所以在单调递减，在单调递增，又单调递增.由复合函数“同增异减”可得：在单调递减.故选：C.2．（2016上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调递增区间是．【答案】【详解】令且，即，则或，所以定义域为，由开口向上，对称轴为，则在上递减，在上递增，而在定义域上递减，故的增区间为，减区间为.故答案为：3．（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）函数的单调递减区间为．【答案】【详解】由解析式，则，即定义域为，又，而在上递增，在上递减；在定义域上递增；所以在上递增，上递减.故答案为：16指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小1．（2022上·江西上饶·高三校考期末）设函数（且），是定义域为R的奇函数．(1)求的值；(2)若，试判断函数单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围

.【答案】(1)2；(2)在R上单调递减，.【详解】（1）∵是定义域为R的奇函数，∴，∴，此时，满足，综上，.（2）由（1）知，且，∵，∴，又，且，∴，在R上单调递减，在R上单调递增，故在R上单调递减，不等式化为，∵是定义域为R的奇函数，∴，即，∴，∴恒成立，∴，解得．∴.2．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知函数，若是定义在R上的奇函数．(1)求；(2)判断函数的单调性并证明；(3)解关于的不等式．【答案】(1)(2)在R上单调递增，证明见解析(3)【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，即，解得.当时，，此时定义域为，不满足题意.当时，，此时定义域为R，且满足.综上可得.（2）在R上单调递增.证明如下：因为，所以.，且，则有.，函数为R上的增函数.，则，.，即.在R上单调递增.（3）原不等式可化为：由是定义在R上的奇函数，得：.由是在R上单调递增，得：，即，解得：.不等式的解集为.3．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知函数.(1)用定义证明：函数在上是减函数；(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）对任意，且，则，因为则，可得，即，所以函数在上是减函数.（2）令，则，由题意可得：对一切恒成立，当时，则，符合题意，；当时，可得，令，由（1）知在上是减函数，当时，取到最小值，所以；综上所述：的取值范围为.4．（2023上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数为奇函数.(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；函数在上是增函数证明见解析(2)【详解】（1）∵是奇函数，定义域为，∴，则，，所以，符合为奇函数，证明：任取，且，则，由，可得，则，，∴，即，∴函数在上是增函数.（2）∵函数在上是奇函数∴又函数在上是增函数∴令为，则解得即∴不等式的解集为17根据不同函数增长差异选择适当的函数模型1．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．(1)求m的值及用x表示S；(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．【答案】(1)，（）；(2)当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元.【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，则，解得，显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：（）.（2）由（1）知，当且仅当，即时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元．2．（2023上·贵州黔东南·高一统考期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）离太阳的距离(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；①；②；③．(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．【答案】(1)散点图见解析，模型②符合题意(2)，模型与数据吻合(3)【详解】（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型②符合题意；（2）将，，分别代入，得，解得，，所以当时，，误差，吻合，当时，，误差，吻合，所以，模型与数据吻合；（3）当时，，即谷神星距太阳的距离为.3．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t79101113种植成本Q1911101119为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，②，③，④．(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；(2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．【答案】(1)选择，理由见解析，(2)20【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，因为，，都是单调函数，所以不符合题意，因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，由表格数据可得，解得，所以，经检验其他几组数据也满足表达式（2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上，，所以，所以实数m的最大值为2018函数零点（方程的根）问题1．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数.(1)当时，求解的零点；(2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围；(3)讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)(3)当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点．【详解】（1）当时，，当时，令，所以，由于，故此时方程无解，无零点，当时，令，所以，即，解得，（正根舍去）综上可知：的零点为．（2）由于对任意的，不等式恒不成立，故对任意的，不等式恒成立，由于，且恒成立，由于，故；（3）由可得，变为，令，作的图象及直线，由图象可得：当或时，有1个零点．当或时，有2个零点；当时，有3个零点．

2．（2023上·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且．(1)求函数和的解析式；(2)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围．【答案】(1)，；(2)．【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数，所以，，又，所以则，所以所以，；（2）关于的方程有实根，即有实根，所以有实根，令，则有正根，所以有正根，因为，设，则，，当时，，当且时，，利用对勾函数知在上递减，在上递减，在上递增，所以，所以或，所以或，综上所述：正实数的取值范围为．3．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.(1)若函数的值域为，求的值；(2)若时，函数对一切正整数，在区间内总存在唯一零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以函数值域为，因为函数的值域为，所以，故.（2）函数，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，因为在上总存在唯一零点，所以则，可得对一切正整数，总有，得，即得.19二分法1．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.6【答案】C【详解】由题意可知，对区间内，需要求解的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为，共计算次.故选：C2．（2023上·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，显然函数图象是连续的，则有，，，，，所以，，，，故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.故选：B.3．（多选）（2023上·浙江丽水·高一统考期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【详解】由选项AC中函数图象可知这两个函数的函数值没有负实数，即在零点左右函数值不变号，选项BD中的函数图象可知这两个函数的函数值有负实数，即在零点左右函数值变号，因此不能用二分法求其零点的是AC，故选：AC20任意角与弧度制1．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是.【答案】【详解】时针走过1小时30分钟，则分针顺时针转过1圈半，即转过.故答案为：.2．（2023下·北京延庆·高一统考期末）在半径为的扇形中，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由扇形面积公式知：扇形的面积为.故选：C3．（2023下·北京昌平·高一统考期末）扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素.小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】因为扇形半径为，圆心角为，所以弧长为.故选：B21三角函数定义1．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，角以ox为始边，终边经过点，则值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为角以ox为始边，终边经过点，由三角函数的定义可知：.故选：B.2．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C22同角三角函数基本关系1．（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【详解】将两边同时平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C2．（多选）（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】因为，所以，而为锐角，所以，选项A正确；，所以选项C正确；因为为锐角，所以，因此选项D正确，由，所以选项B不正确，故选：ACD3．（多选）（2022上·湖北孝感·高一校考期末）已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】由，可得，则，解之得，或又，则，故选项A判断正确；则，，故选项B判断正确；，故选项C判断错误；，故选项D判断正确.故选：ABD4．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则.【答案】【详解】因为，则.故答案为：.5．（2022上·云南昆明·高一校考期末）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)7(2)【详解】（1），.（2），.23诱导公式化简问题1．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知的终边上有一点，则的值为.【答案】/【详解】因为的终边上有一点，可得则.故答案为：.2．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，且，化简并求的值.【答案】【详解】解：因为，且，则，所以，，故.3．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知角的终边经过点．(1)求及的值；(2)若函数，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）角的终边经过点,，且点到坐标原点的距离,；（2）.24三角函数的图象与性质1．（2023上·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，∵函数在区间内单调递增，∴，∴，∵，∴，若在区间上单调递增，则，解得，当时，，又因为，∴.故选：A2．（多选）（2023上·广西贵港·高二统考期末）若函数，则（

）A．的最小正周期为B．直线是图象的一条对称轴C．是的一个零点D．在上单调递增【答案】BC【详解】因为，所以的最小正周期，A不正确；当时，，故直线是图象的一条对称轴，B正确；当时，，故是的一个零点，C正确；当时，，由在上单调递减，上单调递增，所以在上不单调递增，D不正确.故选：BC.3．（多选）（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．函数最小正周期为 B．C．在区间上单调递减 D．方程在区间内有个根【答案】ACD【详解】对于A，由图象知：的最小正周期，A正确；对于B，由A知：，，，解得：，又，，B错误；对于C，由AB可知：，当时，，在上单调递减，C正确；对于D，当时，，则当或或或，即或或或时，，在区间内有个根，D正确.故选：ACD.4．（多选）（2023下·江西赣州·高一统考期末）已知函数，若，，且在区间上单调递减，则下列说法正确的有（

）A．B．对任意，均有C．函数在区间上单调D．【答案】ABD【详解】因为在区间上单调递减，且所以点是函数的一个对称中心，并且最小正周期满足，即，所以当，则直线是函数的一条对称轴与对称中心相邻，则，即，所以，故A正确；则，由于是函数的一个对称中心，所以，得，又，所以，故D正确；则，所以，又的最大值为，则对任意，均有，故B正确；当时，，则函数在区间上不单调，故C错误.故选：ABD.5．（多选）（2023下·辽宁锦州·高一统考期末）下列关于函数的说法正确的是（

）A．定义域为 B．在区间上单调递增C．最小正周期是 D．图象关于直线对称【答案】ACD【详解】函数，定义域满足，解得，所以函数定义域为，故A正确；当，则，所以函数在区间上单调递增，则函数在区间上先减后增，故B不正确；函数的最小正周期，所以函数的最小正周期是，故C正确；函数的对称轴满足，所以，则函数图象关于直线对称，故D正确.故选：ACD.25三角函数图象变化1．（2022上·青海西宁·高三统考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【详解】，，，所以的图象向右平移得到的图象.故选：A.2．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】D【详解】，只需把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可得到的图象.故选：D.3．（多选）（2022上·吉林·高一校考期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（

）A．函数在区间上为增函数B．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．点是函数图象的一个对称中心D．函数在上的最大值为1【答案】AC【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象．当时，，此时是不单调，故A错误；将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，此函数是偶函数，满足图象关于轴对称，故B正确；将代入函数的解析式中，得到，故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；当，，所以当，即时，的最大值为1，故D正确．故选：AC.4．（多选）（2023上·山东聊城·高三校联考期末）函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（

）A．函数图象关于对称 B．函数图象关于对称C．在单调递减 D．最小正周期为【答案】BC【详解】A选项，关于对称，则，，解得，，又，故当时，，满足要求，其他均不合要求，故，将的图象向左平移个单位长度得到．令，则对称轴为，显然不满足，故A错误；B选项，令，则，所以对称中心为，显然时，，故B正确；C选项，令，整理得，所以单调递减区间为，显然，时，单调递减区间为，C正确；D选项，最小正周期，故D不正确．故选：BC．5．（多选）（2023上·河南新乡·高一校联考期末）为了得到函数的图象，只