24.2 点和圆、直线和圆的位置关系2（练习题+答案解析）

24.224.2点和圆、直线和圆的位置关系（2）▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓一、选择题（共8小题）1．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，△的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是A． B． C． D．2．（2024秋•建湖县月考）如图，是△的内切圆，若，则的度数为A． B． C． D．3．（2023秋•民权县期末）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，，则A． B． C． D．4．（2024•宿迁二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为A． B． C． D．35．（2024•重庆模拟）如图，已知与相切于点，是的直径，连接交于点，为上一点，连接，，若，则的度数是A． B． C． D．6．（2024•沙坪坝区自主招生）如图，是的切线，点为切点，弦，连接并延长交于点．若，，则的长是A．1 B． C．2 D．7．（2024•石家庄模拟）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为A． B． C． D．8．（2023秋•北碚区校级期末）如图，是的直径，是的切线，切点为，与的延长线交于点，若，，则的长度为A． B． C． D．二、填空题（共8小题）9．（2024秋•建邺区校级月考）如图，点在上，射线切于点，若，则．10．（2024•鹤壁模拟）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为．11．（2024•河南模拟）如图，切于点，交于点，点在上，若，则的度数是．12．（2024•禅城区校级开学）如图，是的直径，，是上的两点，，过点作的切线交延长线于点，则的度数为．13．（2024•徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则．14．（2024春•海淀区校级月考）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，，则线段的长为．15．（2024•顺城区一模）已知是的直径，点是延长线上的一个动点，过作的切线，切点为，的平分线交于点，则等于．16．（2023秋•交城县期末）如图，是的直径，弦平分，过点作的切线交于点，若，则．三、解答题（共7小题）17．（2024•港南区二模）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．（1）求证：为的切线；（2）若且，求的半径．18．（2024秋•天门校级月考）如图，线段经过的圆心，交于，两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点，连接交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）求的半径和线段的长19．（2024•武威二模）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分．（1）证明：是的切线；（2）若，，求的长．20．（2024•青川县三模）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．（1）求证：与相切；（2）若，．求的半径和的长度．21．（2024秋•朝阳区校级月考）如图，是的直径，是的弦，过点作的切线与的延长线交于点．若，求证：．22．（2024•湖南模拟）如图，在中，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接，且．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．23．（2024•杂多县三模）如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上，满足．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．

一、选择题（共8小题）1．【答案】【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案．【解答】解：连接，，，，，．根据题意可知，且，，，，，，△是直角三角形，，即，解得．设，则，，，得，，，，．在△中，，，，是的垂直平分线，．，即，解得，．故选：．2．【答案】【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案．【解答】解：，，是△的内切圆，、分别平分、，，，，故选：．3．【答案】【分析】连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接，是的切线，，，，．故选：．4．【答案】【分析】连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可．【解答】解：连接、，过点作于，是的切线，，，当时，最小，取最小值，为等边三角形，，，的最小值为：，故选：．5．【答案】【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据切线的性质得出，即可求出的度数．【解答】解：连接，是的直径，，，，，，与相切于点，是的直径，，，故选：．6．【答案】【分析】如图，记、的交点为，由是的切线，弦，可得，，则，根据，计算求解即可．【解答】解：如图，记、的交点为，是的切线，弦，，，，，故选：．7．【答案】【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案．【解答】解：一个三角形的内心与外心重合，该三角形是等边三角形，根据题意，如图，是等边三角形，其内心外心均为点，连接，过点作于点，则，，平分，，在中，，的外接圆半径为4，它的外接圆的面积为，故选：．8．【答案】【分析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，再利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，，再证明，接着根据切线的性质得到，然后计算出的长，最后计算．【解答】解：连接，如图，是的直径，，在中，，，，，，，，是的切线，，，在中，，，．故选：．二、填空题（共8小题）9．【答案】65．【分析】根据切线的性质，角的和差关系求出，再根据等边对等角，得到即可．【解答】解：射线切于点，，，，点在上，，；故答案为：65．10．【答案】4．【分析】连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解答】解：连接，如图，与相切于点，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，解得，即的长为4．故答案为：4．11．【答案】．【分析】首先根据圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：，，切于点，．故答案为：．12．【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等推出，得出的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果．【解答】解：如图，连接，，，，，，是的切线，，，，故答案为：．13．【分析】连接，构造直角三角形，利用，可求得，从而得出的度数．【解答】解：连接，则，；，，故答案为：3514．【答案】2．【分析】连接，由切线的性质得，由切线长定理得，因为，所以是等边三角形，则，求得，而于点，，则，，所以，于是得到问题的答案．【解答】解：连接，为的直径，，分别与相切于点，，，，，，是等边三角形，，，于点，，，，，故答案为：2．15．【答案】．【分析】连接，根据题意，可知，，可推出，即．【解答】解：如图，连接，，平分，，，为的切线，，，，，即．故答案为：．16．【答案】67．【分析】求出，再利用切线的性质求解．【解答】解：连接，过点作的切线交于点，，又，，，故答案为：67．三、解答题（共7小题）17．【分析】（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．【解答】解：（1）证明：如图，连接，，，，，，，，即，，是半径，为的切线；（2）解：设的半径，则，，在中，由勾股定理得，，，解得，或（舍去），的半径为3．18．【答案】（1）见解析；（2）的半径为5；．【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形性质外角的性质得，，进而可求证，进而可求证结论；（2）连接，利用三角形的特征得，进而可得，则可求得的半径为5，进而可得，，在△中和在△中利用勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：，，，，，，，是半径，是的切线．（2）解：连接，如图：由（1）得：，，，，，，的半径为5，，，在△中，，，，，为直径，，，，即：，解得：，在△中，，，，．19．【答案】（1）证明见解答过程；（2）8．【分析】（1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可．【解答】（1）证明：连接，，，平分，，，，，，，，为半径，是切线；（2）解：设，在中，，，，由勾股定理，得：，解得：，，．20．【分析】（1）连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明；（2）设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出；作于，根据垂径定理得，再利用面积法计算出，然后根据勾股定理计算出，再利用垂径定理得出．【解答】（1）证明：连接；，，；又，，是的切线．（2）解：设的半径为，则，，，在中，，，解得，作于，如图，，则，，，在中，，，．21．【答案】见解析．【分析】连接，由切线的性质可得，由可得，三角形外角的性质可得，可求得，据此即可证明结论成立．【解答】解：连接，如图：与相切，，，，，，．22．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）由得出弧弧，得出，再由，得出，所以直线是的切线；（2）通过垂径定理和勾股定理，求得半径，再