解答提升题03一次函数的性质和应用-2024年中考数学冲刺复习讲练测（浙江新中考）（解析版）

解答提升题03一次函数的性质和应用

目录

・题型特训•精准提分_____________

题画FW数学背景不的二

类型一应用一次函数的性质解决问题

类型二一次函数与反比例函数的综合问题

类型三一次函数与几何图形的综合问题

题型02实际背景下的一次函数应用

类型四一次函数行程问题

类型五最大利润问题

类型六方案、决策问题

类型七其它应用问题

第I页共108页

・—题型特训•精准提分

题型01纯数学背景下的一次函数应用

类型一应用一次函数的性质解决问题

1.(2023•浙江湖州,模拟预测)已知一次函数y=H+b的图象经过点4(0,2),5(2,-4)

⑴求k和b的值

(2)若P(l,%),Q(3〃2)是该函数图象上的两点，试比较力与力的大小.

［答案］(l)fc=-3,b=2(2)%>y2

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质：

(1)根据待定系数法求解析式，即可求解：

(2)根据一次函数的性质即可求解.

【详解】(1)解：将4(0,2),8(2,-4)代入、=k%+b,

符二.4，

解得:爆二3：

(2)由(1)可得攵=一3,

・..y随x的增大而减小，

又•.1<3,

2.(2024.浙江嘉兴•一模)在平面直角坐标系中，一次函数、=女工+13/0)的图象经过点4(1,3).

(I)求该函数的表达式.

(2)2］%,%)是、=/c%+1上的一个动点：。(工,力)是一次函数V=+"上的一个动点.当0<%<3时，点P

4

到X轴的距离都大于点Q到A-轴的距寓，求〃的取值范围.

【答案】(l)y=2x+l

(2)-1<n<1

【分析】本题考查了待定系数法，点到坐标轴的距离，利用函数图象解不等式等；

(1)将4(1,3)代入y=kx+l(kw0),即可求解；

(2)由点到坐标轴的距离得0到x轴的距离匕=|2"+1|,Q到无轴的距离d2=|；x+n|,设y3=|；x+n|,

要使当0VXV3时，力是图象始终在为图象的上方，利用函数图象，即可求解；

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掌握待定系数法，能根据题意画出图象，利用函数图象求解是解题的关键.

【详解】(1)解：将4(1,3)代入y=kx+l(k工0)得

k+1=3,

解得：k=2,

该函数的表达式为y=2%+l：

(2)解：由题意得

=2x+1,

y2=~3x+n,

P到％轴的距离由=|2x+1|,

Q到x轴的距离d2=Sx+〃|，

•••0<》V3时，点P到x轴的距离都大于点Q到x轴的距离，

2x+1>|^x+n|,

设乃=|江十斗

此时以>丫3，

如图:

要使当0VXV3时，力是图象始终在为图象的上方，

由图象得：一147141；

故："的取值范围为-147141.

3.(2024.浙江.一•模)如图，在直角坐标系中，点力(2,m)在直线y=2x-3上，过点A的直线交)，轴于点8(0,3).

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(i)求用的值和直线/A的函数表达式.

(2)若点P(t,y。在线段48上，点Q(t+1,丫2)在宜线y=2x-3上，判断2yl+y?的值是否随/的变化而变化,

若不变，求出这个值，若变，求出它的取值范围.

【答案】(l)m=l,直线48的函数表达式为y=-％+3

(2)2%+力的值不变，是定值5

【分析】本题考查了待定系数法求-•次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征：

(I)把4(2,771)代入y=2x-3可求出，〃,然后利用待定系数法求解即可；

(2)根据--次函数图象上点的坐标特征可得力=-t+3,%=2Q+1)-3=2t-1,进而求出2yl+%的

值即可.

【详解】(I)解：把4(2,m)代入y=2%—3得：771=2x2-3=1,

设直线48的函数表达式为y=kx+b(k00),

把4(2,1),8(0,3)代入得产丁［；1,

解得：『二工1，

・,・直线AB的函数表达式为y=-x+3；

(2)2%+%的值不变：

•••点P(t,%)在线段AB上，点QQ+1,%)在直线'=2%-3上，

.•.%=—t+3,y2=2(t+1)-3=2t-1»

2%+y2=2(-t+3)+2t—1——2t+6+2t—1—5,

•••2%+%的值不变，是定值5.

4.(2023•浙江温州•中考真题)如图，在直角坐标系中，点4(2,771)在直线y=2x-g上，过点A的直线交)，

轴于点8(0,3).

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(I)求利的值和直线48的函数表达式.

(2)若点P(t,yJ在线段48上，点QQ—l,y2)在直线y=2x—g上，求必-%的最大值・

【答案】=y=-；x+3

(2年

【分析】(1)把点A的坐标代入直线解析式可求解机，然后设直线48(1勺函数解析式为、=kx+b,进而根

据待定系数法可进行求解函数解析式；

(2)由(1)及题意易得当=—：£+3(0WtW2),y2=2(t-l)-1=2t-p则有％—y2=—:t+3—

=-?£+4，然后根据一次函数的性质可进行求解.

\2/42

(详解］⑴解：把点4(2,m)代入y=2x-1,得m=1.

设直线48的函数表达式为、=依+从把点乂2,(),8(0,3)代入得

俨+》卷，解得卜=T

Ib=3.(b=3.

二直线4/?的函数表达式为y--+3.

(2)解：•.,点户(£,月)在线段48上，点QQ-1J2)在直线y=2x-；上，

-+3(0<t<2),y2=2(c—1)—1=2t—I，

•*•71-yz=-^t+3-(2t-^=-yt+y.

Vk=--<0,

4

Ayi-y2的值随x的增大而减小，

・•・当£=。时,%-丫2的最大值为学•

【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.

5.(2024•浙江宁波.一模)如图，在平面直角坐标系中，点4(-2,巾)在直线y=-2x—1匕过点八的直线

交y轴于点8(0,5).

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⑴求m的值和直线/IB的函数表达式.

(2)若点PQ,%)在直线48上，点QQ-tw)在直线J=一2亢一1上,当,取任意实数时，代数式力+k力的值

为定值，求k的值，并求出这个定值.

【答案】(l)y=%+5

(2)k=定值为蓝

【分析】本题主要考查了•次函数的图象与性质.熟练掌握待定系数法求函数解析式，•次函数的图象与

性质，是解题的关键.

(1)把点A的坐标代入直线y=-2%-1可求得m值，然后设直线48的函数解析式为y=kx+b,进而根

据待定系数法可进行求解函数解析式：

(2)由(I)及题意得力=亡+5,y2=-2(t-l)-l,则有为+k%=(1-2k)t+k+5,然后根据代数

式为+ky2的值为定值即可求解.

【详解】(1)把点4(-2,m)代入y=-2x—1,

得，m=-2x(-2)-1=3.

设直线的困数表达式为y=kx+b,

把点4(一2,3),8(0,5)代入，得，尸++匕=3,

解得忆;，

直线AB的函数表达式为y=%+5.

(2)•・,点在直线y=%+5上，点Q(t-l)2)在直线y=-2%-1上,

•'yi=t+5,乃=-2(t—1)—1,

+ky2=£+5-2k(t-1)—k=(1-2k)t+k+5.

•••%+上月的值为定值，

.,.l-2/c=0,

k=$yi+以=0+：+5=£•

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故上的值为手这个定值为*

6.(23-24九年级下.浙江杭州.阶段练习)已知一次函数、=/^+匕(左工0)的图象经过点/1(1,3),且与'轴交

于点8(0,5).

(1)求该函数表达式.

(2)若一次函数y=ex-l(cH0)的图象与一次函数y=kx+b(kH0)图象交于点C(a,1),求a,c的值.

(3)兰4>3时，对于欠的每一个值，函数y=m(x-2)4-l(mH0)的值都大Ty=kx+b(kH0)的值，求利的

取值范围.

【答案】(l)y=-2/+5

(2)Q=2,c=1

(3)m>-2

【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数图象的交点问题、待定系数法等知识，读懂题意，

熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关犍.

(1)利用待定系数法解答即可；

(2)把C(a,1)代入y=-2x+5求出点C的坐标，再把点C的坐标代入y=ex-l(c丰0)求出c的值即可:

(3)根据题意可得m(3-2)+1>-2x3+5,即可求出m的取值范围.

【详解】(1)・・・一次函数、=上¥+匕体工0)的图象经过点4(1,3),且与)，轴交于点8(0,5),

.(k+h=3,

，etb=5'

.(k=-2,

<•Ib=51

/.该一次函数解析式为y=-2x+5.

(2)•・•若一次函数y=ex-l(c工0)的图象与一次函数y=-2x+5怪象交于点。(a,1),

/.—2a+5=1,

.*.a=2.

将C(2,l)坐标代入y=ex-l(cH0)得：2c-1=1,

c=1.

(3)•・•函数y=〃心一2)十l(〃i,O)恒过定点(2,1),且(2,1)在次函数y=-2八十5图象上.

又•・,当x>3时，对于x的每一个值，函数y=m(x-2)+1(7女工0)的值都大于y=-2x+5的值，

•\771(3—2)+1>-2x3+5,

解得m>—2.

7.(2023•浙江杭州•二模)设函数%=七%+。，函数y2二,("】，%，〃是常数，的不0,k2H。上

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(1)若函数％和函数y2的图象交于点力(1，血)，点8(3,1),

①求函数力,力的表达式：

②当2vxv3时，比较力与力的大小(直接写出结果).

(2)若点C(2,m)向先左平移4个单位再向上平移九一m个单位得到点。，若函数月和函数力的图象交于点。

和点。，求〃的值.

【答案】(I)①%=r+4；y2=②%<y2

(2)n=-3

【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想是解题

的关键.

(1)①利用待定系数法求函数解析式：

②利用函数图象分析比较；

(2)根据平移确定点。的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解.

【详解】(I)①把点见3,1)代入=*，

即1吟

解得：七二3.

二函数月的表达式为为=

把点4(1,7/1)代入丫2=:，解得m=3.

把点4(1,3),点8(3,1)代入yi=kYx+b,

"i+b=3

(3乂+h=lf

“解喉：

函数月的表达式为乃=-x+4；

②••・函数刈和函数为的图象交于火1，3),根据题意，画出函数图象，如图：

yjk

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观察图象得：当2V欠V3时,函数％=等的图象位于函数%=k]X+6的下方.

•••当2<x<3时，％<y2.

(2)由(1)得m=3,

•.6(2,3)

•••向左平移4个单位，

・••得(-2,3),

又再向上平移九-m个单位，

D(-2,n),

•••C,。是函数外和函数乃的图象交点，

/丝

-

12=3

<

1丝

-

k=n

-2

•••n=-3.

8.(2024.浙江丽水.一模)设二次函数y=a/+bx+isho,b是常数)，已知函数值y和自变量》的部分

对应U又值如下表所示：

X•••-10123•••

y•••in1n1P•••

(1)若m=0时，求二次函数的表达式；

(2)当一1WXW3时，y有最小值为5求a的值；

(3)若aV—3,求证：n—m—p>20.

【答案】(1»=-?%2+9%+1：

初或-a

(3)证明见解析.

【分析】(1)利用表格数据以及待定系数法求解即可；

(2)由表可知，抛物线y=ax2+bx十1经过(0,1),(2,1)两点，进而得到抛物线的对称轴为直线x=1,则b=

-2a,即、=。42-2四+1,再分a>0和a<0两种情况解答即可；

(3)利用二次函数的解析式求出m、*p,结合二次函数的对称轴进而得到Tn-p=-7a-l,利用一

次函数的性质即可求证：

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函

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数的性质是解题的关键.

【详解】(1)解：把(-1,0),(2,1)代入(=。*2+加+。得,

_1

笊与*，解得”了

14a+2b+1=1b=-

3

・,.二次函数的表达式为y=-\x2++1：

oJ

(2)解：由表可知，抛物线、=。产+匕工+1经过(0,1),(2,1)两点，

当4=0或%=2时，y=1,

・•・抛物线的对称轴为直线4=1,

2a1>B[J/?=-2a,

.*.y=ax2—2ax+1

当-1WxW3时，y有最小值为点

・•・①当Q>0,%=1时，函数有最小值算

=a-2a+1,解得：a=/

②当a<0,则％=-1或x=3时，函数y取得最小值，

=32a—6Q+1,Q=一工：

26

综上，Q的值;或

Z6

(3)证明：由表和二次函数可得，

m=a-b+1,n=ab+1,p=9a+3b+L

•*.n—?n—p=ci4-b+l-(ci—b+1)—(9Q+3b4-1)=-9a—b—1»

•・•二次函数的对称轴为直线x=1,

1,

2a

=-2a,

n-?n-p=-9a-(-2a)-1=-7a-1,

V-7<0,

n-in-p的值随a的减小而增大，

当a<-3时，n-in-p>-7x(-3)-1=20,即〃-m-p>20.

类型二一次函数与反比例函数的综合问题

9.(2023•浙江杭州•二模)已知反比例函数%=g和一次函数力=~kx4-4k(k>0).

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(1)当一3Wx工一1时，反比例函数月有最小值b,一次函数y?有最大值b+6,求力和k的值:

(2)若力>、2,求X的取值范围.

【答案】(l)b=-g,k=:

(2)0<x<1或无>3

【分析】本题考杳了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程;

(I)根据题意得出反比例函数必=考的图象在一，三象限，一次函数经过一、三、四象限，进而根据反

b=G,即可求解：

b+6=3k+4k

_3k

(=~得出交点坐标的横坐标，进而根据函数图象，即可求解.

y2=—kx+4k

【详解】(1)解：•・%>(),

・•・反比例函数为=§的图象在一，三象限，一次函数经过一、三、四象限,

•・•当-3WXW-1时,反比例函数月有最小值反一次函数丫2有最大值。+6,

b吟

L+6=3k+4k

(,9

b=—

解得：•

[k=35

_3k

yi=v

y=—kx+4k

!2

解得:xx=1,x2=3

•.•反比例函数九一学的图象在一，三象限，一次函数经过一、三、四象限,

:.当外>及时，0<x<1或x>3.

10.(2023•浙江杭州・二模)设函数为=§,函数%=8(自施，匕是常数，3于0,k2^Q).

(1)若函数为和函数的图像交于点力(2,6),点8(4,n-2),

第II页共108页

①求b,〃的值.

②当月>为时,直接写出x的取值范制.

(2)若点。(8,m)在函数月的图像上，点。先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点。，点。恰好落

在函数月的图像上，求〃?的值.

【答案】(1)①b=9,n=5②0VXV2或x>4

(2)m=

【分析】(I)①采用待定系数法即可求出.②采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即

可求出.

(2)结合题意，表示出点。的坐标，然后将CQ两点代入到月中即可求出.

【详解】(I)①把点42,6)代入到中，得

储,

5=6

看〔二12

12

•••yi=—

把8(4,n-2)代入到%=苫中,得

12

n-2=—

4

An=5

•••8(4,3)

再把4(2,6)和8(4,3)代入到yz=k2x+b中，得

(2k2+b=6

(4/C2+b=3

解得：［k2=~l

(b=9

3

•••%=-5无+9

综上：6=9,71=5.

②如图所示：

第12页共108页

解得比:襄腰：:

•••4(2,6),B(4,3)

结合图像，当、1>、2时，

x的JR值范围是：0<%<2或%>4.

(2)根据题意，•••C(8,m)

:.D(5,m-1)

把点C,。代入到当中，得

f7=m

ki=~~r

解得“I

m=——

3

综上zn=-1.

【点睛】本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图像和性质，巧妙的运用数

形结合的方法是解题的关健.

II.：2023•浙江杭州•二模)平面直角坐标系中，反比例函数为=+(如为常数，的工0)和一次函数yz=

k2(x+2-a)+l(七，a为常数,心工0)的图像都经过点4(1,a).

(1)若a=3求心的值.

(2)若点B(a-2,1)是反比例函数与一次函数图像的另一个交点，

①求必，为的函数表达式.

第13页共108页

②若0<y2<yv直接写出x的取值范围.

【答案】(l)ki=2

（2）①%=%y2=-1x+7；②0cxV：或4Vxef

【分析】(1)利用待定系数法即可求出h;

(2)①将力仔,a),8(Q-2,1)分别代入力=?可得到|Q=(Q-2)x1,即可得到a=6,再将/(|,6)分

别代入％=+，丫？=七。-4)+1,即口J得到3=4,&=一|；②画出函数图像，找出0<%<%对应

的力的范围即可.

【详解】(1)解：若Q=3,则40,3),

-%kj=1x3=2；

(2)解：①•••反比例函数1Al为常数，的。0)的图像经过点力(|,。)、点B(a-2,1)且也在一次

函数为=%(丫+2—“)+1(k2,。为常数,%*。)的图像卜，

•1•ga=(a-2)x1,解得a=6,

••A信，6)，8(4,1)，

将A停,6)分别代入力=，一，y2=k2(x-4)+1,

可得心=4,k2=-

，力，%的函数表达式分别为%y--1x+7,

②当月=一|%+7=0时，％=g，

画出函数图像如图所示，

第14页共108页

》的取值范围是0V%V：或4Vx<g.

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题，掌握反比例函数

和一次函数图像与性质是解题关键.

12.(2024.浙江宁波•模拟预测)在平而直角坐标系中，已知A也*0,设函数必=勺与函数y?=k2a-2)+3

的图象交于点人，B.已知点A的横坐标是2,点8的纵坐标是-1.

(1)求用也的值•

(2)连接04并延长至点P,使得04=RP,过点P作x轴的垂线，交x轴于点。，交力的图象于点连接OD.设

△。尸。的面积为Si，△OC。的面积为S2，求金的值.

S2

【答案】(l)ki=6,七=：

(2)3

【分析】

此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知

识点.

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(1)首先将点力的横坐标代入％=七(x-2)+3,求出点人的坐标.然后代入必=3，求出的=6.然后

将点8的纵坐标代入％=B，求出8(-6,-1),然后代入、2=纭(％-2)+3,即可求出；

(2)首先根据题意画出图形，利用两点间距离求出。4,即可得到0P,利用待定系数法求出04所在直线的

表达式，设点利用两点间距离公式求出P(4,6),然后求出点C和点。的坐标，根据三角形面枳公

式求解即可.

【详解】(1)解：将点力的横坐标代入为=k2a-2)+3,得：y2=3,

•••4(2,3),

将A(2,3)代入外=,，得：的=6,

6

将点8的纵坐标代入力=：,得：-1=，即工=一6,

：,B(-6,-1),

将R(一6,一1)代入％=%(丫-2)+?.得，-1二七(一6-2)+?.

k2=%

力=2-2）+3=1+2,

:.的=6,七=

0A=V22+32=V13,

,:0A=AP,

...OP=20A=2\/13,

设直线。/1的解析式为=k3x（k3丰0）,

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A3=2k3,

•••直线。A的解析式为y3=：x,

设点P

:.OP=Jm2+G771)=2177^,即半m=2-/13,

•••m=4,

则P(4,6),

vPC1x轴，

.-.C(4,0),D(4t1),

•••△OPD的面积为Si=•OC,LOCD的面积为S2=：CD•OC,

S1PD6-1

..豆=而=^=

13.(2023•浙江杭州•模拟预测)如图，一次函数y=X+4的图象与反比例函数y=-(左为常数且kHO)的

X

图象交于A(-1,a),B两点,与戈轴交于点C.

⑴求此反比例函数的表达式:

(2)若点P在x轴的正半轴上，且S-cp=4SAB”，求点P的坐标.

【答案】(l)y=—：

⑵尸Q)

*5

【分析】

本题是一次函数和反比例函数综合题：

(1)利用点A在y=%+4上求进而代入反比例函数y=:求k.

(2)联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标.

【详解】(1)解：把点4(-1,a)代入y=x+4,得Q=3,

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：.A(-1,3)

把A(-1,3)代入反比例函数y=£(左为常数且A。0)

:・k=-3,

・•.反比例函数的表达式为y=-1：

(2)

fy=x4-4

解：联立两个函数的表达式得3,

y=--

解得客力噌=，

・•.点8的坐标为86-3,1)

当y=x+4=0时，得力=-4

・,.点C[-4,0)

设点P的坐标为G,0；

,•・SAACP=4SABOC

|x+4|x3=4x1x4xl

解得%2=-日(舍去)，

・••点po;.

14.12023•浙江杭州♦中考真题)在直角坐标系中，已知的心工0,设函数月=奈与函数%=取(久-2)+5的

图象交于点力和点8.已知点4的横坐标是2,点8的纵坐标是-4.

(1)求心,/(2的值.

(2)过点4作y轴的垂线，过点Z?作尤轴的垂线，在第二象限交于点C；过点4作x轴的垂线，过点。作y轴的垂线,

在第四象限交于点D.求证：直线CO经过原点.

【答案】⑴七=10,七=2

⑵见解析

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【分析】(1)首先将点力的横坐标代入乃=七(丫-2)+5求出点A的坐标,然后代入月=?求出的=1D.

然后将点8的纵坐标代入外=?求出8(-a-4),然后代入力=⑥(％-2)+5即可求出七=2；

(2)首先根据题意画出图形，然后求出点。和点。的坐标，然后利用待定系数法求出CO所在直线的表达

式，进而求解即可.

【详解】(I)二•点4的横坐标是2,

二将x=2代入及=七(％—2)+5=5

・二/(2,5),

・・・将4(2,5)代入为=州,k[=10,

.10

..%=7

•••点B的纵坐标是-4,

.•.将y=-4代入外=,得，x=-1

,'8-4)，

.,.将8—4)代入—2)+5得，—4=k2(—：—2)+5,

，解得矽=2,

y2=2(%—2)+5=2无+1：

(2)如图所示,

由题意可得，C(-1,5),0(2,-4),

・•.设CO所在直线的表达式为y=kx+b,

.•.卜齐”=s,解得｛"广U，

(2fc+b=-4(b=°

•*.y=-2x,

当Y=。时，y=0,

，直线CD经过原点.

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌

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握以上知识点.

15.(2024•浙江•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，一次函数%=k”+b的图像与反比例函数为

(1)已知点8的坐标为(2,6),求：

①一次函数为和反比例函数丫2的解析式：

②在y轴上取一点P,当△8CP的面积为5时，求点P的坐标：

(2)过点B作BD1%轴于点D,点E为/1B中点，线段DE交y轴丁点F,连结力口若△4F。的面积为11,求A的

值.

【答案】(I)①一次函数解析式为y=x+4,反比例函数解析式为y=?：

②P的坐标为(0,-1)或(0,9)：

3k=22.

【分析】(1)①把8(2,6)代入一次函数y=x+b的图象与反比例函数)，=：(%>0)即可求解：

②根据三角形面积求得PC的长，然后由直线的解析式求得C的坐标，即可求得P的坐标；

(2)由一次函数y=x+b,可得=45。，4(一h0),得出△480是等腰直角三角形，设8(m,m+b),

则攵=m(巾+6),进一步得出A。。尸是等腰直角三角形，则。尸=OD=m,由△4FD的而枳为11,即可求

解：

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键

是熟练掌握知识点的应用.

【详解】(1)①•••一次函数y=工+力的图象与反比例函数y=>0)的图象交于8(2,6),

6=2+b,6=：,

.'»b=4,k=12,

・•・一次函数解析式为y=%+4,反比例函数解析式为y=y：

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②・.・8(2,6),△88的面积为5,

：^PC-XB=5,

x2=5,

：,-2PC

：.PC=5,

由直线y=x+4得，C(0,4),

・•/的坐标为(0,-1)或(0,9)；

(2),:一次函数y=x+b,

：.z.BAD=45°,4(f,0),

,.,8Dlx轴于点0,

••.△48。是等腰直角三角形，

：.AD=BD,

•.•一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=^(x>0)的图象交于B,

，设。(m,m+b).则4=rn(rn+b).

.'.AD=BD=m+b,

•点E为4B中点,

：.z.ADE=乙BDE=45°,

••.△DOF是等腰直角三角形，

：.0F=OD=m,

•.•△AFT)的面枳为11,

：.^AD-OF=11即*血+。)*抽=11,

:.k=m(m+b)=22.

16.(2023•浙江杭州•二模)如图，在平面直角坐标系％0y中，一次函数九=七逐+匕(七工0)的图象与反比

例函数¥=软心工0,x>0)的图象交于A(3,4),B(6,2)两点.

(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；

(2)过点P(a,0)作A:轴的垂线，与直线力=klX+b(ki工0)和函数y=§(心手0,x>0)的图象的交点分别

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为点M,N,当点M在点N下方时，直接写出Q的取值范围;

⑶将直线力8向下平移根(m>0)个单位长度，若平移后的直线与反比例函数y=个(&*0,x>0)的图象只

有一个交点，试求m的值.

【答案】(I)一次函数的解析式为%=—[x+6,反比例函数的解析式为'=苫

(2)0<a<3或a>6

(3)m的值为6+4或或6-4或

【分析】(I)分别用待定系数法即可求出反比例函数与一次函数的解析式；

(2)根据题意画出图象，由图象直接可得到答案；

(3)先求出平移后的直线的解析式，在联立反比例函数，得到一个一元二次方程，由A=0,进行计算即

可得到答案.

【详解】(I)解：将4(3,4),8(6,2)代入％=自%+6(比¥：0),

.b=6

・••一次函数的解析式为：yi=-1x+6,

将4(3,4)代入反比例函数y=0(&£0,x>0),

得4=小

解得:k7=12,

・••反比例函数的解析式为：y=-：

(2)解：根据题意画出图如图所示：

二过点P(a，0)作x轴的垂线，与直线％=k/+b(kiH0)和函数y=§(心00,x>0)的图象的交点分别

为点M,N,

当点M在点N下方时，a的取值范围为：0Va<3或a>6；

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(3)解：•••将直线48向下平移m(m>0)个单位长度，

得到的新函数的解析式为：y=-lx+6-m,

•••平移后的直线与反比例函数y=§仅2工0,x>0)的图象只有一个交点，

-^x+6-nt=y,即—1%24-(6-m)x-12=0只有一个解，

:.△=(6-m)2-4xx(-12)=0,

解得：m=6+4及或m=6-4立，

二771的值为6+4々或6-4&.

【点睛】本题主要考杳待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，

一元二次方程的根与判别式的关系，采用数形结合的思想解题是解题的关键.

17.(2023・浙江•一•模)如图，已知A的坐标是(4,4),481%轴于点用反比例函数y=£(x>0)的图象分

别交4。，/W于点C,。，连接OD,△080的面积为2.

(1)求上的值和点C的坐标.

(2)若点P(Q,b)在该反比例函数图象上，且在△AB。的内部(包括边界)，求〃的取值范围.

【答案】(1次=4：(2,2)

(2)1<b<2

【分析】(1)根据反比例函数的上值意义，求出攵的值即可：先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解

析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可：

(2)先求出点。的坐标，然后根据点C和。的坐标，求出〃的取值范围即可.

【详解】(1)解：•••SAOBD=2,

:.k=4,

・••反比例函数为y=焚)，

设直线。/1解析式为y=mx,

将4(4,4)代入得，4m=4,

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Am=1,

...直线。/1解析式为y=x②，

由①②得/=4,

*.x=-2(不合题意，舍去)，x=2,

・・.。为(2,2).

(2)解：将％=4代入y=%得y=l,

・•・点。的坐标为(4,1),

•・,点P(a/)在该反比例函数图象上，且在△48。的内部(包含边界)，且C的坐标为(2,2).•.由图象得1SbS

2.

【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交

点坐标，解题的关健是热练掌握反比例函数中k的几何意义.

类型三一次函数与几何图形的综合问题

18.12024•浙江宁波•二模)如图，在平面直角坐标系中，4(0,4),8(4,0),。是y轴负半轴上一点，连结8C,

将线段8c绕着点8逆时针旋转90。得到线段BD,连结4。交x轴于点E,若点E横坐标为3.

(I)求直线48的解析式；

(2)求点C坐标：

(3)在％轴和直线上分别找点P,Q,使得8、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，直接写出点P坐标.

【答案】(1»=—戈+4

⑵(。,-2)

(3)(-2.5,0)或(8.5,0)或(-0.5,0)

【分析】(1)设直线48的解析式为y=依+匕，将力(0,4),8(4,0)代入丫=而+8之中求出鼠b即可得直线

AB的解析式;

(2)过点。作DF1%轴于F,先证AOCB和AFBD全等得OC=BF,OB=FD=OA=4,进而证△CME和AFOE

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全等得OE=E尸=3,由此可得0C=8尸=2,由此可得点C的坐标:

(3)先求出直线AD的解析式为y=-g%+4,可设点Q(q,-gq+4),再设点P(p,O),根据点8、。、P、Q构

成的四边形是平行四边形，因此有以下两种情况：

①当BC为平行四边形的一边时，又有两种情况：(i)当点Q在BC的上方时，连接CQ交工轴于T,则点T是CQ

和PB的中点，对于P(p,O),8(4,0),则点丁(个,0),对于C(0,-2),Q(q,-：q+4),则口匕当今，由此得

方程解出p求解，据此解出p可得点P的坐标；(ii)当点Q在8。的下方时，连接PC,8Q交于点T,则点7是8Q

和PC的中点；②当8C为平行四边形的对角线时，连接PQ交HC于T,见点了是和PQ的中点.同理分别列

方程求出p的值得出P的坐标.

【详解】(I)解：设直线的解析式为：y=kx+b,

将4(0,4),8(4,0)代入丫=依+从得：解得：｛1111'

直线48的表达式为：y=-%+4：

(2)过点。作D51》轴于F,如图1所示：

图I•.F(0,4),B(4,0),点E是｛。与x轴的交点，且横坐标为3,

••・04=08=4,OE=3,8E=4—3=1,

,:DF14轴于F,

乙COB=Z.BFD=90°,

•••乙0BC+乙OCB=90°,

由旋转的性质得:BC=DB,LCBD=90°,

•••乙08。+乙尸8D=90。，

:.乙0CB=乙FBD,

在A0CB和AF8D中，

LOCB=Z.FBD

乙COB=Z.BFD=90°,

BC=DB

•••&CCB=^FBD(AAS),

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:.OC=BF,OB=FD=4,

:.OA=FD=4,

在A04E和△尸DE中,

Z.AOE=乙DFE=90°

LAEO=乙DEF,

OA=FD

:.^OAES△FDE(7L4S),

:.OE=EF=3,

BF=EF-BE=3-1=2,

OC=BF=2,

•••点C的坐标为(0,-2)：

(3)设直线4。的解析式为：y=mx+n,

n4m

将4(0,4),E(3,0)代入y=mx+71,得：卜~n»解得：~~

137n+71=U(几=4

直线4。的解析式为：y=-1x+4,

•・•点Q在直线力。上，

•••设点Q(q,-gq+4),

•.•点P在x轴上，

••・设点P(p,0),

•.•点B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，

・••有以卜两种情况：

①当8c为平行四边形的一边时，又有两种情况：

(i)当点Q在BC的上方时，连接CQ交工轴于T,如图2所示：

根据平行四边形的性质得，点、T是CQ和P8的中点,

对于P(p,0)，8(4,0),则点T(管,0),

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对于C(0,-2)，Q(q,-gq+4)),则7停,三空)

(E=0

"I，p+4，

[2--

由t；6=0,解得q=1.5,

将q=1.5代入：誓，得：p=-2.5,

.♦.点P(—2.5,0)；

(ii)当点Q在BC的下方时，连接PC,BQ交于点T,如图3所示:

图3

根据平行四边形的性质得，点7是8Q和PC的中点,

对于P(p,0)，C(0,-2),则点7g,-l)，

对于8(4,0),Q(q,—gq+4),则T(手，一gq+2).

(2

-±+2=-l

,,3“g

"<7+4_P'

--i

由-jq+2=-l,解得：q—4.5,

将q=4.5代入等=旨得p=8.5,

二点P(8.5,0)；

②当8c为平行四边形的对角线时，连接PQ交8c于T,如图4所示:

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根据平行四边形的性质得，点T是BC和PQ的中点，

对于8(4,0),C(0,-2),则点7(2,-1),

对于P(p,0)，Q(q,—gq+4),则7(等,一|q+2),

+2=-1

-I等二2，

由-:q+2=1,解得：q=4.5,

将q=4.5代入号=2,得：p=-0.5,

•••点P(-0.5,0).

综上所述：点P的坐标为(一2.5,0)或(8.5,0)或(一0.5,0).

【点睛】此题主要考查了•次函数的图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定

系数法求•次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，分类讨论

是解决问题的难点，漏解是易错点.

19.12U23•浙江金华•二模)在平面直角坐标系中，若图形M与图形/V中，分别存在由尸，Q关于直线y=/o:对

称，则称这两个图形“轴对称”.如瓯正方形48CD各顶点的坐标分别是4(1,1),8(1,0),C(2,0),

D(2,1).

y小

AD

~OHCx

(1)在点Pi(0,2),P2(0.3),4(-1,-2)中，哪些点与正方形—CD"轴对称”?若是，求女的值.

(2)后点。与点Q为“2轴对称”，求点Q的坐标.

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（3）直线y=:T+b与两坐标轴的交点.为E、F.若线段E"与正方形4RC/T”轴对称”,求b的范围.

【答案】（1）%（0,2）,k=l；。3（-1,-2）,k=-l；

⑶1WbW竽或一苧Wb4-1

t分析】（1）画出图形，根据“轴对称”的定义即可求解:

（2）求出直线QD的解析式及交点坐标即可解答：

（3）求出两种特殊位置的b的值即可解答.

【详解】（1）解：如图所示，点P2、23与正方形轴对称”,

k值分别是1、-1,

1\

P：

A

BC

•八

（2）解：如图，在直线y=2不上，取点K（l,2）,过点K作KT_Ly轴于点7,作直线。7*交。K于点J,

过点。作OG_Ly轴于点G,

■

尸2r

7(0,2),0(2,1),G(0,1)

：.0T=OG=2,TK=TG=1,

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'：LOTK=LDGT=90°,

A△OTK三△DGT（STIS）,

:.乙TOK=乙GDT,

•:乙GDT+乙GTD=90°,

...ZTOK+乙。0=90°,

：./.0JT=90°,

：.DTLOK,

•••点Q在直线DT上，

;直线DT的解析式为y=-^x+2,

#=T+2,

Iy=2x

・••解得：{£

（y=s

・优，J

・：［D=}Q,

•・•Q（4T）=

（3）解：如图所示，连接OD,

则OD=V22+l2=V5,

当点D的V轴对称”在EF上时，

直线y=；x+8与以点。为圆心，。。长为半径的圆相切时，〃取到临界值，如图所示:

OH=OD=V5,且EF与圆O相切于点〃，

当b>0时，

直线y=±x+b,当％=0时，y=b,当y=0时，x=~~b,

34

：・0F=b,OE=-b,

4

：.EF=VOF2+OE2=—,

4

.••沙・。£=沙•。从

解得b=竽，

当点B的“A轴对称”在线段EF上时,

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线段E尸与以点。为圆心，0B长为半径的圆有交点，当点产与点(0,1)重合时，力取的最小值，如图所示:

此时y=枭+b经过点(0,1),

=1,

・•・此时1”：

同理当b<0时，可得一苧WbW-1；

综上可得：或一竽464一1

【点睛】本题考查了儿何变换综合题，•次函数的性质，新定义，轴对称变换的性质，理解题意，寻找特

殊点是解决问题的关键