北师版九年级数学下册教案

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第一章

直角三角形的边角关系

1锐角三角函数

第1课时锐角的正切

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

•情景导入如图是意大利著名的建筑一一比萨斜塔，是世界著名建筑奇观，位于意大

利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场四大建筑之一，也是意大利著名的标志

之一.它从建成之日起便由于土层松软而倾斜，应该如何来描述它的倾斜程度呢？

【教学与建议】教学：创设真实的情景吸引学生的注意力，激发求知欲.建议：启发学

生大胆猜想，鼓励各种新鲜的想法.

•归纳导入1.如图，两个斜坡4?和加；哪个更陡一些？你是如何判断的？

Be[FG

解：/泸更陡.、=，・•・/：尸更陡.

•.•A77C52<7I7tG=1,

（第1题图）（第2题图）

2.如图，梯子/山沿墙如下滑到⑦处，OA=OD=\,0B=0C=3,梯子在/历和。处哪

个更陡一些？如何用图中数据判定？

HIOA4OC3

解:仍更陡.历=§，万=大

OAOChs

■:命丽・"8更陡

B

才/^//的对边

A/4的邻边C

【归纳】如图，在RtZVI回中，锐角A的对边与邻边的比叫做//的正切，记作

tanA,g|Jtan力=_§篇麴Ian力的值越大，斜坡越陡.

【教学与建议】教学：计算比较哪个斜坡陡一些从而导入课题,过渡自然.建议：猜想

一一计算一一归纳，放手让学生自己解决.

二、命题热点分析与示例

*命题角度1根据定义求锐角的正切值

在直角三角形中，如果锐角确定，则其正切值等于这个角的对边与邻边的比值.

【例1】在中，ZC=90°,AC=2,BC=3,则tanA=（B）

A2B3岖岖

321313

5

【例2】在RtZX/1欧中，NC=90°,力8=13,80=5,则tanA=返一♦

*命题角度2利用正切函数求线段的长

N/1的对边

根据正切的定义tanA=可以变形出两个计算公式：对边=邻边义正切，邻边

N力的邻边

对边

正切.

3

【例3】在直角三角形中，有一锐角的正切值为“两直角边长的和为14,则斜边长是(D)

3

A.15B.14C.=D.10

□

【例4】在。中，NC=90°,4B=#,tan力=乎

则8c的长是_也_

*命题角度3正切的应用一一坡度坡角问题

坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，也称为坡比.

［例5］如图是拦水坝的横断面，斜坡月8的水平宽度为10m,斜面坡度为1:2,则斜

坡加，的长为(B)

C.12mm

(例5题图)

【例6】某人从点力沿着坡面力〃前进了6m到达点8的位置，此时他在垂直方向上上升

了2m,则坡面力〃的坡度为—乎

*命题角度4在平面直向坐标系中求值

在平面直角坐标系中，利用正切可以求点的坐标.关键是通过辅助线构造直角三角形.

3

【例7】如图，点/1(2,力在第一象限，0力与x轴所夹的锐角为a,tan。则£

的值是⑴)

A.1B.1.5

(例7题图)(例8题图)

【例8】如图，H12,a)在反比例函数y=—(x>0)的图象上，/W_Lx轴于，，则lanZ

A

5

必归的值为—含

JL乙

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.经历探索直角三角形中边角关系向过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用lan/l表示宜角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,

能够用正切进行简单的计算.

3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，了解数学与生活的密切联系.

二、教学重难点

▲重点

掌握正切的定义及基本应用.

▲难点

利用正切的有关知识解决实际生活的问题.

三、教学活动

♦活动1创设情境导入新课（课件）

你知道图中建筑物的名字吗？是的，它就是意大利著名的建筑一一比萨斜塔，是世界著

名建筑奇观，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场四大建筑之一，

也是意大利著名的标志之一.它从建成之日起便由于土层松软而倾斜，应该如何用数学方法

来描述它的倾斜程度呢？

♦活动2实践探究交流新知

【探究1】

在图中，梯子力〃和仔、哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

梯子比梯子/犷更陡.

方法一：从图中很容易发现//步6>/£7刃，所以梯子/由比梯子哥'陡.

方法二：因为力4口，所以只要比较8C,外的长度即可判断哪个梯子陡.因为腔力,

所以梯子月8比梯子旗陡.（比较梯子的底部到墙角的距离来判断）

结论：竖直高度相等时，水平宽度越短，梯子越陡.

【探究2】正切的定义

如图，若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离进而无法刻画梯子

的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？

/CC

小明想通过测量AG及月G,算出它们的比，来皆明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通

过测量AG及1C,算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？

（l）Rt△45G和有什么关系？

⑵竿和

~AG有什么关系？

/IC1

⑶如果改变氏在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？

结论：由相似三角形的对应边成比例，得缪=令，即爷=窄・

历Q八S/IC]/IC2

BCBG

如果改变屋在梯子上的位置，总可以得到1“△/!戾CsRi△/史G,仍能得到,因

AGAG

丝

此，无论人在梯子的什么为置（除点力外）,~AG~AQ总成立.

【归纳】如图，在RI△力/勿中，如果锐角4确定，那么的对边与邻边的比便随之确

/力的对边

定，这个比叫做N力的正切，记作tan4即tan

A—N加勺邻边.

B

/力的对边

.力的邻边’

注意：

1.tan力是一个完整的符号，它表示/力的正切，记号里习惯省去角的符号“N”.

2.tan力没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/力的对边与邻边的比.

3.tan月不表示“tai”乘“月”.

4.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，是一个锐角.

【探究3】坡度的定义

如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

13m

8m

甲

(Dtan。和tan。的值分别是多少?

⑵你能比较tan。和tan£的大小吗？

(3)根据lan1的值越大，梯子越陡，你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？

(2)tana>tan£；

(3)Vtana>tan万，，甲扶梯更陡.

【归纳】坡面与水平面的夹角称为坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比(即坡角的正切)

称为坡度(或坡比).坡度越大，坡面就越陡.

♦活动3开放训练应用举例

【例1】在△/必。中，Z6^=90°,BC=6cm,/1B=1Ocm,求tan力和tan8的值.

【方法指导】先求出4。，利用正切定义"J求出.

34

解：由勾股定理，得4。=8,则tan月=亍，tan/?=-

【例2】如图，某人从山脚下的点力走了130m后到达山顶的点8已知点8到山脚的垂

直距离为50m,求山的坡度.

【方法指导】先求出4C,求出tan1即为山的坡度.

解：由勾股定理，得化=120m,

5

则tanA=—

5

答：山的坡度为0.

14

♦活动4随堂练习

课本巴随堂练习.

答案：

1.tanC=二.

4

2.山的坡度为0.286.

♦活动5课堂小结与作业

/力的对边

【归纳】(DianA=

/川I勺邻边.

(2)tan力的值越大,梯子越陡.

（3）坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坂比）.

【作业】课本巴习题1.1中的「、丁2、”

四、作业布置与教学反思I

在解决实际问题中引发认知冲突，发现已有知识不能直接解决问题，需建立新的模型，

通过探究、归纳得出正切的定义，再运用这一定义进行计算加以巩固，整个流程符合学生的

认知规律，是一个从己有知识发展出新知识的过程.

第2课时锐角的正弦、余弦

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

・置疑导入

1.什么是锐角的正坛？

2.当直角三角形的锐角确定时.，正切值与什么有关？与直角三角形的大小有没有关系？

3.当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？

4.梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？

【教学与建议】教学：通过提问正切的有关知识，导入新课，问题层层递进，为本节课

的学习做好准备.建议：留给学生充足的思考时间，让学生积极动脑.

•类比导入如图，研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法:一是用梯子的倾斜角来刻画，

倾斜角越大，梯子越陡；二是用倾斜角的对边与邻边之比（即倾斜角的正切）来刻画，正切值

越大，梯子越陡.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢？模拟试验，探究梯子摆

放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关.

3.5m

F

1.3m

①②

【教学与建议】教学：动手操作及量一最活动最易激发学生的想象、思维和发现，类比

求正切值导入求其他函数值，激发了学生的学习热情.建议：在学生操作时丁教师要引导学

生进行思考、分析，发现规律.

二、命题热点分析与示例

*命题角度1三角函数的定义

将正弦、余弦、正切与点的坐标、三角形等知识结合，构造直角三角形，计算相应的线

段长，从而得到所求的三角函数值.

【例1】如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（6,8）,那么sin。的值是（。）

（例1题图）（例2题图）

2.如图，在4X4的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，△1比的顶点都在格

点上，则N刈。的余弦值是—斐

*命题角度2梯子倾斜速度与锐角三角函数关系

正弦、正切值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡.

【例3】如图，梯子与地面所成的锐角为/胡£关于/砌C的三角函数值与梯子倾斜程

度的关系，下列叙述正确的有(B)

①tanN8/1C的值越大，梯子越陡；

②tanN8/1C的值越小，梯子越陡：

③sinNE1C的值越大，梯子越陡；

④cos上的C的值越小，梯子越缓.

A.1个B.2个C.3个I).4个

【例4】如图，拦水城的横断面为梯形/厉切，BC//AD,斜坡/步的坡度为1：3,坝顶宽

BC=3m,坝高为4m,斜坡口的长为5m.

⑴试比较斜坡四和⑦哪个更陡；

(2)求坝底月〃的长.

AF.FD

解：⑴过点。作纺1月〃于点'则”=4m.

在叨中.根据勾股定理.得FD=弋E-7=邓一=3(0.

4

tanD=~

J

Vtan力=1，/.tanZ»tanA,

J

・•・斜坡⑦更陡；

⑵过点8作8口L4?于点£,则比'=4m,EF=BC=3m.

*人工BE1

在RS/18E中，*/tanA=—=~,

AE3

・"夕=3砂=3X4=12(m),

，力〃=力£'+"斗印=12+3+3=18(m).

即坝底力，的长为18m.

*命题角度3互余两角的三角函数关系

在△48。中，若N4+N8=90。，则sinJ=cosB,tanA•tanB=1.

i?

【例5】在RtZU欧中，Z6^90°,若sin/!=—,则cos8的值是(B)

£

【例6】在Rt△力欧中，Z6^90°,若tan力=乎，MtanB=_^3_.

o

杓命题角度4同角的正弦余弦之间的关系

对同一锐角a,都有sin%+cos?。=1.

3

【例7】在Rt△月比•中，NC=90°,若sin/1==，则cos力的值为(D)

□

834

B.-C.-D.

13□5

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.理解正弦、余弦的意义.

2.能够用sin4cos力表示直角三角形中直角边与斜边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

二、教学重难点

▲重点

根据百角三角形的边角关系，进行简单的计算.

▲难点

了解互余两角的三角函数关系并用它来解决实际问题.

三、教学活动

♦活动1创设情境导入新课(课件)

上节课，我们研究了“陡”这个字，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”是与梯顶、梯脚

到墙角的距离比有关的.如图，研究梯子接放的倾斜程度有两种方法：一足用梯子的倾斜角

来刻画，倾斜角越大，梯子越陡；二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画，

正切值越大，梯子越陡.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢？卜面请同学们模

拟试验，

图①图②

♦活动2实践探究交流新知

【探究1】

如图，请思考：

(DRtZ\/15G和口△/房仁的关系是什么？

(2)爷的关系是什么？

篝的关系是什么？

(3)如果改变外在斜边上的位置，则

思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与

斜边的比值________,根据是.它的邻边与斜边的比值呢？

解:(D相似;

B\CiBiCz

⑵ABxAB＞，

(3)相等.

思考：相等相似三角形对应边成比例邻边与斜边的比值也相等.

N力的对边

【归纳】/力的对边与斜边的比叫做N4的正弦,记作sin儿BPsinA=

斜边

/力的邻边

的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作cos力，即cosA=

斜边

B

斜边

/力的对边

乙1的邻边'

注意：

1.sinA,cos力中常省去角的符号“N”；

2.sinA,cos力没有单位，它们都表示一个比值;

3.sinA,cos力是一个完整的符号，不表示“sin”或“cos”乘aAn；

4.在初中阶段，sinA,cos/I中，N/l是一个锐角；

5.0<sinA<1,0<cos4Vl(N力是锐角).

【探究2】梯子的倾斜程度与sin月和cos力的关系

问题：我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tan1有关系：tan力的值越大，梯子越陡.由

此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sin/1,cos/1有关系呢？如果有关系，是怎样的关系？

伊

A4

解：如图，AB=A限

・•人qBC

在RtZ\/18C中，sin/!=—,

*人」&C

在。中，sin

A\B\

/?c

因为K力，即sin/KsinN8MC,而梯子48比梯子/出陡，所以梯子的倾斜程度与

ADA\D\

sin力有关系.sin1的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.

因为cosA=专,cos仁春，且力6=4笈，所以5>1，

即cos心cosNaAC

所以梯子的倾斜程度与cos4也有关系.cos力的值越小，梯子越陡.

【归纳】正弦越大，角越大，梯子越陡；余弦越小，角越大，梯子越陡.

♦活动3开放训练应用举例

【例1】如图，在RI△力比中，ZZ?=90°,AC=2()0,sin4=0.6,求他的长.

【方法指导】利用sin/1=;^即可求出.

解：在RI△力应'中，VsinA=-即诉=0.6,

/IOf/UU

.*.^=200X0.6=120.

【例2】在RtZ\/14。中，Z6^90°,AC=3,BC=4.

⑴求sinAWcos6的值;

(2)求sin8和cos4的值;

⑶由(D(2)你有什么发现？你能证明自己的发现吗？

44

解：(l)sinA--,cosB—~\

bo

33

(2)sinB=W，cos/=：；

oo

(3)若N4+NA=90°,则sinJ=cosB,sin4cosA.证明略.

♦活动4随堂练习

1.在RtZVl砥中，若各边的长度同时都缩小2倍，则锐角力的正弦值(C)

A.缩小2倍B.缩小1倍

C.保持不变D.不能确定

2.已知NH,N4为锐角.

(1)若/月=NH则sinA=sinB；

(2)若sin/l=sinB,则N/!=N/Z

3.课本P«随堂练习.

♦活动5课堂小结与作.'也

【归纳】(l)sin4的值越大,梯子越陡；cos/的值越小,梯子越陡；

(2)方法规律：

角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.

【作业】课本R习题1.2中的「、L.

四、作业布置与教学反思＞

通过类比正切的概念得出正弦、余弦的概念，同时导中三角函数的概念；结合勾股定理、

三角形内角和定理等知识，让学生理解三角函数的意义，找出正切、正弦和余弦之间的关系,

并能进行简单的计算.少数学生对■用函数的观点理解正弦、余弦和正切还比较模糊.

230°,45°,60°角的三角函数值

教师备课素材示例

•置疑导入如图，为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60。

两个锐角的三角尺；②皮尺.你能利用上述测量工具测出这棵大树的高度吗？

(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)

【教学与建议】教学：以生活中的实例入手，激发学生的学习热情.建议：在学生

操作时，教师要引导学生进行思考、分析.

•复习导入1.锐角0的三角函数有哪几种？如何表示？

答：将锐角力的正弦、余弦、正切统称为/力的三角函数.

N力的对边的邻边,N/1的对边

sinA=cosA=

斜边斜边加的邻边

2.在中，NC=90°,若tan力=J,则sinA=,cosA=.

【教学与建议】教学：复习内容层层递进，为新课的学K奠定基础.建议「学生回

答后，教师及时纠正问题.

•悬念激趣网络购物从一个新生事物变成了越来越多的人选择的购物方式.本课老师

也准备了几件物美价廉的宝贝(如图)，投放进几家商铺进行出售，你们有没有信心抢到呢？

很好，我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧，看谁能抢到它们！(利用多媒体投影)

商铺:

积极性.建议：让学生独立思考，解决问题.

二、命题热点分析与示例

*命题角度1利用特殊角的三角函数值求线段长度

构造直角三角形，把特殊角放在直角三角形中，借助特殊角的三角函数值进行计算.

【例1】如图，在△月比t中./C为钝角./4=30°,tan8=1."=2镉,则助等干

(A)

fi

A.3+^3B.2+2/

9

C.5D.~

乙

【例2】如图，力〃是△力8。的中线，tan8=4,cos0=乎，AC=y[2.

O乙

⑴求究的长;

⑵求sinN4T的值.

解：(1)过点/I作力均L回于点£

VcosC=乎，/.Z6=45°.

在RtA4"中，CE=AC^cosC=l,：.AE=CE=\.

4人q1ME1

在Rl△川阳中，tanB=~,即俞.=三，

3Bk3

・••储=3月£=3,:.BC=BE+CE=3+\=k

(2)VAD是△/回的中线，:.CD=』BC=2.：.DE=CD-CE=\.

YAEIBC,DE=AE,；・/力ZT=45°.AsinAADC=^.

*命题角度2由特殊三角函数值求角度

由特殊三角函数值求得对应的特殊角度，再展开相关计算.

【例3】在△他:中，若sin+yjcosi?-1=0,则/C的度数是(D)

A.30°B.45°C.60°D.90°

【例4】已知乙4是△彼的内角，且sin牛=噂，则lanJ=_乎一

乙乙乙J

*命题角度3利用特殊角的三角函数值计算

在考查实数的运算时，熟知零指数寤的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值,

再根据实数混合运算的法则进行计算即可.

【例5】计算：

(l)Ay(l-4cos30°sin600)24-(-2)-1-(^/2023-2024)°；

解：原式=1-4义平X书一.1

1

=2一厂

1

=­•

2,

,sin245°4-tan60°•cos30°

(2x)--------------------------

^2cos450+tan450

=2

=1.

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.经历探索30°,45°,60°角的』角函数值的京程，能够进行有关的推理，进一步

体会三角函数的意义.

2.能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°,45°,60。角的三角函数值说明相应的锐角的大小.

二、教学重难点》

▲重点

能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.

▲难点

在具体情境中构建直角三角形，运用特殊角的三角函数值解决实际问题.

三、教学活动!

♦活动1创设情境导入新课（课件）

在直角三角形中（利用一副三角尺进行演示），如果有一个锐角是30°（如图①），那么另

一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45。呢（如图②）？由此你

能发现这％特殊锐角的三角函数值吗？

图①图②

♦活动2实践探究交流新知

【探究】特殊角的三角函数值

1.如图，在Rt△力眩中，zr=90°,ZA=30°,那么a,b,。三者之间有怎样的关系？

2.sin30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流.

3.cos300等于多少？tan300呢？

4.sin60°,cos60°,tan60°呢？

5.45°角的三角函数值分别是多少呢？

6.填写表格:

sintan

三角函数值a

acosa

30°

45°

60°

【归纳】sin30c=J,sin45°=半，sin60°=坐;

乙乙乙

cos30°=~T-,cos45°=-T-,cos60°=~；

乙乙乙

r

tan300=弓-，tan450=1,tan60°二木.

J

♦活动3开放训练应用举例

【例1】计算:

（1）sin300+cos45°；

（2）sin260°4-COS260C—tan450.

【方法指导】熟记（特殊角）三角函数的值，计算时一般不取近似值.

解：（l）sin30°+CGS45°=[+乎；

（2）sin^O04-COS260':—tan450=（乎尸+（；）?—1=：+；—1=0.

【例2】一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为

60°,且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果

精确到0.01m)

【方法指导】根据题意画出图形，根据图形构造直角三角形，找出图中的特殊角，最后

根据特殊的三角函数值求出正确结论.

解：如图，根据题意可知，ZJ/29=1x60°=30°,01)=2.5m,

：.()C=ODcos30°=2.5X乎和2.165(m).

,••力C=2.5-2.165=0.34(m).

所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.

♦活动4随堂练习

1.课本汽随堂练习.

1yR

2.在△月比中，/4N4都是锐角，且sinA=~,cos/，=与，则△力应、的形状是(B)

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.不能确定

福

3.在△48c中，/。=90°,/8=2/月，则tanA=_

o

♦活动5课堂小结与作业

【归纳】探索特殊角的三角函数值.

【作业】课本％习题1.3中的小丁2、丁3、.

四、作业布置与教学反思＞

本节课通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学

生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，对学生锻炼克服困难的意志，建

立自信心很有帮助，以后教学中要继续发扬.

R三角函数的计算:

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

・类比导入如图，当登山缆车的吊箱经过点〃到达点〃时，它走过了200m.已知缆

车行驶的路线与水平面的夹角为=45°,那么缆车垂直下降的距离是100^/2m_,当

缆车的吊箱从点6到达点4,它走了200m,N8=16°,你能求出缆车垂直下降的晅离吗？

【教学与建议】教学：用贴近学生生活的问题情境导入课题，由特殊角45。到求

sin16°的值，由此引出一般锐角的三角函数值的计算问题.建议：在学生操作时.，教师要

引导学生进行思考、分析.

•情景导入如图，跷跷板18的一端8碰到地面时，力6与地面的夹角为15°,且总=

仍=2m.你能求出此时另一端力离地面的高度吗？

要求另一端力离地面的高度.实际上就是求百角二角形的百角功，所以只要求出sin4

的值即可，但是15°不是特殊角要怎么办呢？

【教学与建议】教学：在直角三角形中解决问题，学生直接得到另一端力离地面高度为

AB-sin15°,让学生想到需要求一般角的三角函数值.建议：直接展示图形、题目，让学

生独立思考，提出解决方案.

二、命题热点分析与示例，

*命题角度1利用一般角的之角函数解决仰角、俯角问题

利用三角函数值计算仰角、俯角问题时，根据仰角、俯角构造直角三角形，利用三角函

数求解.

【例1】赵强同学在距某电视塔塔底水平距离600nl处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身

高因素），则此塔高乡勺为2高m.（结果保留整数，参考数据：sin20°^0.3420,sin70°

^0.9397,tan20°^0.3640,tan70°^2.7475）

【解析】画出示意图，如图.在RtZk/1砥中，/国=600m,ZBAC=20°.

Be

V-=tan20°，：.BC=ABtan200*600X0.3640^218(m).

AB

【例2】如图，海面上一艘船由西向东航行，在力处测得正东方向上一座灯塔的最高点C

的仰角为31。，再向东继续航行30m到达8处，测得灯塔的最高点。的仰角

C

A/?/）

为45。，根据测得的数据，计算这库灯塔的高度（结果保留整数.参考数据：sin31°

心0.52,cos31°"0.86,tan31°*0.60)

解：在Rt△加9中，/侬=45°,

:'BD=CD.在RSADC中,N4=31°,48=20,

CDCD

,tan31u即n再涌0-66X^45m.

答；这座灯塔的高度切约为45m.

*命题角度2利用一股角的三角函数值表示线段长

当题目中没有给出一般角的三角函数值时，先构建直角三角形，再用一般角的三角函数

来表示线段长.

【例3】如图，在地面上的点火处测得树顶8的仰角为a,AC=2,则树高颇为（用含

a的代数式表示）（B）

2

A.2sinaB.2tanaD.

tana

B

（例3题图）

【例4】某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆力8的长为（B）

9955

A.1":mB.7mC.~~:mD.-

5sina5cosa9sina9cosa

*命题角度3构造图形计算一般角的三角函数值

当求一般角（如15°,22.5°,67.5°等角）的三角函数值时，可以通过构造直角三角形,

把•般角转化成特殊角，最后利用边的数量关系求出•般角的三角函数值.

DC

【例5】小明在学习,锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片4％9沿过点8的

直线折叠，使点力落在比边上的点£处，还原后，再沿过点£的直线折叠，使点力落在比

边上的点尸处，这样就可以求出67.5。角的正切值是而+1.

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.经历用计算器求已知锐角的三角］数值的过程，进一步体会三角函数的意义.

2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问

题的能力.

二、教学重难点

▲重点

1.用计算器求已知锐角的三角函数值；

2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

▲难点

能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

三、教学活动|

♦活动1创设情境导入新课（课件）

提出问题，引入新课：

如图，当登山缆车的吊箱经过点4到达点夕时，它走过了200nl.已知缆车行驶的路线

与水平面的夹角为/。=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01IT.）

问题：

(1)在口△/!a'中，sin。如何表示？

⑵你知道sin16°是多少吗？

⑶我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，怎样用科学计算器求三角函数值呢？

♦活动2实践探究交流新知

【探究1】用科学计算器求一般锐角的三角函数值

用科学计算器求三角函数值，要用到扇西"|和向键.

例如,求sin16°,tan85°和sin72°38'25"的按键顺序如下表所示.

按键顺序显示结果

sin160=

sin16°

S■■0.2756373558

tan85°=

tan850

*叵1⑶w11.4300523

工)❾匐封

sin72°38'25”=0.954450

sin72°38'25"

312

也强)■

回学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16。,tan85°,sin72°38'25",

看显示的结果是否和表中显示的结果相同.

［探究2］

(1)如图，为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m

长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少？

如图，在.RtA/1比中,sin［那么/力是多少度呢？要解决这个问题，我们可

/I*

以借助科学计算器.请与同伴交流你是怎么做的.

(2)已知三角函数值求知度，要用到|sin||cos|匾］键的第二功能飞行'cos-1,

tan和回面键.例如，己知sin4cos反tanC,求N/tZB,的度数的按键顺序

如下表所示.

按键顺序显示结果

A

sinA=0.9816sirf'O.9816=78.99184039

eitiinn

•行川•回

cos8=0.8607cos-10.8607=30.60473007

lelo!■!

♦2J回回直

tanC=56.78Un-，56.78=88.99102049

团度jm

♦活动3开放训练应用举例

【例1】如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm,深19.2mm,求V形角(N4㈤

的大小.(结果精确到1°)

【方法指导】根据题意，可知/E=20mmr77?_L/区传=%6Z?=19.2mm,要求乙九区

只需求出/力切(或N即可.

解：tanZJ6Z)=7^=7^T^0.5208,

ciJiy.z

・•・/力办27.5°,

・・・N/8=24dK27.5°=55°.

【例2】如图，在某海岛上的观察所力发现海上某船只〃，并测得其俯角。=16°,已

知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m,当时水位为+2.63m,求观娶所A

到船只8的水平距离.(精确到1m)

C

【方法指导】根据题目条件可求N8及力C的长，在Rt△4/中，利用N6的正切值即可

求出利的长.

解：在京△/1欧中，根据题意，得NQ16°,AC=43.74-2.63=41.ll(m).

答：观察所力到船只8的水平距离成约为143m.

♦活动4随堂练习

课本PM随堂练习

♦活动5课堂小结与作业

【作业】课本％习题1.4中的「、心、L.

四、作业布置与教学反思

本节课通过创设很多贴近学生生活实际的问题情境，提出引发学生思考的问题，让学生

经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题、解

决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维能力.

4解直角三角形

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

•情景导入要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角。

一般要满足50°WaW7