2025版新教材高中数学同步练习42总体离散程度的估计新人教A版必修第二册

同步练习42总体离散程度的估计必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．[2024·江苏南通高一期末]现有一组数据8，7，9，9，7，则这组数据的方差是()A．eq\f(2\r(5),5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(4,5)D．12．在某次足球联赛上，红队每场竞赛平均失球个数是1.6，全年竞赛失球个数的标准差是1.1；蓝队每场竞赛平均失球个数是2.2，全年竞赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的是()A．平均来说，蓝队比红队防守技术好B．蓝队很少失球C．红队有时表现很差，有时表现又特别好D．蓝队比红队技术水平更不稳定3．一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则此组数据的方差为()A．1B．2C．3D．44．甲、乙两名同学6次考试的成果统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，标准差分别为s甲，s乙，则()A．eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，s甲＜s乙B．eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，s甲＞s乙C．eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，s甲＜s乙D．eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，s甲＞s乙5．一组数据的方差为s2(s≥0)，将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为()A．eq\f(\r(2),2)sB．sC．eq\r(2)sD．2s6．[2024·福建福州高一期末]某数学老师在统计班级50位同学的一次数学周测成果的平均分与方差时，计算完毕才发觉有位同学的分数还未录入，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为91，2700，新平均分和新方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))，s2，若此同学的得分恰好为91，则()A．s2＞2700B．s2＜2700C．eq\o(x,\s\up6(－))＞91D．eq\o(x,\s\up6(－))＜917．[2024·江西赣州高一期末]在某次测量中得到的A样本数据为：20，21，21，22，22，22，23，23，23，23.若B样本数据恰好是A样本对应数据都加5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．标准差D．中位数8．(多选)[2024·江西上饶高一期末]一组数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差为4，关于数据3x1－1，3x2－1，…，3xn－1，下列说法正确的是()A．平均数是3B．平均数是8C．方差是11D．方差是369．(多选)[2024·辽宁沈阳高一期末]为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8.若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的()A．平均数为8.5B．平均数为8C．方差为10.5D．方差为10二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·安徽宣城高一期末]已知样本数据1，2，3，4，a的平均数是3，则数据2，4，6，8，2a的方差是________．11．[2024·河北邯郸高一期末]若一组数据a1，a2，…，a8的方差为2，则3(a1－2)，3(a2－2)，…，3(a8－2)的标准差为________．12．[2024·广东韶关高一期末]已知一组样本数据分为甲、乙两小组，其中，甲小组有10个数，其平均数为60，方差为200；乙小组有40个数，其平均数为70，方差为300，则这组样本的平均数为________，方差为________．三、解答题(共20分)13．(10分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲1，0，2，0，2，3，0，4，1，2乙1，3，2，1，0，2，1，1，0，1(1)哪台机床次品数的均值较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？14．(10分)甲、乙两人参与某体育项目训练，近期的五次测试成果(单位：分)如图所示：(1)分别求出甲、乙两人成果的平均数与方差；(2)请你对两人的成果作多角度的评价．关键实力提升练15.(5分)[2024·河南信阳高一期末]四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．依据四名同学的统计结果，可以推断出肯定没有出现点数6的是()A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.816.(5分)[2024·河南南阳高一期末]若已知30个数x1，x2，…，x30的平均数为6，方差为9；现从原30个数中剔除x1，x2，…，x10这10个数，且剔除的这10个数的平均数为8，方差为5，则剩余的20个数x11，x12，…，x30的方差为________．17．(10分)[2024·山东淄博高一期末]某校有高一学生1000人，其中男女生比例为3∶2，为获得该校高一学生的身高(单位：cm)信息，采纳分层随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4.(1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；(2)计算总样本方差．同步练习42总体离散程度的估计必备学问基础练1．答案：C解析：依据题意，得：eq\f(8＋7＋9＋9＋7,5)＝8，则这组数据8，7，9，9，7的平均数是8，所以这组数据的方差为eq\f(1,5)×[(8－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(7－8)2]＝eq\f(4,5).故选C.2．答案：C解析：因为红队每场竞赛平均失球数是1.6，蓝队每场竞赛平均失球数是2.2，所以平均说来红队比蓝队防守技术好，故A错误；因为蓝队每场竞赛平均失球数是2.2，全年竞赛失球个数的标准差为0.4，所以蓝队常常失球，故B错误；因为红队全年竞赛失球个数的标准差为1.1，蓝队全年竞赛失球个数的标准差为0.4，所以红队有时表现很差，有时表现又特别好，故C正确；因为红队全年竞赛失球个数的标准差为1.1，蓝队全年竞赛失球个数的标准差为0.4，所以蓝队比红队技术水平更稳定，故D错误．故选C.3．答案：B解析：由题意，eq\f(1,5)(6＋7＋8＋a＋10)＝8，解得a＝9，故此组数据的方差为eq\f(1,5)(22＋12＋12＋22)＝2.故选B.4．答案：C解析：由统计图知，甲同学的总体成果要好于乙同学的成果，且乙同学的成果波动较大，甲同学成果较稳定．∴eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，且s甲＜s乙．故选C.5．答案：D解析：设原来的数据的平均数为，则将该数据中每一个数据，都乘以2后，新数据的平均数为2，原来数据的方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，新数据的方差s′2＝eq\f(1,n)[(2x1－2)2＋(2x2－2)2＋…＋(2xn－2)2]＝eq\f(4,n)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝4s2，所以新数据的标准差为s′＝2s.故选D.6．答案：B解析：由题知，＝eq\f(49×91＋91,50)＝91，方差为s2＝eq\f(1,50)×(2700×49＋0)<2700.故选B.7．答案：C解析：设A样本的10个数据分别为xi，i＝1，2，3，…，10，则B样本的10个数据对应为xi＋5，i＝1，2，3，…，10，故B的众数，平均数以及中位数分别为A的众数，平均数以及中位数分别加5，A，B的标准差是一样的．故选C.8．答案：BD解析：设x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，则＝3，s2＝4.所以3x1－1，3x2－1，…，3xn－1的平均数为3－1＝3×3－1＝8，方差为32·s2＝32×4＝36.故选BD.9．答案：BC解析：由题意，该样本数据的平均数＝eq\f(10×9＋10×7,10＋10)＝8，方差s2＝eq\f(10,20)×[11＋(9－8)2]＋eq\f(10,20)×[8＋(7－8)2]＝10.5.故选BC.10．答案：8解析：因为样本数据1，2，3，4，a的平均数是3，所以eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋a)＝3，解得a＝5，所以数据2，4，6，8，10的平均数为eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以方差为eq\f(1,5)×[(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2]＝8.11．答案：3eq\r(2)解析：因为一组数据a1，a2，…，a8的方差为2，所以3(a1－2)，3(a2－2)，…，3(a8－2)的方差为32×2＝18，所以其标准差为3eq\r(2).12．答案：68296解析：＝eq\f(10,50)×60＋eq\f(40,50)×70＝68，s2＝eq\f(10,50)[200＋(68－60)2]＋eq\f(40,50)[300＋(70－68)2]＝296.13．解析：(1)甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×eq\f(1,10)＝1.5，乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×eq\f(1,10)＝1.2.∵甲>乙，∴乙车床次品数的平均数较小．(2)seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,10)[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.76，∵seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴乙车床的生产状况比较稳定．14．解析：(1)由折线图得，甲的近期五次测试成果分别为：10，13，12，14，16，乙的近期五次测试成果分别为：13，14，12，12，14，所以甲得分的平均数为eq\x\to(x)甲＝eq\f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13，甲得分的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,5)[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，所以乙得分的平均数为eq\x\to(x)乙＝eq\f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13，乙得分的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)结合分数的图象分布及趋势以及eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，我们得到以下评估结论：①甲、乙二人的平均成果相等，但乙比甲的成果更稳定，②甲的成果基本呈上升趋势，而乙的成果上下波动，③甲的成果在不断提高，而乙的成果无明显提高．关键实力提升练15．答案：C解析：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满意平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满意中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差s2＞eq\f(1,5)(6－2)2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，肯定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满意中位数为3，平均数为：＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋3＋6)＝3，方差为s2＝eq\f(1,5)[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选C.16．答案：8解析：由题意得x1＋x2＋…＋x30＝6×30＝180，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(30))＝9×30＋30×62＝1350，x1＋x2＋…＋x10＝8×10＝80，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝5×10＋10×82＝690，所以剩余的20个数的平均数为eq\f(180－80,20)＝5，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(30))＝1350－690＝660，所以剩余的20个数的方差为eq\f(660－20×25,20)＝8.17．解析：(1)把男生样本记为x1，x2，…，x25，平均数记为＝172，方差记为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x))＝9；把女生样本记为y1，y2，…，y25，平均数记为＝162，方差记为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y))＝16；把样本数据的平均数记为，方差记为s2；高一全体学生的身高均值