2025版新教材高中数学同步练习9平面向量数乘运算的坐标表示新人教A版必修第二册

同步练习9平面对量数乘运算的坐标表示必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．若a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则4a＋3b的坐标为()A．(5，12)B．(12，6)C．(12，5)D．(－12，－5)2．[2024·江苏镇江高一期中]下列各组的两个向量，共线的是()A．a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3))，b1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))B．a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))C．a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))，b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－14))D．a4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))，b4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，－5))3．[2024·山东德州高一期中]已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－6))，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，y))，若a∥eq\o(AB,\s\up6(→))，则y的值为()A．2B．－2C．3D．－34．在平面直角坐标系xOy中，点P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0))，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近P1点)，则向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，6))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))5．[2024·辽宁沈阳高一期末]已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，1))，且a＋b与2a－b平行，则x＝()A．10B．－10C．2D．－26．[2024·河南杞县高一期中]已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则k＝()A．－2B．－1C．0D．17．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向8．(多选)下列向量中与a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))共线的是()A．b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))B．c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))C．d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－3))D．e＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，6))9．(多选)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ma＋c))∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋nb))(m，n∈R)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，n))可能是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·广东东莞高一期中]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，且c＝λa＋μb，则λ和μ的值为________．11．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且eq\o(AB,\s\up6(→))与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．12．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，7))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－1))，若A，B，D三点共线，则m＝________．三、解答题(共20分)13．(10分)已知点A(－1，1)，B(2，－1).(1)若直线AB上点D满意eq\o(AD,\s\up6(→))＝－2eq\o(BD,\s\up6(→))，求点D的坐标；(2)若点C(k，3)在直线AB上，求实数k的值．14．(10分)[2024·河北师范高校附中高一期中]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－4))，求：(1)若c＝ma＋nb，求m＋n；(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ka＋b))∥c，求k的值．关键实力提升练15.(5分)已知Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))和Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，3))两点，若点P在直线OA上，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，P又是OB的中点，则点B的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－2))16.(5分)已知A(0，5)，B(－1，0)，C(3，4)，D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的eq\f(1,4)，则△ABC的重心G的坐标是________，D的坐标是________．17．(10分)已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，4))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b)).(1)若A，B，C三点共线，求a与b满意的关系式；(2)若A，B，C三点共线，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))，求点C的坐标．同步练习9平面对量数乘运算的坐标表示必备学问基础练1．答案：C解析：因为a＝(3，2)，b＝(0，－1)，所以4a＋3b＝(12，5).故选C.2．答案：C解析：对于A中，由a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3))，b1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))，可得－2×6－3×4≠0，所以两向量不共线；对于B中，由a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))，可得2×2－3×3≠0，所以两向量不共线；对于C中，由a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))，b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－14))，可得－14×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))×7＝0，所以两向量共线；对于D中，由a4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))，b4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，－5))，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5))－2×6≠0，所以两向量不共线．故选C.3．答案：B解析：因为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－6))，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，y))，且a∥，所以3y＝－6，解得y＝－2.故选B.4．答案：A解析：设P(x，y)，由题得P1P＝eq\f(1,3)P1P2，∴(x－1，y－3)＝eq\f(1,3)(3，－3)＝(1，－1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝1,y－3＝－1))，∴x＝2，y＝2.故＝(2，2).故选A.5．答案：C解析：由题意可得a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋x，2))，2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－x，1))，若a＋b与2a－b平行，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋x))×1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－x))，解得x＝2.故选C.6．答案：D解析：若A，B，C三点不能构成三角形，则三点共线，即＝(1，2)，＝(k，k＋1)，所以1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋1))－2k＝0，得k＝1.故选D.7．答案：D解析：依题意得c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k，1))，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1))，又c∥d，则－k－1＝0，得k＝－1，所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))＝－d，即c与d反向．故选D.8．答案：CD解析：向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，因1×2－3×1≠0，则b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))与a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))不共线，A不是；因1×3－3×(－1)≠0，则c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))与a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))不共线，B不是；而d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－3))＝－a，e＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，6))＝2a，则d，e与a都共线，即C，D是．故选CD.9．答案：ABD解析：由题意得a＋nb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2n，1＋3n))，ma＋c＝(3m－1，m＋2)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ma＋c))∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋nb))可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋2))＝(1＋3n)(3m－1)，整理得mn＝n＋1.对于选项A，2×1＝1＋1，故选项A正确；对于选项B，0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝－1＋1，故选项B正确；对于选项C，3×2≠2＋1，故选项C错误；对于选项D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋1，故选项D正确．故选ABD.10．答案：λ＝－1，μ＝0解析：因为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，c＝λa＋μb，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋μ，μ))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝－1,μ＝0))，解得λ＝－1，μ＝0.11．答案：eq\f(3,2)解析：设B(x，y)，则由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,2)＝3,\f(－2＋y,2)＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝4))，则B(5，4)，所以＝(4，6)，因为与向量a＝(1，λ)共线，所以4λ＝6，得λ＝eq\f(3,2).12．答案：0解析：由＝＋＝(m＋3，6)，又A，B，D三点共线，所以＝λ且λ∈R，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ（m＋3）＝1,6λ＝2))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3),m＝0)).13．解析：(1)因为＝－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xD－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xD－2)),yD－1＝－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yD－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))))))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xD＝1,yD＝－\f(1,3)))，所以D点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,3))).(2)设＝λ，且＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－2))，λ＝(λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋1），2λ))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋1))＝3,2λ＝－2))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1,k＝－4))，所以k＝－4.14．解析：(1)因为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－4))，所以ma＝(2m，－m)，nb＝(n，2n)，所以ma＋nb＝(2m＋n，－m＋2n)，又因为c＝ma＋nb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝3,－m＋2n＝－4))，解得m＝2，n＝－1，所以m＋n＝1.(2)因为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－4))，所以ka＋b＝(2k＋1，－k＋2)，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ka＋b))∥c，所以(2k＋1)×(－4)－3×(－k＋2)＝0，即－5k－10＝0，所以k＝－2.关键实力提升练15．答案：A解析：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，则＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－x，3－y))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，由＝eq\f(1,2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－x)),y＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y))))，解得x＝2，y＝1，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，设Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))，因为P是OB的中点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝\f(a＋0,2),1＝\f(b＋0,2