2025届高三数学二轮复习大题强化训练06含解析

Page22024届大题强化训练(6)1.在中，内角的对边分别为，.（1）求；（2）若的面积为，求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）因，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以，所以边上的中线的长为：2.定义:在数列中,若存在正整数,使得,都有,则称数列为“型数列”.已知数列满意.（1）证明:数列为“3型数列”;（2）若,数列的通项公式为,求数列的前15项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题知,所以有,且,所以,所以数列为“3型数列”;（2）由(1)知,,所以,,,所以.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）证明：平面平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】（1）因为底面ABCD，平面ABCD，所以．因为ABCD为正方形，所以，又因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以，又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因为平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因为底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以．因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因为平面AEF，所以平面平面PBC因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，设，则，所以，，，，设为平面AEF的法向量，则所以取，则，，则，设为平面PBC的法向量，则所以取，则，，则因为，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，易知是平面PAB法向量设，则，所以，，所以即，得，所以，设为平面AEF的法向量，则所以平面AEF的法向量，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为．由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中点．所以，，的面积为因为，的面积为设点P到平面AEF的距离为h，则有解得所以点P到平面AEF的距离为．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为．4.党的二十大已成功闭幕，某市教化系统为深化贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的学问竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并依据得分（满分100分）按组别，，，绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.（1）若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；（2）采纳按比例安排的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在的人数为，试求的分布列和数学期望.【答案】（1）86（2）分布列见解析，【解析】（1）依据直方图可知，成果在的频率为，成果的频率为0.1，小于0.2，因此获奖的分数线应当介于之间，设分数线为，使得成果在的概率为，即，可得，所以获奖分数线划定为86；（2）应从和两组内分别抽取5人和2人，则的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为数学期望5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：和定点，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点的直线l与曲线C交于点M，N（异于点A），直线MA，NA与直线分别交于点G，H.若点F，A，G，H四点共圆，求实数t的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为Q在线段PF的中垂线上，所以，故，所以点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线，其焦距，，且，，故，所以曲线C的方程为.（2）设直线l：，，，联立方程组，整理得，则，且因为F，A，G，H四点共圆，所以，又，所以，故，所以，即，所以.又直线AM：，令，得，同理，故，其中，所以，解得，所以实数t的值为.6.已知函数.（1）若，求证；函数的图象与轴相切于原点；（2）若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：因为，，；又，所以，所以在点处的切线方程为，所以函数的图象与轴相切于坐标原点.（2）先证明不等式恒成立，令，则，当时，，当时，，故在处取得微小值，也是最小值，故，所以，当且仅当时，等号成立，，令，，令，，当时，，故在上为减函数，因为，所以当，即时，，所以为增函数，故，所以为减函数，故函数在无极值点；当时，当，因为为减函数，，，故必存在，使得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，而，故，又因为所以必存在，，且当，，为减函数，当，，为增函数，故在区间上有一个微小值点，令，因为，所以在上单调递增，又因为，，所以总存在使，且当时，，单调递减