数学-2024年中考数学终极押题猜想（上海专版）解析版

2024年中考数学终极押题班短（上海专版）

（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）

押题猜想一新定义、翻折与旋转（填空小压轴）..................................................I

押题猜想二函数的实际应用（解答21题）......................................................21

押题猜想三解直角三角形的实际应用（解答22题）.............................................28

押题猜想四几何证明（解答23题）...........................................................38

押题猜想五与圆有关的证明与计算（解答23题）................................................51

押题猜想六二次函数综合题（解答24题）......................................................63

押题猜想七几何综合题（解答25题）.........................................................100

押题猜想一新定义、翻折与旋转（填空小压轴）

终极密抨»

1.（2024•长宁区二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆.如图，在。中，

力8=4C=10,8c=16,如果A/13C的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径〃的取

值范围是.

【分析】当。。与48、/C相切时（切点是M、N）,。。与&48C的三边有4个公共点，连接。W,由

MOMsMBH,得到。“：8〃=4。：/3,即可求出OM=3.2,当OO,与幺8、力。分别有一个公共点，

与8c有两个公共点时（O。，不过8、C两点），A48C的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是

得到当4<〃<2j万时，A48c的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案.

【解答】解：如图，

AB=AC=\Q,

：.HB=HC=-BC=-x\6=S

22f

：.AH=y）AB2-BH2=6,

设。是A45C的重心，

:.AO=-AH=4

3f

当。0与48、4c相切时（切点是M、N）,00与AJ8C的三边有4个公共点,

连接0M,

0M1AB,

/LAMO=AAHB=90°,

•/ZOAM=ZBAH,

MOMsMBH,

/.OM:BH=AO:AB,

.•.OM=8=4:10,

OM=3.2,

重心圆的半径r=3.2时，MBC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，

AB=AC=\0,

:.KB=KC=-BC=-x\6=S,

22

AK=\lAB2-BH2=6,

设。，是AJ8C的重心，

.-.AO^-AH=4

3t

KO'=6-4=2,

BO,=>jBK2+KCT2=2V17,

当。0,与48、力C有一个公共点，与8c有两个公共点时不过8、C两点），2MBe的重心圆与该三

角形各边的公共点一共有4个，

.•.当4<r<2a时，AABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，

重心圆的半径/•=3.2或4V〃<2J万时，MBC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，

故答案为：/，=3.2或4<〃v2j万.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的重心，等腰三角形的性质.相似三角形的判定和性质，

关键是要分两种情况讨论.

4

2.（2024•普陀区二模）如图，在AJ8C中，AB=AC=5,cos8=—,分别以点8、C为圆心，1为半径

5

长作03、OC,D为边BC上一点,将A48Z）和沿着力。翻折得到△力夕力和。夕，点8的对应点为点

.4万与边AC相交,如果。*与OC外切,那么夕。=.

A

BC

【分析】当彳9在N84。内部时，过点4作力EJ.8C于点E,连接夕C,过点Z作彳尸_L夕。于点尸，结

合等腰三角形的性质解直角三角形求出8E=4,NBAE=NCAE,4E=3,由折叠的性质得，NBAD=NEAD,

AB'=AB=5,根据两圆外切的性质求出S尸=1,根据勾股定理求出4F=2N%,则tan/8ZF=逅，根据

12

角的和差求出=进而求出OE,再根据线段的和差求解即可；

当AB在ABAC外部时，同理AB1在/BAC内部时求解即可.

【解答】解：如图，当力9在乙%C内部时，过点4作力E_L8C于点£,连接9C,过点力作力尸_L8C于

点下，

:.BE=4,Z.BAE=Z.CAE,

/.AE=ylAB2-BE2=3,

由折叠的性质得，NBAD=NB，AD,AB'=AB=5,

vAF1BfC,AB'=AC=5,

AB'AF=Z.CAF,B，F=、BC,

2

•・•。夕与OC外切，

B,C=\+\=2,

夕尸=1,

/.AF=^AB,2-B'F2=V52-l2=2几，

空AF="也

AF12

•/AC.AFIaC.

Z.B'AF=|z^JC=；(N8ZC—NBAB)=g(2NB/E-2/BAD)=/BAE-/BAD=NDAE,

tanZ.B'AF=tanZ.DAE-,

AE12

：.DE=3x随=1,

124

BD=5E-D£=4--；

4

如图，当力方在N84C外部时，过点彳作AEIBC于点E,连接9C,过点彳作力尸1夕C于点尸，

5

/.BE=4tZ.BAE=Z.CAE,

AE=\IAB2-BE2=3,

由折叠的性质得，NBAD=NB，AD,AB'=4B=5,

•••4尸AB'=AC=5,

，/B'AF=/CAF,BT=-B'C,

2

•.•OB'与0C外切,

^C=l+1=2,

/.B'F=\,

/.AF=ylAB,2-B,F2=\/52-l2=246,

「„F="也

AF12

vAB^AC,AF±BfC,

NB'AF=；AB'AC=一NBAC)=；(2NBAD-2/BAE)=/BAD-ZBAE=NDAE,

?.tanZ.ffAF=tan/DAE,

AE12

•.3E=3x旦在，

124

/.BD=BE+DE=4+—；

4

故答案为：4-逅或4+巫.

44

【点评】此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、圆与圆的关系等知识.熟练掌握折叠的性质并分情

况讨论是解题的关键.

3.（2024•静安区二模）如图，矩形48CO中，48=8,BC=17,将该矩形绕着点A旋转，得到四边形,

使点O在直线与G上，那么线段B耳的长度是_________

BC

【分析】根据题意，画出示意图，再根据图形旋转的性质,结合相似三角形的判定和性质即可解决问题.

【解答】解：当点用在矩形片88内部时，如图所示，

-------------C

由旋转可知,

AB.=48=8.

在Rf△4BQ中，

^,D=V172-82=15,

所以0G=17-15=2.

在用中，

22

DDt=V8+2=2V17.

因为=AD=,

仁厂1“ABAB.

所以一=-L,

ADAD.

又因为N84瓦=/。力2，

所以MBB'SMDD],

所以如二四J,

DD、AD17

所以84=今野.

当点£在矩形48CQ外部时，如图所示,

同理可得,

DD,=\/322+82=8V17,

因为4188产&40口，

所以竺L=W£=_1,

DD、AD17

所以网=驾

综上所述，BBi的长为用工或竺沪.

故答窠为：喑或雄.17

【点评】本题考查旋转的性质及矩形的性质，能根据题意画出示意图，并对点片的位置进行分类讨论是解

题的关键.

[g押题预测•

4.（2024•金山区二模）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,。是43的中点，把A8CO沿CO所在

的直线翻折，点8落在点E处，如果那么=.

【分析】由4c8=90。，。是45的中点,得8=8。=」48,由翻折得£：。=8。，8C=CE,所以CD=££>,

2

而CE_L48,则48垂直平分CE,所以BE=5C=CE,则NC8E=60°,Z.ABC=-Z.CBE=30°,则

2

AB=2AC=4,所以BE=BC=廊匚左1=26,于是得到问题的答案.

【解答】解：•••N』C8=90。，。是力8的中点，

:.CD=BD=AD=-AB,

2

v把kBCD沿CD所在的直线翻折，点B落在点E处,

ED=BD,BC=CE，

CD=ED，

,/CE1AB，AC=2,

力8垂直平分CE,

/.BE=BC=CE,

MCE是等边三角形，

NCBE=60°，

/.ABC=Z.ABE=-Z.CBE=30°，

2

AB=2AC=4,

:.BE=BC=>jAB2-AC2=V42-22=273,

故答案为：26.

【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、轴对称的性质、等腰三角形的“三线合

一”、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的

一半、勾股定理等知识，证明MCE是等边三角形是解题的关键.

5.（2024•长宁区二模）在RtAARC中.//。夕=90。,AC>RC,将A/夕C绕着点6旋转,点力、点R的

对应点分别是点。、点E,如果点4在力E的延长线上，且CE//AB,那么/。上的余弦值为.

（分析］由MBC绕着点C旋转，点4、点8的对应点分别是点D、点E,点A在DE的延长线上，且CE//AB,

0

ZACE=ABAC=D=xt得3x+90=180,WZCAE=x=30°,得N。笈的余弦值为由.

2

【解答】解：由&43C绕着点。旋转，点4、点B的对应点分别是点D、点、E,点力在OE的延长线上，

RCE//AB,

得NACE=Z.BAC=。=X。，

由A4DC中，NACB=90。,

得3x-90=180,

得NCAE=x=30°,

得NC/E的余弦值为由.

2

故答案为：凶.

2

A

【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用旋转的性质.

6.（2。24•崇明区二模）已知在矩形48co中，AB=6,BC=4,将矩形力88绕点8旋转，45的对应边

48与边CO相交于点E,联结4C,当点E是8中点时，tanN4CD=.

【分析】作H〃_LOC，EFLAB,易得EF=BC=4,BF=CE=-CD=2,得BE=JEF?+BF?=5,

2

4E=48-BE=6-5=1,由△AEH~NBE得丝=曳=生，得477=0.8,EH=0.6,得

EFBFBE

2

C〃=3+0.6=3.6,^tanZ.A,CD=—=-.

CH9

【解答】解：作H”_LOC,EFLABt

由矩形48CO,48=6,BC=4,将矩形48co绕点B旋转，点后是CO中点，

易得E尸=8C=4,BF=CE」CD=3,

2

2,,

得BE=JEF2+BF=5,AE=AB-BE=6-5=\t

由AHEH〜&FBE,

zoAHEHAE

TV1---=---=----,

EFBFBE

出A'HEH1

435

得4”=0.8,EH=0.6,

得CH=3+0.6=3.6,

^tanZJW=—=-.

CH9

故答案为：—.

9

D'

H

【点评】本题主要考查了矩形的旋转问题，解题关键是相似三角形的正确应月.

7.(2024•崇明区二模)新定义：我们把抛物线尸以2+bx+c,(其中与抛物线y=6Y+aY+c称为

“关联抛物线”.例如：抛物线歹=/+2x+3的“关联抛物线”为y=2/+x+3.已知抛物线

G：y=6o?+ax+9a-4(a>0)的“关联抛物线”为G，抛物线G的顶点为尸，旦抛物C2与x轴相交于M、

N两点，点P关于x轴的对称点为0,若四边形PMQV是正方形，那么抛物线G的表达式

为.

【分析】易得。2的解析式，可判断出的顶点坐标尸，进而可得点。的坐标.根据四边形PMQN是正方

形，可得对角线互相平分且相等，那么可得点N的坐标，代入。2的解析式可得〃的值，代入G即可得到所

求的函数解析式.

【解答】解：•.•抛物线G：y=6ad+©+9a-45>0)的“关联抛物线”为

。2的解析式为；,=办2I6axI9a4(a>0).

・•.对称轴为：x=-|^=-3.

了.顶点P坐标为(-3,-4).

•.•点P关于x轴的对称点为。，

.•.点0坐标为：(-3,4).

•.•四边形PM°N是正方形，抛物G与％轴相交于“、N两点，

:.MN=PQ=3,尸。与MN互相平分，PQ的中点坐标为(一3,0).

设点加在点A/的右边.

.••点N的横坐标为：-3+4=1.

.,.点N的坐标为(1,0).

二a+6〃+9a—4=0.

解得：a=—.

4

，抛物线G的表达式为：j=-x2+lx--.

1244

【点评】本题考查二次函数中的新定义问题.理解新定义的意义是解决本题的关键.用到的知识点为：若

二次函数中只有一个未知系数，一般会判断出二次函数的对称轴；正方形的对角线互相垂直平分且相等.

4

8.(2024•宝山区二模)如图，菱形48CQ的边长为5,cos8=-，E是边CO上一点(不与点C、。重合),

5

把A4DE沿着直线4E翻折，如果点。落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为.

【分析】分两种情况讨论：点D落在BC延长线上时，由折叠得AF=AD=AB,过点4作_LBC于点H,

过点E作EG_LC/于点G,得BH=HF=4,CF=3,由菱形的性质得NOCF=N5,可得空=2,设

CE5

CG=4y,则CE=5y,由勾股定理得EG=3y,由折叠得M=DE1=5-5y,而尸G=尸。-CG=3-4y,

在RtAEFG中由勾股定理得(3-4历2+(3y)2=(5-5y)2解方程求出y的值即可解决问题；点。落在OC延

Dp4

长线上时，推导出=AD=AF,AE1DFt利用cos。=cos8=匕，即匕1=2,求得OE=4,

AD55

再利用CE=CD-DE即可得解.

【解答】解：点0落在8c延长线上时，如图1,

过点才作于点"，过点E作EG_LC尸于点G,点。与点尸重合，如图1,

图1

由折叠得，AF=AD=AB=5,

BH=AH,

阻二

AB5

:.BH=4,

BF=2BH=8,

:.FC=AF-AC=S-5=3,

•.•四边形48co是菱形，

s.CDUAB,

4CG

ZDCF=NB,cosZDCF=cosZ5=-=—,

5CE

设CG=4y,则CE=5y,FG=CF-CG=3-4y,

由折叠得MnOEnS-Sy,

在R3CEG中，由勾股定理得EG=JC£2—CG2=3y,

在RSFEG中，由勾股定理得EG2+R2=E尸，

.•.(3刃2+(3-4歹)2=(5-54,

解得y=R，

而5x1竺

1313

当点O落在。。的延长线上时，如图2,

图2

由折叠的性质得：DE=EF,AD=AF,AE1DFf

由菱形的性质得：NB=/O,

八DEDE4

/.cosD=cosBn=,即Hrl=—,

AD55

:.DE=4,

:.CE=CD-DE=5-4=1,

综上，CE的长为竺或1.

13

故答案为：：或1.

13

【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），菱形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折

叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和

对应角相等.

9.（2024•嘉定区二模）定义：如果三角形有两个内角的差为90。，那么这样的三角形叫做准直角三角形.

已知在直角A4C8中，ZC=90°,JC=4,48=12,如图，如果点。在边5c上，且A4O5是准直角三角

形，那么CO二.

【分析】先求出8。=8及，根据AJD8是准直角三角形，分两种情况讨论：①当=时，

过点D作。"于，，证彳。为乙必C的平分线得CO=OH=x,证RtAACD和RtAAHD全等得

AH=AC=4,则=-4〃=8,BD=BC-CD=8叵-x,在RtABDH中由勾股定理求出x即可；②

当/力08—/8=90。时，证N8=N£UC,则tanN8=tanNZMC,在RtAABC中tanN8=改=也，在

BC4

ChCD

RtAACD中tanND4C=*=",由此可得CO的长.

AC4

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,JC=4,48=12,

由勾股定理得：BC7AB2-AC?=8近,

v是准直角三角形，

・•.有以下两种情况：

①当N4DB-ND4B=90°时,过点。作D"_L于"，如图1所示:

...NDAB=Z.DAC,

即力。为/加C的平分线，

•.•NC=90。，DH上4B于H,

:.CD=DH,

设CO=O〃=x,

在RtAACD和RtAAHD中，

CD=DH

AD=AD'

RtAACD=RtAAHD(HL),

AH=AC=4，

则=48—力〃=12—8=8,BD=BC-CD=^-x,

在RtARDH中，由勾股定理得：DH2+BH2=BD1,

即』-外=(8&一xf,

解得：x=2\[1，

.-.CD=272；

②当/彳。8-/8=90。时，如图2所示:

Z.ADB=90°+NB,

^^ADB=9Q°+ZDAC,

4B=ZDAC,

tanZ.B=tanZ.DAC，

在R3ABC中，tanZ5=—=^=—,

BC8应4

CDCD

在RSACD中，tanZDJC=—=—,

AC4

CDy/2

——=——,

44

:.CD=&,

综上所述：。。=2及或夜.

故答案为：2夜或血.

【点评】此题主要考查了勾股定理，角平分线性质，解直角三角形，正确理解准直角三角形的定义，并进

行分类讨论，熟练掌握勾股定理，角平分线性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

10.（2024•闵行区二模）在RtAABC中，Z5=90°,48=6,sinC=|,。为边N8上一动点，将D4绕点

D旋转,使点/落在边AC上的点七处，过点E作EF工DE交边BC于点F,联结。尸，当9石尸是等腰

三角形时，线段C尸的长为.

A

【分析】先根据题意画出示意图，再分别过点。和点尸作彳。边的垂线，构造出全等三角形，利用全等三

角形的性质结合44的正切值即可解决问题.

【解答】解：分别过点。和点尸作4C边的垂线，垂足分别为M和N,

•;NDEF=,DM1AC,FN1.AC,

"EM+乙FEN=Z.DEM+Z.MDE=90%Z.DME=乙ENF,

NMDE=NFEN.

在ADME和A£N/中，

乙DME=tENF

•NMDE=NFEN,

DE=EF

ADME=AENF(AAS),

:.FN=ME,EN=DM.

在RtACNF中,

・•・设C/=5x,FN=3x,

则NC=J(5X)2—(3X)2=4X.

:.ME=NF=3X.

在RtAABC中，

.「AB3

sinC=-----=-，

AC5

又,/AB=6,

/.JC=10,

BC=\l\02-62=8.

•/DA=DE.DM\AC,

AM=ME=3x.

Xv£TV=10-3x-3x-4.v=10-10x,

DM=EN=\O-\Ox.

在RtAABC中，

在RtAADM中,

tanA=------=

AM

10-lOx4

3x3

解得K=2,

7

经检验，x是原方程的解.

7

/.CF=5x

25

故答案为:

T

【点评】本题考查旋转的性质及解直角三角形，根据题意画出示意图并通过作垂线构造出全等三角形是解

题的美键.

11.（2024•徐汇区二模）如图，在A48c中，AB=AC=6,BC=4.已知点。是边4。的中点，将A45C

沿直线80翻折，点C落在点E处，联结力E,那么4E的长是.

A

BC

【分析】过4作4M_L5C,过。作。N_8C,连接彳£,连接CE交8。于0,根据等腰三角形的性质以

及平行线分线段成比例可以求出CN,8N的长，然后根据勾股定理求出ON和8。的长，根据轴对称的性

质可得，CE1BD,OC=OE,DE=DC,

根据等积变换可以求出。C,从而求得CE,再根据力。=。。=。后可以判断A4CE为直角三角形，最后根

据勾股定理求出力E的长即可.

【解答】解：如图，过力作过。作。N1BC,连接连接CE交8。于。，

AM/IDN,

•.•。为4c中点，AB=AC,

AD=CD=3,BM=CM=2,

:.CN=MN=\,

DN=yJCD2-CN2=25/2,

/.BD=y)AN2+DN2=V17,

•.•总和C关于即对称,

;.CE1BD,OC=OE,DE=DC,

•/S^CD=-BCDN=-BDOC,

17

e国，

17

AD=CD=DE,

:.&4CE为直角三角形,

：.AE=^AC2-CE2=1^1.

17

10V17

故答案为:

17

【点评】本题主要考查了翻折问题，合理运用平行线分线段成比例、勾股定理以及直角三角形的判定是本

题解题的关键.

12.（2024•虹口区二模）如图，在扇形ZO8中，ZAOB=105°,04=8,点C在半径04上，将沿

着翻折，点。的对称点。恰好落在弧,48上，再将弧力。沿着翻折至弧4。（点4是点4的对称点）,

那么04的长为______________________

【分析】根据翻折的性质.等边二角形的判定和性质以及百角=角形的边角关系进行计算即可.

【解答】解：如图，连接0。，由翻折的性质可知，OB=BD,0C=DC,AC=AtC,NBOC=NBDC=105。，

0B=0D,

/.0B=0D=BD,

.•.AB。。是正三角形，NOBD=60。，

NOCD=360°-IO5°-105°-60°=90°,

设4C=a,则OC=8-q=CZ),4Q=8-2a,

在R3COD中，OC=CD=8-a,0。=8,由勾股定理得,

OC-CD2=OD2，

即(8-a)2+(8-a)2=82,

解得口=8-4&或a=8+4及＞8（舍去）,

:.OAi=OA-2AC

=8-2(8-472)

=8-16+85/2

=85/2-8.

故答案为：8及-8.

【点评】本题考查翻折的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握翻折的性质，圆周角定理以

及直角三角形的边角关系是正确解答的关键.

13.(2024♦青浦区二模)正方形/3CO的边长为1,£为边。。的中点，点尸在边40上，将NO沿直线£尸

翻折，使点。落在点G处，如果8G=8C,那么线段的长为.

［分析】依据WCE?AGCE(SSS),即可得至ijZBEC=2BEG；由折叠可得，NDEF=ZGEF,进而得出2BEF

是直角；利用“一线三等角”判定ABCESA瓦尔，即可得到。户的长.

【解答】解：如图所示，连接BE,EF,

由题可得CE==,RC=RG.RE=RE、

kBCE三XGCE(SSS)，

・•.NBEC=NBEG,

由折叠可得，NDEF=NGEF,

NBEF=L/CED=90。,

2

NDEF+NBEC=90。,

又•••RtABCE中，NCBE+NBEC=90°,

NDEF=NCBE,

又•••ZC=ZEDF=90°,

WCESAEDF,

\_

，空=匹，即半=2,

CECB11

2

..DF=L,

4

故答案为：

4

【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴

对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

14.（2024•浦东新区二模）定义：四边形48C。中，点E在边48上，联结0£、EC,如果ADEC的面积

是四边形力”7）面积的一半•月人战。的面积是A4。/?及面积的比例中项.我们称点我是四边形

ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点.

己知：如图，四边形45co是梯形，且ND//8C,BOAD,如果点E是它的边45上的一个面积黄金分

割点，那么好的值是

AD---------------

【分析】过点七作E产/〃£>,交CO于点尸，设梯形的高为人则59比=（七尸/,5悌形初8=3（/。+8。）〃，

利用新定义的规定得到E尸为梯形力8c。的中位线，A4OE和ABEC中40,BC边上的高为！〃，利用三角

2

形的面积公式求得三个三角形的面积，再利用新定义的规定得到关于8c的方程，解方程即可得出结论.

【解答】解：过点E作七户/〃。，交CD于点、F,如图，

'：EFUAD,ADHBC,

:.EFUADI/CB.

设梯形的高为〃，则5必叱=；七尸•人，S梯/83=g（4O+5C）k

•・•点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点，

•*,SADEC=-S梓形才BCD，

/.^EFh=^x^（AD+BC）h,

..M=；(4O+8C),

・•.EF为梯形ABCD的中位线，

A/WE和A5EC中力£),8C边上的高为■!"/?.

2

-S^DE=^AD^h=^ADh,S^EC=；BCS^EC=LXL(AD+BC)h=^(AD+BC)h.

•・•点£是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点，

—BC2h2=-ADh-(AD+BC)h.

1644

/.BC?-ADBC-AD2=0.

：.BC=心更AD(负数不合题意，舍去).

2

BC=^-^-AD.

2

BC1+V5

---=------.

AD2

故答案为：回1.

【点评】本题主要考查了梯形的性质，梯形的中位线，三角形的面积，本题是新定义型，正确理解新定义

的规定并熟练运用是解题的关键.

押题猜想二函数的实际应用(解答21题)

r®o终极密押・

1.(2024•静安区二模)某区连续几年的GQP(国民生产总值)情况，如表所示:

年份第1年第2年第3年第4年第5年

GDP(百亿元)10.011.012.413.5■

我们籽这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：4(1,10.0)、8(2,11.0)、

C(3,12.4)、0(4,13.5).如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GQP,可以尝试选择直线48、直线

4C等函数模型来进行分析.

(1)根据点力、8的坐标，可得直线的表达式为y=x+9.请根据点4、C坐标，求出直线4c的表

达式；

(2)银设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GQP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用

哪•函数模型进行预测较为合适.

(说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜.我们可通

过计算一组G。尸所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离

方差越小越适宜.)

例如：分析直线48,即/(x)=x+9上的点，可知/(1)=10,f(2)=11./(3)=12,f(4)=13,

求得偏离方差S%=^-[(10-10)2+(11-11)2+(12.4一12>+(13.5-13y]=0.1025.

请依据以上方式，求出关于直线4C的偏离方差值：5九=:

问题：你认为在选用直线与直线4C进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？

请写出所选直线的表达式：—；

根据此函数模型，预估该区第五年的GQP约为一百亿元.

【分析】(1)设直线4C的表达式为y=Ax+b,代入即可作答；

(2)分析直线4C,即g(x)=L2x+8.8,分别求出g(1),g(1),g(1)»g(1),进而求出偏离方差；

根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入x=5,作答即可.

【解答】解：(I)设直线力C的表达式为y=H+匕，

k+b=\0

根据题意

3k+6=12.4

4=1.2

b=8.8

直线AC的表达式为y=L2x+8.8；

(2)分析直线4C,即g(x)=1.2x+8.8,

:.g(1)=1.2x1+8.8=10,

g(2)=1.2x2+8.8=11.2,

g(3)1.2x3+8.8=12.4,

g(4)=1.2x4+8.8=13.6,

偏离方差应0=匕(10—10>+(11—11.2>+(12.4-12.4)2+(13.5-13.6)2]=0.0125,

0.0125<0.1025，

二.直践4。更合适，

当工=5时，g（5）=1.2x5+8.8=14.8,

故答案为：0.0125,y=1.2x+8.8,14.8.

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确运用.

2.（2024•青浦区二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动.现有甲、乙两种型号

的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表.设租用甲种

型号的客车工辆，租车总费用为y元.

（1）求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；

型号载客量（人/辆）租金（元/辆）

甲451500

乙331200

（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？

（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？

【分析】（1）租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车（7-x）辆；可得

y=1500A+1200（7-x）=300x+8400；

（2）根据租车总费用不超过10200元，师生共有275人可得F0°X+840°41020°,又4为整数，故工可取

[45x+33（7-x）>275

4,5,6,一共有3种租车方案；

（3）结合（1）（2）,利用一次函数性质可得租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省

钱，租车的总费用是9600元.

【解答】解：（1）租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车（7-幻辆；

:.y=\500x+1200（7-x）=300x+8400；

（2）・・•租车总费用不超过10200元,师生共有275人,

f300x+8400<10200

"（45x+33（7-x）>2751

解得除x,6,

•••X为整数，

二.X可取4,5,6»

一共有3种租车方案;

C)在夕=300丫+区400中.y随丫的增大而增大，又1•可取4,5,6.

.•.当x=4时，y取最小值，最小值为300x4+8400=9600(元)，

••・租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元.

【点评】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式.

3.(2024•黄浦区二模)网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满8()团1张”.规则如下：在平台可

以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代

金券数量不限，但不找零.

(1)在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？

(2)在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当

320Vx<375时，写出y关于x的函数关系式；

(3)广告语是“满80团1张”.如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？

说说你的理由.

【分析】(1)根据题意歹U式4x75+(375—4x80),即可算得答案；

(2)当320Vx<375时，可使用4张代金券，故y=4x75+(x—4x80)=x—20；

(3)当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同

理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔

消费未满80元，那么不是就一定没必要“团

【解答】解：(1)v4x75+(375-4x80)=300+55=355(元)，

・•.在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元；

(2)当32。<*<375时，可使用4张代金券，

/.^=4x75+(x-4x80)=x-20；

・•.y关于x的函数关系式为y=20(320cx<375)；

(3)如果在平台商城•笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下：

当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；

同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；

二.如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”.

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式.

押题预测。

4.（2024•长宁区二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动

商店优惠方式

甲所购商品按原价打八折

乙所购商品按原价每满300元减80元

设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：

（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式

（不必写出函数定义域）；

（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款

金额相等，求》的值：

（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，

求x的取值范围.

【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式；

（2）根据题意可知30Q,x<500,然后按活动价列出等式，解方程即可；

（3）分当30Q.x<600和60Q,x<900两种情况列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）根据题意得：y=0.8x,

y关于x的函数解析式为y=0.8x；

（2）若x<300,则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，

.•.300,.x<500,

0.8A=x—80,

解得x=400；

（3）当300,,x<600时，x-80<0.8x,

解得x〈400,

.•.300.x<400：

当60Q,xv900时，x-160<0.8x,

解得x<800,

.,.60"x<800,

综上所述，x的取值范围为30Q.x<400或600„x<800.

【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式.

5.（2024•闵行区二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望

改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（柄/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现

时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征.

时间X8时11时14时17时20时

y,自西向东交通量（辆/分钟）1016222834

必自东向西交通量（辆/分钟）2522191613

（1）请用一次函数分别表示必与工、%与4之间的函数关系.（不写定义域）

（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向.单位时

间内双向交通总量为嚎=乂+必，车流量大的方向交通量为%,经查阅资料得：当乙之：％，需要使可变

车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况.该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓

解交道拥堵，并说明理由.

西东