新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题3-8 利用导函数证明不等式原卷版

专题3-8利用导函数证明不等式目录TOC\o"1-1"\h\u专题3-8利用导函数证明不等式 1 1题型一：作差法构造函数证明不等式 1题型二：放缩法 9题型三：数列不等式证明 16 22题型一：作差法构造函数证明不等式【典例分析】例题1．（2022·河南·扶沟县第二高中高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)当SKIPIF1<0时，证明：对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例题2．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，求切线SKIPIF1<0的方程；(2)若函数SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【提分秘籍】利用导数证明不等式SKIPIF1<0的基本方法,可作差构造函数SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．同时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．同时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【变式演练】1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极值；(2)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．2．（2022·广东中山·高二期末）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极值2．（Ⅰ）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）证明：SKIPIF1<0．3．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．(1)求实数SKIPIF1<0的值；(2)求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．4．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在定义域上单调递减，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.题型二：放缩法【典例分析】例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高二阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．例题2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线经过点SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【提分秘籍】放缩构造法证明不等式导数的综合应用题中，最常见的就是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以先对SKIPIF1<0和SKIPIF1<0进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩不等式如下：①SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号；②SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时取等号；⑤SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时取等号；⑥当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．【变式演练】1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)判断函数SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：SKIPIF1<0.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)证明：SKIPIF1<0.3．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则该法则表述为：“设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足下列条件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②在点a处函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像是连续且光滑的，即函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在点a处存在导数；③SKIPIF1<0，其中A是某固定实数；则SKIPIF1<0.”那么，假设有函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求t的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0.4．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．题型三：数列不等式证明【典例分析】例题1．（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的最大值；(2)求证：SKIPIF1<0例题2．（2020·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的极值；(2)证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【提分秘籍】数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：①放缩成等比数列求和形式；②放缩成裂项求和形式.③借助超越不等式放缩【变式演练】1．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）已知函数SKIPIF1<0．(1)试比较SKIPIF1<0与1的大小；(2)求证：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．2．（2022·山西·高三期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，比较SKIPIF1<0与2的大小；(2)求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知函数SKIPIF1<0.证明：(1)当SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立；(2)对于任意正整数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立（其中SKIPIF1<0为自然常数）一、单选题1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知命题SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；命题SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0下列命题为真命题的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当SKIPIF1<0时，关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·山西长治·模拟预测（理））若SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．98 B．99 C．100 D．1014．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是自然对数的底数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中正确的是①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.A．①③ B．①②③ C．② D．①②二、多选题7．（2022·河北沧州·二模）已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题8．（2022·重庆一中高三期中）已知函数SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0的不等式，SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.9．（2022·江苏南京·高三阶段练习）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为__________.四、解答题10．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．11．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)证明：SKIPIF1<012．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0