新高考数学二轮复习对点题型第17讲数列的通项、求和及数列不等式的证明（学生版）

第17讲数列的通项、求和及数列不等式的证明真题展示2022新高考一卷第17题记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）证明：SKIPIF1<0．试题亮点试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.知识要点整理数列求和问题数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．一、公式法求和例1求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．反思感悟公式法求和中的常用公式有(1)等差、等比数列的前n项和①等差数列：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(d为公差)或Sn＝eq\f(na1＋an,2).②等比数列：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，))其中q为公比．(2)四类特殊数列的前n项和①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)．②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．④13＋23＋33＋…＋n3＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.二、分组转化法求和例2求和：Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn＋\f(1,xn)))2(x≠0)．反思感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．三、倒序相加法求和例3设F(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，求Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2021)))＋…＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2020,2021))).反思感悟(1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．四、裂项相消法求和例4求和：eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n2－1)，n≥2，n∈N*.延伸探究求和：eq\f(22,22－1)＋eq\f(32,32－1)＋eq\f(42,42－1)＋…＋eq\f(n2,n2－1)，n≥2，n∈N*.反思感悟(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．(2)常见的拆项公式有①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).五、错位相减法求和例5已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝eq\f(bn,an)，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.反思感悟一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．六、并项求和法求和例6求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．反思感悟通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．三年真题1．设SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．2．已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求集合SKIPIF1<0中元素个数．3．已知等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若对于每个SKIPIF1<0，存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成等比数列，求d的取值范围．4．已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．5．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和．已知SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)若SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．6．已知SKIPIF1<0为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的SKIPIF1<0，在Q中存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称Q为SKIPIF1<0连续可表数列．(1)判断SKIPIF1<0是否为SKIPIF1<0连续可表数列？是否为SKIPIF1<0连续可表数列？说明理由；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0连续可表数列，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．7．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．8．已知SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，其前8项和为64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比数列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（II）记SKIPIF1<0，（i）证明SKIPIF1<0是等比数列；（ii）证明SKIPIF1<09．记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．10．设p为实数.若无穷数列SKIPIF1<0满足如下三个性质，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列：①SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如果数列SKIPIF1<0的前4项为2，-2，-2，-1，那么SKIPIF1<0是否可能为SKIPIF1<0数列？说明理由；（2）若数列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0数列，求SKIPIF1<0；（3）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.是否存在SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．11．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是等差数列，证明：SKIPIF1<0是等差数列.12．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.13．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项积，已知SKIPIF1<0．（1）证明：数列SKIPIF1<0是等差数列;（2）求SKIPIF1<0的通项公式．14．已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．15．设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和．证明：SKIPIF1<0．16．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）记SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求SKIPIF1<0的前20项和.三年模拟一、单选题1．已知角SKIPIF1<0的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，首项SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4093 B．4094 C．4095 D．40963．已知数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题4．设SKIPIF1<0是由正整数组成且项数为SKIPIF1<0的增数列，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于SKIPIF1<0中任意序数不同的两项SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在剩下的项中总存在序数不同的两项SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.5．已知项数为m的有限数列SKIPIF1<0是1，2，3，…，m的一个排列.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则所有可能的m值之和为______.6．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________7．已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于__________.8．已知公差为SKIPIF1<0且各项均为正数的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.9．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示数列SKIPIF1<0的前n项和，则使不等式SKIPIF1<0成立的正整数n的最小值是______．三、解答题10．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，求证:SKIPIF1<0.11．已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求证：数列SKIPIF1<0为等比数列；(2)若SKIPIF1<0，求满足条件的最大整数SKIPIF1<0.12．近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达SKIPIF1<0，每年年底把除运营成本SKIPIF1<0万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若SKIPIF1<0，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到SKIPIF1<0万元）13．若函数SKIPIF1<0是其定义域内的区间SKIPIF1<0上的严格增函数，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的严格减函数，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“弱增函数”.若数列SKIPIF1<0是严格增数列，而SKIPIF1<0是严格减数列，则称SKIPIF1<0是“弱增数列”.(1)判断函数SKIPIF1<0是否为SKIPIF1<0上的“弱增函数”，并说明理由（其中SKIPIF1<0是自然对数的底数）；(2)已知函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像关于坐标原点对称，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<