解答提升题02锐角三角函数的应用-2024年中考数学二轮复习讲练测（解析版）

解答提升题02锐角三角函数的应用

目录

・题型特训・精准提分____________

题型而丽滓背果下曲锐鬲与丽嫡应用

类型一三角形与锐角三角函数的综合问题

类型二四边形与锐角三角函数的综合问题

类型三圆与锐角三角函数的综合问题

类型四一次函数与锐角三角函数的综合问题

类型五二次函数与锐角三角函数的综合问题

类型六反比例函数与锐角三角函数的综合问题

题型02实际背景下的锐角三角函数的应用

类型七仰角、俯角问题

类型八方位角问题

类型九坡比问题

类型+其它实际应用问题

第I页共162页

题型特训-精准提分

题型01纯数学背景下的锐角三角函数的应用

类型一三角形与锐角三角函数的综合问题

I.（2023•浙江•一模）如图I,以BC中，ZAC0=9O°.AC=3,SC=4./＞为斜边人8上的一动点（不

包含A,8两端点），以CP为对称轴将*36翻折得到连接

BA'PA

备用图

（1）如图2,当CPJLAB时,求RV的长.

（2）当翻折得到的-A'CP中有一边与AB垂直时，求M的长.

【答案】⑴1

5”k5或5

【分析】（1）当CP_LAB时，由勾股定理求出48的长,在RHCB中,cosZA=^—,任RtzMPC中,

An

cosNA=、^，求出其尸的长，再由A/T=2八尸，BA'+AA'=AB,即可求出2W的长:

（2）当A'CJL仞于。时,在RlMDC中,CD,八。和8。的长，由折叠性质得八'。的长，在Rl血W中,

129

利用勾股定理得出RA'的长，当A'P_LA8时，过点C作C。，，仍于。.由（2）可知。=（,八。=],

得I：1APDC为等腰直角三角形，得到PD=CD,.KI1PAf和BP的长.利用勾股定理即可求出B4’的长.

【详解】（I）解:如图I,当C『_LA8时.

BA'PA

图1

在R144C3中，4c3=90°.

第2页共162贝

..AC2BC2=AB2>

：.AB'=3'+4’=25,

/.AB=5.

在RtA/lCft中,ZACH=90。.

AC3.八8C4

cosZA«—,sinZA=—=—,

AB5AB5

在Rt&PC中，ZAPC=90p.

八APAP3

cosNA==—=-,

AC35

9

：.AP=~,

5

aIQ

由折叠性质可知A4yAp-2x,Y,

又•.•M+/W=,tB=5,

®=5-"二

55

(2)“iCP_LAB时,由(I)可知BA'=g.

当A'CJLAZHO时，如图2,

CD4

而4—=—

AC35

5

乂•.BD+AD=AB=5.

：.BD=5-AD=5--=—,

55

由折血性所可知.AfC=AC=^.

又•.•NC=CO+4。.

.•./ro=4rC-CD=3--=-,

55

在RlMA'3ZBDA'=90°.

A0+9=BA@，

第3次共162页

・…眇哥=处

图3

过点C件C£>_LA3尸。，由（2）可知CD：?,AD=^,

JJ

由折总性质可知NI=N2.PA=PA.

又•••N47N=/l+/2=90p

ZI=Z2=45°,

X-N2+N3=9（尸，

,•.Z3=45°.

.•.Z2=z3,

12

；.PD=CD=-^,

乂PA=PD+AD.

12921

555

又•••%=%，

：.PA'=-.

5

>1..-BP=AB-PA,

BP=5--=-,

55

在RlZSBPA中,NBPA'=90°.

BP2+PA2=BA'2，

第4页共162贝

/.B.X的长可能为(或警^或竿.

【点册】本题考查r解直角三角形,涉及勾股定理，折叠的性质,正确作出铺助线.分情况讨论是解答

本题的关犍.

2.(2024•浙江宁波•一模》如图①、图②、图③均是5x5的正方形M格,每个小正方形的顶点称为格点,

(2)如图②，在网格中找格点E(一个即可)，画出使得tan//18£=g.

⑶如图③,。为格点,在AC边.上找点£使得由/A昭).

【答案】(I)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查了正方形网格上作图，解期的夫键是利用正方形和相似三角形的性质来找寻到作图的

方法.

AF4F1

(1)如图，构造.A"s,、/WC,因芸=芸=故作网络线上尸与八8相交于点£

BLCr2

(2)如图，连接加＞与MN,相交于点E,因矩形4MAW的对角线相等且互相平分，所以有

AE=-AP=-AB.因此有tan/A8E=空=』.

22AB2

(3)如图，设Q为AC边上的格点,连接股与⑷V,相交「力,人在接防殳4c£,由▲MFS-NQ尸

可得若=痣=1则"=二,即"91itan?ABE—=

FNNQ2AN5AR5AB5

【详解】(1)如图，点洋即为所求.

第5次共162页

图②

(3)如图，点E即为所求.

图③

3.(2023•浙江湖州,模拟预测)如图。，在J8C.和一儿独中，/孙0二/g七二好，乙钻C=Z40£=3O。,

AC与比相交于点尸，点。在8c边上，连接CE.

(1)求证：AARZACE：

AH

(2)17—=V3,求sinNCDE的值:

Bl)

(3)将“跖烧点A逆时针旋转一定的角度到(如图切.若NA£»=300.AE=«，C£7=6.

求8£的长.

第6页共162贝

【答案】(I)见解析

⑵正

6

⑶2VH

【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直用三角形：

(1)根据题意得出ZBAD=ZCAE,根据相似三角形的性质得出丝=£.进而即可

得证：

(2)根据题.苣设其。=小，则80=。,根据得出，EC=ya,进而根据正弦的定义.

即可求解;

(3)连接8/『，证明△BAOSACAE,得出8。=6&，进而CRlZSBm中，勾股定理，即可求解.

【详解】(I)证明：•；/&tC=//M£=90°.Z/WC=ZAZ?E=30°.

..BAC-..DAE./LBAD=ZCAE

.ABAC

"'AD~'AE'

sABD^^ACE^

⑵解：V^ABD^tACE

：.ZABD=ZACE=30°.

,：ZBAC=9(尸.ZABC=3(T

/.Z4C«=60s

Z.ECD=ZACB+ZACE=90°

PC

：.sinZCDE=—.

DE

Bl)

设AD=>]3a.则BD=a.

(*RlAADE中，AE=tanZ.ADExAD=—AD=a.DE=2AE=2a

3

'：-ABCMACE

AEEC

.”73

••EC=­a

3

第7更共162页

在R【cA£7/中，A£=石,40^=30。

AAD'-734E*-V15.E'D'-2AE1•2Js

■:NBAC=N/X4£=9(r

二ZBALf=Z.CAE

:.△班"S^G4£

，

•••B诙D=6R

二BD'=6G•

•.•Z4FZX=600./BEA=300,

/.N8£7/=90°.

在RlABED't1.BE'=。炉-印。=，（小『一（2石丫=2后.

4.（2023•浙江宁波•模拟预测）如图I,在四边形A8CO中，AB=BC,AD=CD,E是边8c上一点,

线段8的垂直平分线分别交8D,CE于点F,。，连结M,EF.

⑵如图2,连结AE交BD于点G若EF//CD,求证：若二竿

第8页共162贝

33

（3）如图3,已知/ft4/A90°.BE=EF.若tan4BD="DF求加••的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

鸿

【分析】（I）连接FC,利用全等三角形的判定证明A46雌△CM得到/W=/CD尸，再推理出

△AD2MDF得到AF=CF，根幅重“平分线的性质即可求解：

（2）利用相似三角形的判定方法证出△ABDs△阳尸，得到丝=丝后转化为空=坐.内可用

EFBEAFBE

ffl形面积的比值关系推导出笑一墓即可；

BEGE

（3）过点石作EHJ.5OJ”.设由3.BH=4a,利用•:角函数的比值又系问台“的式「，；*出尸D

的长即可求解.

【详解】11）证明：如图，连接CT,

,/AB=BC.AI>=CD.BD^BD.

:.△ABgACBD(SSS).

••.ZADF=Z.CDF,

又•.•AXCD,DF=DF.

AAPF^ACDF(SAS),

/.AF=CF.

•.♦FQ星直平分CE.

/.FF=CF.

AF=EF：

(2)正明：,:△A8g△C8/).EF//CD

，dCB"二EBF,

：.AABDsgRF，

第9次共162页

.ADAB

..---=----,

EFBE

X.V△ABD皿CBD.

：.ZABl>=ZCBI).

二8£>为/ABC的平分线，

(；TlAB.此的距.

.$_AB_4G

"SKGBEGE'

.ADAG

13）解：如图，过点七作UH.BDI'H.

tanZEBH=lanZ.ABD=—,

4

:.仅.BH=4a.

则BE=EF=y/(3af+(4a『=5a，BF=2BH=&，,

..EH3a3

..、”1/EBH=—=—=一,

BE5a5

sin4EBH=4=丝=3.

BF&，5

14

FQ==^a.

24

空工=3

lanZQBE

BQBQ4

/.BQ=-j-a,

327

/.EQ=CQ^BQ-BE=^a-5a=-^a.

7729

BC=BE+EQ+Qf^Sa+—</+—</=(1>

•：cosZEBH

第IO页共162页

AF=EF=5a=—.

7

【点暗】本题考查了垂彼定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数解直知

三角形等知识点，合理作出辅助线和利用好边的比值关系是解题的关键.

5.（2023•浙江金华•三模）任RIAA6CU，，Z^«C=9CT.AB=5,HC=4.点。为AC的中点，点£为

折纹A-8-C上一动点，连接DE,以。E为边作正方形。"6（点/为点。绕点E顺时针旋转90"得

到），直线FG与直线BC,AC的交点分别为M.N.

（1）当点E在线段A3上时，

①若AE=ED,求此时AE的长：

②若直坦尸G过点C,求此时正方形OEFG的面枳：

（2）是否存在点E,使得-CMN是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由.

【答案】（1延八£=菅；②正方形。£%的面积为5

（2）存在，-CMN的度长为§或或;或今

6486384

【分析】（1）①作E尸，AC,解直角三角形4防即可求得结果：

②作件FHIACJH.（1GQ1ACrQ.可证得oEHD,DQG.从而GQ=DH.DQ=EH.故设4F=5r.

^DQ=EH=Ax.AH=3.x.GQ=OH=2-3x,求出CQ=C£>-OQ=°-4A,由tanNCDG=tan/CGQ

22

可得罟=强，从而列式计算即可：

C/Q

（2）分为四种情形：当点E在AB上，CW=OV时,可得出即是乙UW?的平分线,从而坐=空=1，

EKDK4

第II页共162页

可求得由，根据=可求得。E，根据-DERS-NDG,得出段=g.进而求得ON，

OND(>

进步得出结果：当点石在，处时，可求得8W,进而求得CW.根据OE〃广G，列出m=等，进

而求得结果：当点E在BC上，CT)=CE时,作C"_L庞J交尸GrX.i殳XN=x,则XC=3x.设DH=«.

则HX=%.CH=3d,从而得出a=3x,可证得一OWS/XJN,利用相似二角形的性质即可求得CN：

当力E=CK时，可得CW=MN,作£TJMC于丁，作。〃_L6c于〃，可求得C7\从而得出Q£,EF,

CE,根据MJHESCERW，得出丝.=空.求出EW.进一步得出结果.

作砂_L4C于尸,

/Z4fiC=9(r.AB=3,BC=4.

AC=5,

.八AB3

AC5

.•。是AC的中点，

/AE=DE，

：.AF=FD=-AD=-.

24

5

…4FI25

cosNA312

5

②如图2,

(1ACF，，作GQ1AC于Q,

第12页共162页

•./品'。=皿26=900,

:.NED"+£DEH=90°.

■:ZEDG=90°,

/.N£T，+NQDG=90",

NDEH=NQDG.

DE=DG,

；.EHL匕/>GG（AAS）.

：.GQ=DH,DQ=EH,

设AV=5.r,则DQ=E"=4X,A//=3X,GQ=DH=^-3X,

：.CQ=CD-DQ=^-4x,

同理可得：NCDG=NCGQ,

：.tanZC/X；=tanNC'GQ.

.GQ_CQ

*'DOGQ'

：.GQ'=DQCQ.

AEH=4x=2.DH=^-3x=\.

:.DE2=EH2+DH2=5,

...正方形OE“G的面枳为5：

（2）荏在点E,使aCW是等腰三角形:

如图3.

当点E在AB上，CM=CN时，则可=/CWN,

第13«共162页

DE//FG.

/.N/V=LADE,

'："=/£»用=90°,

/.NFEB=NCMN.

作DRLAB于R.

〃例=/ORE=90°,

‘•NFEB+Z.DER=NDER+NEl)R-

NEDR=/FEB.

ZADF.=/EDR-

曲是Z4DR的平分线.

.AEAD5

'~ER~~DR~4'

3

・・八/?=："=?,

22

DE2=ER2+DR'=1+4=—.

99

：4EDR="4ERD=/DGN-

•.aDERs,NDG.

.DE_ER

'ON-DG'

/DE=DCi.

*.DEZ=DNER,

：.CN=DN-DC=,

326

如图4.

图4

第14页共162页

当点E在8处时，

•/DE/7FG,

：.NCMN=NDBC，

,/BD=CD，

：.ZDHC=/DCB=NMCN.

NCMN=4MCN、

.,.CN=MN,

•.EM-EF_BD_E_25

sinNBMFsinNACB36

CM=BM-BC=-，

6

DE//FG.

.CNCM

CDBC

,华；

54

2

如图5.

A

图5

当点£在BCE.CD=CE9i，则ZCNM=NCDE=Z.CED=ZCMN.

:.CM=CN.

作CHIDEfH.交FGT-X.

2

由⑵如图3可知：tan△/AC"=lan/E/XF=3=L

223

设XN=x,则XC=3x，设D〃=a，则〃X=2«C〃=M,

•・a=3A*»

第15it共162页

/.DG=DE=2DH=6x.

•：CX//DG.

HCXNSMN.

.CNCX3xI

..——==—=—

DNDG6.x2

：.CN=-DC=~,

36

如图6,

'"iDE=CE时，则ZCW=N£DC=NDCE=NMW,

CM=MN.

作£TJ./C于T.作DH1BC于H,

：.CT=-CD=~,

24

•••田明如缶［哈

5

由上如：ADHES^EFM•

.DHDE

'~EF=~EM

325

2=五.

25EM

16

殁

384

6252525

：.CM=EM-CE=

384-l6~384

综上所述:氯丽的腰长为2台5或s弓或5之或2急5.

6486384

【点脚】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,

解宜角三角形等知识，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论.

第16页共162页

6.(2023•浙江绍兴•模拟预溯)小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1,在中,

N'fiAC的平分线文5c于点D.

发现复=丝•小明想通过证明来盼证这个结论证明：延长至£，使得AC=AE，…

ACCD

请你完成上述证明过程：

结论应用

已知在M8C中,ZC=3(r>.NB=a,8c边上有一动点。,连结AD.点8关于AD的对称点为点，连

结AS交8c于点£\

(1)请你完成发现中的证明过程：

⑵如图2当a=3(F.AKLBC,求爱的值；

(3)如图3当a=45。，八方与“取?的边垂直时，求器的假.

【答案】(I)见解析

(2)2

⑶近或在或1

9

【分析】

AnR[)

(1)延长班至E,使得AC=AE.连接CE.可推出NB，S=".从而八。〃C£,从而推出三=三,

AECD

进一步得出结论；

从而得出器=当=2：

(2)"I■推出A。产分N8A£.

DEAE

知：.=当=应，当从&_1.47时，作/1"’8<7干尸，

(3)分为三种情形:当AB」8c时，由(1)

DEAE

4F=]&,从而得出BD_AB_2^241,'ff±AB

不妨设4c=3,则=AF=-AC=—iA

222DEAEV32

时，可得出黑二郎

DbAE

【详解】(I)

第17«共162页

证明：如图I.

延长AA至旧,使得AC=AE，连接C£.

.•.Zfc=Z^Ck.

ZfiAC=ZE+4==2H

AO平分N7MC,

：.^BAC=2^BAD.

.♦.ZZMD=N£,

:.AD//CE.

ABBD

----=——,

AECD

ABHD

——=一；

ACCD

(2)

解：.A/r±BC,

ZAE6=90°.

.23=30。，

：.AB=2AE.

•点8关于M的对称点为点M

.:4。平分

BDAfi-

----=—=2；

DEAE

(3)

解：如黑2,

第18页共162页

A

图2

“iA913c时,

如图3.

当61AC时,

作A尸/BC于尸.

彳、妨设AC=3.IARsAC-tanCa.t«n■J\•

AF=-AC=-.AB=j2AF=-42.

222

如图4,

图4

“iAglAB时，

可得/AEB=//?_45。,

第19«共162页

BDAB,

--=---=]

DEAE

籍应畔或I.

标上所述:

【点睛】

本题考杳了轴对称的性质，ffj平分线的定义，解直用三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解决问

题的关值是分类讨论.

7.(2023・浙江绍兴•模拟预测)在<03和△C8中，ZA()B=ZC()D=^r,直线AC与8。交于点M.

⑴如图I若NO48=/OC?)=45。，求证:AC-BD-.

(2)如图2,若NO48=/Cm=30。，写出8。与AC的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,若NOAB=NOCD=a,请直接写出/?。与4c的数量关系(用含。的式子表示).

【答案】(I)证明详见解析：

(2)BD=-AC-理由见解析

3

(3)BDACLina

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,正切的定义；

(I)证明aAOCg-AOTXSAS),根据全等：角形侑性旗，即可用证：

(2)证明SAOCS./QD,即可得证：

(3)依廖笆.得出黑=兽=」一.证明0人。。6,伙)/),则%=经=_!一,即可得出结论

OBDOtanaBDOB【an"

【详解】(l)证明：QZAOB=ZCOD=9(r,NOAB=NOCD=45。.

/.NOCD=Z.ODC=45°.ZO4fl=NOBA=45。.

；.NAOC=NBOD,

<\MOCfllAflOD'l',

OA=OB,

,ZAOC=乙BOD.

OC=OD

第20页共162页

.•▲AOgMOO(SAS),

/.AC=BD.

(2)解：结论：BD=^-AC.

理由：如图2中QZAOB二ZCOD=9(F.ZOAB-Z(X：D=3(尸.

:.AO=&OB，CO=JiOD.

.AOCO

•，----=-----,

OBDO

QZ4O3=ZCOD=90°.

：.ZAOC=^BOD.

:.^AOC^ABOD.

谎嘿s

：,BD=&ACz

(3)解：结论：HD~ACuma.

理由：QZAOA=/CW=91r,4OAB=4OCD=a，

:.(>R=()Atana.IX)=COtana.

.AOCO=I

OBDOtana'

QZAO3=ZCW=900.

，ZAOC=/BOD.

...AC=—OA・---I--,

BDOBtana

・—=ACtana.

类型二四边形与锐角三角函数的综合问题

8.(2023•浙江祖州・模拟预测》如图,在“6C中，。是AC上的一点,延长80至。，使80=8.连

接A»、CD.

⑴当心〃BC时，求证：四边形A8CD是平行四边形.

第21«共162页

(2)在(1)的条件下，过。作交8c于E,连接OE,若。。=16,AD=\2,tanZfiDE=^,求

4

CE的长.

【答案】(1)详见解析

(2)2

【分析】(1)根据ASA证明京旗工84,得BC=4).再由平行四边形的判定即可得出”已

(2)由线段垂直平分线的性质得则NE8£>=N8QE，再由锐角三角函数定义得。。=6,则

BE=1J然后由平行四边形的性质褥5c=4)=12,即可得出结论.

【详解】⑴AD\BC.

：.Z.OBC=Z.ODA,

在AQBC和中，

Z()BC=ZODA

BO=DO,

Z.BOC=Z.DOA

QCW0OQ八(ASA).

BC=AD-

又.皿BC,

...四ih形ABCD星平泞四边形：

(2);OE±BD.OB=OD.80=16.

:.DE=BE.BO=00=8,NB0B=90a.

:.ZEBD=ZBDE.

OF3

tanZEBD=—=lanZBDE=

OB4

.-.O£=-Ofi=-x8=6.

44

/.BE=yjOB'+OE2=V82+6:=10-

由(1)可知,四边形A8CQ是平行四边形.

：.BC=AD=\2.

:.CE=BC-BE=\2-]0=2,

即a?的长为2.

【点脑】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性灰、勾股定

理以及锐角三角函数定义等知识，熟练华握平行四边形的判定与性质是解题的关健

第22页共162页

9.（2023•浙江衢州•模拟预测）如图1，在®48a冲，AH=6,八。=46，N6=60。，AELAB.AE,

8C的妩长线交于点”.

⑵如图2,NBAE的角平分线交8c于点P，点Q在""上；

（3）

①当公APQ为等胺三角形时，求AQ的长：

⑷②如图3,当点。在线段E/上，连接PE.将sP£。沿庄翻折得到，点M恰好落在AD边上,

试求线段AQ的长.

【答案】（1）12-473

（2）①八。=3应-3或6-3&或6拒-6：②9

【分析】《I）解直角三角形人"F，求得M，进而求得结果;

（2）①作PF_LAB于尸，分为三种情形：当其。=也时,可推出“PQ是等腹百角.角豚新’•二角形AP3

求得P八进而求得结果,进而求得，1。=人尸和八。=4尸怡形：②可推出从而

ZAEP=ZB=fAr.进而推出NAEM=/PEM-/4EP=&F,从而求得£»/,进一步得出结果.

【详解】（1）*•.•四边形ABCD是平行四四脍

BC=AD=4yf3.AB//CD.

A£_L孙

Zfi4F=90°,

cos/?cos600

..CF=BF-BC=\2-4>/3:

(2)①如图1,

第23«共162页

图I

当人Q=PQ时,

..ZPAQ=^\PQ,

作。〃于H,

•.Z/i4F=<XF.八/»平分/眇3,

：.ZBAP=ZPAF=45°.

ZAPQ=45°,

：.ZAQP=^.

图I

(5Rl^PBH'I1.=tanB=tan600=>/3.

BH

设8〃7，77/■6，

PH

在.Rl-PHA中，—=tanZBAP=(an450=1,

AH

:.AH=PH=a.

IllAH+8H=Aff得,

&a+a=6,

；.a=36-3,

:.AQ=PQ=PH=3五-3,

图2

第24页共162页

当AQ=AP时,

由上知：AQ=AP=42PH=6-342,

如图3,

图3

力AP=P。时，

同理可过：AQ=>J2AP=642-6,

综上所述：八Q=3企-3或6-3应或6应-6：

②如图4,

.-.ZD=ze=60°.AB//CD.

AELAli.

.-.AE1DE.

AE=AD.sin/>=43xg=6，

AE=AB=f).

NZMP=NE4/>,八P=A/L

AJiAP^^EAP(SAS).

，Z4EP=NB=60°,

将一P£0沼PE能折得到△制.

/.NP皿=NPEQ=18(r-ZAEP=120°.

/.ZAEM=NPEM-Z4A7>=1200—6(尸=6(尸,

VZAED-OO3,ZD=6(r,

：.ZEAD=3(T，

.­.Z£4D+ZAEW=9(r.

第25«共162页

.1.Z4W£=90°,

.-.EQ=EM=^AE=3,

..AQ=AE=E（2=6+3=9.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形分类，解豆角二角形,折壮得性质，全等三角形的

判定和性质等知识，解决问题的关键是特殊性（4即=60改）.

10.（2024•浙江•一模》【问题背景】如图I,数学实设课上，学习小组进行探究活动，分别以点&C为国

心，以大于；8c为半径画《，两弧相交『点凡F,作直线EF交BCT•点.0,连接AO：②将."8。沿AO

翻折，点B的对应点落在点P处，作射线,W交C/）于点Q.

【问题提出】在矩形A8CD中，AD=24,AB=\6,求纹段CQ的长.

【问题,解决】（I）经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连结如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长.

方案:延长AO交DC的延长线于点/?.如图3.经过推理、计免可求出线段。。的长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

【问题反思】（2）在前面的已知条件及解决方法卜.继续探究，连接C尸并延长，交八。于点〃，求P”的

长.

【分析】（I）方案一：连接3,由解折的不变性，知”=AB=16,OP=OB=12、

Rl_QP8Rt=QCO（HL）,推出也=CQ,设/>Q=CQ=x,在RtZU/）Q中，利用勾股定理处式ii好求

解即可；

方案一证KAO交DC的延长线于点R.iF明NOAQ=4.推出。4=QK.iSCQ=x.同方案一即可

求解：

（2）连接“并延长，交ADF点〃.连接W交CP于点丁，过点户作PG_L4）.垂足为G,由（I）

知Rl@P8Ri_CC。.AQ=25.I）Q=1,易证▲勿叱内⑺“人，）,得到NP7D=NC7n=9O"即可得

到AO〃CW,由加/〃8,得到四边形Aa7/是1J四边形，进而得到AH=CO=12,根据

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sinZDAQ=需=爷，cos/ZMQ=器=爷，，求出GP.AG,进而得到fiG.由勾股定理即可求出PH.

【详解】解：方案•：连接仪?，如图2.

,四边形A8CD是矩形，

•二AB=CD=16.AD=BC=2A.

由作图知50=OC=，8。=12,

2

由翻折的不变性,知人/，=人8=16.OP=OB=\2rZAPO=ZB=90°.

：.OP=OC=12,NQPO=NC=90°.

文CQ=OQ,

：.QPfJ^^QCO(\W^,

：.PQ=CQ.

设P0=CQ=x,则A0=l6+x,D^=16-x,

在RtAADQ中，ADZ+QD2=AQ2,即24?+(l6-xf=(l6+x『，

解得x=9.

线段CQ的长为9：

方案二：延长A。交。C的延长线「点R如匡，

•.•四边形制8是矩形,

/.AB=CD=\6,AD=BC=24,

第27«共162页

由作图知8O=OC=；8C=I2,

AB//CR.

：.ZR=ZBAO.

由翻折佬不变性,>JIZBAO=ZOAQ.

：.ZOAQ=NR,

：.QA=QR,

设CQ=x,则QA=Q/?=l6+x,D<2=l6-,v,

在RlZkOQ中，AD:-^QD-=AQ',即24?+(16-xf=(16+xf,

解得x=9.

••・线段CQ的长为%

(2)连接C7»并延长.交ADJ•点"连接"交bJ•点八过点，作PGLt”垂足为G.

lh(I)二Rt・。尸性Ri©。,AQ=25,DQ=7,

OP=OC,ZPOT=ZCOT,

.OT=OT.

4.7PO^ArC'O(SAS).

•••ZPTO=ZC7O=9(r.

NOA@=NR.QA=QR,

.•"OQ=90".

:.^AOQ=ZCTO=9QP,

：■AO//CH,

AH//CO.

二四边形AOCH是平行四边形,

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•1•AH=CO=\2.

GPADAG

sinZ小DA八O=-Q--Q--=——,cosZ，.八DA'八Q=——=——

AQAPAQAP

5DQAP7x16112⑺ADAP24x16384

GP=-------=-----=—,AG=-------=------=,

AQ2525AQ2525

.”“38484

..n（r二AG-AH=’.・-12=।

【点暗】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和

性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，解题的关犍是学会利用参

数构建方程解决问题.

11.（2023•浙江衢州•模拟预测）在矩形八8CQ中,AB=4.BC=6.点E在射线BC上.连接点8

关于直浅AE的对称点为£,连接八星，BE-

（1）如图I,当8E经过点。时,求证：AD^DE.

⑵如图2,当E为6C的中点，连结,求ian/8C£.

⑶当CE=；BC时，求"8'E与矩形A8CD重合部分的面积.

【答案】（I）见解析

<4

（3）8

【分析】（1）根据对称，证明~W9*A*F（SAS：，,进而证明一ABES八8£（SAS）,对应角相等，再根

据矩形的性历推出〃AE=/&E4,进而作答：

（2）连接89.由（1）对应线收成比例,求出8W.△阳火？为直角三角形，根据勾股

定理推出BC，进而求tanNBCE：

（3）①+睦时,AB=BE.④他为等B5直角三角形，根据正方形的性质.与矩形A8CD市勺

部分的面积.即,白八9£的面积.

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【详解】（I）证明;连接BB,，交AEF点尸,

•.•点8关于直线AE的对称点为8’,

.■BF=ffF,他=90°，

XvAF=AF

，-A8尸治-A*产(SAS),

..AB=AB'.ZlffAE=^BAE.

又；AE=AE，

ABE^..AB1E(SAS).

：.ZBEA=ZHEA-

••,矩形/CD,

.1.Zfi4D=Z4BC=90°,

.•.Zn4E+/a4E=9O=.

^BAE+^BEA=90P.

\?DAE?BB\.

：.ZDAE=^EA.

AD=DE：

(2)解：连接SB'交A£『M，

由（1）得,

B^IAE.BW=&M,BE=£E=3

ZBAE=^BAE,ZBMA=ZABC=9(r

:.处Ms1bAEB,

BMAB

:.-----=——.

FBAE

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5

BB'=2BM=—

5

点七为8C的中点,

:.BE=CE=/i'E=3.

△陋C为H角三角形,

BC=>!BC2-BB'2=y

24

tanNHCE=—=-^-=-

BC电3

24

(3)解：当CE=：8C时，即8£=AH=4,

为等腰直角:角形，

连接5后，则四边形ABE&为正方形，

-ABE与矩形ABCD庖介部分的面积为AAffE的面积,

，S/=g/Vr”=：x4x4=8.

【点牌】本题考查矩形性质，对称的性质，三角形相似的判定与性质，三角函数，三角形全等的判定与

性质，等综合题，作辅助线是解题的关键.

12.(2D23•浙江宁波•一模)【基础巩固】

(1)如图I,四边形八8CD是正方形，点E是边8c上与点8不重合的任意一点，EF=AE,乙四=«X尸，

点G是射线BC上一点，求证：Z.FCG=45°.

证明思格：在A8上截取瓶=3E,因为AB=8C,所以AK=C£,请完成接下去的证明；

【尝试应用】

(2)如图2,在矩形ABCD中，点E是边8c上与8不重合的任意•点，tanN5CG="=2,ZAEF=^.r,

AE

点G是射线8c卜.一点，求桨的值；

【拓展提高】

(3)如图3,在矩形A8C。中，点E是边八力上一点，连结BE,作NERT；=N£B儿使点/•'，G分别落在

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边BC,CD.上.若2BE=5BF,且tan/C尸G=g,求sin/乃FC的值.

图I图2图3

【答案】(1)见解析：＜2)；；(3)叵

-4

【分析】

(I)先证明/CBAE=Z.CEF.证明E4K-FEC(SAS).得出ZAKE=Z.ECF,进而可得Z.FCG=ZBKE=45。：

(2)作N/业例=N尸，交线段八8于点”，证明△任“♦△好。，得出普=告=1,进而可得

—=tanZE.WB=tanZFCG=2,即可求解：

BM

C〃ftp,

(3)过由G作NRGH=NE尸G,即止〃G〃.&EBFs»FGH，得出皆•啜:=一设CG=。,则W=九，

FGBE5

FG=/，得出6〃=半”,进而根据正弦的定义，即可求.解.

【详解】证明：(1)•••//4尸=90"

.•.ZAEB+NC£T=90"

乂•,四边形ABC。是正方形.

.-.ZABC=90°.

:.AAEB¥ZHAE=^r.

：.ZBAE=ZCEF.

召二£4K和&”£C中，

AE=EF

ZKAE=ZCEF,

AK=EC

.▲E4Kg/EC(SAS),

ZAKE=^ECF.

■;BK=BE,ZB=90°.

:.NFCG=NBKE=45"

(2)作乙WW=//•、，交线段人8千点A/.

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z64E5+ZC£/'=900.

又。四力形ABCD是矩形,

.1.ZA5C=9(F.AD=BC,

.­.Z4£B+Zfi4E=90°.

;"BAE=NCEF,

.•.ZM£WSA£R7,

.AE1/«./sc

..-^7=—=-.ZAME=Z.ECF

乂；./BME=4FCG，

RF

--=tanZ.EMH=tanZ.FCG=2,

BM

.ABAM+RMAM+BM_

"'BC=CE+BE=2/W+2ftV/"2"

(3)