概率论与数理统计(二)

精品文档精品文档内容串讲第一章随机事件及其概率事件的关系与运算必然事件：。一随机试验全部结果构成的集合。不可能事件：。一般事件A：OuAu。若A、B为两事件若AuB，则其蕴含：“A发生导致B发生”。若AB=ACB=。，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。若A-B=A，贝AB="；若AB=A，则AuB；若AUB=A，则BuA。若A,A,…A为n个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如12ncja,cKuvna等等。i=1 i=1 i=1 i=1例1事件Ua发生等于“A,A,…A至少有1个发生”。i 12ni=12．常用概率公式O<P(A)<1,P(。)=1,P(O)=0若AuB，则P(A)<P(B)P(AuB)=P(A)+P(B)—P(AB)；当AB=O,则P(AuB)=P(A)+P(B)P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)—P(AC)—P(BC)+P(ABC)P(A)=1-P(A)(5)P(A-B)=P(A)-P(AB)

TOC\o"1-5"\h\z(6)若A,A，…A两两互不相容，则P(Ua)=2LP(A)12n i ii=1 i=1(7)若A,A，…A相互独立，则12nP(Ua)=P(A)P(A).•.P(A)i 12 ni=1nP(UAi)=P(A1)P(A2)..・P(An)i=1例2设P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(AB)=0.1则P(AuB)=1—P(AuB)=1—P(A)—P(B)+P(AB)=0.5P(AB)=P(A—B)=P(A)—P(AB)=0.13．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为A的样本点个数

。的样本点个数例3从五个球(其中两个白球、三个红球)中任取两球，设A：取到两个白球；B：一白一红球，求P(A),P(B)(1)无放回抽样：C210P(A)=一10C2

5C1C1P(B)=23C25(2)有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次P(A)=(2)223P(B)=C1(-)(-)25522从而22从而P(A)=P(X=2)=C22(-)1(1--)2-1［注］:若设X为两次有放回取球中取到白球数，则X〜B(2,5),4．条件概率(1)若尸⑻>0,则P(A⑻=白黑，其中A为任一事件。(2)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(AB)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) (其中P(AB)>0)例4箱中有两白球、三红球，A表第，次取到白球，则iP“前两次取到白球")10=P(AA)=P(A)P(AA)P“前两次取到白球")10TOC\o"1-5"\h\z12 1 2Q.1 0.2 0.4 0.2 0.1(1)求各批产品通过的概率；(2)求通过检查的各批产品中恰有iQ.1 0.2 0.4 0.2 0.1(1)求各批产品通过的概率；(2)求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。(i=1,2,3,4)解：(1)设事件B是恰有i个次品的一批产品(i=1,2,3,4)，则由题设P(B)=0.1,P(B)=0.2,P(B)=0.4,P(B)=0.2,P(B)=0.1

0 12 3 4设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有P(AB)=1

1023 3P“第一次取到白球，第二次取到红球”)"PAiA2)=PAJP(A2A"5.4=10(3)全概率公式：设B,B，…B是一完备事件组(或Q的一个划分)，即：BB=。，i丰j,i,j=1,2,…,n(即1 2n ij诸B互不相容)且®B=。，则对任一事件A有P(A)=£p(Ab)P(B)i i 1iii=1 i=1, P(B)P(AB)(4)Bayes公式P(BjA)=y1 K-K £p(B)P(AB)i ii=1例5某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有i(i=1,2,3,4)个次品的概率如下裕排:广而⑴的次M数 01234

P(A|B1)=i=0.900100P(AB)=C10/C1020.809TOC\o"1-5"\h\z12 98 100P(AB)=C10/C1020.72713 97 100P(AB)=C10/C1020.65214 96 100ii=0由全概率公式，即得P(A)=£P(B)P(ABii=0(2)由Bayes公式，所求概率分别为P(B0|P(B0|A)=P(B11A)=P(B2|A)=P(B3|A)=P(B4|A)=0.1x1 仁0.1230.81420.2x0.9 您0.2210.81420.4x0.809 氏0.3970.81420.2x0.727 氏0.1790.81420.1X0.652x0.0800.81425．事件的独立性(1)定义：A、B相互独立等价于P(AB)=P(A)•P(B)(2)若A,A，…,A相互独立，则有P(AA…A)=P(A)P(A P(A)1 2 n 12n 1 2 n(3)有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例6袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到(白、红、白)的概率323 27解：设A表第i次抽到的白球，则所求为P(AA2A)=P(A)P(A)P(A)=-----=—i 123 1 2 3 555125(4)在n重贝努利(Bernoulli)试验中，若每次试验事件A发生的概率为。，即P(A)=p(0<p<1)，则事件A发生K次的概率为P(k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2，…,nnn例7一射手对同一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.8，求：(1)恰好命中两次的概率；(2)至少命中一次的概率。解：由于每次射击相互独立，故本题可视为n=4的贝努利试验，其中p=0.8

(1)设A："4次射击恰命中两次”，则夕(A)=P(2)=C2(0.8)2(0.2)2=0.15362 2 4 4(2)设B："4次射击中至少命中一次”，A表“4次皆未命中”，则oP(B)=P(A)=1-P(A)=1-P(0)=1-C0(0.8)0(0.2)4=0.99840 0 4 4第二章随机变量及其概率分布.离散型随机变量P(X=x)Zp=1KK-1CL22-1CL220^5，则c=1-0.5-0.2=0.3.常见离散型随机变量X0—1分布：设X〜B(1,P)，则~~^应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数X〜B(1,p)，其中p=P(A)=P(X=1)=EX例2设某射手的命中率为口，X为其一次射击中击中目标的次数，则X〜B(1,p)(2)二项分布：设X〜B(n,p)，则P(X=k)=Ckpk(1-p)〃-k,k=0,1,2，…,nn应用背景：n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X〜B(n,p)，其中p=P(A)为事件A在一次抽样中发生的概率。例3某射手的命中率为0.8,X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为0,1,…,5,P(X=k)=Ck0.8k0.25-k,即X〜B(5,0.8)2记住：若X〜B(n,p)，则EX=np,DX=np(1-p)(3)泊松(Poisson)分布4K若尸(X=左)二丁6-入，左=0,1,2,…则称X服从参数入的泊松分布，且EX='=OX,记X〜BQ),X>0k!应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。另外，当Y〜B(n,p),且n很大，P很小时，令入=叩，则尸(丫=左)比7V一k\例4一个工厂生产的产品中的次品率0.005,任取1000件，计算解：设X表任取的1000件产品中的次品数，贝IJX〜8(100,0.005),由于n很大，P很小，令入=呐=55。 51贝U(1)P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)«1-_e-5-_e-5=l-e-5-5e-5=l-6e-5P(X<5)«2Z^-e-5!k=0.随机变量的分布函数：X的分布函数为F(X)=P(X<x),-co<x<+co一(%)的性质:®0<F(x)<lTOC\o"1-5"\h\z②若不<x,则)-F(x)>01 2 2 1③F(-oo)=0,尸(+8)=1④尸(X<b)=F伽,P(a<X<b)=F(b)~/(a),P(X>b)=l-F(Z?)〜、a+be-^x>0 .例5设X的分布函数/。)= ,其中九〉。，则〃= b=0, x<0解：由/（+8）=1知〃=1（因为/（+8）=lim（。+反-标）=a）xf+oo由b（一8）=0,及题设xV0时=0,故lim方（无）=（a+岳-嬴）=（1+。）=0X-0+综上有下（%）=< ,即a=1,〃=一10,x<0Q x<1例6设X的分布函数F(x)=jlnx,1<x<e1, x>e求P(X<2),P(0<X<3),P(2<X<2.5)解：P(X<2)=F(2)=ln2P(0<X<3)=F(3)-F(0)=1-0=1P(2<X<2.5)=F(2.5)-F(2)=In2.5-ln2=ln1.254.连续型随机变量若P(XG(a,b))=』bf(x)dx，其中a<b任意，则称X为连续型随机变量。a此时其中F(x)=Jxf(u)du；f(x)=F'(x)此时其中-8If(x)>0 IP>0f(x)为X的概率密度，满足〈 (注意与分布律的性质：<XP=1相对照)|J+8f(x)dx=1 IPk=11-8 IK设X设X的概率密度为f(x)=〈31，则c=0,1x|>1解：由解：由P8f(x)dx=1知J1cdx=2c=1,故c=1-8 -1 25.常见连续型随机变量’-5.常见连续型随机变量’-1-(1)均匀分布：设X〜U(a,b)，则f(x)=<b-a0,a<x<b,其他0,x<a1,12例812例8设X〜U(-a,a)，且P(X>1)=3，则a=解：易知a>1且1"/(x)dx=1,i 3解：易知a>1且1"/(x)dx=1,i 31,1 c即卜―dx=—解得a=312a 3（2）指数分布E（九）设X〜E（九），则f(x)=九e-嬴,x>0 ,、,F(x)=0,x<01—e-入x,x>00,x<0EX=-,DX=—入 九2应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。例9设X为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率（设X〜E（九））解：由题意所求为P（X>t）=』"九e-九xdx=e-入tt（3）正态分布N（从,o2），设X〜N（从,o2），则… 1 ...f(x)=e-(x-M2/2o2,-s<x<+s、；2kgF(x)=Jxf(u)du,EX=H,DX=o2—81特别，当X*〜N（0,1）时，称X*服从标准正态分布，其密度函数记为叭x）=^=e-x2/2分布函数记为v2k0(x)=Jx叭u)du二8常用公式：①若X*〜N(0,1)，则0(—x)=1—O(x),3—x)=3常用公式：①若X*>0)=P(X*<0)=0(0)=1^2>a)=2(1-0(a))<a)=20(a)-1>1.96)=0.975,P(X*>u)=a*a一, 、 _ _、 _,b—u、 _,a—H、②若X〜N(H,o2)，则P(a<X<b)=0(一)—O(―)-)

o o6.简单随机变量函娄的概率分布例10设，求y=例10设解：由题设，x的可能值为故X2的可能值为而尸「0)二尸(X2=0)=尸(x=o)VP(Y=1)=P(X2=1)=P((X=-1)u(X=1))—P(X=-1)+P(X=1)=-例11设X〜N(0,1)，求Y=X2的分布密度函数解：先求丫的分布函数：孽y)=0,当y<°；当y>0时FJy)=P(X2<y)=P(-\5<X<y5)=①(%5)-①(-仃)再求Y的分布密度函数TOC\o"1-5"\h\z' i i-.fY(Y)=Fy(y)=(①(Jy)-①(-、/y))'一1 - 1二%y).k+叭-0).『2%；y 2%y1 - 1=,叭C)=e-y/2■v'y J2兀yI。，y<01 一, e-y/2,y>0口2兀y第三章多维随机变量及其概率分布1.二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数F(羽y)=P(X<x,Y<y)X的分布函数F(x)=limF(x,y)=F(x,+s)yf8Y的分布函数F(y)=limF(x,y)=F(+8,y)

limF(x,y)=0=limF(x,y)x告2.离散型(x,y)的分布律尸ij\P=P(X=x,Y=y)>Q fp>0Zip.1 ' (与比较)TOC\o"1-5"\h\z〔iJ 〔KP=P(X=x)=Epi i ijP=P(Y=y)=・pi i yi例1例1设(X,y)的分布律为 Q OJ0JQ.3 T0 PP1 Pcs P-331 0.25a0.25 1 Pn P：2 Pu求⑴a=?P(X=0)P(Y<2)P(X<1,7<2)解：（1）由ZZ。解：（1）由ZZ。二1知XX。U Uij i=U7=1TOC\o"1-5"\h\z=(P+P+P+P+P+P)=0.1+0.1+0.3+0.25+41+0.25=1

01 02 03 11 12 13解得〃=。(2)尸(X=0)=£尸=P+P+P=0.1+0.1+0.3=0.5Oj01 02 03jT(3)p(r<2)=p(r=i)+p(r=2)=p+p=Ep+Sp=(o.i+0.25)+(0.1+0)=0.45

1 2 il z20 0(4)p(x<i,r<2)=p(x=o,r<2)=p(x=o,r=i)+p(x=o,r=2)=p+p=o.i+o.i=o.201 02P(x=Y)=P=0.25113.连续型（x,y）的分布密度

设D为平面上的区域，f(X,y)为(XI)的分布密度，则其满足:P((X,Y)eD)=fff(X,y)dxdyD特别，f(u,v)dudvF(x,y)=P(X<x,Y<特别，f(u,v)dudv^2^二f(x，y)c.xdyy若x,y相互独立，则有F(x,y)=F(x)•F(y),f(x,y)=f(x)•f(y)，其中F(x),f(x)分别为X的边缘1 2 1 2 11分布函数和分布密度，F2(y)，f2(y)分别为Y的边缘分布函数和分布密度。4．常见二维连续型分布⑴平面区域D⑴平面区域D上的均匀分布：设D的面积为S。,(X,Y)服从D的均匀分布，贝MX,Y)的分布密度为f(f(x,y)=应0,(x,y)eD其他即D为xy平面上的单位园域，则SD=R，设(x,Y)服从D上的均匀分布,例2设D=1x即D为xy平面上的单位园域，则SD=R，设(x,Y)服从D上的均匀分布,TOC\o"1-5"\h\z1 八—,x2+y2<1<n *0,其他S解：设(X,Y)具有D上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则P((X,Y)eA)=——，其中S 表示A与DS AcDD公共部分的面积。例3(续例2)求P(X>0,Y>0)兀解：P(X>0,Y>0)=工=1兀4⑵二隹正态分布N(「匕。J。J。*，设(X,Y)具有该分布，则其概率密度为1J1 .exp<

2go1--p[2(1-p)12(x-nA"(x-N)(y-N)Jy-N)2

1——2P 1 2—+ 3—02 oo o21 12 2-s<x<+8,-s<y<+s,o>0,o>0,P<1,-s<N<+s,i=1,21 2 i- 1 ■，… 、 … …此时X的边缘密度f(X)=—e-(x-s2/2o12,即x〜N(N,o2)故EX=从,DX=o21 %.：2兀o 11 1 11Y的边缘密度f(y)= —e-(y-N2)2/2o22，即Y〜N(N,o2)，故EY=M,DY=o2v2兀o 22 2 22P为X,Y的相关系数，可知当P=0时，f(x,y)=f(x)f(y)，即X,Y相互独立，这是一个重要结论:1 2在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。另外，可知Gw(X,Y);P、D,、D=poo*12例4设X〜N(0,4),Y〜N(-1,1),两者相互独立，求(X,Y)的分布密度f(x,y)解：由X,Y相互独立知(X,Y)〜"x,y)=f/x)f2(y)1 1e-x2/(2x4)・ e-(y+1)2/2J2兀1 %；2兀1(x2———2(4)+(y+1)2J第四章随机变量的数字特征1.单个随机变量的期望£xP(X=x),X为离散型EX=if+sxf(x)dx,-sX-103p11244X为连续型例1设，贝UEX=-1x—+0x—+3X—=—2 4 44例2设X的分布密度为/(%)=2x,0<x<l f。，其他,则就Jr(x岫=Ji"(2x)dx=J*10 0X3Xxddx=2•—32.单个随机变量函数的期望设X为随机变量，y=g(x)是普通函数，则Y=g(X)是随机变量，且Eg(X)=£g(x)p(X=x),当X为离散型i i'g(x)f(x)dx, 当X为连续型，且X具有密度f(x)一g例3设X的分布如例1,求g(X)=X3的期望解：EX3=(-1)3X—+03X—2 425彳例4设X的分布密度f(x)如例2,求g(X)=J1的期望解：E葭:X)=-8=J'x-2xdx=2J1x3/2dx=2.当g(x)=(x-N)2(其中EX=N)时，Eg(X)=E(X-N)2=DX，即为X的方差[£(x-N)2P(X=x)TOC\o"1-5"\h\zIi iDX=E(X-N)2=EX2-n2=<fiIj+8(x-N)2f(x)dx-8-10wI~~2 2-10wI~~2 2EY=-10x1+10x1=02 2例4设下 一，户2 2则UEX=(-1)x1+1x1=0,^2 ^2DX=EX2-(EX)2=EX2=(-1)2x1+12x1=12 2DY=(-10)2x1+(10)2x1=100(方差大者，取值分散)［注］:DX=EX2-(EX)2是重要常用公式

1+x,-1<x<0例5设随机变量X具有概率密度/(%)=<1—羽0<x<l,求DX0,其他解：因/(X)是分段函数，故求£X,£X2时也要随之分段积分EX-xf{x}dx-1+x,-1<x<0例5设随机变量X具有概率密度/(%)=<1—羽0<x<l,求DX0,其他解：因/(X)是分段函数，故求£X,£X2时也要随之分段积分EX-xf{x}dx-f°x(l+x)dx+f1x(l-x)dx-0-CO-1EX2=J”X2f(x)dx=1。X2(1+x)dx+f1-co-1X2(1-X)dx=6于是DX=E(X2)—(EX)23.(XI)函数的期望设Z=g(x,y)是普通函数，则Z=g(X,Y)是随机变量，其数学期望EZ等于EEg(x,y)P(X=x,Y=y)=££g(x,y)P，当(X,Y)为离散型EZ=Eg(x,y)=J+Jijg(x,y)f(x,y)dxdy,当(X,Y)为连续型，且具有分布密度f(x,y)-8-8例6设(X,Y)分布律为 01 1/21/e则E(XY)=(0x0)P+(0x1)P+(1x0)P+(1x1)P=(1x1)P=1x1=100 01 10 11 11 6 6设(X,Y)的分布密度f(x,y)=2,0<x<1,0<y<x0,其他Eg(X,Y)=E(XY)=『J"xyf(x,y)dxdyJ1Jxxy-2dxdy00J12x(Jxydy)dx=x)dx0J1x3dx=0当g(x,y)=(x-片)(y-四之)时，其中VEX，日2=EY，则Y的协方差，即E(g(x，Y))=Ekx一叩(Y-N2)］是X，Y的协方差，即Cov(X,Y)=E(X-^)(Y-^)1 2=E(XY)-EX•EY (重点)/ 、 (x—u)(y—u)当g(x,y)=-/时，其中EX=u,EY=u,DX=o2,DY=0200 121 22Cov(Cov(X,Y)=poo12*为X,Y的相关系数(X-u)(Y-u) 1 (oo1 12E(X-u)(Y-u)

1 2—

oo

12期望E(•)的重要性质EC=c(常数)(2)E(CX)=CEX(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)推广：E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c(4)若X，Y相互独立，则E(XY)=EX•EY方差D(•)的重要性质(1)D(c)=0D(X土c)=DX，其中c为常数(2)D(cX)=c2DX特别D(X)=D(-X)(3)若X，Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DYD(X±Y)=DX+DYD(aX+bY)=a2DX+b2DY(4)D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)例8设X,Y相互独立，且DX=3,DY=4，则D(X-Y)=DX+DY=7

D(3X-4K)=32DX+(-4)2nr=91协方差Cov(-,-)的运算性质:(i)Cov(x,y)=Cov(y,x)(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数(3)Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)(4)若X,Y相互独立，则Cov(X,Y)=。，从而0=0,即X与Y不相关［注］:一般地，若X,Y独立，则X,Y必不相关(即Cov(X,Y)=。)；反之不真，即X,Y不相关推不出X,Y独立。重要特例是：若(XI)为正态分布，则X,Y独立等价于X,Y不相关(即夕=。)\YX\例9设(x,y)的分布律为-1J 11/4 0,求EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),P解：易知X --R1/21/4X2Y2XY1P1122EY2=1x1=1xy“ 1.31 — 3-1 1故EX=(-1)x+1x-= EY=(-l)x-+lx=—4 42 4 4 2EX2=1x1=1DX=EX2—(EX)2=1—(1)23 “ 14,DY=1-(-2)2Cov(X,Y)=E(XY)—EXEY=PXY0.25dDXDDY <0.75v0.753例10设(X,Y)〜N(1,1,4,9,1),则Cov(X,Y)=poo=1x2x3=3*2 122例11设(X,Y)为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是(选择题)(A)X,Y独立 (B)E(X+Y)=EX+EY (C)E(XY)=EX•EY⑴)(X,Y)〜N四四之，。J。22，0)解法1(排除法)：排除(A),因X,Y独立nX,Y不相关(故非充要条件)；排除(B),这一等式成立不需任何条件；排除(D),由(X,Y)服从正态分布及P=0知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论n故选(C)解法2(直接证明)：当E(XY)=EXEY时，Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0，故X，Y不相关；反之亦然。第五章大数定律与中心极限定理1.贝努利大数定律_.、_〃 _._.n_贝努利大数定律：设P(A)=P，—为A在n次观测中发生的频率，则对任给的正数£有limP(-—P<£)=1

n nsn2.中心极限定理设Xi，X2,…相互独立，同分布，从而它们有相同的期望N和相同的方差02limPn-8Ex-nNi4^1~= %no, <X=中(X)，其中①(X)为标准正态分布函数)［注］:中心极限定理的含义是:大量随机变量的和近似正态分布，即当n很大时^^X近似某正态分布N(N,o2),

ii=1为了便于查表近似计算,将1Lx标准化(从而标准化后其近似分布N(0,1))ii=1、Di=1Ex-nNi4=1_- no(y故上述随机变量的分布函数F(X)氏①(X)n在应用中心极限定理，大多用上式的形式更进一步的特别场合为：若X1，X2,…相互独立同B(1,P)分布时，上式化为£x-np

1'T।——nppq这一式子在应用也较为常用例1计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量X,X，…，且都服从u(-0.5,0.5)，求30012个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。解：易知第i个加数的误差X满足：X〜u(-0.5,0.5),EX=0,DX=-1,故i i i i1212=艺DX12ii=1故所P[I00Xi1i=1)<10J1,1300x.: 故所P[I00Xi1i=1)<10J1,1300x.: 1220(2)-1=0.9544第六章统计量及其抽样分布.设总体X〜F(x),f(X)则其样本X,X，…,X相互独立，同分布F(X),n为样本容量1 2 n从而(x,X，…,X)〜F(X,X，…,X)=

1 2 n 1 2 nHf(x)=F(x)•••F(x)1ni=1〜于(X1,X2,…,X)=Hf(X)=f(X(X)1ni=1 1例1设总体X〜N(四,o2)，则f(X)=~^^e-(X-M2/2O2从而其样本的联合密度函数为

2兀o一 (1\n(X，…,X)〜f(X，…,X)= ,—1n1n IJ2兀oJexp{--L2o2£(X-^)2

ii=12．常见统计量常见统计量：设总体为X,X,x，…,x为其样本，EX=从,DX=o212n不含任何未知参数的样本(x，…,x)的函数称为统计量1n(1)样本均值(1)样本均值x-1£x,Ex-日，

nii-1—a2DX-——，这结论对任何总体都成立。n进一步的，若总体X〜N(进一步的，若总体X〜N(N,a2)x—n—一

从而U= =〜N(0,1)a/nn(2)样本万差S2-——-£(x-x)2

n-1 ii-1n-1ES2-a2,ES2 a2nnS2-1£(x-x)2

nnii-1(3)若总体X〜N(从,a2)，则有x与s2相互独立，且、(、(n-1)s2 1yx2--a2 a2i-1-2(x-x)〜x2(n-1)ix-Nt =〜t(n一1) *s/nn(4)若总体X与总体Y相互独立x，…,x与r，(4)若总体X与总体Y相互独立x，…,x与r，…,r分别为其样本1n1mX〜N(日,a2),y〜N⑴,a2)1122s2-，£1n-1i-1(x-x)2,S2-m-1i-1iy其中x-——xni

i-1-1£iJ-yJ，则

mii-1U-(x一J)一(9一四2)~N(0,1)S2/a2F--1 」〜F(n-1,m-1)S2/a222进一步的,若ai2-a22，则有(x一J)-(N-N)t 1 2—〜t(m+n-2)c1 1S+w\nm

其中S2(〃一1)S2其中S2 1 2—n+m-23.关于X21,b分布的密度曲线及分位数(1)分布X%141)若12〜%2(〃)，贝ij&2=〃，0x2=2,,P(x2>x2(n))=a从而P(x2<x2(n))=1—aa而F分布的密度曲线与上图相似。P(t>t(n))=aaTOC\o"1-5"\h\zt分布的密度曲线f(x)关于y轴对称，故有—t(n)=t (n)a 1-a例2设总体X〜U(-1,1),x是容量n的样本均值，求E(x),D(x),,……c…22 1 八 1解：由总体X〜U(—LD，知EX=0,DX=――=—, =0,o2=—JL1/3 11/3 1— —O2故Ex=a=0,DX=——

n例3设总体X〜N(上。2),x「x2,…,xn为其样本l=i(x—x)21=(n—1)o2证明：：£(x—x)2〜x2(n—1)O2i

i=1・•・・•・EiO2I i=1一2(x—x) =(n—1)i)(x-x) =(n-1)o2第七章参数估计.矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设x为总体，设x为总体，ex=a,DX=02,x,x，…,x12为其样本则a的矩估计a=xO2的矩估计02O2的矩估计02=S2n=1£

ni=1例1设总体x〜N(N,o2))x2,…,xn为其样本,求N,。2的矩估计解：因为ex=日,故a=xDX=02，故02=S2n例2设总体X〜U(0,9),0>0未知，求0的矩估计0,,0解：因为EX=-,故5=x(矩法方程)，由此解得0=2x，即为0的矩估计例3设总体X〜B(1,P),其中0<P<1,未知x1，x2,…，xn为其样本,求P的矩估计

_ 2 —解：由EX=P，故P的矩估计P=x.极大似然估计设总体X,具有概率密度函数f(X；0),0e@其中0为未知参数，其变化范围为0则似然函数为L(0)=Hf(x；0)ii=1TOC\o"1-5"\h\z八 八 八若存在0使L(0)=max{L(0),0e0}，则称0为0的极大似然估计L L L一般求法：①由题设，求出L(0)=Hf(x；0)的表达式ii=1②取对数：lnL(0)=Xlnf(x；0) *ii=1③求导并令其等于0，建立似然方程d0lnL(0)=0 *八④解之即得0的极大似然估计02例4设例4设x1，x之，…,xn是总体X的样本10x-(0+1)x>1总体概率密度为f(X；0)=\ , ,I0,