概率初步统计初步

概率初步一、学习要求:(1)理解什么是必然发生事件、不可能发生事件，什么是随机事件.(2)在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义.(3)能够运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率.(4)能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系.(5)通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.(6)了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验.二、例题分析1、概率的有关概念1、下列事件中是必然事件的是()A、小婷上学一定坐公交车B、买一张电影票，座位号正好是偶数C、小红期末考试数学成绩一定得满分D、将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上2、下列说法正确的是( )A、一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B、某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖C、天气预报说明天下雨的概率是50%.所以明天将有一半时间在下雨D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2、用列举法求概率(1)直接列举法3、四张不透明的卡片为।一।31—II一।,除正面的数不同外，其余都相同.将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为.(2)两步、三步试验的问题：列表和树状图4、甲盒中装有2张相同的卡片，它们分别写有字母A和B；乙盒中装有3张相同的卡片，它们分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2张相同的卡片，它们分别写着字母H和I,从3个盒中各随机取出一张卡片.三(1)取出的3张卡片上恰好有1个，2个，3个元音字母的概率是多少？(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？甲盒丙盒甲盒丙盒解：根据题意，画出树形图:5 4 1 1 =—— P（一个元音）J2；P（两个元音）3；p（三个元音）二12；2 1 =一P（三个辅音）=126；5、把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.国（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字.当之张牌面数字相同时，小王赢；当之张牌面数字不相同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.解：（1）P（抽到牌面数字4）=3（2）游戏规则对双方不公平.理由如下：李小王、_3453(3,3)(3,4)(3,5)4(4,3)(4,4)(4,5)5(5,3)(5,4)(5,5)开始TOC\o"1-5"\h\z3 4 5/IV.JI' /I、? 4S彳4q 片4 5(3,3)(314)C3,5)(43X4,4)(4,5)(5^3)(5,4)(5,53由上述表格或树状图知：所有可能出现的结果共有9种.3_1P(抽到牌面数字相同)=§0，62——二一P(抽到牌面数字不相同)=93.12一＜一•••33，・••此游戏不公平，小李赢的可能性大.3、用频率估计概率1、通过实例让学生体会有频率估计概率的必要性和科学性.强调“同样条件，大量试验”2、蒙特卡罗方法：有些事情是动态的，或者很难将每一个一一数出，这时可用试验频率来估计总数.其思想依据是：理论概率=试验概率.常用方法是：先做记号，再数记号6、为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼 条.7、一个密封不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中,不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球.估计盒中大约有白球()A、28个 B、30个 C、36个D、42个、本章知识结构框图二、学习目标：.理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机事件；.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，发展随机观念。能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；.能够通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验。三、知识要点：L随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件（randomevent）o阅读：确定事件与随机事件：在现实世界中，有许多现象我们是可以事先预言其结果的，如下雨必有云；同性电荷相斥；在&上£C中，若ab=ac,则/£= 因为忑+133,所以耳之2。以上事实的反面，下雨而无云；同性电荷相吸；月+1之3,而木二2等。这种在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性事件（或现象）。确定性事件的特点是：当条件给定时，其结果可以事先确切地预言或推算。代数、几何都是研究这类现象的工具。然而，在现实世界中还存在着许多现象，我们无法事先断定其结果。例如，向上抛出一枚硬币，落地时其结果是正面向上，还是背面向上？事先是无法准确断言的。又如新生儿的体重，在出生之前也无法准确断言是多少。某一路段，在一定时间段内有多少车辆通过，也是无法事先断定的。这类事件很多。它们的共同特点是：在相同的条件下，重复同一试验（或观察）时，会得到不同的结果，就一次或少数几次试验来看，其结果是不确定的、无规律的，但当大量重复试验（或观察）时，其结果就整体来说呈现出某种固有规律性。例如，将上述的抛硬币试验大量重复时，就可以发现正面朝上或反面朝上的次数总是大致相等的。通过大量统计新生婴儿的体重时，也会发现这些数字绝大多数集中在某一点附近，离开这点越远数字越少，呈现出一种确定的分布。这种大量重复试验（或观察）时所呈现出的规律性，称为统计规律。这类在个别试验中呈现出不确定性，而在大量重复试验中，又具有某种统计规律的现象，这就是随机事件。2.概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率即会稳定在某个常数中附近,那么这个常数中就叫做事件A的概率(probability),记为。可理解为：(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；必然事件的概率为口用=1，不可能事件的概率为口司=0,随机事件时0俎$<1。理解概率与频率的内在联系与区别：概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支撑。相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用概率试验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率。所以用频率估计出来的概率通常是不精确的，要有误差。这就是所说的“试验概率稳定于理论概率而又不等于理论概率”。四、例题解析：例1.在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其他完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了。下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球。例2.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件?(1)若a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；(2)没有空气，动物也能生存下去；(3)在标准大气压下，水在90℃时沸腾;(4)直线y=k(x+l)过定点(-1,0)；（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球。例3.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数和是12；（2）两个骰子的点数和至少是9点；（3）两个骰子的点数相同；（4）两个骰子的点数都是偶数；（5）两个骰子的点数和为1；（6）两个骰子的点数和小于13o例4.“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛.假定甲乙两人每次做这三种手势都是等可能的，那么一次比赛时两人做同种手势（即不分胜负）的概率是多少？甲乙 菇装石头 （石大,石头｝石头之一剪刀 f石夫.剪刀）\布 （石头,南）,石头 （萌刃，石头）剪刀<-—剪刀 （尊力，或刀）\布 （1?刀,布）石头 （布，石头）布《一鹤刀 （布，剪刀）、布 （科布）

解：所有机会均等的结果有9解：所有机会均等的结果有9个，其中的3个（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布,F同种手势:二？二』布）是我们关注的结果，所以 93.注意：使用树状图要注重“机会均等”.例5.一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球,求两次都摸到红球的概率.分析：方法1：列举法：先摸一次，放回后再摸一次，两次摸球是独立的，互不影响的,工可能摸出的情况有（红，红），（红，黄），（黄，红），（黄，黄），所以概率为3.方法2：树状图法/红 /红\\黄 *解：概率为3.例6.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示:射击次数（n）102050100200500击中靶心次数（m）9194491178451击中靶心频率（制）（1）计算表中击中靶心的各个频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少?例7.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表:每批粒数-2-5 107o13031o700150020003000发芽的粒数携发芽的频率M加24960116282639133918062715（1）计算表中每批油菜籽发芽的频率；（2）油菜籽发芽的频率在左右摆动，油菜籽发芽的概率约为课后练习：1.指出下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是随机事件：（1）导体通电时，发热；（2）抛一块石头，下落；（3）在常温下，焊锡熔化；（4）在标准大气压下且温度低于01sb时，冰融化；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）某人射击一次，中靶。.必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率范围是 ..同时掷两个质地均匀的骰子一次，共有种不同的结果..随意从放有4个红球和1个蓝球的口袋中摸出一个球，再放回袋中搅匀后再摸出一个球，求两次摸到的球都为红球的概率。5.“神舟六号”的成功发射凝聚了航天人无数的心血与汗水，仅就回归着陆是否能在预定的4km2范围内一项，进行了无数次电脑模拟试验，试验记录如下：试验次数10040010002000理想着陆次数913569021802频率（1）填写表中的频率（精确到0.01）；（2）根据表中反映的规律，回答理想着陆的概率．.小明对小红说：“我们来做一个游戏，我向空中扔3个硬币。如果它们落地后全是正面朝上，你就得10分。如果它们全是反面朝上，你也得10分。但是，如果它们落地时是其他情况，我就得5分，得分多者获胜，好不好？”小红说，“让我考虑一分钟，至少有两枚硬币必定情况相同，因为如果有两枚情况不同，则第三枚一定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚情况相同，则第三枚与其他两枚情况相同或情况不同的可能性一样。因此，3枚硬币情况完全相同或情况不完全相同的可能性是一样的。但是小明是用5分来赌它们的不完全相同，这分明对我有利，好吧，小明，我和你做这个游戏！”请问：小红的推理正确吗？概率初步单元测试一、选择题（每题4分，共48分）.下列事件是必然事件的是（）A.明天天气是多云转晴B.农历十五的晚上一定能看到圆月C.打开电视机，正在播放广告D.在同一月出生的32名学生，至少有两人的生日是同一天.下列说法中正确的是（ ）A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生.可能性很小的事件在一次实验中一定会发生C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生D.不可能事件在一次实验中也可能发生.下列模拟掷硬币的实验不正确的是（）A.用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下袋中装两个小球，分别标上1和2,随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上C.在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上D.将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上在10000张奖券中，有200张中奖，如果购买1张奖券中奖的概率是（ ）1111A.50b,200c,500d,M00有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9,若将这六张牌背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为（）2^21A.3B. c.3D.3TOC\o"1-5"\h\z6.一个袋子中有4个珠子，其中2个是红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若在这个袋中任取2个珠子，都是红色的概率是（ ）\o"CurrentDocument"2 1 1A.马B.DC.I D.M

.有5条线段的长分别为2、4、6、8、10,从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）2D.io.一个均匀的立方体六个面上分别标有1,2,3,4,5,6,下图是这个立方体表面的展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的之的概率是（.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（）A.4 B.2c..d.1.把一个沙包丢在如图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么沙包落C.4C.4.如果小明将飞镖随意投中如图所示的圆形木板，那么镖落在小圆内的概率为（）[11A.[11A.40 B,80C.W001D.而.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖.参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，已经翻过的牌不能再翻，那么这位获奖的概率是（）2x1A.3B.%C.MD.20二、填空题（每题4分，共24分）.“抛出的篮球会下落”，这个事件是事件.（填“确定”或“不确定”）.10张卡片分别写有0至9十个数字，将它们放入纸箱后，任意摸出一张，则P（摸到数字2）=，P（摸到奇数）=..一只布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出黄球的概率是..有五张卡片，每张卡片上分别写有1,2,3,4,5,洗匀后从中任取一张，放回后再抽一张，两次抽到的数字和为的概率最大，抽到和大于8的概率为..某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%,估计口袋中黄色玻璃球有个..口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个绿球的J概率是5，则摸出一个黄球的概率是.三、解答题（每题7分，共28分）.一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，实验中共摸200次，其中50次摸到红球..一张椭圆形桌旁有六个座位，A、E、F先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位，求A与B不相邻而座的概率..你喜欢玩游戏吗？现请你玩一个转盘游戏.如图所示的两个转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积.请你：⑴列举（用列表或画树状图）所有可能得到的数字之积⑵求出数字之积为奇数的概率.房间日房间日.请你依据右面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘:⑴用树状图表示出所有可能的寻宝情况；⑵求在寻宝游戏中胜出的概率.「 寻宝游嫔.加图，有三■同房，等向房内放有两片■柜宇，仅看一侔宝就藏在某个柜子中，寻空游唬规则：正允许进久三个房间中的一小房间并打开其中一个栖干即为--灰游戏结束.找到宝幼弟.游戏.胜出，丞则为游蛾失败。答案与解析一、选择题.D2.C 3.D 4.A5.D 6.D7.D8.A9.B10.B11.D12.B二、填空题画TOC\o"1-5"\h\z.确定 14.10；2 15.10 16,6；25 17.18 18.5三、解答题I闰10 50「八 1 二 —.设口袋中有x个白球，1。十x200 ,口袋中大约有30个白球 20.3.解：⑴用列表法来表示所有得到的数字之积乙积甲12345611X1=12X1=23X1=34X1=45X1=56X1=621X2=22X2=43X2=64X2=85X2=106X2=1231X3=32X3=63X3=94X3=125X3=156X3=1841X4=42X4=83X4=124X4=165X4=206X4=24_6__1⑵由上表可知，两数之积的情况有24种，所以P（数字之积为奇数）=244..解：⑴树状图如下:房间柜子结果亲败亲败臾瑕臾瑕臾瑕胜出臾蹶⑵由⑴中的树状图可知：P（胜出）石概率初步单元复习与巩固一、知识框图觥率及面聿而焉刈―一率的思想方法二、目标认知学习目标1.理解并掌握确定事件和不确定事件，必然发生的事件和不可能发生的事件一、知识框图觥率及面聿而焉刈―一率的思想方法二、目标认知学习目标1.理解并掌握确定事件和不确定事件，必然发生的事件和不可能发生的事件.知道必然发生的事件概率为1,不可能发生事件的概率为0，随机事件发生的概率在0和1之间；.会用列表法和树形图法解决随机事件的概率，并注意二者的区别与联系;.用频率去估计实际概率要注意试验的次数必须足够多.重点.随机事件、必然事件、不可能事件等的判断；.用列举法求概率；.利用稳定后的频率值来估计概率的大小.难点.用试验得出概率；.列表法与树形图法的选择使用；.利用稳定后的频率值来估计概率的大小.三、知识要点梳理（一）概率的有关概念.概率的定义:某种事件在同一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划事件发生的可能性的大小的量叫做概率..概率论：研究概率的科学叫概率论.概率主要研究不确定现象，概率论作为一门科学，和人们的日常生活有着紧密的联系，比如：各种彩票、抽奖等等.人们用概率知识解决了许多生产实际问题..必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件..不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件..不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.（二）概率的计算：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.当试验次数很大时，一个事件发生的频率也稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.对于某些特殊类型的试验，实际上不需要作大量重复的试验，而通过列举法进行分析就能得到事件的概率例如掷一个骰子（骰子的构造相同，质地均匀），向上的一面的点数有6种可能，即1,2,3,4,5,6.因此每种结果的可能性相等，都是或从分别标有1,2,3,5号的5根纸签中随机地抽取一根（纸签的形状，大小相同），抽出的签上的号码有5种可能，即1,2,3,4,5.因此每个号被抽到的可能性相等，都是5.以上两个试验的共同特点是：一次试验