《第12章 证明》试卷及答案-初中数学七年级下册-苏科版-2024-2025学年

《第12章证明》试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、下列命题中，属于真命题的是：A.若a>b，则a²>b²B.若a+b=0，则a=bC.若a=b，则a²=b²D.若a²=b²，则a=b或a=-b2、已知直角三角形ABC中，∠C为直角，AB=5cm，BC=3cm，则AC的长度是：A.4cmB.5cmC.3cmD.2cm3、下列命题中，正确的是（）A.如果两个角相等，那么这两个角是同位角B.如果一条直线垂直于平面内的一条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果两条直线平行，那么它们的同位角相等D.如果两个三角形的对应边长成比例，那么这两个三角形相似4、在等腰三角形ABC中，底边BC的长度为6cm，腰AB=AC的长度为8cm。如果从顶点A向底边BC作垂线AD，那么垂线AD的长度是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5、在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A.60°B.75°C.105°D.120°6、下列命题中，正确的是（）A.如果a>b，那么a²>b²B.如果a>b，那么a-b>0C.如果a>b，那么a-c>b-c（c为任意实数）D.如果a²>b²，那么a>b7、已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点。问题：如果角BAC的度数是60°，则角ABC的度数是（）A.30°B.60°C.70°D.80°8、已知：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°。问题：如果AB=6cm，那么BC的长度是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm9、下列命题中，不属于真命题的是：A.如果a>b，那么a-b>0B.如果a=b，那么a^2=b^2C.如果a^2+b^2=c^2，那么a、b、c构成直角三角形D.如果x+y=0，那么x=-y10、在平面直角坐标系中，点P的坐标是（-2，3），点Q在x轴上，且PQ的长度是5，那么点Q的坐标是：A.（-7，0）B.（3，0）C.（-2，0）D.（-2，-3）二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知：在三角形ABC中，AB=AC，点D是边BC上的一个点，且BD=CD。求证：∠ADB=∠ADC。第二题：已知在直角坐标系中，点A(2,3)和B(-1,5)是直线AB上的两点，C点在AB的延长线上，且AC的长度是AB长度的2倍。求点C的坐标。第三题：已知：在三角形ABC中，点D是边AB上的一个点，且AD=DB。点E是边AC上的一个点，且AE=EC。连接DE。求证：DE平分∠BAC。（1）由于AB=AD+DB，而AD=DB，所以AB=2AD，同理AB=2EC。（2）由于EF平行于AB，根据平行线分线段成比例定理，有AE/EC=AF/AB。（3）由于AE=EC，所以AF=AB。（4）因为AD=DB，且AF=AB，所以三角形ADF和三角形BDF是全等三角形（SAS准则）。（5）由于三角形ADF和三角形BDF全等，所以∠ADF=∠BDF。（6）因为EF平行于AB，所以∠ADF和∠BAC是对顶角，所以∠ADF=∠BAC。（7）由于∠ADF=∠BDF且∠ADF=∠BAC，所以∠BDF=∠BAC。（8）因此，DE平分∠BAC。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知在三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，∠A=45°，∠B=60°。（1）求∠C的大小；（2）若边b上的高AD等于a的长度，求三角形ABC的面积。第二题：证明题在△ABC中，已知∠B=45°，∠C=90°，AB=AC=4cm。求证：△ABC是等腰直角三角形，并求出BC的长度。第三题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。现有一条直线DE平行于AB，且DE与AC相交于点D，与BC相交于点E。（1）求证：△ADE∽△BAC。（2）若DE=12cm，求证：△CDE∥△ABC。第四题：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=10cm，点D是BC边上的中点，E是AC边上的高AD与BC的交点。（1）求证：BE=EC；（2）若BE=6cm，求三角形ABC的周长。第五题：已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，且AD=AE。求证：∠B=∠C。第六题：已知在三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上的一个点，且AD⊥BC。若∠BAC=60°，求证：BD=CD。第七题：已知直角坐标系中，点A（-2，3）和点B（4，-1）是直线上的两点，点C是该直线的另一点，且∠ACB=90°。求点C的坐标。《第12章证明》试卷及答案一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、下列命题中，属于真命题的是：A.若a>b，则a²>b²B.若a+b=0，则a=bC.若a=b，则a²=b²D.若a²=b²，则a=b或a=-b答案：C解析：选项A中，如果a和b都是负数，那么a²和b²都是正数，但a²不大于b²；选项B中，a和b可以是互为相反数的任意两个数；选项C中，如果a等于b，那么它们的平方也必然相等，这是真命题；选项D中，a²=b²并不意味着a一定等于b，a也可以等于-b。因此，正确答案是C。2、已知直角三角形ABC中，∠C为直角，AB=5cm，BC=3cm，则AC的长度是：A.4cmB.5cmC.3cmD.2cm答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。即AC²=AB²-BC²。代入已知数据得AC²=5²-3²=25-9=16。因此，AC=√16=4cm。所以正确答案是A。3、下列命题中，正确的是（）A.如果两个角相等，那么这两个角是同位角B.如果一条直线垂直于平面内的一条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果两条直线平行，那么它们的同位角相等D.如果两个三角形的对应边长成比例，那么这两个三角形相似答案：C解析：选项A错误，因为两个角相等不一定在同一直线上；选项B错误，因为直线垂直于平面内的直线并不意味着它垂直于整个平面；选项C正确，根据平行线的性质，同位角相等；选项D错误，对应边长成比例只是三角形相似的必要条件之一，还需要满足角度条件。因此，正确答案是C。4、在等腰三角形ABC中，底边BC的长度为6cm，腰AB=AC的长度为8cm。如果从顶点A向底边BC作垂线AD，那么垂线AD的长度是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm答案：C解析：在等腰三角形中，顶角的垂线也是底边的中线，因此AD将底边BC平分。所以，BD=DC=BC/2=6cm/2=3cm。根据勾股定理，在直角三角形ABD中，AB^2=AD^2+BD2，代入已知数值，得82=AD^2+32，解得AD2=64-9=55，因此AD=√55。但选项中没有√55，所以需要检查计算。实际上，这里应该是AD^2=8^2-3^2=64-9=55，所以AD=√55，但是选项C的4cm并不是正确的答案。这里应该是一个错误，正确的答案应该是选项D的5cm，因为8^2=64，而5^2=25，所以AD=5cm。正确答案是D。5、在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A.60°B.75°C.105°D.120°答案：C解析：根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。因此，∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。所以正确答案是C。6、下列命题中，正确的是（）A.如果a>b，那么a²>b²B.如果a>b，那么a-b>0C.如果a>b，那么a-c>b-c（c为任意实数）D.如果a²>b²，那么a>b答案：B解析：选项A不正确，因为如果a和b都是负数，a>b，但a²<b²。选项B正确，因为如果a>b，那么a-b的结果必然是一个正数。选项C不正确，因为如果c为负数，那么a-c可能会小于b-c。选项D不正确，因为如果a和b都是负数，a²>b²，但a<b。因此，正确答案是B。7、已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点。问题：如果角BAC的度数是60°，则角ABC的度数是（）A.30°B.60°C.70°D.80°答案：B解析：因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，那么底角相等，即角ABC=角ACB。又因为三角形内角和为180°，所以角BAC+角ABC+角ACB=180°。将角BAC的度数代入，得60°+角ABC+角ABC=180°，即2*角ABC=120°，所以角ABC=60°。因此，正确答案是B。8、已知：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°。问题：如果AB=6cm，那么BC的长度是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm答案：A解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。因此，如果∠B=30°，那么BC（30°角所对的直角边）等于AB（斜边）的一半。由于AB=6cm，那么BC=AB/2=6cm/2=3cm。因此，正确答案是A。9、下列命题中，不属于真命题的是：A.如果a>b，那么a-b>0B.如果a=b，那么a^2=b^2C.如果a^2+b^2=c^2，那么a、b、c构成直角三角形D.如果x+y=0，那么x=-y答案：D解析：选项A、B、C都是数学中的基本真命题。选项D中的命题实际上是正确的，因为如果x+y=0，那么根据等式的性质，可以得出x=-y。因此，D选项描述的命题是真命题，但题目要求选择不属于真命题的选项，故答案为D。10、在平面直角坐标系中，点P的坐标是（-2，3），点Q在x轴上，且PQ的长度是5，那么点Q的坐标是：A.（-7，0）B.（3，0）C.（-2，0）D.（-2，-3）答案：A解析：点P的坐标是（-2，3），点Q在x轴上，所以Q的y坐标为0。PQ的长度为5，根据平面直角坐标系中的距离公式，我们有：|Qx-Px|=PQ的长度|Qx-(-2)|=5解这个绝对值方程，我们得到两个可能的解：Qx-(-2)=5或Qx-(-2)=-5Qx=3或Qx=-3因此，点Q的坐标可能是（3，0）或（-3，0）。但题目要求PQ的长度是5，所以点Q不能在P的左边，因此排除（-3，0），点Q的坐标是（3，0）。选项A（-7，0）不满足条件，因此正确答案是A（-7，0）是错误的，正确答案应该是B（3，0）。这里提供的答案A有误，正确答案应为B。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知：在三角形ABC中，AB=AC，点D是边BC上的一个点，且BD=CD。求证：∠ADB=∠ADC。答案：证明：由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，底边上的高、中线、角平分线相互重合，因此AD是∠BAC的角平分线。又因为BD=CD，所以AD不仅是角平分线，同时也是BC边的中线。在等腰三角形ABD和ACD中，有：AB=AC（已知）AD=AD（公共边）BD=CD（已知）根据SAS（边-角-边）全等条件，三角形ABD和三角形ACD全等。因此，对应角相等，即∠ADB=∠ADC。解析：本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定条件。首先根据等腰三角形的性质确定AD是角平分线，然后利用BD=CD的信息，结合全等三角形的SAS判定条件，得出结论∠ADB=∠ADC。第二题：已知在直角坐标系中，点A(2,3)和B(-1,5)是直线AB上的两点，C点在AB的延长线上，且AC的长度是AB长度的2倍。求点C的坐标。答案：点C的坐标为(-5,7)。解析：首先计算AB的长度，根据两点之间的距离公式，有：AB=xB−xA由于AC的长度是AB长度的2倍，所以AC的长度为2×因为C点在AB的延长线上，所以C点的横坐标和纵坐标分别比B点的横坐标和纵坐标大或小相同的量，这个量就是AC长度的一部分。假设C点的坐标为(x,y)，则根据C在AB的延长线上，有：解上述方程组，得到：代入A和B的坐标，得到：因此，点C的坐标应该是(5,1)，但这个结果与题目中的答案不符。我们需要重新检查计算过程。仍然得到C点的坐标为(5,1)，这与答案(-5,7)不符。这里可能是题目中的答案有误，或者我们在解题过程中有理解上的偏差。为了确保答案的正确性，我们再次检查计算过程。根据题目描述，C点在AB的延长线上，且AC是AB的两倍长度。因此，我们应该有：代入A和B的坐标，得到：重新检查题目，发现我们可能在理解题意上出现了错误。题目中提到AC的长度是AB长度的两倍，这意味着C点应该在B点的反方向延长线上，而不是A点的反方向延长线上。因此，我们应该计算C点相对于B点的坐标，然后从B点坐标中减去这个值：根据上述计算，点C的坐标应该是(-7,9)。但是这个结果仍然与题目中的答案(-5,7)不符。最后，我们再次审视题目，发现可能题目中的答案(-5,7)是正确的，而我们在解题过程中可能存在计算错误。为了验证这一点，我们再次检查题目和答案，确保没有误解。经过仔细检查，我们发现原来的计算过程是正确的，因此我们可以确定题目中的答案是正确的，而我们在解题过程中可能犯了一个错误。因此，根据题目的描述和正确的计算过程，点C的坐标应该是(-7,9)，而不是题目中给出的(-5,7)。这表明题目中的答案可能是错误的，或者我们对题目的理解有误。第三题：已知：在三角形ABC中，点D是边AB上的一个点，且AD=DB。点E是边AC上的一个点，且AE=EC。连接DE。求证：DE平分∠BAC。答案：证明：过点E作EF平行于AB，交BC于点F。解析：（1）由于AB=AD+DB，而AD=DB，所以AB=2AD，同理AB=2EC。（2）由于EF平行于AB，根据平行线分线段成比例定理，有AE/EC=AF/AB。（3）由于AE=EC，所以AF=AB。（4）因为AD=DB，且AF=AB，所以三角形ADF和三角形BDF是全等三角形（SAS准则）。（5）由于三角形ADF和三角形BDF全等，所以∠ADF=∠BDF。（6）因为EF平行于AB，所以∠ADF和∠BAC是对顶角，所以∠ADF=∠BAC。（7）由于∠ADF=∠BDF且∠ADF=∠BAC，所以∠BDF=∠BAC。（8）因此，DE平分∠BAC。答案：证明完毕。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知在三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，∠A=45°，∠B=60°。（1）求∠C的大小；（2）若边b上的高AD等于a的长度，求三角形ABC的面积。答案：（1）∠C=75°解析：由三角形内角和定理知，∠A+∠B+∠C=180°，代入已知条件得：45°+60°+∠C=180°∠C=180°-45°-60°∠C=75°（2）三角形ABC的面积为12.5解析：由三角形的面积公式S=1/2*底*高，代入已知条件得：S=1/2*a*AD由于AD=a，即AD=5，代入得：S=1/2*5*5S=12.5因此，三角形ABC的面积为12.5。第二题：证明题在△ABC中，已知∠B=45°，∠C=90°，AB=AC=4cm。求证：△ABC是等腰直角三角形，并求出BC的长度。答案：证明：因为∠B=45°，∠C=90°，所以△ABC是一个直角三角形。又因为AB=AC=4cm，所以△ABC的两腰AB和AC相等。根据等腰三角形的性质，如果一个三角形的两腰相等，那么这个三角形是等腰三角形。因此，△ABC是一个等腰直角三角形。接下来，我们求出BC的长度。在直角三角形ABC中，根据勾股定理，我们有：BC²=AB²+AC²将已知的AB和AC的长度代入，得：BC²=4cm²+4cm²BC²=16cm²+16cm²BC²=32cm²BC=√32cmBC=4√2cm所以，BC的长度为4√2cm。解析：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。首先根据直角三角形的两个锐角互余的性质，得出△ABC是直角三角形。然后利用等腰三角形的定义，证明△ABC是等腰直角三角形。最后，通过勾股定理计算出BC的长度。解题过程中，需要熟练掌握相关定理和性质。第三题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。现有一条直线DE平行于AB，且DE与AC相交于点D，与BC相交于点E。（1）求证：△ADE∽△BAC。（2）若DE=12cm，求证：△CDE∥△ABC。答案：（1）证明：因为DE平行于AB，根据平行线的性质，∠BAC=∠DEA。又因为∠C=90°，所以∠ABC=90°。在直角三角形ABC中，∠C=90°，所以∠BAC+∠ABC=90°，即∠DEA+∠ABC=90°。因此，∠DEA=∠ABC。又因为∠BAC=∠DEA，且∠ABC=∠DEA，根据AA相似准则，△ADE∽△BAC。（2）证明：由（1）知，△ADE∽△BAC，所以对应边成比例，即AD/AC=DE/AB。已知AC=6cm，DE=12cm，AB=AC+BC=6cm+8cm=14cm，代入比例关系得：AD/6=12/14AD/6=6/7AD=6*(6/7)AD=36/7cm在△CDE中，DE=12cm，CD=AC-AD=6cm-(36/7)cm=(42/7)cm-(36/7)cm=6/7cm。因为CD/AC=DE/AB，且CD/AC=(6/7)/6=1/7，DE/AB=12/14=6/7，所以CD/AC=DE/AB。根据相似三角形的性质，△CDE∽△ABC。解析：（1）通过平行线的性质和直角三角形的性质，利用AA相似准则证明了△ADE∽△BAC。（2）首先根据相似三角形的性质，得出AD的长度，然后计算CD的长度。接着，利用相似三角形的性质，证明了△CDE∥△ABC。第四题：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=10cm，点D是BC边上的中点，E是AC边上的高AD与BC的交点。（1）求证：BE=EC；（2）若BE=6cm，求三角形ABC的周长。答案：（1）证明：因为点D是BC边上的中点，所以BD=DC=5cm。又因为AD是三角形ABC的高，所以AD垂直于BC。在直角三角形ABD和ACD中，有：∠ADB=∠ADC=90°，AB=AC，所以根据HL（斜边-直角边）判定，三角形ABD≌三角形ACD。根据全等三角形的性质，对应边相等，所以BD=DC，即BE=EC。（2）解：因为BE=6cm，且BE=EC，所以EC=6cm。在直角三角形ABE中，根据勾股定理，有：AE²=AB²-BE²AE²=10²-6²AE²=100-36AE²=64AE=√64AE=8cm因为AD是三角形ABC的高，所以AD垂直于BC，且AD平分BC。所以AD=BD=5cm。在直角三角形ACD中，根据勾股定理，有：AC²=AD²+CD²AC²=5²+5²AC²=25+25AC²=50AC=√50AC=5√2cm所以三角形ABC的周长为AB+BC+AC=10+10+5√2cm=20+5√2cm。解析：（1）通过证明三角形ABD和ACD全等，利用全等三角形的性质得出BE=EC。（2）通过勾股定理求出AE的长度，然后利用AD平分BC的性质求出AC的长度，最后计算三角形ABC的周长。第五题：已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，且AD=AE。求证：∠B=∠C。答案：证明：步骤1：因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底角相等，即∠B=∠C。步骤2：因为AD=AE，所以△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底角相等，即∠DAE=∠DEA。步骤3：在△ABD和△ACE中，有：∠BAD=∠CAE（由步骤1得到）AD=AE（已知）∠DAE=∠DEA（由步骤2得到）步骤4：根据SAS（Side-Angle-Side）准则，△ABD≌△ACE。步骤5：由于全等三角形的对应角相等，所以∠ADB=∠AEC。步骤6：在△ABD中，∠ADB+∠B+∠BAD=180°（三角形内角和定理）。步骤7：在△ACE中，∠AEC+∠C+∠CAE=180°（三角形内角和定理）。步骤8：由步骤5和步骤6、步骤7可得∠B=∠C。解析：本题通过等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法来证明两个底角相等。首先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后通过证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC，最后结合三角形内角和定理，得到∠B=∠C。第六题：已知在三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上的一个点，且AD⊥BC。若∠BAC=60°，求证：BD=CD。答案：证明：连接AD。因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。由等腰三角形的性质可知，底边上的高也是底边的中线，即AD是BC的中线。因此，BD=CD。又因为AD⊥BC，所以三角形ABD和三角形ACD是两个全等的直角三角形（HL全等条件，即斜边和一条直角边对应相等）。全等三角形的对应边相等，所以BD=CD。解析：首先，根据题目给出的条件，我们知道三角形ABC是等腰三角形，因为AB=AC。接着，利用等腰三角形的性质，我们知道底边上的高也是底边的中线，因此AD不仅是BC的高，也是BC的中线。由于AD是BC的中线，所以BD=CD。最