2024-2025湖北省“新八校协作体”高二年级12月联考数学试题含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025湖北省“新八校协作体”高二年级12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(1,n,2)，b=(−2,1,2)，若a与b垂直，则|a|A.5 B.7 C.3 2.椭圆x2m+y2=1(m>0)的焦点在xA.14 B.12 C.2 3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是(

)A.至少有1名女生与全是女生 B.至少有1名女生与全是男生

C.恰有1名女生与恰有2名女生 D.至少有1名女生与至多有1名男生4.已知一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据x1，x2⋯，xn，80的平均数和方差分别为A.x>80 B.x<80 C.s25.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90∘，AC=BC=AA1=2，A.3010 B.1515 C.6.过点M(2,1)的直线l与椭圆x28+y26=1相交于A，B两点，且M恰为线段A.23 B.−23 C.37.已知圆C1:(x+2)2+(y−1)2=1，圆C2:(x−2)2+(y−3)2=4，MA.42−3 B.25−38.在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0(x0,y0,z0)，点P(x,y,z).(1)若直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c;(2)若平面α经过点P0A.33 B.75 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则(

)A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.38

C.两人都没有命中的概率为0.6 D.至少有一人命中的概率为0.710.设动直线l:mx+y−m−2=0(m∈R)与圆C:(x−3)2+(y−4)2=12交于AA.直线l过定点(1,2) B.当|AB|最大时，m=−1

C.当|AB|最小时，m=1 D.当∠ACB最小时，其余弦值为111.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为22，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有(

)

A.AG⊥平面GHMN

B.若E是棱MN的中点，则HE与平面AFG平行

C.若四边形ABCD的边界及其内部有一点P，|FP|=22，则点P的轨迹长度为π

D.若E为线段MN上的动点，则HE与平面HGF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系O−xyz中，已知点A(0,1,0)，B(0,1,1)，C(1,0,0)，则点A到直线BC的距离为

．13.若曲线y=2+1−x2与直线y=k(x−1)+4有两个交点，则实数k的取值范围是14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为Q四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知圆C的圆心在y轴上，且经过点(3,1)(1)求圆C的标准方程;(2)过点P(1,5)的直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l16.(本小题15分)求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(−2,0)，且与双曲线y264(2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为y=±317.(本小题15分)

半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲(年龄36)，乙(年龄42)两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率;(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在[35,45]内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．18.(本小题17分)如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，AB=AD=12DC=1，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.如图2，BD(1)求证：AO⊥平面BCD;(2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为31414?若存在，求出点H19.(本小题17分)有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为43，将纸片折叠，使圆周上某一点M与点F重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当M取遍圆上所有点时，所有折痕与ME的交点P形成的轨迹记为曲线C，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中点(1)求曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+m(m>0)与曲线C交于A，B两点．(ⅰ)当k为何值时，|OA|2(ⅱ)过A，B两点分别作曲线C的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点Q在直线x+y−8=0上，探究：此时直线l是否过定点?若过，求出该定点;若不过，请说明理由．

参考答案1.C

2.D

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.A

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.613.(314.【解答】

解：双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，一条渐近线方程为bx−ay=0，

设F1(−c,0)，可得|F1Q|=|−cb|a2+b2=bcc=b，若F1P=3F1Q，则|PF1|=3b，

15.解：(1)设圆心的坐标为C(0,b)，由题意可得(3)2+1−b2=22+(2−b)2，

解得b=2，所以，圆的半径为r=22+(2−2)2=2，

因此，圆C的标准方程为x2+(y−2)2=4．

(2)当|AB|=23时，圆心C到直线l的距离为d=22−(|AB|2)2=4−3=1，

当直线l16.解：(1)由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且a=2，

双曲线y264−x216=1的离心率为e=1+1664=52，

则ca=c2=52，得c=5，故b=1，

所以双曲线的方程为x24−y2=1；

(2)由题意知a=4，17.解：(1)设参与知识竞赛者的平均年龄为x，

则x=(22.5×0.02+27.5×0.07+32.5×0.05+37.5×0.04+42.5×0.02)×5=31.75．

(2)由题意得，第四组应抽取0.2×20=4人，记为A(甲)，B，C，D，

第五组应抽取0.1×20=2人，记为E(乙)，F，

对应的样本空间为：Ω={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)(B,F)(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)}，

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，

则M={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,E)，(C,E)，(D,E)，(E,F)}，

所以P(M)=n(M)n(Ω)=915=35．

(3)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，s52，

则x4=36，x5=42，s42=1，18.解：(1)证明：因为AB=AD，BD的中点为O，所以AO⊥BD，

又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

根据面面垂直的性质可得AO⊥平面BCD；

(2)取DC的中点为M，连接MO，则MO//BC，由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，

BM=CM=1，BD=BC=2，DC=2，∴BD⊥BC，BD⊥OM．

由(1)AO⊥平面BCD，可知OD，OM，OA两两互相垂直，

以O为坐标原点，分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，G(24,0,24)，B(−22,0,0)，C(−22,2,0)，A(0,0,22)，

设AH=λAC(0≤λ≤1)，∴H(−22λ,2λ,−22λ+22)

GH=(−22λ−24,2λ,−22λ+24)，GB=(−342,0,−119.解：(1)由题意可知，|PF|+|PE|=|PM|+|PE|=|ME|=8>|EF|=4，

，所以点P的轨迹是以F，E为焦点，长轴长为8的椭圆，

所以曲