一、微分的概念

一、微分的概念§5.5微分

若在有限增量公式

中删去高阶无穷小量项关于的一个线性近似式,这就是“微分”;其中的线性因子即为四、微分在近似计算中的应用三、高阶微分二、微分的运算法则导数.所以,微分和导数是一对相辅相成的概念.2021/6/271微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的数.如果给边长x一个增量,正方形面积的增量

的线性部分

和

的高阶部分()2.因此,当边长x增加一个微小量

时,

可用一、微分的概念

由两部分组成:设一边长为x的正方形,它的面积S=x2

是x的函线性部分,请先看一个具体例子.2021/6/272

的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量,即以为边长的小正方形(如图).2021/6/273可以表示成定义5

设函数

如果增量可微,并称

为f在点处的微分,记作其中A是与

无关的常数,则称函数f在点由定义,函数在点

处的微分与增量只相差一个关于

的高阶无穷小量,而是

的线性函数.2021/6/274于是

定理1函数在点

可微的充要条件是

在点可导,且证(必要性)

如果

在点可微,据(1)式有更通俗地说,

是

的线性近似.2021/6/275即

在点可导,且(充分性)设在点

处可导,则由的有限增量公式说明函数增量

可且表示为的线性部分,与关于的高阶无穷小量部分之和.所以

在点可微,微分概念的几何解释,示于下图:2021/6/276它是点P处切线相

在点

的增量为而微分是应于

的增量.当很小时,两者之差相比于将是更小的量(高阶无穷小).更由于2021/6/277故若则得到的高阶无穷小量.若函数在区间上每一点都可微,则称是上它既依赖于,

也与有关.的可微函数.2021/6/278(4)式的写法会带来不少好处,首先可以把导数看

所以导数也称为微商.更多的好处将体现在后面习惯上喜欢把写成,于是

(3)式可改写成这相当于的情形,

此时显然有(5)

积分学部分中.成函数的微分与自变量的微分之商,即2021/6/279例12021/6/2710由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:故运算法则4又可以写成二、微分的运算法则2021/6/2711解它在形式上与(4)式完全一样,不管

是自变量还例2求的微分.立.这个性质称为“一阶微分形式不变性”.是中间变量(另一个变量的可微函数),上式都成2021/6/2712的计算中,用了一阶微分形式不变性.例3求的微分.解2021/6/2713三、高阶微分或写作称为f的二阶微分.则当f

二阶可导时,dy关于x的微分为若将一阶微分仅看成是

的函数,注由于

与x无关,因此x的二阶微分

三者各不相同,不可混淆.2021/6/2714当x是中间变量时,二阶微分依次下去,可由阶微分求n阶微分:对的n阶微分均称为高阶微分.高阶微分不具有形式不变性.当x是自变量时,的二阶微分是为2021/6/2715例4解法一不一定为0,而当x为自变量时,它比

(6)式多了一项当时,由(6)得2021/6/2716解法二依(7)式得如果将漏掉就会产生错误.2021/6/2717四、微分在近似计算中的应用1.

函数值的近似计算(9)式的几何意义是当x与x0充分接近时,可用点故当

很小时,有

由此得记

,即当

时，(8)式可改写为2021/6/2718公式(9)分别用于sinx,tanx,ln(1+x),ex(x0=0),例5试求sin33o的近似值(保留三位有效数字).解由公式(9)得到

处的切线近似代替曲线,这种线性近可得近似计算公式(试与等价无穷小相比较):似的方法可以简化一些复杂的计算问题.2021/6/27192.

误差的估计设数x是由测量得到的,y是由函数经过果已知测量值x0的误差限为

,

即算得到的

y0=f(x0)也是y=f(x)的一个近似值.如差,实际测得的值只是x

的某个近似值x0.由x0计计算得到.由于测量工具精度等原因,存在测量误2021/6/2720例6设测得一球体直径为42cm,测量工具的精度则当很小时,量y0的绝对误差估计