《机械工程控制基础》(杨叔子主编)第四章+系统的频率特性分析

章系统的频率特性分析◆频率特性概述◆频率特性的图示方法◆频率特性的特征量◆最小相位系统与非最小相位系统◆通过谐波，识别系统的传递函数◆利用MATLAB分析频率特性习题：4.6、4.7(2)、4.9、4.12(3)(4)、4.13、4.15(7)(8)、4.192021/6/271频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法。4.1频率特性概述

因此，从某种意义上讲，频率特性法与时域分析法有着本质的不同。频率特性虽然是系统对正弦信号的稳态响应，但它不仅能反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性和动态性能。2021/6/2724.1频率特性概述(部分分式处理)线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。一、频率响应与频率特性

1、频率响应2021/6/2734.1频率特性概述2021/6/2744.1频率特性概述根据频率响应的概念，可以定义系统的幅频特性和相频特性。根据频率特性和频率响应的概念，还可以求出系统的谐波输入作用下的稳态响应为2.2021/6/275例4-2求原函数f(t)解：对分母的s多项式进行因子分解s2+3s+2=(s+1)(s+2)两边同乘以(s+1)得令s=-1，则4.1频率特性概述(部分分式处理)二、2021/6/276同理：f(t)=L-1[F(s)]=(-6e-t+14e-2t)4.1频率特性概述由得：2021/6/2774.1频率特性概述二、2021/6/2784.1频率特性概述二、2021/6/2794.1频率特性概述二、2021/6/27104.1频率特性概述

三、根据定义来求，此方法麻烦。2021/6/27114.1频率特性概述

这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为重要的作用。

三、2021/6/2712根据定义来求，此方法麻烦。4.1频率特性概述

三、2021/6/27134.1频率特性概述四、2021/6/2714这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数w（t）的Fourer变换，即w（t）的频谱。所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。4.1频率特性概述五、（2）频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。2021/6/2715

频率特性的计算量很小，一般都是采用近似的作图方法，简单，直观，易于在工程技术界使用。

可以采用实验的方法，求出系统或元件的频率特性，这对于机理复杂或机理不明而难以列写微分方程的系统或元件，具有重要的实用价值，正因为这些优点，频率特性法在工程技术领域得到广泛的应用。4.1频率特性概述2021/6/27164.3L-R-C串联电路如图所示。假设作用在输入端的电压为。试求通过电阻R的稳态电流i(t)。系统的传递函数为：系统的频率特性为：

系统的幅频特性为：4.1频率特性概述解：根据回路电压定律有六、举例2021/6/2717系统的相频特性为：根据系统频率特性的定义有，系统稳态输出为：4.1频率特性概述2021/6/2718例4.4

系统结构图如图所示。当系统的输入时，测得系统的输出，试确定该系统的参数nω,ξ。系统的频率特性为其中，幅频特性为:相频特性为:由已知条件知，当ω=1时，4.1频率特性概述解：系统的闭环传递函数为:2021/6/27194.1频率特性概述2021/6/2720七、机械系统的频率特性（动柔度、动刚度、静刚度）

若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度。机械系统的频率特性的倒数称之为机械系统的动刚度。当w＝0时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。例4-5：已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为2/(s+1)(mm/kg),求系统的动刚度、动柔度和精刚度。解：根据动刚度和动柔度的定义有：4.1频率特性概述2021/6/27214.2频率特性的图示方法

频率特性G(jw)以及幅频特性和相频特性都是频率w的函数，因而可以用曲线表示它们随频率变换的关系。用曲线图形表示系统的频率特性，具有直观方便的优点，在系统分析和研究中很有用处。常用的频率特性的图示方法：极坐标图和对数坐标图一、频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。2021/6/27224.2频率特性的图示方法在复平面[G(jω)]上表示G(jω)的幅值|G(jω)|和相角∠G(jω)随频率ω的改变而变化的关系图，这种图形称为频率特性的极坐标图，又称为nyquist图。2021/6/27234.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)所以，比例环节频率特性的nyquist图是：2021/6/27244.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)所以，积分环节频率特性的nyquist图是：2021/6/27254.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)所以，微分环节频率特性的nyquist图是：2021/6/27264.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)所以，惯性环节频率特性的nyquist图是：2021/6/27274.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)所以，微分环节频率特性的nyquist图是：2021/6/27284.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)2021/6/27294.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)2021/6/27304.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)2021/6/27314.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)2021/6/27324.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)所以，延时环节频率特性的nyquist图是：2021/6/27334.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)2021/6/27344.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图举例)例1试绘制其频率特性的Nyquist图。2021/6/2735例2

已知某超前网络的传递函数为试绘制其频率特性的Nyquist图。法一：解：该网络的频率特性为其中，幅频特性为：相频特性为:实频特性为:虚频特性为:u、v满足关系：又因为u>0、v>0，系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第一象限半圆。系统频率特性的Nyquist图如图所示。4.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图举例)2021/6/2736法二：因此，可以先作出的Nyquist图，然后取其反对称曲线，即为的Nyquist图，最后将的Nyquist图沿实轴右移1个单位，即得的Nyquist图如图所示。4.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图举例)由于：2021/6/27374.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图举例)例32021/6/27384.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图举例)已知三个不同系统2021/6/27394.2频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图举例)系统的频率特性：系统的nyquist图的一般形状：若n>m，则若n＝m，则|G(jw)|=const2021/6/27404.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)dec(10倍频程)2021/6/27414.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27424.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27434.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27444.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27454.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27464.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27474.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27484.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27494.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27504.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27514.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27524.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27534.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)关于典型环节的对数幅频特性及其渐进线和对数相频特性的特点归纳如下：2021/6/27544.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)绘制系统的bode图的步骤：2021/6/27554.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27564.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)系统bode图的几个特点系统的频率特性：2021/6/27574.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)（解题步骤）2021/6/27584.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/2759例4.6

试绘制传递函数的对数幅频特性曲线。解：将传递函数进行标准化得其频率特性为因此，它由一个比例环节（比例系数K=7.5）、一个一阶导前环节（时间常数即转折频率为）、一个积分环节、一个一阶惯性环节（时间常数，即转折频率为）和一个二阶振荡环节（）等五个典型环节组成。法一：先分别作出五个典型环节的对数幅频特性的渐近线，然后，叠加，即得系统的对数幅频特性曲线如图（例4.4）所示。4.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/2760法二：（1）分别在横坐标轴上标出三点。（3）再作中频段的对数幅频特性的渐近线。（2）该系统包含一个积分环节，找出横坐标为ω=1，纵坐标为20lg(7.5)=40.3dB的点，过该点作斜率为-20dB/dec的直线。这样，便得到系统的对数幅频特性曲线如图（例4.4.b）所示。4.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27614.2频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)2021/6/27624.3频率特性的特征量

如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量或频域性能指标有A(0)、wm、wr（Mr）、wb。1．零频幅值A(0)

零频幅值A(0)表示当频率ω接近于零时，闭环系统稳态输出的幅值与输入幅值之比。

在频率极低时，对单位反馈系统而言，若输出幅值能完全准确地反映输入幅值，则A(0)=1。A(0)越接近于1，系统的稳态误差越小。所以A(0)的数值与1相差的大小，反映了系统的稳态精度。2021/6/2763

若事先规定一个Δ作为反映低频输入信号的容许误差，那么，ωM就是幅频特性值与A(0)的差第一次达到Δ时的频率值，称为复现频率。当频率超过ωM，输出就不能“复现”输入，所以，0~ωM表征复现低频输入信号的频带宽度，称为复现带宽。4.3频率特性的特征量2．复现频率ωM与复现带宽0~ωM2021/6/27643．谐振频率ωr及相对谐振峰值Mr

谐振频率ωr在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。ωr越大，则系统响应越快。4.3频率特性的特征量2021/6/2765

在学习系统频域性能指标时，要充分注意到时域性能指标和频域性能指标一样，从不同的侧面描述了系统的动态特性和稳态特性，要注意两类性能指标之间的联系。4.3频率特性的特征量4．截止频率ωb和截止带宽0~ωb

一般规定幅频特性A(ω)的数值由零频幅值下降到3dB时的频率，亦即A(w)由A(0)下降到0.707A(0)时的频率称为截止频率。频率0～ωb的范围称为系统的截止带宽或带宽。它表示超过此频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态。带宽表征系统容许工作的最高频率范围，也反映系统的快速性，带宽越大，响应快速性越好。2021/6/2766

若传递函数G(s)的所有零点和极点均在复平面s的左半平面内，则称G(s)为最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；

反之，若传递函数G(s)在[s]的右半平面内存在零点或极点，则称G(s)为非最小相位传递函数，具有非最小相位传递函数的系统称为非最小相位系统。

非最小相位系统和最小相位系统的对数幅频特性图一致，但是，它们的对数相频特性图是有区别的。4.4最小相位系统与非最小相位系统2021/6/27674.4最小相位系统与非最小相位系统例1：2021/6/2768通过谐波输入，测取系统的频率特性，继而辨识系统的传递函数。4.5通过谐波，识别系统的传递函数(P292)2021/6/27694.5通过谐波，识别系统的传递函数2021/6/27704.5通过谐波，识别系统的传递函数2021/6/27714.5通过谐波，识别系统的传递函数2021/6/27724.5通过谐波，识别系统的传递函数2021/6/27734.6利用MATLAB分析频率特性调用格式

［re,im,ω］=nyquist(num,den,ω)

式中G(s)=num/den；ω用户提供的频率范围；

re极坐标的实部；im极坐标的虚部若用户不指定频率ω范围，则为Nyquist(num,den)一、利用matlab绘制nyquist图

在matlab中，可以用nyquist函数自动生成系统的nyquist图，但生成的图形可能会产生异常或丢失重要信息。因此，通常采用带输出参数的nyquist函数得到实频特性和虚频特性，然后调用绘图函数绘制nyquist图。2021/6/27744.6利用MATLAB分析频率特性k=24;nunG1=k*[0.250.5];denG1=conv([52],[0.052]);%系统的传递函数[re,im]=nyquist(nunG1,denG1);%求实频特性和虚频特性plot(re,im);grid%生成nyquist图例：利用nyquist函数绘制系统的nyquist图。Matlab文本如下：系统的nyquist图2021/6/27754.6利用MATLAB分析频率特性二、利用matlab绘制bode图

在matlab中，可以用不带输出参数的bode函数自动生成系统的bode图。而用带输出参数的bode函数，可以得到系统的幅频特性和相频特性。bode函数语法格式如下所示。[mag,Phase,w]=bode(sys,w)其中：mag:幅频特性phase:相频特性w:频率范围（可选项）sys:由tf、zpk、ss等建立的模型2021/6/2776例：利用bode函数绘制系统的bode图。4.6利用MATLAB分析频率特性Matlab文本如下：k=24;nunG1=k*[0.250.5];denG1=conv([52],[0.052]);%系统的传递函数w=logspace(-2,3,100);%产生介于之间的100个频率点bode(nunG1,denG1,w);2021/6/27774.6利用MATLAB分析频率特性三、利用matlab求系统的频域特征量应用带输出参数的nyquist函数和bode图，可以分别得到系统的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性，从而可得到系统的频域特征量。例：对于传递函数为：的系统，应用bode函数求得不同频率下，系统的幅频特性，从而根据定义计算出系统的频域特征量。Matlab程序如下：2021/6/2778nunG1=200;denG1=[18100];%系统得传递函数w=logspace(-1,3,100);%产生介于之间的100个频率点[Gm,Pm,w]=bode(nunG1,denG1,w);%求幅频特性和相频特性[Mr,k]=max(Gm);Mr=20*log10(Mr);Wr=w(k);%求谐振峰值和谐振频率M0=20*log10(Gm(1));%求零频值n=1;while20*log10(Gm(n))>=-3;n=n+1;endWb=w(n);%求截止频率[M0WbMrWr]4.6利用MATLAB分析频率特性2021/6/2779

（1）控制系统的Nyquist图实验；（2）控制系统的Bode图实验；一、实验目的1、加深理解频率特性的概念，掌握系统频率特性的测试原理及方法。2、掌握频率特性的Nyquist图和Bode图的组成原理，熟悉典型环节的Nyquist图和Bode图的特点及其绘制，了解一般系统的的Nyquist图和Bode图的特点和绘制。3、了解MATLAB，能够根据给出的传递函数运用MATLAB求出幅相频特性和对数频率特性。二、实验设备计算机、MATLAB软件、打印机等实验三控制系统频域特性分析2021/6/2780三、实验要求1、正确理解频率特性的概念，熟悉典型环节的频率特性。2、分析开环系统的频率特性，并绘制其开环Nyquist图和Bode图，求取剪切频率ωc，将实验结果与理论分析计算结果进行比较，验证理论的正确性。3、分析单位反馈系统的频率特性，并绘制其Nyquist图和Bode图，求取谐振频率ωr、谐振峰值Mr，将实验结果与理论分析计算结果进行比较，验证理论的正确性。4、了解闭环频率特性与时域性能之间的关系。掌握开环增益K变化对频率特性的影响，以及对Bode图