2025年高考数学一轮复习讲义：平面向量的概念及线性运算（原卷版）

专题28平面向量的概念及线性运算（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】平面向量的概念....................................................4

【考点2】向量的线性运算....................................................5

【考点3】共线向量定理的应用.................................................6

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】.................................................................11

考试要求：

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

挛知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量

的方向.向量后的大小就是向量的是度(或称模)，记作画1.

(2)零向量：长度为0的向量,记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,8平行，记作a〃氏规定：0与任

一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

C

交换律：

A，a'B(1)

=

求两个向量和三角形法则a~\~bb~\~a.

加法

的运算(2)结合律：

(a+A)+c=a+(A+c)

OA

平行四边形法则

求两个向量差

减法a~b=a+(—b)

的运算a

三角形法则

规定实数丸与

(lW=|2||fl|；

向量a的积是

(2)当丸＞0时，加的方向=2"。；

一个向量，这

数乘与a的方向相回；当丸＜0(2+fi)a—；

种运算叫做向

时，7a的方向与a的方向〃〃+1)=/1。+劝

量的数乘，记

相反;当7=0时，2a=0

作ka

3.共线向量定理

2

向量a（aWO）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使归公.

|常用结论

1.中点公式的向量形式：若P为线段A3的中点，。为平面内任一点，则。＞=/以+丽）.

2.OA=AO5+//OC（A,〃为实数），若点A,B,C共线，则4+〃=1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向;

二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）已知向量。,5,工满足同二网=1,同=3,且商+5+^=0,贝！Jcos〈M—",石-2〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

2.（2020・山东•高考真题）已知平行四边形ABC。，点E,尸分别是AB,的中点（如图所示），设通=人

3.（2020・海南・高考真题）在AABC中，。是48边上的中点，则而二（）

A.2CD+CAB.CD-2G4C.2CD-CAD.CD+2CA

二、填空题

4.（2021•全国高考真题）4知向量0=（2,5）,3=（44）,若。〃力,则，=.

_______________3

5.（2020・天津•高考真题）如图，在四边形A3CD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,S.AD=^BC,ADAB,

则实数％的值为,若MN是线段BC上的动点，且|丽|=1,则两.丽的最小值为.

6.（2020•江苏•高考真题）在EIABC中，AB=4,AC=3,N8AC=9O。,。在边BC上，延长40至l」P,使得AP=9,

_______„q__k

若丽="丽+弓-机）定（m为常数），则CD的长度是.

3

□e考点突破

【考点1】平面向量的概念

一、单选题

1.（2024・广西南宁•一模）已知AABC的外接圆圆心为。，S.2AO=AB+AC,\O^=\A^,则向量正在向量

无上的投影向量为（）

1—.1―.

A.-CBB.—CBC.—CBD.—CA

4442

2.（2024•湖南永州•三模）在AABC中，ZAC8=120",河|=3,国=4,DCDB=0>则画+码的最

小值为（）

A.6月-2B.2M-4C.373-1D.719-2

二、多选题

3.（2022・浙江•模拟预测）已知向量2=（0」），S=（cos^sin/9）（0<^<^）,则下列命题正确的是（）

A.若则tan6=也

B.若B在Z上的投影向量为-且九则向量Z与B的夹角为耳

63

C.若B与£共线,则1为再用或

D.存在仇使得卜+B卜同+忖

4.（2022•辽宁丹东•模拟预测）己知b，"为单位向量，若Z+2l+3"="则（）

A.|a-c|=2B.b^c

C.ab+bc=0D.3a+2B+c=6

三、填空题

5.（2022・辽宁•模拟预测）已知四棱锥P-ABC。的底面ABC。是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球。的

球面上，B4团平面ABC。，E4=AB=2,BC=20,点E在棱尸2上，且诳=2法，过E作球。的截面，则

所得截面面积的最小值是.

6.（2022•江苏•三模）已知向量2=（6,2）,与£共线且方向相反的单位向量5=.

反思提升：

4

平行向量有关概念的四个关注点

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移

混淆.

（4）非零向量a与言的关系：言是与a同方向的单位向量.

【考点2】向量的线性运算

一、单选题

ULULULUUUU

1.（2024・广西模拟预测）在AABC中，通=4而，CE=2ES^BC=ZAE+jLiCD,则（）

2

A.九十"=5B.2-//=1C.24=6D.—=3

4

2.（2024•河北承德•二模）在中，。为中点，连接设E1为A。中点，且丽=元，废=歹，则反

（）

A.4元+29B.-4元+歹

C.-4宠一29D.49一2元

二、多选题

3.（2023•山东潍坊•模拟预测）已知点。为她3C内的一点，D,E分别是BC,AC的中点，则（）

A.若。为中点，则而=g（屈+宓）

B.若O为AO中点，贝"丽=：荏一!近

C.若。为EA8C的重心，则历+砺=6

D.若。为0ABe的外心，且8C=4,则诙.阮=-8

4.（2024•福建厦门三模）已知等边AABC的边长为4,点。，E满足瓦5=2方X，BE=EC,AE与CZ）交于

点。，贝I（）

A.CD=|cA+|cSB.BOBC=8

C.CO=2ODD.\OA+OB+OC\=-j3

三、填空题

5.（2023•上海黄浦・三模）在AABC中，/C=90。，N8=30。，N54C的平分线交8c于点。，若

AD=2AJB+//AC（2，X/GR）,则一=.

6.（2024•山西太原•三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一

书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比"赵爽弦

5

图"，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，

且止=酢，点P在AB上，3尸=2AP,点。在ADEF内（含边界）一点，^PQ=APl5+PA,则几的最大

值为—.

反思提升：

1.（1）解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反

向量将加减法相互转化.

（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及

三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向

量线性表示.

2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加

法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

【考点3】共线向量定理的应用

一、单选题

L（2024•全国,模拟预测）已知平面上点。，A,8满足|砺|=|幅|=2,且|砺+砺|=|函点C满足

同一砺卜母，动点尸满足存=汨+（1-。元，则阳的最小值为（）

A.叵B.酒C.1D.1或应

777

22

2.（2024•浙江台州•二模）设耳，生是双曲线C：+一斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，点分别在双

ab

曲线。的左、右两支上，且满足NgN=5,NF^=2MF[,则双曲线。的离心率为（）

7广5

A.2B.—C.U3D.一

32

二、多选题

3.（2022•全国•模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=2BC,E是8C的中点，连接

AE,相交于点R连接CR则下列说法正确的是（）

6

A.AE^-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

4255

—1—2——1—3—

C.BF=一一AB+-ADD.CF=—AB——AD

55105

4.（2024•河南•模拟预测）已知。是坐标原点，平面向量£=函，b=OB^、反，且£是单位向量，7石=2,

=则下列结论正确的是（）

A.H=BT

-2f1-

B.若A,B,C二点共线，贝!JQ=§6+§C

C.若向量石—£与£垂直，则24的最小值为1

D.向量与石的夹角正切值的最大值为史

4

三、填空题

____UUUuuuUUULILIU4

5.（2023・上海黄浦•一模）已知四边形A8CD是平行四边形，右而=2诙，BF〃BE，AF-BE=0,且

UUUuuu

AF-AC^60>则AC在A厂上的数量投影为.

6.（2024•安徽淮北•一模）已知抛物线/=2/（°>0）准线为/,焦点、为F,点A,B在抛物线上，点C在/

上，满足：衣=2而，AB=HBC,若4=3,则实数〃=.

反思提升：

利用共线向量定理解题的策略

（l）a/7804=劝（方#0）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,。三点共线今协，启共线.

⑶若a与8不共线且痴=〃①贝|2=〃=0.

（4）dA=AO5+^OC（A,〃为实数），若A,B,C三点共线，则7+〃=1.

*分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•广东深圳•模拟预测）已知点A（2,6）,B（-2,-3）,C（0,l）,。］，6）则与向量通+2①同方向

7

的单位向量为（）

（3M质）

11010J

（27W

Ir--------------

2.（2024•河南三门峡•模拟预测）在“15。中，AN=3NC,BP=4PN,贝！］丽=（）

1—.3—«3—►4—►

A.-AB+-CAB.-AB——CA

5555

3—►1—►1—.3—•

C.-AB——CAD.-AB——CA

5555

3.（2024•黑龙江•模拟预测）已知在梯形A3C。中，AB//CD且满足与=2配，E为AC中点，b为线段至上

靠近点3的三等分点，设在=M,AD=b,则/=（）.

2-1干3一125一1l

A.—a——bB.—a——bC.——a——bD.-a一一br

324612226

4.（23-24高一下•吉林长春•阶段练习）在AASC中，E为AC上一点，3而，尸为BE上任意一点，若

_._31

AP=mABk+nACk（m>0,n>0）,则一+一的最小值是（）

mn

A.4B.8C.12D.16

二、多选题

jr

5.（22-23高三上•安徽阜阳•期末）在AABC中，已知A=3C=5，丽=3丽，贝！I（）

A.|AB+AC|=|BC|B.|AC|=2|AD|

—.1—.3—►

C.AD=-AB+-ACD.AD1BC

44

6.（2022・广东深圳•一模）四边形A8CQ为边长为1的正方形，M为边。的中点，则（）

A.AB=2MDB.DM-CB=AMC.AD+MC=MAD.AMBC=1

7.（2021・全国•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.若。，6C为平面向量，allb.bllc,则2//工

B.若为平面向量，a1b,b.Lc,则Z//Z

C.若0=1,向=2,"勾则］在分方向上的投影为

D.在AABC中，M是AB的中点，AC=3SV,BN与CM交于点P,AP=AAB+//AC,则入=2"

三、填空题

8.（2022•全国•模拟预测）在平行四边形ABC。中，点G在AC上，且满足近^3记，若丽=根荏+"布,

8

贝。根_〃=.

9.（2024•山西晋城•一模）已知两个单位向量方，否的夹角为70。，则Y与1+石的夹角为.

10.（2023,上海徐汇・一模）在AABC中,AC=4,且在通方向上的数量投影是2则eR）的最

小值为.

四、解答题

11.（23-24高三上・江苏徐州•阶段练习）在AABC中，E为AC的中点，。为边BC上靠近点B的三等分点.

⑴分别用向量抽，而表示向量ST，BE;

（2）若点N满足4RV+2通=3密，证明：B,N,£三点共线.

12.（21-22高三下•山西吕梁•开学考试）在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2b,

JL2csinB=acos[c-7].

⑴求角C；

（2）£为三角形ABC所在平面内的一点，AE=AB+AC，且|通|=2,求线段CE的长.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024,福建漳州•模拟预测）在^ABC中，D是边BC上一点，且加=2£>C,E是AC的中点，记恁=加而=几

则屁=（）

5--7一一7一一5一—

A.—n-3nlB.-n-3mC.—m-3nD.-m-3n

3222

二、多选题

2.（2022・山东•模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着

中国共产党领导下的革命与人民大团结.如图，五角星是由五个全等且顶角为36。的等腰三角形和一个正五

边形组成.已知当AB=2时，BD=y/5-l,则下列结论正确的为（）

Inum।Iuuir।

叫UUIUULL

A.=QHB.AFBJ=0

c.消.51联UULUUIUuuuuu

D.CB+CD=JC-JH

2

三、填空题

9

3.（2023•江苏南京•二模）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵

爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图"构造出图2：AABC为正三