2025年高考数学一轮复习讲义：空间直线、平面的垂直（（解析版））

专题39空间直线、平面的垂直（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................18

【考点1】直线、平面垂直的判定与性质........................................18

【考点2］平面与平面垂直的判定与性质........................................25

【考点3】平行、垂直关系的综合应用..........................................35

【分层检测】...............................................................44

【基础篇】.................................................................44

【能力篇】.................................................................56

【培优篇】.................................................................62

考试要求：

从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、

平面与平面的垂直关系.

知识梳理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线I与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个l±a、

l±b

判定定平面内的两条相交直

aC\b=O>n/_La

理线垂直，那么该直线

7aua

与此平面垂直bua>

b

性质定垂直于同一个平面的a.La\

\=>a//b

理两条直线平行b-La)

2.直线和平面所成的角

⑴定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，

一条直线垂直于平面，则它们所成的角是缪；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成

的角是0°.

⑵范围：0)|.

3.二面角

⑴定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

⑵二面角的平面角

若有①②OAua,OBuB；③04，/,OBU,则二面角a—/一用的平声反、

面角是NAOB

⑶二面角的平面角a的范围：0°^a<180°.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

2

如果一个平面过另一个

b7/_La1

判定定理平面的垂线,那么这两个

平面垂直L6

两个平面垂直，如果一个

a邛]

平面内有一直线垂直于

baCB=a

性质定理这两个平面的交线,那么>o/_La

4l-La

这条直线与另一个平面1

lu8J

垂直

I常用结论

1.三个重要结论

⑴若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

⑵若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个

重要方法）.

⑶垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.三种垂直关系的转化

判定定理判定定理

线线垂直彳士线面垂直彳面面垂直

性质性质定理

.真题自测

一、单选题

1.（2024•北京,高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=26，该棱锥的高为（）.

A.1B.2C.72D.目

52..

2.（2024•全国・[Wj考真题）已知正二棱台ABC-4耳。1的体积为耳，AB=6,4月=2,则AA与平面A3C

所成角的正切值为（）

A.；B.1C.2D.3

3.（2023・北京・高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出

3

建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是

全等的等腰三角形.若AB=25m,3c=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面

ABCD的夹角的正切值均为正，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

C.117mD.125m

19

4.（2023・天津•高考真题）在三棱锥尸—ABC中，点MN分别在棱尸。，尸3上，S.PM=-PC,PN=-PB,

则三棱锥尸和三棱锥尸-ABC的体积之比为（）

1214

A.-B.-C.-D.一

9939

二、解答题

5.（2024•北京•高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,4D=3,点E在AD上,

S.PEJ.AD,PE=DE=2.

⑴若尸为线段PE中点，求证：3P〃平面PC。.

⑵若AB人平面PAD,求平面HLB与平面PCD夹角的余弦值.

6.（2024•全国・高考真题）如图，平面四边形A8CD中，AB^8,CD=3,AD=5s/3,ZADC=90",ZBAD=30",

点、E,F满足通=二而，AF=-AB,将尸沿EE翻折至！PEF,使得PC=4A/L

⑴证明：EFLPD；

4

(2)求平面PCD与平面所成的二面角的正弦值.

7.(2024•全国•高考真题)如图，四棱锥尸―ASCD中，“，底面ABC。，PA^AC=2,BC=1,AB=^3.

B

(1)若ADLPB,证明：AD〃平面PBC；

(2)若ADLOC,且二面角A—CP—O的正弦值为叵，求AD.

7

8.(2023•北京・高考真题)如图，在三棱锥尸-ABC中，24,平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=B

P

B

⑴求证：平面B48；

(2)求二面角A—PC—3的大小.

9.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱锥尸—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=20,PB=PC=®

3尸,AP,3c的中点分别为，及O,点尸在AC上，BFLAO.

⑴求证：EF〃平面AZJO；

(2)若/PO尸=120。，求三棱锥P-43C的体积.

5

10.（2023•全国•高考真题）如图，在三棱柱ABC-A4G中，AC，底面ABC,ZACB=90°,=2,人到

平面3CC内的距离为1.

⑵已知M与BB］的距离为2,求破与平面BCC国所成角的正弦值.

参考答案：

1.D

【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF,平面A5CD,可知尸01平面ABCD,利用等体积法

求点到面的距离.

【详解】如图，底面45co为正方形，

当相邻的棱长相等时，不妨设PA=PB=AB=4,PC=PD=20,

分别取AB,CD的中点E,尸，连接PE,PF,EF,

则PE_LAB,EFJ_AB,且PEcEF=E,PE,EFu平面PEF,

可知ABI平面尸EF,且ABu平面A5CD,

所以平面PEF±平面ABCD,

过户作的垂线，垂足为。，即POJ_£F,

由平面PEF（"I平面ABCD=跖，POu平面PEF,

所以平面ABC。，

由题意可得：PE=25PF=2,EF=4,贝lj尸石?+尸尸？=石尸2,即尸石，「尸,

11PFPFr-

则一=—尸。•跖，可得尸。=------=6,

22EF

所以四棱锥的高为石.

6

当相对的棱长相等时，不妨设m=PC=4,PB=PD=2也,

因为BD=40=P8+Pr），此时不能形成三角形PB£＞，与题意不符，这样情况不存在.

故选：D.

2.B

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高/?=勺8,做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得

3

4加=怨，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台A2C-44。补成正三棱锥尸-A5C,

4A与平面ABC所成角即为由与平面ABC所成角，根据比例关系可得修3c=18,进而可求正三棱锥

P-ABC的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取BC,4G的中点2，则AD=36，AR=6,

可知sABC=LX6X6X亚=9右,SAB.C=—x2x-\/3=^3，

△ABC.22▼，2

设正三棱台43。-4月£的为心

则V-=?9』+石+也氐乌〃吾,解得〃=乎,

如图，分别过A，2作底面垂线，垂足为M,N,设W=x,

贝I」明=y^AM'+A^M-=^x2+y,DN=AD-AM-MN=2也-x,

可得DDt=+D\N2，=J（27§-X『+苗,

结合等腰梯形BCCH可得BB；=j+DD；,

B|Jx2+y=（273-x）2+y+4,解得方=孚，

所以AA与平面ABC所成角的正切值为tan?AAD翌=1；

AM

解法二：将正三棱台ABC-A耳G补成正三棱锥尸-ABC，

7

p

则4A与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角,

尸444_1则=J_

因为

'Vp-ABC27

=

可知1G27ABC=，则％ABC=18,

设正三棱锥P—ABC的高为d,则/ABC='dx』x6x6x3=18,解得1=2外,

P-ABC322

取底面ABC的中心为。，则P。」底面ABC,且AO=2若，

PO

所以B4与平面A3C所成角的正切值tanNB40=K=l.

AO

故选：B.

3.C

【分析】先根据线面角的定义求得tanNEMO=tanNEGO=半，从而依次求E。，EG,EB,EF,再把所有

棱长相加即可得解.

【详解】如图，过E做EOL平面A3CD,垂足为。，过E分别做EGLBC,EM_LAB,垂足分别为G,M,

连接OG,OM,

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为N£MO和/EGO,

所以tanAEMO=tanZEGO=半.

因为EO_L平面ABC。，BCu平面TWCD,所以EO_L3C,

因为EG_L3C,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以3cl平面EOG,因为OGu平面EOG,所以BC_LOG,.

8

同理：OMIBM,又BMLBG,故四边形OMBG是矩形，

所以由3c=10得OM=5,所以=所以OG=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=JE。+OG?=，（何2+52=国

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=VEG2+BG2=+52=8,

又因为所=钻-5-5=25-5-5=15,

所有棱长之和为2x25+2xl0+15+4x8=117m.

故选:C

4.B

【分析】分别过MC作肱113以,4」以,垂足分别为“,。'.过8作班上平面外。，垂足为B'，连接

尸3',过N作MV'_LP8',垂足为M冼证MV'J■平面PAC,贝。可得至!J8B'//MV'，再证MW'〃CC'.由三角形相

似得到嘿=；，*再由*2=即可求出体积比.

CC3BB,3%ABC^B-PAC

【详解】如图，分别过",c作MM'LPA,cdLPA，垂足分别为MU.过8作加J_平面PAC,垂足为B，

连接P3',过N作NN'1P3',垂足为N,.

因为38'平面PAC，BB，u平面PBB，，所以平面_L平面玄。.

又因为平面PBB'Pl平面尸4C=PB'，NN'±PB'-NN'u平面PBB'，所以MV'，平面PAC，&BB'MNN’•

PMMM'1

在△PCC中,因为MM'_LPA,CC'_LX4，所以M“〃CC'，所以=77=-r=；，

PCCC3

在△PBB'中，因为BB'HNN'，所以竺■=理-=2,

PBBB'3

9

1，1(

1s.NN---PA-MM'、NN'2

%—AMNVvo°AM/v/va、2>

所以N-PAMJD\

^P-ABC

VB"ISBB11.9

3PACAr3*cc]-BB'

故选：B

5.⑴证明见解析

⑵警

【分析】（1）取尸。的中点为s,接防,SC,可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BFH

平面PCD.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面尸C。的法向量后可求夹角的余弦值.

【详解】（1）取尸£＞的中点为S,接SF,SC,则SF//ED,SF;ED=1,

而ED〃BC,ED=2BC,板SFHBJSF=BC,故四边形SFBC为平行四边形，

故班7/SC,而平面PCD,SCu平面PCD,

所以5尸〃平面PCD

因为£0=2,故AE=1,故AEHBC,AE=BC,

故四边形AECB为平行四边形，故虑〃AB,所以CEL平面PAD,

而尸耳£Du平面PAD,故CE工PE,CE工ED,而P£J_£D,

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,-l,0）,5（1,-1,O）,C（1,0,0）,0（0,2,0）,P（0,0,2）,

则丽=(O*T,-2),丽=(L-l,-2),定=(1,0,-2),丽=(0,2,-2),

设平面PAB的法向量为m=（x,y,z）,

m-PA=0—y—2z=0

则由《可得取沆=(O,-2,1),

m-PB=0x-y-2z=0

10

设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),

n-PC^Q\a-2b^0z、

则由—可得°,°八，取为=(2,1,1),

n-PD=O[2b-2c=0

故cosm,n=「1「=,

布乂830

故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为叵

30

6.⑴证明见解析

e8旅

65

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可证得防工AD,则即，PE,EFYDE,

结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明PEJ_ED,建立如图空间直角坐标系E-孙z,利用

空间向量法求解面面角即可.

【详解】(1)由AB=8,AT>=5百，荏=|而，丽=；亚，

得AE=2&,AF=4,又NBAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=^AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12-242&岑=2,

所以AE^+E7M=A尸2,则隹即防1AO,

所以EF_LPE,EF_LDE,又PERDE=E,PE、OEu平面尸£>石，

所以EF工平面尸DE,又PDu平面PDE,

故EFJ.PD：

(2)连接CE,由ZADC=90°,ED=34,C»=3,贝!JCE2=ED。+CD?=36,

在APEC中，PC=4®PE=2瓜EC=6,EC2+PE2=PC2,

所以尸E_LEC,由(1)知PEJLEF,又ECnEF=E,EC、E尸u平面ABCO,

所以尸E_L平面ABCD,又£Du平面A5CD,

所以PE_LED,则PEEEED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-孙z,

则E(0,0,0),P(0,0,2我,。(0,36,0),C(3,36,0),尸(2,0,0),A(0,-273,0),

由尸是AB的中点，得8(4,2点0),

所以定=(3,373,-273),PD=(0,3耳-2&PB=(4,2石,-26),PF=(2,0,-2招)，

设平面PCZ)和平面PBF的一个法向量分别为n=(%,,_y1；Z1),m=(x,,y2,z2),

11

h•PC=3石+3百%—2括Z]=0m-PB=4x2+2^3y2-2^3£2=0

则彳一»「r-，彳一►r-

n-PD=3yl_2近4=0[m-PF=2x2—2v3z2=0

令％=2,%2="^，得石=°，Z]=3,%=_1，Z2=1,

所以几=(0,2,3),加=(石，-1,1),

1I恤•司1病

所以k°s沆小丽=；0r4，

2T8相

设平面尸CZ）和平面PBF所成角为。，则sin0=Vl-cos(7=-----------

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为迤.

65

7.⑴证明见解析

(2)6

【分析】（1）先证出AD_L平面上4B,即可得由勾股定理逆定理可得3C_LAB,从而AD//BC,

再根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）过点。作OE1AC于E,再过点石作瓦，。。于尸，连接D尸，根据三垂线法可知，NDEE即为二

面角A-CP-O的平面角，即可求得tan4>FE="，再分别用AZ）的长度表示出。瓦砂，即可解方程求出

AD.

【详解】（1）（1）因为24_L平面45c。，而A£>u平面ABCD,所以F4J_A£）,

又ADLPB,PBC\PA=P,P3,PAu平面E4B,所以A£）_L平面上4B,

而A8u平面所以AD上AB.

BC-+AB-=AC2,所以3C_LAB,根据平面知识可知A£>/ABC,

又ADU平面PBC,BCu平面PBC,所以AD//平面P3C.

（2）如图所示，过点。作DE/AC于E,再过点E作EF_LCP于尸，连接DR,

因为PAL平面A3CD,所以平面上4CL平面ABCD,而平面PAC。平面ABCD=AC,

所以£电1平面PAC,又EFLCP,所以CP_L平面DEF,

12

根据二面角的定义可知，NDEE即为二面角A-CP-D的平面角，

即sinNDFE=旦，即tan/£>PE=m.

7

因为ADLDC,设A£»=x,则CD=j4-0，由等面积法可得，DE=x“J,

又CE=J（4_Y）一/（1）=,而AEPC为等腰直角三角形，所以=

x^j4-x2

故tan/DFE=—2—=,解得x=^3，即AD=^3.

4-x

2A/2

8.⑴证明见解析

呜

【分析】（工）先由线面垂直的性质证得R4L8C,再利用勾股定理证得3CLP3,从而利用线面垂直的判

定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面P3C的法向量，再利用空间向量

夹角余弦的坐标表示即可得解.

【详解】（1）因为R4L平面ABCBCu平面A3C,

所以同理

所以△HLB为直角三角形，

又因为尸8=JPA2+AB2=及，BC=1,PC=6,

所以尸/+8。2=尸。2,则APBC为直角三角形，故3CLPB,

又因为3C1R4,PA[}PB=P,

所以3C1平面F4B.

（2）由（1）3c人平面R4B,又/IBu平面mB,则3C_LAS,

13

以A为原点，A3为x轴，过A且与BC平行的直线为＞轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

则A(0,0,0),P(O,O,1),C(1,1,O),8(1,0,0),

所以Q=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=

m-AP=0Z]=0,

设平面PAC的法向量为〃［=zj,贝卜一，即

m-AC=0Xi+%=0,

令士=1，则%=T，所以5=（1,-1,0）,

n-BC=0%=o

设平面P3C的法向量为〃=（々，%/2），贝1b_，即

n-PC=0x2+y2-z2=0"

令无2=1,贝!!Z2=1,所以A=(1,0,1),

所以侬L佃一〃'"m丽,n=万1言=51,

又因为二面角A-PC-3为锐二面角,

IT

所以二面角A-PC-3的大小为

9.⑴证明见解析

（2）侦

3

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

（2）作出并证明尸M为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【详解】（1）连接DE,OR,设AF=/AC,则而=丽+荏=（1一力丽+f而，AO=-BA+^BC,BF1AO,

121----

贝［］乔=丽+/前］•（—丽+—前）=（/_1）明一+―/8。2=4«_1）+4，=0,

22

14

解得f=1,则/为AC的中点，由2E,O,尸分别为尸员PA,8C,AC的中点,

2

^-^DE!/AB,DE=-AB,OF/1AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EF//DO,EF=DO,又斯二平面A。。,DOu平面ADO,

所以EF〃平面相>O.

(2)过P作尸Af垂直P。的延长线交于点

因为P8=PC,O是8C中点，所以尸O13C,

在Rt△尸30中，PB=®BO=LBC=>H,

2

所以PO={PB2OB?=后二=2,

因为AB_LBC,O产//AB,

所以OF上BC,又POcOF=O,PO,OPu平面尸OP,

所以3C1平面尸0尸，又尸Mu平面尸。尸，

所以又3。口砂=0,BC,9u平面ABC,

所以PM_L平面ABC,

即三棱锥尸-ABC的高为尸M,

因为/PO尸=120。，所以NPOAf=60。，

所以PM=尸Osin60°=2*走=.,

2

又S人AR°=LAB-BC=LX2X2亚=2枝,

所以％TBC=；S^BC.PM=gx2^x6=^.

15

【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得4。，平面BCC田，再由勾股定理求出。为

中点，即可得证；

（2）利用直角三角形求出A片的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【详解】（1）如图,

•.•AC，底面ABC,BCu面ABC,

.­.AC1BC,又3C_LAC,ACACu平面ACGA,ACcAC=C,

.,.3C_L平面ACC/A/,又3Cu平面BCC4,

平面ACQA，平面BCGB],

过4作A<9，CG交CG于O,又平面ACG4n平面BCC.B,=cq,AQU平面ACC^,

.•・A。，平面BCQB]

•.•A到平面BCG比的距离为1,，AO=1，

在RtZkACG中，AC_LAGCG=e=2,

设CO=x,则C]O=2—x,

•.•△AOC,4AOG，^ACG为直角三角形，且cq=2,

co2+A<?2=AC2,AQ2+OC：=GA2,^c2+=qc2,

l+Y+1+(2—尤)2=4,解得x=l,

AC—A。—AG=V2>

AiC=AC

(2)AC=AG.BC_LACBC_LAC,

RtAACB^RtAACB

BA=BA^,

过3作BZ〃A4,,交AA于。，则。为AA中点，

16

由直线AA］与8月距离为2,所以BD=2

VAtD=l,BD=2,:.AB=AB=E,

在RtAABC，；.BC=dAB。-AC?=5

延长AC,使AC=CM,连接GM,

由CM//A.Q,CM=AG知四边形ACMCI为平行四边形，

，GM〃AC,平面ABC,又AMu平面ABC,

CtM1AM

22

则在RtAAqM中，AM=2AC,C}M=AtC,AC,=y/(2AC)+A,C,

22

在RtZ\A4G中，ACt=7(2AC)+4C,BG=BC=6

222

ABt=7(2A/2)+(A/2)+(V3)=岳，

又A到平面BCQ与距离也为1,

所以AB{与平面BCC国所成角的正弦值为」=巫.

V1313

电考点突破

【考点11直线、平面垂直的判定与性质

一、单选题

1.（2024•陕西商洛•模拟预测）如图，四边形ABC。是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A,3的一点,

则下面结论中错误的是（）

E

A.AE1CE

B.3C//平面ADE

C.平面AZ2E_L平面3CE

D.DE2平面8CE

17

2.（2024・辽宁大连•一模）已知直线a,b,c是三条不同的直线，平面a,夕，y是三个不同的平面，下列命

题正确的是（）

A.若a_Lc,b-Lc,贝！］a//b

B.若allb,alia,则blla

C.alia,blla,cLa,且c_L8,贝！］c-La

D.若尸_La,y-La,且6r|7=a,则。_11

3.（23-24高三上•四川•阶段练习）己知/，机是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列命题中

正确的是（）

A.若<z_L，，lea,mu。,贝!!/_!_相

B.若mL0,a1（3,则7〃〃打

C.若〃/%,/I«,mV/3,则a///

D.若a//£,且/与a所成的角和山与尸所成的角相等，则〃/加

二、多选题

4.（2024・湖南邵阳•三模）如图所示，点E为正方体形木料A8CD-ABCQ1上底面的动点，则下列结论正

确的有（）

A.三棱锥E-ABC的体积为定值

B.存在点E,使CEL平面

C.不存在点E,使CE//平面BDD4

D.经过点E在上底面上画一条直线/与CE垂直，若/与直线4A重合，则点E为上底面中心

三、解答题

5.（2024•天津河北•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ASCD中，底面ABCD是正方形，24,平面ABCD,

PA=AB=1,M,N分别是上4,尸3的中点.

18

p

⑴求证：MN//平面ABC。；

⑵求证：CD，平面上4£）；

⑶求直线PC与平面PAO所成角的正弦值.

6.（2024•山东济宁•三模）图1是由正方形ABC。和两个正三角形△">",△00户组成的一个平面图形，其

中AB=2,现将VADE沿AD折起使得平面ADEJ_平面ABCD,将KDF沿CD折起使得平面CDF，平面

ABCD,连接斯，BE,BF,如图2.

⑴求证:跖〃平面ABCD；

（2）求平面ADE与平面3cp夹角的大小.

参考答案:

1.D

【分析】由条件，结合线面垂直判定定理证明招，平面BCE,再证明AE_LCE,判断A,

由BC〃/ID,根据线面平行判定定证明〃平面ADE,判断B,

由AE_L平面3CE,结合面面垂直判定定理证明平面ME_L平面BCE,判断C,

设上平面3CE,结合线面垂直性质可证£>E〃AE,推出矛盾，判断D.

【详解】因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BCAD都是母线.

又E是底面圆周上异于A2的一点，

于是得

而8cl平面ABE,AEu平面ABE,则3C_LAE.

因为3Cn3E=B，BCBEu平面BCE,

19

则AE_L平面3CE,

因为CEu平面BCE,因此得AELCE,A正确；

因为BC〃AD,BC（Z平面ADE,A£>u平面ADE,

所以3C〃平面ADE,B正确；

因为AE_L平面BCE,而AEu平面ADE,

所以平面MEJ■平面BCE,C正确.

点。不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE,Z）E是两条不同直线，

若£>£1/平面3CE,因AE_L平面BCE,

则与DEnAE=E矛盾，D不正确；

故选：D.

2.D

【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可.

【详解】若a，c，bVc,则a,6可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误；

若a//b,alia,则b//a或bua,故B错误；

若。〃a,blla,<?_1_。且。_1_6,当a〃〃时，不能证明cJLa,C选项错误；

若刀_Lc,7_!_（/,且/?口7=。，在。上取一点P,作尸。_Le,

由面面垂直的性质定理可得PQu分且PQu7,既。与尸2重合，可得a_Le,故D正确.

故选：D

3.C

【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.

【详解】若lua,mu/3,贝I"与m有可能平行，故A错误；

若〃7」月，aVp,则机可能在。内，故B错误；

若IHm,ILa,则租」<2,又ml[3,则a//£,故C正确；

若a//月，且/与a所成的角和”?与尸所成的角相等，贝I"与加有可能相交，故D错误.

故选：C.

4.AD

【分析】根据题意，结合三棱锥的体积公式、正方体的性质、线面垂直的性质以及线面平行的性质，一一

判断即可

【详解】三棱锥E-ABC中，底面ABC的面积为定值，由平面A4G2〃平面ABCD可知，

平面44C2上任意一点到平面A3CD的距离都相等，

20

则可得三棱锥E-ABC的体积为定值.故A选项正确;

在正方体A3CD-A4CQ］中，AG-L耳2，AGiB四，

u平面BDQBi,且旦。1cB耳=耳，所以AG_L平面B£>£>4,

若存在点E使得CE，平面瓦，则CE与4G重合或平行，

显然这样的点E不存在，故B选项错误；

在正方体ABC。-A4clp中，CCJ/BB、,^用匚平面①）〃4,。。10平面2。2片,

所以CG〃平面BDR4,当点E与G重合时，CE为CC、,

则存在点E使得CEH平面BDDe,故C选项错误；

因为正方体ABCD-A与GR中，cq1平面,

由题可得/U平面所以/，CG，

又因为/，CE,cqncE=c,CC|,CEu平面CGE,

所以平面CGE,GEu平面CGE,贝U/J_C|E.

当/与8倒重合时，BRi工GE.

在正方形A4C4中AC,1B、D1,则可得E为AG与耳2的交点,

即为上底面的中心，故D选项正确.

故选：AD.

5.⑴证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据VN〃口及线面平行的判断定理，即可证明；

（2）根据线面垂直的判定定理，转化为证明线线垂直；

（3）根据（2）的结论，求线面角，再根据几何关系求解正弦值.

21

【详解】(1)在ABR中，-：M,N分别是E4,PB的中点,

:.MN//AB,

又MNU平面ABC。,

ABu平面ABCD,

.•.北亚//平面458.

P

s.ADLCD,

又♦.•24,平面ABC。，CDu平面A3CD,

:.PA±CD,

又RlcAD=A,且PA,A£»u平面尸A。，

\CD入平面尸AO.

(3)由(2)知，CDJ_平面PAD,

，FD为斜线PC在平面上4。上的射影，NCPD为直线PC与平面PAD所成的角.

由题意，在RtAPCD中，PD=R,CD=1,

PC=VPD2+CD2=A/3，

CD1_V3

sinZCPD=

~PC~^3~^~

即直线PC与平面B4D所成角的正弦值为3.

3

6.(1)证明见解析；

呜

【分析】(1)取CD,AD的中点O,尸，利用面面垂直的性质，结合平行四边形的性质、线面平行的判定推理

即得.

(2)以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面5CP的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.

22

【详解】(1)分别取棱CD,A。的中点O,P,连接

由AC"是边长为2正三角形，得OFLCD,OF=5

又平面CDF_L平面ABC。，平面CDFc平面ABCD=DC,OFu平面CDF,

则ObJL平面A3CD,同理PE_L平面A8C£>,尸E=g，

于■是OF"PE,OF=PE,即四边形OPEF为平行四边形，OP//EF,

而OPu平面ABCD,EF<z平面ABCD,

所以EF〃平面MCD

(2)取棱A3的中点。，连接。Q,由四边形ABCD为正方形，得OQLC。，

以。为坐标原点，而，说，砺的方向分别为x，%z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则8(2,1,0),C(0,l,0),歹(0,0,有),0(0,-1,0),CB=(2,0,0),CF=(0,-1,回

ft-CB=2x=0「

设平面3cp的一个法向量为万=(x,y,z),贝公一r令z=l,得为=(0,®l),

n-CF=-y+y/3z=0

由C£)J_AD,平面ME_L平面ABCD,平面ADEPl平面A3CZ)=A£),CDu平面ABCD,

得CD,平面ADE,则反=(0,2,0)为平面ADE的一个法向量，设平面ADE与平面8CF的夹角为夕

则"EM〈配㈤=寺=当=》而〜。会解得。吟

JT

所以平面ADE与平面BCF的夹角为二.

6

反思提升：

(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.

【考点2】平面与平面垂直的判定与性质

一、单选题

1.(2024•四川成者B•三模)已知直线/、加、w与平面a、p,下列命题正确的是()

A.若/_L”,m±n,则/〃m

23

B.若1//P，则

C.若/_La,/_!_〃？，则根〃a

D.若<z_L£,a[\P=m,ILm,贝

2.（2024•江西鹰潭•模拟预测）如图，在长方形ABCD中，AB