2025年高考数学一轮复习讲义：空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）

专题37空间点、直线、平面之间的位置关系（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................4

【考点突破】................................................................6

【考点1］基本事实的应用....................................................6

【考点2】空间位置关系的判断................................................8

【考点3】异面直线所成的角..................................................9

【分层检测】...............................................................11

【基础篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培优篇】.................................................................15

考试要求：

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平

面的位置关系的定义.

2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

知识梳理

L与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实内容图形符号

A,B,。三点不共

基本过不在一条直线上的三

线=存在唯一的a

事实1个点，有且只有一个平面/J'/

使A,B,C^a

如果一条直线上的西仝

基本AC/,5©/,且Ada,

点在一个平面内，那么这

事实2/BGan/ua

条直线在这个平面内

如果两个不重合的平面

基本有一个公共点，那么它们P^a,且尸©夕今a

事实3有且只有一条过该点的nj3=i,且pc/

公共直线

(2)基本事实1的三个推论

推论内容图形作用

经过一条直线和这条直线外

推论1

一点，有且只有一个平面

经过两条相交直线，有且只确定平面的

推论2

有一个平面依据

经过两条平行直线，有且只

推论3

有一个平面/7/

2.空间点、直线'平面之间的位置关系

2

图形

7

相交语言Xy

关系符号

aAa=AaC0=l

语言

图形

7^7

独有语言

关系符号a,b是

〃ua

语言异面直线

3.基本事实4和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

⑴定义：已知a,》是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线"〃a,b'//b,把优与加所

成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）范围：fo,?.

|常用结论

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异

面直线所成的角，也可能等于其补角.

；■真题自测

一、单选题

1.（2024•全国,高考真题）设办£为两个平面，5、〃为两条直线，且a6=根.下述四个命题:

①若则"//。或"〃分②若则“_1_<7或"，力

③若〃〃a且〃///,贝|加/“④若”与心,△所成的角相等，则利，〃

其中所有真命题的编号是（）

3

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024・天津,高考真题）若私〃为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若mlla,nila,贝B.若贝!J加〃〃

C.若，7〃/a,〃_La,则D.若加〃a,〃_La,则机与〃相交

3.（2022・浙江・高考真题）如图，己知正三棱柱ABC-A百G，AC=明，E,尸分别是棱3C,AG上的点.记

防与Ad所成的角为a,E尸与平面ABC所成的角为夕，二面角歹-3C-A的平面角为/,贝U（）

A.a<P<yB.(3<a<yC.P<y<aD.a<y</3

4.（2021•全国•高考真题）在正方体ABCD-ABCQ中，P为8a的中点，则直线尸8与A，所成的角为（）

二、多选题

5.（2022•全国•高考真题）已知正方体ABCD-AgG。，贝U（）

A.直线BG与D4,所成的角为90。B.直线8。与C4所成的角为90。

C.直线BG与平面班离。所成的角为45。D.直线Bq与平面ABC。所成的角为45。

6.（2021•全国•高考真题）如图，在正方体中，。为底面的中心，尸为所在棱的中点，M,N为正方体的顶

点.则满足的是（）

4

「1

三、解答题

7.（2021・北京・高考真题）如图：在正方体ABCD-ABCI。1中,E为42中点，BC与平面CDE交于点尸.

H

（1）求证：尸为4G的中点;

（2）点加是棱的上一点，且二面角小心E的余弦值为f求吃的值.

8.（2021•浙江•高考真题）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是平行四边形,

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分别为BC,PC的中点，PDLDC,PMLMD.

(1)证明：ABLPM-,

（2）求直线AN与平面尸DM所成角的正弦值.

考点突破

【考点11基本事实的应用

一、单选题

1.（2002•全国•高考真题）已知"为异面直线，机u平面a,“u平面夕，&「'£=/,则/（）

A.与优，〃都相交B.与机，”中至少一条相交

C.与机，〃都不相交D.至多与小，〃中的一条相交

5

2.（2024•四川绵阳•模拟预测）如图所示，在正方体4BCD-ABG。中，M是棱A4上一点，平面与

棱CG交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（）

①四边形"5AQ是平行四边形；②四边形MBNA可能是正方形；③存在平面与直线Bq垂直;

④任意平面MBNA都与平面ACBI垂直.

A.①②B.③④C.①④D.①②④

二、多选题

3.（2023•河北•模拟预测）如图，已知正方体A8CO-A耳G"的棱长为1,O为底面A8CZ）的中心，AQ交

平面ABO于点E,点P为棱C。的中点，则（）

A.4，瓦。三点共线B.异面直线8。与所成的角为60°

c点G到平面48。的距离为与9

D.过点AI，产的平面截该正方体所得截面的面积为5

O

4.（2022•全国•模拟预测）如图，在正方体ABCD-EFHG中，M,N分别为FH,EE的中点，则（）

6

A.AN,BF,CM三条直线不可能交于一点，平面ACW_L平面加G尸

B.AN,BF,CM三条直线一定交于一点，平面ACM?V_L平面BDG尸

C.直线AE与直线CM异面，平面AEHC_L平面A3CD

D.直线AE与直线CM相交，平面ACMV_L平面ABCD

三、填空题

5.（2024•山东济南•三模）在正四棱柱A8CD-446A中，AB=4,e=6,M,N分别是AB,AD的中

点，则平面MNG截该四棱柱所得截面的周长为.

6.（2021•全国•模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-4与C中，AAi=AB=BC=2,D,E分别为84，AG

分如中点，则过点A,D,E的截面与三棱柱的侧面BCG片的交线的长为

反思提升：

共面、共线、共点问题的证明

（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内.

（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

（3）证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

【考点21空间位置关系的判断

一、单选题

1.（2023•浙江嘉兴•二模）已知正方体ABC。-4耳GR的棱长为2,P为空间内一点且满足AP工平面48。,

过4B作与"平行的平面，与4G交于点Q,则CQ=（）

A.1B.yf2C.5/3D.y/5

2.（2021•全国•模拟预测）已知〃，/是三条不同的直线，a,用是两个不同的平面，则下列结论一定

正确的是（）

A.若"ua,Iua,m±n,mil,则

B.若根/〃，IIIa,则；"//a

C.若〃z_L〃，n±Z,I'0,则

D.若mJ/a,nL/3,a11/3,则〃2〃

7

二、多选题

TT

3.（2024・浙江,三模）已知平面a,/3,直线a,b,若C分，ac£=a,匕与a所成的角为;，则下列结

6

论中正确的有（）

A.a内垂直a的直线必垂直于用

B.a内的任意直线必垂直于夕内的无数条直线

C.6与4所成的角为g

D.6与。内的任意一条直线所成的角大于等于9

4.（23-24高二上•湖北恩施•期中）在棱长为2的正方体ABCD-AACIA中，E,E分别为AB,BC的中

点，则（）

A.异面直线。2与3/所成角的余弦值为W

B.点尸为正方形44G2内一点，当。尸〃平面与E/时，DP的最大值为当

C.过点2，E,产的平面截正方体ABCD-AgCR所得的截面周长为2回+后

D.当三棱锥耳-BE尸的所有顶点都在球。的表面上时，球。的表面积为6兀

三、填空题

5.（2023•全国•模拟预测）己知外月是两个不同的平面，以”是平面以月外两条不同的直线，给出四个条件：

®m±n；②a〃£；③n邛;@mla,以下四个推理与证明中，其中正确的是.（填写正确推理与

证明的序号）

（1）已知②③④，则①成立

（2）已知①③④，则②成立

（3）已知①②④，则③成立

（4）已知①②③，则④成立

6.（2022•北京平谷•模拟预测）设棱长为2的正方体AB。-，E是AD中点，点M、N分别是棱A3、

GA上的动点，给出以下四个结论：

①存在EN〃MQ；

②存在ACV_L平面ECQ；

③存在无数个等腰三角形EMN;

~24~

④三棱锥C-肱VE的体积的取值范围是-,J.

则所有结论正确的序号是.

8

反思提升：

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接

法或反证法；平行直线的判定可利用三角形（梯形）中位线的性质、基本事实4及线面平行与面

面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.

【考点3】异面直线所成的角

一、单选题

1.（2024•江西南昌•二模）在三棱锥A-BCZ）中，AB1平面BCD,AB=6，BC=BD=CD=2,E,F

分别为AC,CO的中点，则下列结论正确的是（）

A.AF,BE是异面直线，AF.LBEB.AF,BE是相交直线，AF.LBE

C.AF,BE是异面直线，AF与BE不垂直D.AF,BE是相交直线，"与物不垂直

2.（2024・陕西西安•模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（）

A.AB//HGB.CGLBHC.CGLDHD.AC//DG

二、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）如图，已知正三棱锥A-P3C和正三棱锥。-P3C的侧棱长均为0,BC=2.若

将正三棱锥A-P3C绕BC旋转，使得点4尸分别旋转至点A',P处，且A',8,C,。四点共面，点4,0分别位

于3C两侧，则下列说法中正确的是（）

A.多面体ABDPC存在外接球B.PP'LBC

C.PP7/平面A%）CD.点P运动所形成的最短轨迹长大于叵

3

4.（2024•江西宜春•模拟预测）如图，在棱长为2a的正方体ABC。-A与GA中，点尸在线段BG上运动,

则（）

9

G

A.平面尸平面AC，

B.三棱锥2-APC的体积为定值

C.异面直线4尸与A2所成角的取值范围是错

D.当尸为BG的中点时，三棱锥瓦-ACR的外接球的表面积为24兀

三、填空题

5.（2024・上海崇明•二模）已知底面半径为1的圆柱，。是其上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同

的点，8C是母线.若直线Q4与BC所成角的大小为三，则3C=.

6.（2022•重庆沙坪坝,模拟预测）如图，已知“，6是相互垂直的两条异面直线，直线A8与6均相互垂

直，且48=26,动点。。分别位于直线。，b上，若直线PQ与所成的角夕=已三棱锥A-BPQ的

6

体积的最大值为.

反思提升：

1.综合法求异面直线所成角的步骤：

（1）作：通过作平行线得到相交直线.

（2）证：证明所作角为异面直线所成的角（或其补角）.

（3）求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是栗求的角；如果求

出的角是钝角，则它的补角才是栗求的角.

2.向量法：利用向量的数量积求所成角的余弦值.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•安徽芜湖•三模）下列说法正确的是（）

10

A.正方体各面所在平面将空间分成27个部分

B.过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行

c.若空间中四条不同的直线4,4,44满足4A。，。，则

D.若犯〃为异面直线，机，平面a,平面夕，且a与夕相交，若直线/满足/，〃?,/，〃，贝心必平行于

«和夕的交线

2.（2024・上海•三模）如图，点N为正方形ABC。的中心，，ECD为正三角形，平面ECZM平面ABC。，M

是线段E8的中点，则（）

A.DM*EN,且直线QM、EN是异面直线

B.DM=EN,且直线DM、EN是异面直线

C.DMHEN,且直线DW、EN是相交直线

D.DM=EN,且直线DM、EN是相交直线

3.（2020・四川眉山•二模）给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2024•山东日照•一模）已知/，根是两条不同的直线，a为平面，mua,下列说法中正确的是（）

A.若/与a不平行，则/与机一定是异面直线

B.若/〃a,贝心与根可能垂直

C.若/Ia=A,且4e加，则/与可能平行

D.若/Ie=A,且/与a不垂直，贝!]/与机一定不垂直

二、多选题

5.（2024•云南昆明•模拟预测）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

11

A.AF//CNB.BMIDE

C.CN与成60。角D.AE与是异面直线

6.（2024・山西运城•一模）设人6是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）

A.若a〃a,b〃a,则a〃bB.若。_La,6_La,贝!|a//Z）

C.a//b,b//a,a（za,则a〃aD.若a//a,a//6,a<z尸，则a〃6

7.（2024•广东深圳•二模）已知优，〃是异面直线，mua,nu/3,那么（）

A.当机_L〃，或〃_L&时，a1/3

B.当;"//〃，且“〃a时，a!I{3

C.当a-L/?时，mVP,或〃_La

D.当a,用不平行时，机与夕不平行，且〃与a不平行

三、填空题

8.（20-21高二上•山西太原•阶段练习）下列命题中正确的命题为.

①若，ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P、。、R,则产、。、R三点共线；

②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线/于AB、C三点，则这四条直线共面；

③若直线a、6异面，b、c异面，则。、。异面；

④若a_Lc,6_Lc,贝!|a〃4

9.（2024•江苏南通•二模）己知二面角夕-/一月为直二面角，A&a,Be/,A^l,B隹I,则AB与a,夕

所成的角分别为A3与/所成的角为_________.

64

10.（2005•山东・高考真题）已知机、”是不同的直线，a、乃是不重合的平面，给出下列命题：

①若allp,mua,nu0,则mlln；

②若m,nc:a,m//P，n///3,则all/3；

③若〃?」/〃，#,m//〃，则a〃尸；

④是两条异面直线，若mUa,m//0,n//a,nll/3,则a//£.

上面的命题中，真命题的序号是.（写出所有真命题的序号）

四、解答题

11.（2022•陕西西安・模拟预测）如图，在正四面体中，点£,F分别是A3,8C的中点，点G,H

12

⑴求证：直线EH,FG必相交于一点，且这个交点在直线8。上；

（2）若AB=2,求点B到平面EFG8的距离.

12.（2023・广东汕头・二模）如图,正方体ABCD-^QD,中，直线/u平面,I=E,A.E=3EQ.

（1）设人Bg=P,lcCR=Q,试在所给图中作出直线/,使得UCE,并说明理由；

（2）设点A与（1）中所作直线/确定平面a.

①求平面a与平面ABCD的夹角的余弦值；

②请在备用图中作出平面。截正方体ABCD-AAGR所得的截面，并写出作法.

【能力篇】

一、单选题

1.（2023•天津和平•三模）已知正方体ABC。-A4GA的棱长为6,点E,尸分别在棱44，AC上，且

“D.ED.F1_,

旃足==£，点。为底面.CD的中心，过点E,F,。作平面EFO,则平面£FO截正方体

ABCO-AACA所得的截面面积为（）

A.8后B.6722C.4722D.2722

二、多选题

2.（2024•全国•模拟预测）已知利〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则（）

A.若m〃a,m1/3,则B.若mua,wu0,则加与“为异面直线

C.若则〃2〃£D.若加_La,"〃a,则

13

三、填空题

3.（2006・四川•高考真题）加，“是空间两条不同的直线，尸是空间两个不同平面，下面有四个命题:

①加J_a,B，all。工n；

（2）m±n,alip,mLa