2025年高考数学一轮复习讲义：集合（解析版）

专题01集合（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................8

【考点1】集合的基本概念....................................................8

【考点2】集合间的基本关系..................................................11

【考点3】集合的运算........................................................14

【分层检测】...............................................................18

【基础篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................25

【培优篇】.................................................................28

考试要求：

1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号

语言刻画集合.

2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.

5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.

知识梳理

L元素与集合

⑴集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为©和a

⑶集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQ.R

2.集合间的基本关系

⑴子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，就

称集合A为集合B的子集.记作A呈3(或524).

⑵真子集：如果集合但存在元素且依4就称集合4是集合B的真子集,记作

A3(或3A).

(3)相等：若AG3,且回，则A=B

(4)空集的性质：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集

符号表示AUB

合A的补集为［以

图形表示u©

AUBAAB

集合表示[x\x^A,或x©3}{小£4且％£5}{x\x^U,且依A}

4.集合的运算性质

(1)AAA=A,AA0=0,AnB=BHA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

2

（3）an（［必）=0,AU（［以）=u,10（［以）=A

I常用结论

1.若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2〃个，真子集有2〃一1个，非空子集有2〃一1个,

非空真子集有2"一2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.AG3=An3=A=AU3=5=［必？］团

4.［0（An3）=（［必）U（［加），［u（AU5）=（［以）n（［4）.

真题自测

一、单选题

1.(2023•全国•高考真题)设全集U=Z，集合M={x|%=3k+1,左wZ},N={1|x=3k+2,k^Z},金(MuN)=

()

A.{x|x=3左，左EZ}B.{x|x=3k-l,/ceZ]

C.{x\x=3k-2,kEZ}D.0

2.(2023•全国•高考真题)已知等差数列{4}的公差为整，集合S=[osqj〃eN*},若S={。，耳，则"=()

11

A.-1B.----C.0D.—

22

3.(2023•全国•高考真题)设集合U=R,集合M={小＜1},N={尤|一1＜尤＜2},则{小22}=()

A.d(MUN)B.NU务M

C.eWAN)D.MugN

4.(2023,全国,高考真题)已知集合Af={-2,-1,0,1,2},A^=|%|x2—x—6＞oj-,则McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

5.(2023,全国,高考真题)设集合A={0,—a},B=11,a—2,2a—21,若AgB,则a=().

2

A.2B.1C.-D.-1

6.(2022•全国•高考真题)已知集合4={-1,1,2,4},B={尤k则4口3=()

A.{-1,2}B,{1,2}C,{1,4}D.{-1,4}

7.(2022•全国•高考真题)设全集。={-2,T0,1,2,3},集合A={-1,2},3={x|f-以+3=0},则用(AuB)=

3

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

8.（2022•全国•高考真题）设全集。={1,2,3,4,5},集合〃满足={1,3},则（）

A.2&MB.3&MC.4已知D.

9.（2022•全国,高考真题）若集合M={x|五<4},N={x\3x>l},则McN=（）

A.{尤|04x<2}B.<x<2j>C.{x|3W6}D,卜;<x<16,

10.（2021•全国•高考真题）设集合U={1,2,3,4,5,真,4=设3,6},8={2,3,4},则A（&3）=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

11.（2021・全国•高考真题）已知集合5={s[s=2"+1,"eZ},T={巾=4"+l,aeZ},贝（]S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

12.（2021•全国•高考真题）设集合A/={x[0<x<4},N=1x；Wx451,则AfcN=（）

A.B.“gwxvd}

C.{x|4Vx<5}D.1x|0<x<5^

参考答案：

1.A

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x|x=3k#eZ}U{x|x=3左+1,左eZ}U{x|x=3Z+2,keZ},U=Z,所以，

毛（Af|jN）={x|x=3左水eZ}.

故选：A.

2.B

【分析】

根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.

【详解】

27r27r2冗

依题意,等差数列｛%｝中,a„=«1+(n-l)-y=yn+(a1-y),

27r27r

显然函数y=cos[(〃+(q-T)]的周期为3,而〃eN*,即cosa“最多3个不同取值，又

4

{costz„|HGN*}=[a,b],

贝ij在cosa{,cosa2,cosa3中,cosa{=cosa2wcosa3或cosaxwcosa?=cosa3,

9jr9TTjr

于是有cose=cos(e+q),即有e+(e+g)=2E/£Z,解得。=也一方,左£2,

LLt、1ir-r1/1兀、r/­1兀、47T,7T917T1

所以keZ,ab=cos(E-—)cos[(E--)+—]=-cos(E--)cosK7TI=-COSKUCOS—.

故选:B

3.A

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x|xN2}即可.

【详解】由题意可得MUN={X|X<2},则其(〃UN)={X|XN2},选项A正确；

=则NUgM={尤|尤>—1},选项B错误；

Mn^={x|-l<x<l},则心(〃cN)={x|xW-l或转1},选项C错误；

2N=m|x4-1或xZ2},则MU2N={x|x<l或xZ2},选项D错误；

故选：A.

4.C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合“中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为双=卜-一彳_620}=(-8,-2]33，+8)，而"={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为"={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式尤2-x_6Z0,只有-2使不等式成立，所以

AfcN={-2}.

故选：C.

5.B

【分析】

5

根据包含关系分。-2=0和2〃-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为4勺8,则有：

若4-2=0,解得a=2,此时A={0,—2},B={l,0,2},不符合题意;

若2a-2=0,解得。=1,此时4={0,-1},B={l,-l,0},符合题意；

综上所述：a=l.

故选：B.

6.B

【分析】方法一：求出集合8后可求AcB.

【详解】［方法一］：直接法

因为3={x|0VxV2},故4「3={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

尸-1代入集合8=卜卜-1区1},可得2<1,不满足，排除A、D；

x=4代入集合2=卜卜-1区1},可得341,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法;

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

7.D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，3=卜,2_4尤+3=。}={1,3},所以AuB={-l,l,2,3},

所以0-{-2,。}.

故选：D.

8.A

【分析】先写出集合/，然后逐项验证即可

【详解】由题知"={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

6

【分析】求出集合”,N后可求McN.

【详解】M=[x\0<x<16],N=[x\x>—}f故A/cN=<x<16>,

故选：D

【分析】根据交集、补集的定义可求AC（AB）.

【详解】由题设可得率3={1,5,6},故Ac@3）={L6},

故选：B.

11.C

【分析】分析可得T=S,由此可得出结论.

【详解】任取feT,则t=4〃+l=2.（2〃）+l,其中"eZ,所以，t&S,故T=S,

因止匕，snr=T.

故选：C.

12.B

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为“={x|0<x<4},N={x|；WxV5},所以McN=卜|；4x<",

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

挛考点突破

【考点1】集合的基本概念

一、单选题

1.（2023•江苏•一模）设M=卜=：,左ez1,N=，尤卜=左+（,左eZ,,贝I］（）

A.MNB.NMC.M=ND.McN=0

2.（2023•北京海淀•模拟预测）设集合M=若-3eV,则实数公（）

7

A.0B.-1C.0或—1D.0或1

二、多选题

3.（22-23高一下•湖南邵阳•开学考试）若对任意xeA,-eA,则称A为"影子关系"集合，下列集合为“影

X

子关系"集合的是（）

A.{-1,1}B.C.{#2>1}D.{小>0}

4.（2021•全国,模拟预测）设集合4=［卜=机+6,若无yA,x2eA,xl®x2eA,则运算㊉可

能是（）

A.加法B.减法C.乘法D.除法

三、填空题

5.（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知集合A={-1,2,4},B={2,m2}.若B=则实数用的取值集合为.

6.（2023•湖北・二模）己知X为包含v个元素的集合（veN*,v>3）.设A为由X的一些三元子集（含有

三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集

中，则称（X,A）组成一个y阶的Steiner三元系.若（X,A）为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的

个数为.

参考答案：

1.B

【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.

【详解】解：因为彳=左+；=:（2左+1）,因为左eZ,

所以集合N是由所有奇数的一半组成，

而集合M是由所有整数的一半组成，故NM.

故选：B

2.C

【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论2根-1=-3和机-3=-3两种情况，求解加并检验集合的互异性，

可得到答案.

【详解】设集合"={2相-1,*3},若-

,.--3GM,2加一1二一3或加一3二-3,

当2机一1=一3时，m=-l,此时Af={-3,-4}；

当m一3=-3时，m=0,此时M={-3,-l}；

8

所以〃?=-1或0.

故选：C

3.ABD

【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.

【详解】根据"影子关系"集合的定义，

可知{尤|x>0}为“影子关系"集合，

由{巾2>1},得{布<-1或x>l},当x=2时，9{小2>1},故不是“影子关系"集合.

故选：ABD

4.AC

【分析】先由题意设出西=叫+6勺，%2=牲+6%,然后分别计算再+兀2，西-％2，再入2，五，即可得解.

X2

【详解】由题意可设石=见+百々，%2=牡+6%，其中吗，加2，%，以GN*，

贝I］占+x?=（见+m2）+J^（4+%），X1+无2eA,所以加法满足条件，A正确；占—%=（小一生日代（当一巧），

当％=%时，升所以减法不满足条件，8错误；

不工2=叫“4+3〃1%+&（町%+〃引乙），%％eA,所以乘法满足条件，C正确；土=色土*L,当

x2

生=区=〃2>0）时，五任人,所以除法不满足条件，D错误.

x

m2%2

故选：AC.

5.{-2,2}

【分析】

根据得到集合8的元素都是集合A的元素，即可求得加的值.

【详解】由题意8=4,所以苏=-1或〃/=4,贝！］：〃=2或:w=-2,

所以实数优的取值集合为{-2,2}.

故答案为：{-2,2}.

6.7

【分析】令X={a,6,c,d,e,fg},列举出所有三元子集，结合（X,A）组成y阶的Steiner三元系定义，确定A

中元素个数.

【详解】由题设,令集合X={a,6,c,d,eJ,g},共有7个元素,

9

所以X的三元子集，如下共有35个:

{a,b,c},{a,b,d}^{a,瓦e}、{a,b,f},{a,b,g}y[a,c,d]y{a,c,e},{a,c,f},{a,c,g}、[a,d,e},{a,d,f},

{a,d,g},{a,e,f},{a,e,g}、{a,f,g}、[b,c,d},{6,c,e}、{6,c,/}、{6,c,g}、[b,d,e}^{b,d,f}y{b,d,g}、

{b,e,f},{b,e,g}A[b,f,g],{c,d,e}、{c,d,f},{c,d,g}、{c,e,f}、{c,e,g}、{cj,g}、{d,e,f}A{d,e,g}、

{d,f,g}.{e,f,g},

因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以A中元素满

足要求的有：

{a,b,c},{a,d,e}、{a,£g}、也dj}、{6,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f},共有7个

{c,d,g}{c,e,7},7

{a,6,c}、{a,d,f},{a,e,g}、{b,d,e}y、共有个;

,{a,d,g}

{a,b,c}、{a,e,f}y{b,d,e},{瓦f,g}、{c,d,f}.{c,e,g},共有7个;

[a,b,d],{a,c,e}y{a,f,g},[b,c,f],{8e,g}、{c,d,g}、[d,e,f],共有7个:

[a,b,d}y{a,c,g}、{a,e,f},{b,c,e},{6J,g}、{GdJ}、{d,e,g},共有7个;

{a,b,d)、{a,c,f},{a,e,g}、{6,c,e}、{友fg}、{c,〃,g}、{d,e,f),共有7个;

{a,b,e}A{a,c,d},{a,/,g}、{b,c,f},{瓦d,g}、{c,e,g}、{d,e,f},共有7个;

{a,b,e}y{a,c,f},{a,d,g}、{6,c,d}、{b,f,g},{c,e,g}、{d,e,f},共有7个;

{a,b,e}y{a,c,g}、{a,d,于}、[b,c,d},{b,f,g},{c,e,/}、{d,e,g},共有7个

{a,b,f},{a,c,d},{a,e,g}、{6,c,e}、{瓦d,g}、{Gfg}、[d,e,f],共有7个;

{a,b,f},{a,c,e}、{a,d,g}、[b,c,d],{6,e,g}、[c,f,g}y{d,e,f},共有7个;

{a,6,/}、{a,c,g}、{a,d,e}、{瓦c,d}、{瓦e,g}、{c,e,/}、{d,f,g},共有7个;

{a,b,g},{℃"}、{«,«,/}>{b,c,e\,{b,d,f),{G/,g}、{d,e,g},共有7个;

{a,/?,g}、{a,c,e}、{a,dj}、{6,c,d}、{4e,/}、{cj,g}、{d,e,g},共有7个;

{a,b,g}^[a,c,f},{a,d,e}、{b,c,d},{b,e,f}y{c,e,g}、{d,f,g},共有7个

共有15种满足要求的集合A,但都只有7个元素.

故答案为：7

反思提升：

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其

他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素

是否满足互异性.

【考点2】集合间的基本关系

一、单选题

10

1.（2024.全国模拟预测）若集合4=卜€3丫=万三，5={0,1},则集合Ac3的真子集的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024•全国模拟预测）已知集合A={x，og2x2V2},B={m}.若4口8=8,则优的取值范围是（）

A.（«,2]B.[-2,2]

C.（—,2）U（2,y）D.[-2,0）U（0,2]

二、多选题

3.（23-24高一上•陕西西安•期中）下列说法正确的是（）

A.0£{0}

B.集合{/=2〃”Z}鹏臼

/、flxeQ

C.函数/X=八":的值域为[0,1]

[0xe^Q

D.〃x）=Hx|在定义域内单调递增

4.（2024・甘肃定西•一模）设集合A={x|尤?—尤46},8={町|xeA,yeA},则（）

A.AC\B=B

B.BcZ的元素个数为16

C.A<JB=B

D.AIZ的子集个数为64

三、填空题

5.（2024•全国•模拟预测）已知全集。=酊集合4="|昏<（）1,8={乂卜+2|<3}.若=则"的

最大值为.

6.（2021•山东淄博•模拟预测）已知数列{4}为等差数列，数列出}为等比数列.若集合A={4%%},集

合3=体也，4}，集合。={。,瓦一2}（a>0,b>0）,且A=8=C,贝!Ja+6=.

参考答案：

1.D

【分析】先求集合4确定AcB即可求解.

【详解】因为A={xeN|3-x20}={0,L2,3},B={0,l},所以={0,1},

所以集合AcB的真子集的个数为2?-1=3.

11

故选:D.

2.D

【分析】根据对数函数单调性求集合A,由题意可知BuA,即可得结果.

【详解】由题意可得4=旧0</422}=[-2,0）u（0,2],

因为=则8勺4,所以〃?e[—2,0）50,2].

故选：D.

3.BD

【分析】根据空集的定义判断A,根据集合元素的特征判断B,根据所给函数解析式判断C,将函数写成分

段函数、再分析函数在各段的单调性即可判断D.

【详解】对于A：0={0}或0{0},故A错误；

对于B：{X|X=2H,HGZ}={-..,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,•••},

YY

又一EZ,令一=keZ,所以x=2左，左eZ,

22

即，无£eZ,={x|尤=2太&eZ}={…，一6,—4,一2,0,2,4,6,8,…},

所以{x|尤=2w,"eZ}=,xgez},故B正确；

对于C：因为“x）=Jo尤仁蔡，所以“X）的值域为{0，1}，故c错误；

对于D：〃x）=x|x|=j'产。

[-X，尤<0

因为y=V在[0,+动上单调递增，y=在0）上单调递增，

且/（X）为连续函数，所以/（x）在R上单调递增，故D正确；

故选：BD

4.BCD

【分析】解二次不等式化简集合A,进而求得集合B,利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子

集个数的求法逐一分析各选项即可得解.

【详解】对于ABC,因为A={x|f—尤46}={x|-2W},

所以3={孙|XGA,veA1=1x|-6<x<9},即

12

所以AcB=A,=8,BcZ有6+1+9=16个元素，故A错误，BC正确；

对于D,而AIZ有2+1+3=6个元素，所以AIZ的子集个数为2$=64,故D正确.

故选：BCD.

5.-5

【分析】先求集合8,对A分类讨论，并结合BuA,数形结合求出。的取值范围，注意端点值能否取到.

［详解］因为5={%肛+2卜3}={止5vxvl},

当av1时，A={x|6/<x<1},若=则5gA.

在数轴上表示出集合A,B,如图，

4—

B

-----AA>

Q—5---1-----x

则aV-5；

当a>l时，A={x［l<x4a},此时Au_B=A不成立，

当a=l时，A-0,此时4口3=4不成立.

综上，。的最大值为-5.

故答案为：-5

6.5

【解析】根据题意判断出a=-2,根据等比数列的性质可得代=匕也=4,根据等差数列的性质，列出等式

2a=-2+b(或2b=—2+a),求出<7、b即可.

【详解】由{卬,02,。3}={4,4,4}={4>，一2},其中a>0,b>0,

可得a=一2,则4&=4,令仇=。也=匕，或々=6也=。可得而=4,①

令{%}中的q=-2,出=a，4=6,根据等差数列的性质可得2a?=q+?，

所以2。=—2+b,(2)

根据①②得出。=11=4,所以。+少=5；

令{凡}中的q=-2,%=b,%=。，根据等差数列的性质可得2%=4+%，

所以%=-2+a,③

根据①③得出。=4力=1,所以“+。=5；

同理令{%}中的%=-2,%=a,%=b,根据等差数列的性质可得2a2=a,+a3,

13

所以2。=-2+%，与①联立可。+匕=5；

令{%}中的%=-2,g=瓦q=。，根据等差数列的性质可得2%=%+%，

所以》=-2+。，与①联立可a+6=5；综上所述a+6=5.

故答案为：a+b=5.

【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质与集合相等，关键点是判断出4=-2,根据等比数列的

性质可得也=4,根据等差数列的性质，列出等式2a=-2+6（或力=-2+。），考查学生分析问题、

解决问题的能力.

反思提升：

1.若3GA,应分3=0和BW0两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关

系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，

一定票把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

【考点3】集合的运算

一、单选题

1.（2024・全国•模拟预测）已知集合从={尤lN<3,xeZ},8={x|y=ln（无一1）},则Ac他3）=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0）

2.（2024•全国•模拟预测）已知集合4=<x1083，一][4。"，B={x|-x2+3%>0）,则（）

A.RB.[-1,3）C.（0,2）D.（-1,2）

、多选题

3.（2022・重庆•模拟预测）己知全集。=!<,集合A=<o,则关于q,A的表达方式正确的有（

B.|x|(x-2)(x-l)>0}

D.(-0o,l)U(2，+°°)

4.（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）图中阴影部分所表示的集合是（

A.MI曲NB.N1c.wne(Nfw)D.(WXN)

14

三、填空题

5.(2020•江苏南通•模拟预测)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中

至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是.

6.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)设N；={1,2,…，利}表示不超过根(〃zeN*)的正整数集合，&表示/个元素的

有限集，S(A)表示集合A中所有元素的和，集合心={s(a%uN；},则小=；若$(加)42024,

则m的最大值为.

参考答案：

1.C

【分析】解绝对值不等式求出集合A,求函数的定义域求得集合B.由此求出第2,从而得到Ac(43).

【详解】由题意，得4={—2,-1,0』,2},B={x|x>l},所以43={x|x<l},所以低可={—2,-1,0,1}.

故选：C.

2.B

【分析】首先解对数不等式求出集合A,再解一元二次不等式求出集合最后根据并集的定义计算可得.

【详解】由1咱生£|40得。<工<1,解得-Kx<2,

所以A=1Jlog3<01={x|-1<x<2}.

由t?+3尤>0解得0cx<3,即2=同一炉+3%>0}="|0<%<3},

所以AuB=[-l,3).

故选：B.

3.AB

【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.

【详解】由题意得，A=p|f1<oj=(x|(x-2)(x-l)<O)=(l,2),

所以舟4=(-<»,1]2[2,+8)={彳|(%_2)(X_1)20},

故AB正确，CD错误，

故选：AB.

4.AC

【分析】利用维恩图，根据交并补的混合运算即可得到答案.

【详解】如图,

15

u

\N(③)M

①l②出

对于A,^^=®+®,则A/neN=④，故A正确；

对于B,药川=①+②，则NnaM=②，故B错误；

对于c,MAN=③，6（wnN）=①+②+④，故〃n七（NQM）=④，故c正确；

对于D,（瘵W）n（uN）=①，故D错误，

故选：AC.

5.6

【分析】将原问题转化为论""图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.

【详解】如图所示，（。+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）

表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，

则有：

a+b+c+%=14

b+d+e+x=10

<

c+e+f+x=8

a+b+c+d+e+f+x=20

Jq+2b+2c+d+2e+/+3x=32

[a+Z?+c+d+e+f+x=20

即b+c+e+2x=12,当b=c=e=0时，x的最大值为6,

即三天都开车上班的职工人数至多是6.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查论""图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解

能力.

6.{3,4,5}22

16

【分析】

根据定义，结合等差数列的前"项和公式进行求解即可.

【详解】

当根=3,笈=2时，4表示有2个元素的集合，N；={1,2,3},

因为且4有2个元素，

所以&={1,2}或{1,3}或{2,3},所以《={3,4,5}；

由题中定义可知：7；„,3={6,7,8,...,3m-3},

、（6+3m-3）（3m-3-5）

于是由S（7；3）«2024n---------------------------L<2024=>9m92-15m-4072<0

5-7163135+716313

=>--------------<m<---------------，

66

而5/16129<V16313<V16384n127<J16313<128,

即5+排6313名22.2,又因为根eN*,

6

所以加的最大值为22,

故答案为：{3,4,5}；22

【点睛】

关键点睛：本题的关键是理解题中定义，运用等差数列的前〃项和公式.

反思提升：

1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.数形结合思想的应用：

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

挛分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2023•重庆・三模）已知集合4=[€（2|（》-1）（尤2-2）=。},B={.xeR|（x-l）（.x2-2）=0},则下列关系正

确的是（）

A.A=3B.BC.BAD.Ac8=0

2.（2024•浙江•二模）已知集合加={1,2,3},N={0,1,2,3,4,7},若MgAuN,则满足集合A的个数为（）

A.4B.6C.7D.8

17

3.（2024•全国，模拟预测）若集合4={尤|3炉-16尤40},8={x|y=ln（5x-2）},则AHB=（）

x|<x

A.^x|o<x<||B.{|-y!

c-bio-x<t}d-

4.（2024・贵州贵阳,模拟预测）若集合A={尤|2〃zx-3>0,〃?eR},其中2e4且遥A,则实数机的取值范围

是（）

A-CHB.［『句U［『JD，

二、多选题

5.（2024・广西•二模）若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M,N可能是（）

A.〃={0,2,4,6},N={4}

B.M={x|尤2<I},N={X［x>-l}

C.M={尤Iy=lgr},N={y|y=e'+5}

D.M={（x,y）lV=y2},N={（x,y）|y=x}

6.（20-21高一上•广东深圳•阶段练习）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割"

来定义无理数（史称"戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为"无

理"的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集。划分为两个非空的子集/与N,且满足

MUN=Q,MnN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（”,N）为戴德金分割.试判断

下列选项中，可能成立的是（）

A.若河={尤©（2］尤<0},N={尤eQ|尤>0},贝U（MN）满足戴德金分割

B.若（”,N）为戴德金分割，则又没有最大元素，N有一个最小元素

C.若（/,N）为戴德金分割，则M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.若（M,N）为戴德金分割，则又没有最大元素，N也没有最小元素

7.（23-24高一上•重庆永川•期中）下列说法正确的是（）

18

A.集合”={一2,3%2+3%-4,x2+x-4},若贝|x=—2或％=1

B.设全集为R,若则物7RA

C.1x|x=3n+1,nez|=1x|x=3n—2,nGz|

D.‘5和y都是无理数〃是〃x+y是无理数〃的必要不充分条件

三、填空题

2r-1

8.（23-24高三下•上海浦东新•阶段练习）已知集合人={%|―-<0},全集U=R,则aA=_______

x+1

9.（2024•山东临沂•一模）集合A={x|lgx<l},5=L1>1L则4口金8=.

10.（2020•江苏•一模）若4={1,2,3,4,5},3={3,4,5,6},则下图中阴影表示的集合为.

11.（2023,河南•模拟预测）设集合A={x|-4WxW2},3={x|/_4x—5<0},

C={x|尤2—（a+4）x+2（a+2）<0}.

⑴求（々A）UB；

（2）从下面（1）（2）中选择一个作为已知条件，求实数。的取值范围.

①CU（QAC3；②Cu（AUB）；③（AcB）cC=0.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

12.（2023•黑龙江佳木斯•模拟预测）已知集合&=卜|4.一/_3>0},集合8={x|2〃?<x<!.

（1）若Ac3=0,求实数〃2的取值范围；

（2）命题p：xeA,命题q:尤e8,若p是g成立的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

参考答案：

1.B

【分析】根据数集的定义，求解方程，得出集合即可得出答案.

【详解】若尤wR,解（尤T）（尤2-2）=0可得，*=1或苫=-我或尤=夜，

所以8={1,-后,0}.

19

若xeQ,贝ijx=l,所以A={1},

所以4勺氏

故选：B.

2.D

【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.

【详解】因为M=

所以A可以是{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2,3,0},{1,2,3,7},{123,0,4},{1,2,3,0,7},{1,2,3,7,4},{1,2,3,0,4,7},共8个,

故选:D

3.D

【分析】根据一元二次不等式的解集确定集合A,根据对数函数的定义域确定集合5,再根据集合的交集运

算得结果.

【详解】因为集合4={尤|3/-16x40}={x|0Vx4g;,3={x[y=ln（5x-2）}={x|x）|:,

则AP|B=|x||<x<y|.

故选：D.

4.A

【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.

f2mx2—3>033

【详解】由题意可得G[,,八，解得=<加工*

[2mxl-3<042

故选：A.

5.ACD

【分析】根据Venn图可知N依次判定选项即可.

【详解】根据Venn图可知NM,

对于A,显然NM,故A正确;

对于B,M={x|-l<x<l},^={x|x>-l},则M=故B错误;

对于C,M={x|x>0},N={y|y>5},则NM,故C正确；

对于D,M=[^x,y)\y=x,或,=—x},N={(x,y)|y=尤},

则NM,故D正确.

20

故选：ACD

6.BD

【分析】A选项，MuN={xeQ|x洛0}#Q,A错;BD选项，可举出例子；C选项，推理出HcN#0,C

错误.

【详解】A选项，M={xeQ|x<0},^={x6Q|x>0},故MuN={xeQ|x#O}声Q,A错误;

B选项，设M={xeQ|x<O},N={xeQkNO},满足”UN=Q,MQN=0,

此时(M,N)为戴德金分割，且M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确；

C选项，若“有一个最大元素，N有一个最小元素，则McNw0,故C错误；

D选项，TSM=(X6Q|X<A/2),2V=(X6Q|X>A/2),满足M没有最大元素，N也没有最小元素，D正确.

故选：BD

7.BC

【分析】对于A：由2eM,得出3f+3x-4或尤2+尤-4等于2,分别求解，然后验证互异性即可判断为错；

对于B：由集合间的包含关系和补集的概念判断正确；对于C：令集合{士=3"-2,“。}中的〃=尢+1,人Z,

即可判定为正确；对于D,取特值即可判定为错误.

【详解】对于A：由2eM,

若3尤？+3x-4=2=>无？+x—2=0=>尤=-2或1，

当x=l时，/+工一4=一2不满足互异性，舍去，当无=一2时，/+工_4=一2,不满足互异性，舍去；

若f+x—4=2=>》2+犬-6=0nx=—3或2,

当x=2时，3/+3x-4=14合题意，当尤=-3时，3炉+3左一4=14,合题意，

故x=-3或2,A错误；

对于B：若AgB,则如lRA,B正确；

对于C令集合{x|x=3九一2,〃eZ}中的?i="+l#eZ,得

{x[x=3"-2,〃eZ}={x[x=3^+l,keZ}={x[x=3"+l,〃eZ},故C正确；

对于D：x=G,y=-百=>x+y=O不是无理数，若x+y=&+l为无理数，可取工=君,丫=1,尤和>不都是无理

数，故"x和v都是无理数”是勺+y是无理数”的既不充分也不必要条件，故D错.

故选：BC.

8.(-8,-1]口|1，+8)

21

【分析】利用集合的补集求解.

【详解】解：集合4={尤|生[wo}=[x]-l<x(]],全集U