2025年高考数学一轮复习讲义：导数与函数的极值、最值（解析版）

专题17导数与函数的极值、最值（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】...............................................................10

【考点1］根据函数图象判断极值..............................................10

【考点2】求已知函数的极值..................................................17

【考点3】由函数的极值求参数................................................23

【考点4】利用导数求函数的最值..............................................31

【分层检测】...............................................................37

【基础篇】.................................................................37

【能力篇】.................................................................49

【培优篇】.................................................................53

考试要求：

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值3会求闭区间上函数的最大值、最小值.

.知识梳理

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y=/(x)在点x=a的函数值五a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/(a)=0；而且在

点x=a附近的左侧片x)<0,右侧外0>0.则a叫做函数y=/(x)的极小值点，火。)叫做函数丁=

段)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y=/(x)在点x=b的函数值汽6)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/(/?)=0；而且在

点、x=b附近的左侧［於)〉0,右侧［(x)<0.则b叫做函数y=*x)的极大值点,犬。)叫做函数丁=

汽x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数人功在区间［a,加上有最值的条件：

如果在区间［a,加上函数y=«x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在区间［a,加上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=/(x)在区间(a,上的极值;

②将函数y=/U)的各极值与端点处的函数值Na),1。)比较,其中最大的一个是最大值，最小

的一个是最小值.

|常用结论

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认

为极值就是最值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大

小关系.

挛真题自测

一、单选题

b

1.(2022•全国•高考真题)当％=1时，函数/(X)=Qlnx+—取得最大值—2,贝U1⑵=()

x

11

A.—1B.——C.-D.1

2.(2022•全国,高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

34"36，则该正四棱锥体积的取值范围是()

2

727812764

A.B.7'IC.D.[18,27]

3.（2021•全国•高考真题）设〃w0,若。为函数/（x）=a（x—a）2（x—»的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.abva1D.ab>a2

二、多选题

4.（2023•全国•高考真题）若函数〃切=。11^+。+5（4#0）既有极大值也有极小值，则（）.

A.bc>QB.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<Q

5.（2023•全国•高考真题）已知函数的定义域为R,/3）=y2〃x）+x2"y）,则（）.

A./（O）=OB./（1）=0

C.是偶函数D.尤=0为“X）的极小值点

6.（2022•全国•高考真题）已知函数，（元）=丁-彳+1,则（）

A.Ax）有两个极值点B.Ax）有三个零点

C.点（0,1）是曲线>=/（尤）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

三、填空题

7.（2022,全国•高考真题）已知彳=再和x=%分别是函数/。）=2优-ef（a>0且awl）的极小值点和极

大值点.若占<%，则。的取值范围是.

8.（2021•全国,高考真题）函数/（x）=|2x-l|-21nx的最小值为.

参考答案：

1.B

【分析】根据题意可知〃1）=-2,尸（1）=。即可解得a,b,再根据广⑺即可解出.

【详解】因为函数定义域为（0,+功，所以依题可知，/（1）=-2,尸（1）=0,而（（町=三一《，所以

b=-2,a-b=0,即a=-2,6=-2,所以尸"）=」+彳，因此函数在（0,1）上递增,在（1,+向上递减,

x=l时取最大值，满足题意，即有尸（2）=-1+3=-（

故选：B.

2.C

【分析】设正四棱锥的高为3由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四

棱锥体积的取值范围.

【详解】回球的体积为36%,所以球的半径氏=3,

3

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2“，高为心

则产=2a2+*,32=2a之+(3—h)2,

所以6/Z=/2,2a2=I2-h2

ii?/4/21f/6

所以正四棱锥的体积V=wS/z=wx4a2x%=wx(/2-震)又工=了八一记

3333669136

所以叫

当34142#时，r>0,当2遥<”3若时，T<0,

所以当/=2面时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为日,

27Q1

又/=3时，V=—,/=3石时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为2一7，

所以该正四棱锥体积的取值范围是"，”.

L43J

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=：a2"=1.(6/z—/z2)/z=g(i2—2/z)/zx/z„gx—―2h［+h+h=竽(当且仅当。=4取至［|),

当或时‘得"袈则等』手

当/=3有时，球心在正四棱锥图线上，此时〃=］+3=］,

争=孚"=卓，正四棱锥体积乂=%%=；(篁y号q,故该正四棱锥体积的取值范围是目争

3.D

【分析】

4

先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对"进行分类讨论，

画出/(X)图象，即可得到a，b所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=)，则/(无)=。(尤-。丫为单调函数，无极值点，不符合题意，故Mb.

・•J(x)有。和b两个不同零点，且在工=。左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，a为函数

/(.V)-a(x”『(‘v")的极大值点,，在x=a左右附近都是小于零的.

当a<0时，由x>6,f(x)<o,画出的图象如下图所示：

由图可知a<0,故a。〉".

当〃〉0时，由时，/(尤)>0,画出了(l)的图象如下图所示:

综上所述，Q。〉/成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

4.BCD

【分析】求出函数的导数/‘(X),由已知可得了'(X)在(0,+8)上有两个变号零点，转化为一元二次方程

有两个不等的正根判断作答.

5

【详解】函数〃x)=alnx+2+二的定义域为(0收)，求导得广。)，_._'=加一”2。,

%%XXXX

因为函数/(X)既有极大值也有极小值，则函数/'(X)在(0,+8)上有两个变号零点，而〃。0,

因此方程以2一区一2c=0有两个不等的正根%,%2，

A=Z?2+Sac>0

b

于是《玉+%=—>。，即有〃2+8ac>0,ab>0,ac<0显然片从^。，即bcvO,A错误，BCD正确.

af

2c八

=--->。

、a

故选：BCD

5.ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例/(劝=。即可排除选项

D.

%?In|Y|xw0

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(尤)=八进行判断即可.

。，元=0

【详解】方法一：

因为『(孙)r"(x)+x"(y),

对于A,令x=y=O,/(0)-0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令无=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则"1)=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),则/(一1)=0,

令y=-1,/(-X)=f(.x)+x2f(-V)=/(%),

又函数“x)的定义域为R,所以为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/。)=0,显然符合题设条件，此时了(无)无极值，故D错误.

方法二：

因为/(移)=y2/(x)+x2/(y)>

对于A,令x=y=O,/(0)-0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令无=y=l,f(l)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-L,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),则/(一1)=0,

令>=T"(r)=/(尤)+r(-1)=/(%),

又函数Ax)的定义域为R,所以“X)为偶函数，故C正确，

对于D,当X、2H。时，对/(盯)=y2/(x)+x2/(y)两边同时除以/y2,得到？：)=,

6

故可以设坐^=1中|(尤片0),则/(x)=<:吗4°,

x[0,x=0

当x>0肘，/(x)=x2Inx,则/,(x)=2xlnx+x2•—=x(21nx+l),

令/•'("<O,得0<x<e*4f^)>0,得x>£；

故/(x)在[0,上单调递减，在fA,+/上单调递增，

因为人盼为偶函数，所以/⑺在-e”,0上单调递增，在-%彳上单调递减,

\7V7

显然，此时x=0是/(x)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

6.AC

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合〃x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的

几何意义判断D.

【详解】由题，r(x)=3x2-l,令，Kx)>0得x>#或尤<一日，

令/(x)<0得一旦*<3,

33

所以“幻在(-应-亭，(*+00)上单调递增，(当当上单调递减，所以x=±¥是极值点，故A正确；

因/(一¥)=1+半>0，/(,)=1一书>0，f(-2)=-5<0,

所以，函数外力在一小一孝)上有一个零点，

当转走时，/(%)>/|^|>0,即函数在(当,+/上无零点，

综上所述，函数，(幻有一个零点，故B错误；

333

令h(x)=x-xf该函数的定义域为R,h^-x)=(-x)-(-x)=-x+x=-7i(x),

7

则■＞)是奇函数，(0,0)是/z(x)的对称中心，

将〃(x)的图象向上移动一个单位得到了(x)的图象，

所以点(o,D是曲线y=/(x)的对称中心，故c正确；

令_f(x)=3d—l=2,可得X=±l,又/⑴=

当切点为(1』)时，切线方程为，=2x-l,当切点为(-M)时，切线方程为y=2x+3,故D错误.

故选：AC.

【分析】法一：依题可知，方程21n“"X—2ex=0的两个根为不三，即函数y=lna•优与函数y=ex的图象

有两个不同的交点，构造函数g(尤)=lna.优，利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数

的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为尸(x)=21na"'-2ex,所以方程21nad-2ex=0的两个根为士，%，

即方程=ex的两个根为和尤2，

即函数y=lne优与函数丁=6》的图象有两个不同的交点，

因为&%分别是函数"x)=2"-ed的极小值点和极大值点，

所以函数“X)在(YO,%)和(无2，长0)上递减，在(为,尤2)上递增，

所以当时Ro,可)(々,+℃),/'(x)＜。，即y=ex图象在＞=inad上方

当尤«石,X2)时，了什耳＞。，即＞=ex图象在y=］nad下方

。＞1,图象显然不符合题意，所以。＜a＜l.

^-g(x)=lna-ar,则g,(x)=ln2a-av,0＜a＜l,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(无o，lna-1),

则切线的斜率为g'(xo)=ln2a.*,故切线方程为y-lna•d=li?,

则有-Ina"'"=-尤ohr，解得无o=^—,则切线的斜率为1112a,“京=eg?口，

因为函数＞=山内疝与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

8

所以elYave，解得,<〃<e,又Ovavl,所以

ee

综上所述，”的取值范围为、」］.

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

/r(x)=21na-ax—2ex=0的两个根为x，%

因为石，々分别是函数〃元）=2优-eV的极小值点和极大值点，

所以函数“X）在（YO,大）和（彳2，+℃）上递减，在（网,工2）上递增，

设函数g（x）=/'（x）=2（/lna-ex）,贝加（x）=2/（Ina），-2e,

若则g'（x）在R上单调递增,此时若g'（%）=0,则尸（x）在

（6,无。）上单调递减，在（如收）上单调递增，此时若有》=不和x=z分别是函数

/。）=24-夕2（4>0且"1）的极小值点和极大值点，则可>々，不符合题意；

若0<a<l,则g'（x）在R上单调递减，此时若式/）=0,则尸（力在（f%）上单调递增，在（飞,收）上单

调递减，令g'（%）=。，则*=就产，此时若有x=xi和％=%分别是函数/（力=2"-"2（。>0且awl）的

极小值点和极大值点，且不<%，则需满足/（毛）>0，广（x°）=2（a为皿-气）=2［惠-绪）>0,即

X0<Y~,/11^>1故仙4领=/1114=111^1^>1,所以

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出"小题小做"，是该题

的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于

通性通法.

9

8.1

【分析】由解析式知/(x)定义域为(。,+8),讨论0<xV］、%>1,并结合导数研究的单调性,

22

即可求了(幻最小值.

【详解】由题设知：/(%)=|2%-1|-21nx定义域为(0,+8),

团当时，f(x)=l-2x-2lnx,止匕时/(x)单调递减；

12

当一<工(1时，f(x)=2x-l-21nx有7(x)=2——<0,此时〃龙)单调递减；

2fx

2

当%>1时,f(x)=2x-l-21nx,有/'(尤)=2——>0,此时/(元)单调递增；

x

又了(九)在各分段的界点处连续，

团综上有：0cxW1时，/(x)单调递减，x>l时，/(x)单调递增；

0/(x)>/(l)=l

故答案为：1.

考点突破

【考点11根据函数图象判断极值

一、单选题

1.(21-22高三•北京西城・开学考试)如图所示，已知直线、=履与曲线y=/(x)相切于两点，函数

g(x)=kx+m(m>0),则对函数户(x)=g(x)-〃x)描述正确的是()

A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点

C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点

2.(21-22高二下•北京西城•期末)设函数/■⑴=♦+分+4x的极小值为一8,其导函数>=/'⑺的图

象过点(一2,0),如图所示，则/(幻=()

10

2

A.--x3-x2+4xB.-X3-2X2+4X

C.-x3+4xD.-2x3+x2+4x

二、多选题

3.(2022•山东临沂•模拟预测)设函数“x)=ln(x+l)+a(f-x),其中aeR,则()

Q

A.当OWaWg时，f(x)有2个极值点

B.当“<0时/⑺有1个极值点

Q

C.当a时，“X)有。个极值点.

D.若Vx>0,/(x)20成立，贝iJOVaWl

4.(2023•湖北武汉•模拟预测)已知函数y=和y=g(x)的图像都是R上连续不断的曲线，如果

当且仅当x=l时〃l)=g⑴=1,那么下列情形可能出现的是()

A.1是“%)的极大值，也是廉元)的极大值B.1是“X)的极大值，也是g(x)的极小值

C.1是〃x)的极小值，也是g(x)的极小值D.1是f(x)的极小值,也是g(x)的极大值

三、填空题

5.(2021・四川成都,模拟预测)已知函数的定义域为［T5］,其部分自变量与函数值的对应情况如表:

X-10245

〃尤)312.513

〃元)的导函数尸(x)的图象如图所示.给出下列四个结论:

①了("在区间［T,。］上单调递增；

②/(X)有2个极大值点；

③〃元)的值域为［1,3］；

④如果xe［r,5］时，的最小值是1,那么/的最大值为4.

其中，所有正确结论的序号是.

11

6.(2023•陕西宝鸡•二模)若函数〃x)=e'-eT+gx3一办无极值点，则实数。的取值范围是.

参考答案：

1.C

【分析】由题设尸'(x)=^-f'(x),令、=履与y=/(尤)切点横坐标为且％<々，由图存在毛€(%,马)使

F(x0)=0,则尸(x)有三个不同零点王V无。<9，结合图象判断尸(无)的符号，进而确定尸⑴单调性，即可

确定答案.

【详解】由题设，F(x)=kx+m-f(x),贝1|F'(x)u"f'(x),

又直线y=自与曲线>=/(x)相切于两点且横坐标为x“x2且不<乙,

所以尸'(x)=0的两个零点为％,三,由图知：存在/e(外,苍)使尸，(飞)=0,

综上，P'(x)有三个不同零点％<不，

,

由图：(0,而)上P'(x)<0,(尤1，尤0)上P'(x)>0,(%,%)上户'。)<0,(X2,+OO)±F(X)>0,

所以尸(x)在(0㈤上递减，(%,尤。)上递增，(无。,马)上递减，(々,+8)上递增.

故F(x)至少有两个极小值点和一个极大值点.

故选：C.

2.B

【分析】由题设((尤)=3"2+2法+4,根据所过的点可得b=3a+l,结合图象求出极小值点并代入了CO求

参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.

【详解】由题设，八尤)=3-+26x+4,则八-2)=12。-46+4=0,故6=3a+l,

所以f'(x)=3ax2+2(3。+l)x+4=(3ax+2)(x+2),

2

令((x)=0,可得彳=—2或了=-丁，由图知：a<0且x=-2处有极小值，

3a

所以-8。+46-8=-8,即a=-l,b=-2,经验证满足题设，

故/(x)=-x3-2x2+4元.

故选：B

3.BD

【分析】求导，记g(x)=2办?+办+1-。，结合图象讨论可知函数/(尤)的单调性，结合〃0)=。分析可得答

案.

【详解】/⑴的定义域为(-1,口)

当a=0时，〃x)=ln(x+l)单调递增，显然无极值，故A错误；

12

、1/cn2ax2+ax+1-a

f(x)=----ci\2x-1)=--------------

v7x+1l7x+1

记g(%)=2ax2+ax+1-a(aw0)

Q

由。2-8。(1一。)<0,gp9a2-8fl<0,解得0<a4§

Q

所以当时，g(x)>0,即/(x)W0,

所以在定义域内单调递增，此时无极值，

8

当a<0或时，记且0)=2。X2+以+1一。的两木艮为玉,々，且玉

则a<0时，因为g(—D=l,所以由图可知石<-1<%2

则Tv%〈W时，g(x)>0,/(%)单调递增，%>犬2时，g(x)<0,八>)单调递减

所以此时/(x)在％处有极大值，故B正确;

Q1

当时，因为g(0)=l-420,由图可知-1<%<-^<N40

-l<x<占或x>%时，g(无)>0,不<方<三时，g(x)<0,

所以/(X)在x=%处有极大值，在x=X2处有极小值，故c错误;

当a>l时，因为g(0)=l-a<0,由图可知尤2>。

0Vx<尤2时g(x)<0,x>%时g(x)>0,

所以/⑺在。％)上单调递减，在(％，+8)单调递增

13

因为/（。）=。，所以由上可知，要使Vx>0,成立，必然有了（X）在（0,+8）上单调递增，所以OWaWl,

4.ABC

【分析】由题意构造函数图象满足题干依次判定选项即可.

【详解】对于A选项，构造如图所示图象，则A选项正确;

对于B选项，构造如图所示图象，则B选项正确;

则C选项正确;

对于D选项，因为1是“X）的极小值，则在1的附近存在毛，使得〃石）>〃1）,

14

又1也是g(x)的极大值，则在1的附近存在太2，使得g(l)>g(9),

所以在工的附近存在毛与巧，使得/'(%)>g(X2),不合题意，故D错误.

故选：ABC.

5.③④

【分析】画出函数图象，数形结合作出判断.

【详解】根据函数”X)的导函数-(X)的图象与表格，整理出函数“X)的大致图象，如图所示.

对于①，在区间[-1,0]上单调递减，故①错误；

对于②，F(无)有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；

对于③，根据函数的极值和端点值可知，“X)的值域为[1,3],故③正确；

对于④，如果时，〃尤)的最小值是1,那么f的最大值为4,故④正确.

综上所述，所有正确结论的序号是③④.

故答案为：③④

6.(—oo,2]

【分析】若函数了⑺无极值点，则导数/‘(X)无变号零点，令ga)=r(M,根据g'⑺的正负得出其单调性,

即可根据导数无变号零点列不等式求解，即可得出答案.

【详解】/(x)=eX-eT+；尤3一公，贝iJf'(x)=e*+eT+x2-a,

若函数/(尤)=e，-eT+卜J。尤无极值点，

则尸(x)=e*+「。无变号零点，

令g(尤)=尸(%)=6"+尸+*2-4,

贝Ug，(x)=2x,

当x<0时，0<ex<l>e^>l,2x<0,则则g'(x)=]-。+2x<0,

15

当x>0时，ex>1,0<e-%<1,2x>0,则6，一尸>0,贝=右,+2%>0,

则g（无）在（-8,0）上单调递减，（0,+8）上单调递增，

即/'（X）在（-8,0）上单调递减，（0,+8）上单调递增，在x=0处取得最小值，

若/''（力=3+。+彳2—。无变号零点，贝4'（0）=6。+/+。2一。20,解得：aV2,

故答案为：（F,2].

反思提升：

由图象判断函数y=/（x）的极值，要抓住两点：（1）由y=/（%）的图象与x轴的交点，可得函数y

=/（x）的可能极值点；（2）由导函数y=f（x）的图象可以看出y=/（x）的值的正负，从而可得函数y

=/（x）的单调性.两者结合可得极值点.

【考点2】求已知函数的极值

一、单选题

1.（2024•宁夏银川•一模）若函数“尤）=（犬-分-2）e*在》=—2处取得极大值，则了⑺的极小值为（）

A.-6e2B,-4eC.-2e2D.-e

2.（2024・四川成都•二模）函数〃x）=e'+asinx,xe（F,y）,下列说法不正确的是（）

A.当a=—l时，〃x）>0恒成立

B.当a=l时，f（x）存在唯一极小值点为

C.对任意a>0,〃x）在xw（一无,y）上均存在零点

D.存在。<0,/（力在上有且只有一个零点

二、多选题

3.（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）已知2（x）=d+xlnx+2,g（尤）=/（%）—ex,则（）

A.函数在1-1上的最大值为3B.依>0,f（x）>2

C.函数g（x）在（3,4）上没有零点D.函数g（x）的极值点有2个

-Y>0

4.（2024•全国•模拟预测）已知/（%）=<x'''则方程尸。）-（4+3）/（x）+34=0可能有（）

—4x~1,xW0,

个解.

A.3B.4C.5D.6

三、填空题

5.（2023・全国模拟预测）已知定义在口上的奇函数〃尤）满足当》>0时，〃2力/（》+4）=16,（》-8）/。）“

16

(尸(X)为“X)的导函数)，且〃x)<0,则“X)的极大值为.

6.(2023•西藏拉萨•一模)已知函数/(*)=(无一一修一1八一句，函数的图象与x轴的交点关于y轴

对称，当时，函数；当函数有三个零点时，函数f(x)的极大值为.

参考答案：

1.C

【分析】由题意求出。的值，进而求出了(X),再解出极小值即可.

【详解】因为函数〃尤)=(丁-6-2)e，在》=一2处取得极大值，

贝！1/'(彳)=[彳2+(2-a)x-2-a}e",(xeR)且/(-2)=0,

即4—2(2-。)—2—a=0,所以a=2；

所以/(x)=(x2_2x-2)・e*,/f(x)=(X?-4)e*=(x+2)(x-2)e”,

令r(x)=0,贝！]x=2或无=一2,

由xe(-oo,-2)，r(x)>0,xe(-2,2),/,(x)<0,xe(2,+oo),(x)>0,

所以在(e,-2),(2,+功上单调递增,在(-2,2)上单调递减.

所以函数在x=-2处取得极大值，力及小=/(2)=-2e2.

故选：C.

2.C

【分析】对于A：代入a=-l,直接函数性质判断；对于B：代入a=l,求导研究函数单调性来判断；对于

CD：求出/(x)在xe(-兀,+8)上的单调性和极值，再来判断即可.

【详解】对于A：当°=一1时，/(x)=el-sinx,xe(-71,+»),

当xe(-7t,0)时，e'>0,sinx<0,则e*-sin无>0,

当xe[0,+oo),eA>l,sinxe[-l,l],则e'-sinx〉。，不能取等号，

所以〃x)>0恒成立，A正确；

对于B：当a=l时，/(x)=eA+sinx,xe(-71,+oo),则/>'(%)=e*+cosx

令//(%)=e*+cosx,贝i]〃(x)=e*-sinx,由选项A得/恒成立，

17

则/'(x)在(一兀,+8)上单调递增,又—(_兀)=e-+cos(-7t)^o,/,(o)=e°+cos0)0,

故存在％e(-兀,0)使得了'伍)=0,

所以/'(X)在(-兀，与)上单调递减，在(％,+°°)上单调递增，故/1(x)存在唯一极小值点％,B正确;

对于CD：令/(x)=e*+asinx,当x=E火？Z,显然不是零点,

当xHfar,左eZ,上2-1时，令/(x)=0,得a=-----

sinx

%

EIx/xV2ecosx+—

则令尸(%)=---则--L/\—0(cosx-sinx)_14),

sinx上(町一：-2-I~2

sinxsmx

当无£［-兀+2配一：兀+2E)左eZ时，Fr(x)<0,F(x)单调递减,

当XE1-［兀+2左兀,2也］,左GN时，，Fr(x)>0,b(%)单调递增

(3\~~+2kjt--

止匕时有极小值尸］-彳兀+2EJ=0e471>V2e4>0,

当xe(2E,；7i+2E:J,ZeN时，9(x)>0,尸⑴单调递增，

当xe］：兀+2防1,兀+2防1)左eN时，F,(%)<0,尸(x)单调递减，

止匕时有极大值F兀+2也］=_缶/2麻<_^/2eZ<o,

故选项C中任意a>0"(x)均有零点，错误;

选项D中，存在。<0J(x)在xe(-兀,+。)上有且只有一个零点，此时a=_0j,

故选：C.

【点睛】方法点睛：一：对于不等式恒成立问题可以构造函数，转化为函数最值问题来解决；二：对于零

点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.

3.AC

【分析】求函数〃x)的导数，得尸(x)=2x+lnx+l,尤>0.因为f'(x)在(0,+e)上递增，根据函数零点的

存在性判断零点在(片2,片)之间，设为七,再代入计算可以求出函数在1,1上的最值，判断AB的真假；

求g(x)的导数，得g'(x)=2x+lnx+l-e,x>0,利用其单调性得g'(x)=0至多一解，可判断D；再根据

函数零点的存在性，可判断C的真假.

【详解】对A,B,因为〃x)=f+%inX+2,x>0.

所以ff(x)=2x+lnx+l,x>0.

18

设/z(x)=2x+lnx+l,x>0,贝！］〃(％)=2+1，因为X>0,所以在(0,+。)上恒成立.

所以/'(%)=21+111%+1在(0,+。)上单调递增,

且=曰一/'卜一)

/'(b2)=2b2-2+11<0,=2e^-l+l=->0,

所以比«尸,「)，使得〃不)=0.

所以〃x)在(0,%)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

又七卜布一51n2+2=正-”2,〃1)=1+0+2=3,

/(%)二片+x0lnx0+2,因为2%+In/+1=0,

1n

所以/(%)=片+3%o+2=x0(x0+lnx0)+2=x0(-x0-l)+2=2-X0-XQ,

因为x°c(e-2,eT),所以“x0)<2.故A正确，B错误;

对D,Xg(x)=x2+xlnx+2-ex,x>0.

所以g'(%)=2%+lnx+l-e,x>0.

设制x)=2x+lnx+l-e,尤>0贝ijmr(x)=2+—,x>0,所以加(x)>0在(0,+。)恒成立.

所以g'(%)=2%+lnx+l—e在(0,+。)上单调递增，

所以g'(犬)=0至多一个解，故D错误；

对C,又因为g'(l)=3-e>0,

所以g'(x)=0只有一解，在区间3,1

所以g(x)在(3,4)上单调递增,且g⑶>0,

所以g(x)在(3,4)上无零点.故C正确.

故选：AC

4.ABCD

【分析】方程产⑴―(左+3)/(%)+3左=0得/(%)=3或((%)=无,作出函数图象，数形结合判断解的个数.

【详解】/(x)=-(x>0),有尸(x)=e'(：_l),

XX

当0<x<l时/(x)<0,/⑺单调递减；当x>l时尸(尤)>0,“盼单调递增，

当x=l时，”幻有极小值〃l)=e.

19

f(x)=-x2-4x-l(x<0),由二次函数的性质可知,

/(尤)在(―0,-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减,

当x=—2时，〃劝有极大值/(-2)=3.

k》>0

由/(无)=尤’’的图象如图所示，

—尤2-4-x—1,x40

由广(x)—(%+3)，(x)+3%=。得/(x)=3或/(x)=k,

由图象可知/(无)=3有3个解，/(元)=左可能有1,2,3,4个解，

若左=3,贝|/2(同一(左+3)/(力+3左=0有3个解；

若上R3,则方程产(初一伏+3)/(尤)+3%=0可能有4,5,6,7个解.

故选：ABCD.

【点睛】方法点睛：

函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间可上是连续不断的曲线，且〃〃)"他)<0,还必须结合

函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

5.4

【分析】利用导数判断函数单调性，并结合函数的奇偶性求解函数的极大值即可.

【详解】因为当尤>0时，/(2x)/(x+4)=16,所以[〃8)1=16,

又〃力<0,故〃8)=T.

由(x-8)_f(x)N0可知,xe(0,8)时,f'(x]<0,单调递减，

20

xe(8,y)时，f(x"OJ(x)单调递增,

故在(0,+动上的极小值为〃8)=T,

又〃x)为奇函数，

所以的极大值为/(-8)=-/(8)=4.

故答案为：4

6.(^-l)2(x+1)子/评

【分析】因式分解得〃尤)=(x-。)(尤-b)(x+l),然后根据零点互为相反数可得解析式；当函数〃x)有三

个零点时，求出解析式后利用导数求极值即可.

【详解】/(x)=(x-a)(x-/?)(x+l),

当a=6时，函数/(X)有两个零点，其中一个为一1,另一个必为1,

于是。=人=1,/(%)=(尤一1)2(%+1)；

当了(X)有3个零点时，因为函数/■")的图象与X轴的交点关于y轴对称，

所以0是函数“X)的零点，

从而1也是函数“X)的零点，

于是〃力=龙(无—1)(尤+1),/'(尤)=31—1,

由_ra)=o,得户±¥，

当x<一］或时，制勾>0；当一#<x<#时，f'(x)<0.

所以，当尤=一1时，函数/(X)有极大值，极大值为4t

故答案为：(尤-1)2(尤+1)；瞑

反思提升：

运用导数求函数火X)极值的一般步骤：

(1)确定函数Hx)的定义域；

(2)求导数/(x);

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/㈤在/(x)=0的根次左右两侧值的符号；

21

（5）求出极值.

【考点3】由函数的极值求参数

一、单选题

1.（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知函数〃x）=e，--在R上无极值，贝的取值范围是（）

A.（一00，1B.[00，]]C.[0,e）D.0,1

2.（2024•全国•模拟预测）已知函数八对=3手出+x在（0㈤上恰有两个极值点，则实数。的取值范

围是（）

B.-e11

C.（o,e“）D.。，争4

I27

二、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=（x-a）3+6.若过原点可作函数的三条切线，则（）

A./（%）恰有2个异号极值点B.若。>0,贝伯40,a3）

C.〃力恰有2个异号零点D.若“<0,贝

4.（2024•江苏徐州•一模）已知函数/■（元）=/（尤-呢'）,aeR,则下列说法正确的是（）

A.当a=-l时，/⑺有唯一零点

B.当a>g时，f（x）是减函数

C.若只有一个极值点，则aWO或

D.当。=1时，对任意实数L总存在实数和三，使得「（「）=/（>一"毛）

玉*2

三、填空题

5.（2023•四川遂宁•模拟预测）己知函数/（x）=,，函数g（x）=sin（25+0）（0>O）的两相邻对称中心之间

1-X

的距离为1,且X=g为函数y=g（x）的一个极大值点.若方程/W=g（尤）在XewZ）上的所有

根之和等于2024,则满足条件中整数”的值构成的集合为

6.（2024•陕西铜川•三模）若函数/（可=。犬+个有两个极值点，则实数。的取值范围为.

参考答案：

1.D

【分析】求导数确定单调性，讨