2025年高考数学压轴题训练：解三角形（解答题压轴）（学生版+解析）

专题17解三角形（解答题压轴）

目录

一、三角形中线问题.......................................1

二、三角形角平分线问题...................................3

三、三角形周长（边长）（定值）...........................5

四、三角形周长（边长）（最值，范围问题）.................8

五、三角形面积（定值）..................................10

六、三角形面积（最值，范围问题）........................12

一、三角形中线问题

1.（23-24高三上•广东中山•阶段练习）己知。为的外心，|反|=6,而•冠=4,当NC

最大时，A8边上的中线长为.

2.（23-24高一・全国•课后作业）已知向量a=b"sinA）,b=（l,cosA）,；//力，且A为AABC

的内角.

（1）求角A的大小；

（2）若AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,a=14,b=10,求边BC上的中线

AD的长.

3.（2024高三•全国•专题练习）记AABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知

acosC+迅。sinC-Z?-c=0.

⑴若AASC的面积为且，求a的最小值;

4

（2）若A=,BC边上的中线长为且“IBC的外接圆半径为g，求AABC的周长.

4.（2024•四川）在"LBC中，角4氏。所对的边分别为。也。，且满足cosC=f-E

b2b

（1）求角5;

（2）若AABC外接圆的半径为百，且AC边上的中线长为姮，求AABC的面积

2

二、三角形角平分线问题

1.(23-24高一下•上海•阶段练习)在AABC中，AC=2,BC=6,4c8=600.点。为AABC

所在平面上一点，满足反=根况+〃砺("？、"eR且加+”*1).

(1)若7%=〃=-1,用百，而表示反；

(2)若点。为AABC的外心，求加、”的值；

⑶若点。在-ACB的角平分线上，当-2W“W-!时，求的取值范围.

2411

2.(23-24高一上•湖北咸宁咱主招生)如图所示，在"LBC中，点。在BC边上,点E

在线段AO上.

⑴若ABED=ABAC=2NCED=«.

①如图1,若a=90。，AB=AC,过C作C/LAD于点F,直接写出仪的值为二

CF

AP

②如图2,若BD=3CD,求一的值.

BE

(2)如图3,已知AD为AABC的角平分线，AE=DE=2,AC=5,tanABED=1,直接写

出线段BE的长度.

3.(23-24高一下•河南周口•期末)在中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,

acosB+bcosA+b2-c2)

clabsinC

⑴求C；

(2)若AABC的三条角平分线相交于点0,AB=7,的面积为丑叵，求0C.

4

4.(23-24高一下•安徽芜湖•期中)已知AABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,且

3(sinA-sinB)_3c-2b

sinCa+b

⑴求sinA；

(2)若AABC的面积为g夜；

(i)已知E为3c的中点，求AABC底边3C上中线AE长的最小值；

(ii)求内角A的角平分线AO长的最大值.

5.（23-24高一下•重庆・期末）在AABC中，内角A,民。所对的边分别为。，瓦c,且

sin2A-sinAsinB

-----------2-----------------7---------=].

cosB-cosC

⑴求C;

⑵若c=6，a+b=46,求边Afi上的角平分线CD长；

⑶若AABC为锐角三角形，点P为AABC的垂心，CF=6,求辰F-AF的取值范围.

BF

三、三角形周长（边长）（定值）

1.（23-24高一下•河南漂河•期末）已知三角形A3C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

若疝（4+C）=「且°=2.

sinA+sinCb-c

（1）若8=g,求c；

6

⑵点。在边BC上且AD平分N54C,若AD=6，求三角形ABC的周长.

2.（23-24高一下•福建南平•期末）已知AABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为°,

b,c,J!LacosB+5/3asinjB-c-Z?=0.

⑴求A;

（2）若“=JL且AABC的面积为无（4从+c?）,求AABC的周长.

2a-b

3.（23-24高二下•四川凉山•期末）在AABC中，角A,B,C的对边分别为°,4c,--

COSCcosB

⑴求c；

（2）若44BC的面积S=2y/3,AB边上的中线CD=S，求AABC的周长.

4.(23-24高一下•四川成者B•期末)在44BC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,AABC的

外接圆半径为R,且-=R^b2+c2-a2).

7T

(1)证明：A-B=~；

(2)若8=2，A4BC的面积为2+若，求AABC的周长.

6

5.(23-24高一下•广东深圳•期中)已知在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且c-acosB=—asinB

3

⑴求角A的大小；

(2)若a=2括，AABC的面积为6，求的周长.

四、三角形周长(边长)(最值，范围问题)

1.(23-24高一下•北京大兴・期末)记AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

bsinA=y/3acosB.

⑴求

⑵若b=sfi.

(i)再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为己知，使其能够确定唯一的三角

形，并求AABC的面积.

条件①：a=&；条件②：a=2c；条件③：sinC=g.

(ii)求周长的取值范围.

2.(23-24高一下•广东深圳•阶段练习)如图，己知“WC是边长为2的正三角形，点P在

边BC上,且3而=而，点。为线段AP上一点.

—.—.1—.

(1)^AQ=AAB+-BC,求实数4的值;

(2)求丽•工的最小值；

⑶求AQPC周长的取值范围.

3.(2024•云南曲靖•二模)在AABC中，角A,氏C的对边分别为a,6,c,且

acosC+-ficsinA=b+c.

(1)求角8的取值范围；

(2)己知^ABC内切圆的半径等于也，求"RC周长的取值范围.

2

4.(23-24高一下•江苏南通•阶段练习)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

若c=2,的角平分线AD交2C于点D

(1)若6=1,N54c=60。，求的长度；

(2)若44SC为锐角三角形，且学=1+吗，求"RC周长的取值范围.

btan3

5.(23-24高一下•江苏泰州•期末)在△AfiC中，角AB,C的对边分别为b,。，已知

1+cosA1+cosBr

-------=-------+1.

sinAsinB

(1)当c=］时，求tang的值；

(2)当。=1时，求“LBC周长的最大值.

6.（2024•湖南长沙•一模）在锐角"WC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知

sinA-sinBsinC

y/3a-ca+b'

⑴求角B的值；

（2）若。=2,求的周长的取值范围.

五、三角形面积（定值）

1.（23-24高一下•山东枣庄•期末）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

bcosC=ccosB,P为AABC内一点.

⑴证明：AABC为等腰三角形；

⑵若A=60。，a=l,"PC=150。,求的最小值；

35

（3）若cosNA4C=—,NPAB=NPBC=NPCA,PA=~r,求&PBC的面积.

2.（23-24高一下•重庆•期末）平面四边形A3CD中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADC=it,

71

ZBCD=-.

3

（1）求即；

⑵求四边形A3C。周长的取值范围；

⑶若E为边3。上一点，且满足CE=3E,SABCE=2S&CDE，求△BCD的面积.

3.(23-24高一下•浙江温州•期末)在中，AB=4,AC=2,

sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

⑴求A;

(2)。为边AC的中点，E为边BC上一点、,AE交BD于P.

(i)若E为3c的中点，求ZDPE的余弦值；

(ii)当时，求APBC的面积.

4.(23-24高三上•山东青岛•期中)在"RC,中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,

己矢口cosC+>/3sinC=a+C

b

⑴求角B；

⑵已知点D在AC边上，且A£>=2OC,A2=6,2O=2A/7,求AABC的面积.

六、三角形面积（最值，范围问题）

1.（2024・四川达州•二模）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,

cosBcosCcosAcosBcosC

⑴求tanNtanC；

(2)若be=3,求AABC面积S的最小值.

2.（23-24高二上•云南玉溪•期中）为响应国家〃乡村振兴〃号召，农民老王拟将自家一块直

角三角形地按如图规划成3个功能区：△吕⑶区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划

为〃民宿〃供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在

鱼塘JWAC周围筑起护栏.已知AC=40m,BC=40V3m,ACJ.BC,2MCN30".

⑴若A0=2Om,求护栏的长度（AMNC的周长）；

⑵若鱼塘AMNC的面积是"民宿"ACMA的面积的6倍，求/AO0；

⑶当ZACI/为何值时，鱼塘AACVC的面积最小，最小面积是多少？

3.（23-24高二上•云南玉溪•期中）为响应国家"乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直

角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为

"民宿"供游客住宿及餐饮，AMNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼

塘周围筑起护栏.已知|AC|=40m,忸C|=406m,ACLBC,ZMCN=30°-

⑴若|AM|=20m,求护栏的长度的周长）；

（2）若鱼塘AMNC的面积是"民宿的面积的石倍，求AM的长；

⑶鱼塘AAWC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.

4.（23-24高二上•江西景德镇•期中）在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别

为a,b,c,且sinA（4cos2A-cos2A）=cosA卜inZA-gj+V5.

（1）求A的大小；

（2）若6=1,求AABC面积的取值范围.

5.（2024高三上•全国•专题练习）AABC中，3=60。,42=2,入42<7的面积为2道.

（1）求AC

（2）若。为3C的中点，E,F分别为边48,AC上的点（不包括端点）,且NEZ）P=120。,

求AD防面积的最小值.

备战2025年高考数学压轴题训练（新高考版）

专题17解三角形（解答题压轴）

目录

一、三角形中线问题.......................................1

二、三角形角平分线问题...................................3

三、三角形周长（边长）（定值）...........................5

四、三角形周长（边长）（最值，范围问题）.................8

五、三角形面积（定值）..................................10

六、三角形面积（最值，范围问题）........................12

一、三角形中线问题

1.（23-24高三上•广东中山•阶段练习）已知。为△48C的外心，|阮|=6,前•就=4,当

NC最大时，4B边上的中线长为.

【答案】V15

【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到a?-02=8,再利用余弦定理与基本不等式求

得NC最大时b的值，从而得解.

【详解】取力C中点。，连接。D、BD,贝。D014C,

则前■AC=（BD+网.尼=丽•尼=■阮+瓦?）•（阮-BA）=4,

所以品2_源2=8,即a2-c2=8,又|阮|=6,所以a=6,c=2夕,

b2+8、2Vb2x8V2

则cosC=--->------=—

2ab12b—12b3

当且仅当炉=8,即b=2注时取等号，此时角C最大，

同时a?=b2+c2,所以4=90°,

所以AB边上中线长为CE=y/AE2+AC2=V7T8=V15.

故答案为：V15.

【点睛】关键点睛:本题解决的关键是利用面向量的运算转化前.AC，得到由22=8,

从而得解.

2.(23-24高一•全国•课后作业)已知向量2=(—E,sin&),另=(l,cosA)，之〃3，且A

为AABC的内角.

(1)求角A的大小;

(2)若44BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,a=14,b=10,求边BC上的中线

AD的长.

【答案】(1)4=拳(2)AD=V19

【解析】(1)根据向量共线坐标所满足的关系可得-禽cos4=sinA,从而求得tana=-V3,

结合三角形内角的范围，可以确定2=?；

(2)根据4=?,可以求得sma=渔，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得

sMB="U=也，进而求得cosB=V，利用三角形内角和以及余弦差角公式，求得

a1414

cosC=g,利用余弦定理求得c=6,之后应用余弦定理求得4。=旧，得到结果.

【详解】(1)因为五〃3，所以—旧cos4=sin4,所以tan4=—b.

因为。＜AV",所以4=学.

(2)因为4=所以siziZ=在.又a=14,b=10,

32

所以在4aBe中，由正弦定理，可得s出B—竺出=义4=逋，所以8$2=用病万=匚,

a141414

所以在中，cosC=cos(ji-A—B)=cos^-B)=cosmosB+sin^sinB=^.

在ZL4BC中，由余弦定理，PTWC2=b2+a2-2bacosC=100+196-2x14x10x—=

36,所以c=6.

在dABD中，由余弦定理,得=AB2+BD2-2ABxxcos8=36+49-2x6x7x

—=19.

14

所以AD=V19.

【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件,

正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，属于较难题目.

3.(2024高三•全国・专题练习)记AaBC的内角A,8,C的对边分别为a,6,c,已知acosC+

V3asinC—b—c=0-

（1）若△ABC的面积为且，求a的最小值；

4

⑵若a=g,BC边上的中线长为右且△ABC的外接圆半径为名，求△ABC的周长.

【答案】（1）1

（2）3+733.

【分析】（］）由acosC+y/SasinC—b—c=0和△ZBC的面积为,可得/=gbc=l

A3f

后由余弦定理结合基本不等式可得答案;

（2）由△力BC的外接圆半径为G，结合正弦定理可得a=3.由BC的中点为E,

可得c2+b2+bc=25,后由余弦定理可得答案.

【详解】(1)acosC+V3asinC—b—c=0=>abcosC+y/3absinC=b2+be

^2Ii,2_「2qo

^-^-+^=b2+bc^b^+c2-a^+2bc=3^bc(cosA+l)=-,

AA

sinA2sin—cos-AV3

又沙s仇4空,则22tan-=，

cosA+12cos2^23

又4e(0,it),则4=~-ShABC=|besinA=手=>6c=1,

又皿4=三=|,所以>2+。2_。2=1,

则1-b2+c2-a2>2bc-a2=2—a2,解得a>1,当且仅当6=c=l时取等号，故。的

最小值为1：

（2）由正弦定理得a=2百5讥4=3,

设5C的中点为区则荏=）诟+而），两边平方得|码2=1（廊/+|回2+2］明.

|i4C|•cos/）,

即（I）=^（c2+b2+be）=>c2+b2+be=25①

由余弦定理得a?=b2+c2—2bccosA=b2+c2-be=9②，

①一②得be=8,又a?=（6+c）2-3bc=9,解得b+c=

故△ABC的周长为a+6+c=3+庖.

4.（2024・四川）在△力BC中，角A氏C所对的边分别为a,瓦c,且满足cost：建一端

（1）求角B;

（2）若AABC外接圆的半径为百，且4C边上的中线长为合，求AABC的面积

【答案】（1）|；（2）6

【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式即可得解；

（2）由正弦定理得b=3,利用D为中点，结合向量的加法法则得2丽=瓦？+而，从而

得到17=c2+a?+ac,再结合余弦定理得ac=4,进而求得三角形面积.

【详解】（］）由cosC=£-枭得2》005。=2。一（:.

利用正弦定理得：2sinBcosC=2sinA—sinC,

即2s讥8cosC=2sin^B+C）—sinC,化简得sinC=2sinCeos_B.

CG（0,TT）,・••sinCW0,：•cosB=

（2）由正弦定理得上=2Wnb=3.

sinB

设。为4c边上的中点，贝"。==BQ=包，

22

利用向量加法法则得：2而=BA+'BC

两边平方得：4BD2=~BA2+~BC2+2BA-BC，即17=c?+a?+ac

由余弦定理炉=c2+a2—2accosB,即9=c2+a2—ac,

两式相减得8=lac,即ac=4.

由三角形面积公式得：SAABC~|ACSINB=V3.

【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦

定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角"或"角化边"，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边"；

（2）若式子含有a,瓦c的齐次式，优先考虑正弦定理，"边化角"；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，"角化边"；

（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到2+B+C=7T.

二、三角形角平分线问题

L（23-24高一下•上海•阶段练习）在△力BC中，AC=2,BC=6,^ACB=60。.点。为△ABC

所在平面上一点，满足瓦=zn市+n而（小、neR且m+nK1）.

⑴若m=n=-l,用刀，而表示反；

（2）若点。为△ABC的外心，求m、n的值；

⑶若点。在乙4cB的角平分线上，当一三nW-］时，求|园的取值范围.

【答案］⑴而=

（2）m=I，n=-|；

⑶件冏

【分析】（1）方=山瓦？+n砺可化简方=m（沆+8?）+n（沉+而），化简后可用表示

CA，丽表示反，代入巾=71=—1即可；

.(2)由点。为△ABC的外心，可得沆瓦=一[方2,方荏=一:而2,利用这两个关系式可

求ZH、？1的值；

(3)设CD为N4CB的平分线，则黑=黑=：=[,利用平面向量基本定理和共线向量定理

可得：CO=A(1G4+iCB),再根据平面向量基本定理可得71=/,求出4的范围后利用数

444A.-4

量积可得|而|=苧3从而可得I历I的取值范围.

【详解】(1)因为玩=m就+几而，所以击=++n(而+荏)，

化简后可得(1—m—n)OC=mCA+nCB，所以。C=1_；：_“S+CB,

若m=ri=—1,则OC=—(C4—1C8.

(2)如图，设C4cB的中点分别为E,F,连接OE,。尸，

贝UOE14C,OF1BC,

又方刀=刀（屈+前）=方前=一：刀2,同理方方=一|方2,

又瓦.Nm•（」」潟+荏）=襦2+」一德.荏,

\l-m-n1-m-n/1-m-n1-m-n

1.4m,6n口丁中1、,6m,36n

即Rn一一X4=-----+------,同理--X36=-----+------,

21-m-n1-m-n21-m-n1-m-n

3

m=-

7

5；

n=——

7

（3）如图，CD为乙4cB的平分线，则黑=黑=|=9，

|Co|\tSLf|o5

所以丽=-CA+-CB,

44

故4阳+工函=^—CA+」一族,

44m+n-1m+n-1

’m—32.

因为方，荏不共线，故书1一彳，所以71=七,

------=-X

\m+n-l4

因为一所以-JW/4W故？W4W|.

2424A-4423

又加2=A2(^CA2+^CB2+1C1CB)=孑旃

所以同=第4,所以苧4画W遮.

故园的取值范围为呼，句.

【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几

何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题.

2.(23-24高一上,湖北咸宁•自主招生)如图所示，在△ABC中，点。在BC边上，点E在

线段4D上.

(1)若乙BED=Z.BAC=2乙CED=a.

①如图1,若a=90。，AB=AC,过C作C/LAD于点F,直接写出差的值为」

Cr

AP

②如图2,若BD=3CD,求——的值.

BE

(2)如图3,已知AD为△28C的角平分线，4E=DE=2,AC=5,tanBED=2,直接写

出线段的的长度.

【答案】⑴2；叵二；

6

(2)EB=4V5

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定计算即可；构造平行，根据

相似三角形的判定与性质计算即可；

(2)构造平行线利用等腰三角形的判定与性质结合已知推出4G,根据勾股定理计算FG、CG，

再由平行线分线段成比例即可即可.

【详解】(1)①若a=90°,AB=AC,则/BED=90。,4CED=45°,

因为CFLAD,所以4ABE=90°—NBAE==NZFC,

所以△B4EWA4CF,即BE=4F,4E=CF,

易知△EFC为等腰直角三角形，则CF=EF=4E=今=2；

②如图所示，过C作CF〃BE交4。于尸点，取G点满足CF=CG,

根据题意有NABE=/.CAE,ZF=乙BED=a=4CGF,4GEC=乙GCE,

所以N4EB=NAGC,

则AAEB〜△CG4所以也="，

AEBE

又C77/BE,所以有ADEB〜ADFC,即些=处=3今BE=3CF=3CG,

CFDC

设CF=x,AE=y,则BE=3x,CG=x=EG,

7

故？="x+y=%y+y?-3x2=o=>(?)+(7)—3=0,解方程得力芍空

>0,所以'=①二

X2

故e=zV13-1

BE3x6

如图过C作CF〃4D交BA延长线于凡延长BE交FC于G,连接AG,

贝UNBAD=ZF,ACAD=AACF,

又4。平分NB4C,贝UNBAD=ACAD=^ACF=zF,

所以4F=4C=5,

又ZE=ED,所以CG=FG,所以4G_LCF,

因为tcm/BED=2,AE=DE=2,

所以tcmz.AEG——=2=>AG=4,

AE

GF=y/AF2-AG2=3,GE=yjAE2+AG2=24,

因为DE〃CG,所以需=*=藁枭=|今隗=4倔

【点睛】思路点睛：解三角形线段比值问题，通常需要构造相似三角形来转化线段关系，本

题第一问第二小问通过构造平行线借助"X"型相似及构造倍角关系求线段比值；第二问通过

构造平行线借助平行线分线段成比例及勾股定理计算线段长度.

3.(23-24高一下•河南周口•期末)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

QacosB+bcosA_V3(a2+d2-c2)

2absinC

⑴求c；

⑵若AABC的三条角平分线相交于点。，AB=7,0AB的面积为此，求OC.

4

【答案】（l）c=g

⑵。C

7

【分析】（1）由正余弦定理及两角和的正弦公式化简可得tanC=石，据此求解;

（2）由三角形面积公式及余弦定理求出A。,8。，再由定理及正弦定理求解即可.

【详解】（1）由止I=cosc及空竺生空吆_V3(a2+Z?2-c2)

—,

2ab2absinC

-^acosB+bcosA_y[3cosC

sinC

又由正弦定理，有三inAcosB+sinBcosA6cosc

sinCsinC

有四竺曳=巫匹，有亚£=生竺£,有tanC=6,

sinCsinCsinCsinC

TT

又由。6（0,兀），可得C=§；

,7T.

(2)由C=§,有N048+NOB4押+B)=知-C)=X-,

可得ZJ10B=7T—^=等，

在A0A8中，由AOAB的面积为生巨，有工40X。8xS出名=至3

4234

可得4。xOB15,

又由余弦定理及AB=7,有4。2+/。乂8。+8。2=49,

有(4。+BO)2-AOxBO=49,

代入4。*08=15,有40+30=8,

联立｛黑:北二△解得｛需‘慧或I4B。=53,

1/1LX/XL/£）一L

由对称性不妨设｛需二I

在AOAB中，有cos"AB=P5V3

~~9可得si?i404B=------,

14-14

又由OA为角A的角平分线，有s比乙0ZC=2,

14

rxAnr3OC

在AOAC中，由正弦定理有启，有短混=初,

sinZ.ACOsinZ.CAO'"匕―

可得。C=竽'

4.（23-24高一下•安徽芜湖•期中）已知△ABC的内角4民C的对边为a,b,c,且%占n曳=

sinc

3c-2b

a+b'

⑴求sin"；

(2)若△ABC的面积为:鱼；

(i)已知E为8c的中点，求△ABC底边BC上中线4E长的最小值;

(ii)求内角4的角平分线4。长的最大值.

【答案】⑴延

3

(2)(i)辿(ii)近

33

【分析】(1)由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出c°s4进而求出

sinZ的值即可；

(2)由三角形的面积公式|忆也4=?鱼，可得尻=4,对向量荏=式屈+左)表达式两

边平方，应用基本不等式即可求得4E长的最小值；

(3)由于S-DB+S&4DC=S&ABC，可得|(C+6)=2/)Ccos—,由COSA=三求出COS5的值,

应用基本不等式即可求出角平分线长的最大值.

【详解】(1)由正弦定理，得%E2=y,即02+炉一=；%,

ca+b3

故力=立匕贮=丸='因为4>0,所以4“0词)，

COS^2bc2bc3C0SV2)

2

所以4nz=V1-rnq^4=11—~；

sinCOS«93

(2)(i)由(1)知友门人二言，且△ABC的面积为(鱼，

由三角形的面积公式得：|facsin/l=iV2,解得be=4,

由于E为BC的中点，则族=((荏+前)，两边平方可得：

111/2\

2222222

AE=-(AB+AC+2AB-XC)=-(c+b+2/>cC0SX)^-^c+b+-bcj

由基本不等式可得：

］卜2+炉+|儿)>［白*+|儿)=：*|bc=|(当且仅当b=c时，等号取得到)，

所以同22号国2蜉，故4E长的最小值为蜉

(ii)因为2。为角4的角平分线，所以sin/BAD=sinzC4Z)=|x,

由于S—DB+^LADC—^^ABC9

—9

所以一2|Cqsjnin—2।—2I"。1bqsinin-2=一2尻＜;s治in4=sin2rcnoqs~2

由于所以|4D|(c+b)=2bCcosS

由于res"=2「门《2--1=工02-=-=＞「八-=—,

COSCOS23COS23COS23

又be=4,所以|AD|(c+b)=2hccos|=2x4xy=

由于b+cN2岳=4(当且仅当b=c时，等号取得到)，

故蜉=\AD\Qc+&)>2y[bc\AD\=4\AD\,

故不，即角平分线力。长的最大值为竽.

5.(23-24高一下,重庆・期末)在AABC中，内角A,8,C所对的边分别为a,6,c,且

SITI2A-sinAsinB.

--c-os2；-B---c-os；-zC=1-

⑴求c；

⑵若c=遮，a+6=V6,求边AB上的角平分线CD长；

⑶若AABC为锐角三角形，点F为A4BC的垂心，CF=6,求回七丝的取值范围.

BF

【答案】喉

⑶&1)

【分析】(1)先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；

(2)利用余弦定理求出防，再由等面积法计算可得；

(3)延长AF交BC于M,延长交4c于E,设NBCF=0,6£(0,^),分别求出AF、BF,

再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解.

【详解】(1)因为吟B暧=1，C。S2B=1-s/B’cos2c=

COSCOSJ

所以si/"-sin'sinB=sin2c—sin2^,

由正弦定理得小-ah=C2-/J2,

则加。=当『二，

COS2ab2

TT

因为Ce(0,7r),所以C=1；

(2)因为c=V3,a+b=V6,c2=a2+b2-ab=(a+b)2—3ab,

即(g)2=(V6)2-3ab，解得ab=1，

设边AB上的角平分线CD长为x,

则SAABC—|o-bsinC=|(a+b'jxsin^,即absing=(a+b)xsin^,

即日=生，解得”=争即边,上的角平分线⑺长为争

A

A

B'C

（3）延长AF交BC于M,延长8尸交4C于E,

设ZBCF=8,ee(o,1),所以N4CF=g一凡

在Rt△CMF中MF=CFsin0—6sin9,

在ACEB中NECB=巴，乙BEC=三,所以NEBC=%

326

在RMBMF中BF=熬=12s讥。，同理可得AF=2EF=12^(--d],

1\Lb'"6olll\3J

所以“。尸一”"6-73-12stn(-0)y/3-2(jsin^cos6-cos^sin0^

BF~12sind_2sinO

V3—V3cos3+sin0

2sin9

向1-cosO)12A*17301

=-----------------1—=---------------TTH—=—tan—I—,

(2.00

2sin9A4sin—cos—2222

22

因为ee(o,g,所以打(o.],所以£加*(0片)，所以*cm*江体1),

即筹"的取值范围为(fl).

【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略:

（1）利用正弦定理实现“边化角"；

（2）利用余弦定理实现“角化边”.

求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类:

（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解;

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

三、三角形周长（边长）（定值）

1.（23-24高一下•河南漂河•期末）己知三角形ABC的内角A氏C所对的边分别为a”,c,若

sin'c)=匕,且a=2.

sin"+sinCb-c

⑴若8=9求C；

o

⑵点。在边BC上且AD平分N&4C,若4£）=百，求三角形ABC的周长.

【答案】⑴生8

3

（2）6

【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求3,进而可得结果；

（2）利用面积关系可得be=b+c,结合+c2—a2=be列式求解即可.

【详解】（1）由正弦定理可知三=七=三，

sin力sin^sin。

贝1sin（A+C）_sin（兀-B）_sin^_b_a-c

、sin'+sin。sin'+sin。sini4+sinca+cb~c

可得b（b—c）=（a+c）（a—c）,整理可得接+c2—a2=be.

由余弦定理知cc/=点+cjz=

COS2bc2

且46（0,兀），可得4=壬

rTCr—TLTLIT

由B=、知C=7i----=~,

o3oz

可知△ABC为直角三角形，所以©=q=空.

sinA3

（2）点。在边BC上且4。平分NB4C,可知S—Bc=SAABO+SMCD，

111

^\-AB-AC-A=-AB-AD-z5XZ）+-AC-AD-^/-CAD,

2sincin2sincin2sinn

即|儿5也6。°=jc-V3sin30°+^b-V3sin30°,可得be=b+c.①

又因为Z>2+c2—a2=be,即庐+c2—4=be,可得（b+c）2=4+3bc.②

①代入②得到（b+c）2—3（b+c）—4=0,解得b+c=4或b+c=-l（舍去），

所以△4BC的周长为Q+b+c=2+4=6.

2.（23-24高一下•福建南平・期末）已知△ABC的三个内角A,B,。所对应的边分别为

b,c,且acosB+V5asinB—c—b=0.

⑴求A；

⑵若a=g，且△ABC的面积为它（4。2+02）,求△ABC的周长.

16

【答案】（1）4=g

（2）3+73

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角公式即可求解；

（2）根据三角形的面积公式可得4b2-4bc+c2=0,再结合余弦定理即可求解.

【详解】（1）由正弦定理可得sinAcosB+百s讥As讥B—siziC—sinB=0,

所以sinAcosB+V3sinAsinB—（sinAcosB+cosAsinB）—sinB=0，

即sinB（V3sinA—cosA-1）=0,

因为0<B<7T,所以sinB70,

所以次sinA—cosA—1=0,化简得2sin（4—2）=1,即5出（4-?）=5

又由0<力<兀，可得一巴<4一二<三兀，

666

故='所以2=宗

(2)由已知可得，S=-besinA=—bc=—(4fo2+c2)，

可得4力2—4bc+c2=0,化简得，(2b—c)2=0,即2b=c,

又由余弦定理可得M=(V3)2=&2+c2-2bccos\化简得，b2c2—be=3,

联立解得b=l,c=2,

所以△2BC的周长为3+6

3.（23-24高二下•四川凉山•期末）在A