2025年高考数学热点题型突破：解三角形十类题型汇编

*者率*急JUL型突破.,第三鲁彬十昊烈型汇£

近4年考情(2021-2024)

考题统计考点分析考点吴求

2024年/卷第15题，13分

2024年〃卷第15题，13分

高考对本节的考查不会有大的变（1）正弦定理、余弦定理及其变形

2024年甲卷第11题，5分化，仍将以考查正余弦定理的基本

（2）三角形的面积公式并能应用

2023年I卷〃卷第17题，10分使用、面积公式的应用为主.从近

五年的全国卷的考查情况来看，本

2023年甲卷第16题，5分（3）实际应用

节是高考的热点，主要以考查正余

2023年乙卷第18题，12分弦定理的应用和面积公式为主.（4）三角恒等变换

2022年/卷〃卷第18题，12分

2021年/卷〃卷第20题，12分

题型一拆角与姿角................................................................2

类型一出现了3个角（拆角）..............................................................2

类型二凑角..............................................................................3

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角.................................................5

类型四通过诱导公式统一函数名........................................................6

题型二利用余裁定理化简等式......................................................7

类型一出现了角或边的平方.............................................................7

类型二出现角的余弦（正弦走不通）.......................................................9

题型三周长与面积相关计算.......................................................11

类型一面积相关计算...................................................................11

类型二周长的相关计算.................................................................13

题型四倍角关系.................................................................16

类型一倍角关系的证明和应用..........................................................16

类型二扩角降幕........................................................................19

类型三图形中二倍角的处理............................................................20

题型五角平分线相关计算.........................................................23

题型六中线相关计算.............................................................27

题型七高线线相关计算...........................................................32

题型八其它中间线...............................................................34

题型九三角劝解的个数问题.......................................................41

题型十解三角形的实际应用.......................................................44

类型一距离问题.......................................................................44

类型二高度问题.......................................................................46

■o（热点题型）O

题型一拆角与凑角

核心•技巧

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边u>a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边

a>b^A>B<=>sinA>sinB=cosA<cosB

a+bb+c_以+c_ab

施=2A

③合分比:si.沈;sin。sinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinB

（2）AABG内角和定理（结合诱导公式）：A+B+。=兀

①sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cosC=cos(?l+8)=cosAcosB—sin^sinB;

③斜三角形中，—tanC=tan(力+B)=-3”人士1ali义gtanyl+tanB+tan(7=tanA-tanB-tanG

1—tanA*tanB

小.(A-\-B\C(A-\-B\.C

⑷sm(---)=cos—;cos(---)=sm—

类型一出现了3个角（拆角）

1.在中黑，求人的值

2./XABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,且b=2csin(A+[■),求C.

3.（湛江一模）在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知卷=2cos管-C）

求4

类型二次角

4.在△4BC中，角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知2QcosZ・cos8+bcos2Z=，5c—6,求角A

5.（2024届•广州•阶段练习）已知△ABC中角A,B,。的对边分别为a,b,c,满足CcosB+々cosC=

aa

3cosc，求sin。的值

6.在△ABC中，角45。所对的边分别为a,c,且以+意a3a

cosAcosBcosC

tanBtanC.

•••

7.=csin>l,求角。的大小.

8.已知△4BC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,且，^bcos，,巨=csin_B,求。

9.在△4BC中，内角Z,B,。所对边的长分别为Q,b,c,且满足bcos。=asin_B,求4

类型三拆角后再用球助角公式合并求角

10.（深圳一模）记△4BC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知b+c=2asin（c+今），求4

11.在△48。中，V3sinC+cosC=sin8+：in。，求在

sin力

•••

12.锐角△4BC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知QCOsC+，^csinA=b+c,求4

13.已知Q,6“分别为44及7三个内角48,。的对边，且acosC+，^asinC=b+c,求角A的大小;

类型四通过诱导公式端一函数名

14.在△48。中，内角所对的边分别为a,b,c.已知asinB=bcos（A—*），求A的值

15.已知△ABC中，角A,B,。所对边分别为Q,b,c,若满足a(sin2A—cosBcosC)+bsinAsinC=0,求

角人的大小.

16.在△ABC中，内角4,旦。所对的边分别为a,b,c.已知asinB=bcos（_A—专），bcosC=ccosB,求＞1的

值.

•••

题型二利用余弦定理化简等式

核心技巧

余弦定理

a2^b2+c2-2bccosA;

公式b2=c2+a2—2accosB;

c2^a2+b2-2abcosC.

b2+c2-a2

cosAA=C7;

2bc

ac2+a2—b2

常见变形cosB=八;

2ac

cosC=C.

2ab

类型一出现了角或边的平方

17.已知△4BC内角人,8,。所对的边长分别为Q,b,c,2，^Q2cos8+b2=2abcosC+a2+c?,求_B.

18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在△ABC中，内角所对的边分别为a,b,c,若6=看，〃

O

=~|~ac,贝1JsinA+sinC=()

A2闻nV39「an3VU

A-is-B-©fD-13-

19.记△4BC的内角。的对边分别为a,b,c,已知＜?=3〃+c?,贝ij扭空=

tanC------

20.(2023年北京高考数学真题)在4ABe中，(Q+c)(sinA-sin。)=6(sinA-sinB)，则/。=()

21.在AABC中，角人,8,。的对边分别为a,b,c,已知c=2函2asinCcos_B=asirM—bsinB+^-bsinC,

求b;

MS

22.（2024届.湖南四大名校团队模拟冲刺卷（一））在△4BC中，内角45。所对的边分别为a,b,c,已知

△ABC的面积为S,

且2S（包呼+弛吗）=3+〃）sin4求C的值

\smBsmG）

23.（2024广东省六校高三第四次联考）已知△ABC的角A,B,。的对边分别为Q,b,c,且

sinA（ccosB+bcosC）—csinB=csinC+bsinB,求角A

24.记A4BC的内角。的对边分别为a,b,c.已知〃—a?=2c2,求应与的值

tanA

类型二出现角的余弦（正救走不通）

25.记△48。的内角A>8、。的对边分别为Q、b、c,已知bcosA—acosB—b—c,求4

•••

26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角ABC的对边，且sin(/—B)=2sinC,证明:a2=〃+2c2.

27.在△4BC中，内角ABC的对边分别为a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C,求sinC.

28.记△ABC的内角4BC的对边分别为a,b,c,B=,且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求证5a=

o

3c

29.已知△AB。的内角A、B、。的对边分别为a、b、c,sin(A—B)tanC=sinCsinB,求"方0

b2

30.△ABC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c.已知(b—c)sinB=bsin(A—C),求角A.

•••

题型三周长与面积相关计算

核心技巧

设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式

对于完全平方公式：（Q+b）2=Q2+〃+2ab，其中两边之和a+b对应周长，两边平方和02+〃在余弦定理中，

两边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现

类型一丽相关计算

31.已知△ABC中角A,。的对边分别为a,b,c,sinC=飞工，a=b+四，c=，求△ABC的面

o

积.

32.（2024新高考一卷•真题）记AABC的内角A、8、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V2cosB,a2+62

—c2=V2ab

⑴求B；（2）若△ABC的面积为3+3，求c.

33.记△ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,8=与，且5a=3c,若△ABC的面积为15《，求c

O

•••

34.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=《，△4BC的面积为之9，b=2,求a.

62

35.记△48。的内角4,8,。的对边分别为a,b,c,已知B=2A,当a=4,b=6时，求△ABC的面积S.

36.（2024届•广东省六校第二次联考）已知△ABC中角4B,。的对边分别为a,b,c,sinC=与工，a=b

o

+2,c=3,，求△ABC的面积.

37.记△ABC的内角4,8,。的对边分别为a,b,c,已知B=2A,当a=4,b=6时，求△ABC的面积S.

类型二周长的相关计算

38.已知在△48。中，角A,氏C的对边分别是（1力,0,且人=。,若8=告，/XABC的面积为4,求4ABC的

6

周长.

•••

39.在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+36sinC.

(1)求角A的大小；(2)若a=&T,且AABC的面积为V3,求△ABC的周长.

40.(2024•新高考二卷•真题)记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+，ScosA=2.

⑴求4(2)若a=2,V2&sinC=csin28,求△ABC的周长.

41二48。的角48。的对边分别为£1也0,存・前=—1,人4口。的面积为2,若口=22,求448。的

周长.

42.在AABC中，已知就•前=4,a=5,ABAC=60°，则ZVIBC周长为.

43.在△ABC中，ABC所对的边为a,b,c,A=y,a=2,B=,,求△ABC的周长.

44.在△ABC中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC.

(1)求角A的大小；(2)若a=«,且AABC的面积为瓜,求AABC的周长.

题型四倍角关系

核心•技巧

1、二倍角公式：sin2Z=2sin_Acos>l,cos2A=2cos2A—1=1—2sin2A=cos2A—sin2A

cad4*2c1+cosC•2c1—cosC

2、扩角降搴：cos2--=-----------sm2--=---------------

忘记了可以用二倍角公式推导:记亏=t,则cosC=cos2f=2cos2力—1=1—2sin2t

222

故cos2t=2cos2右一1=cost=1+半s2',COs2t=1—2sintnsin1=--黑s"

3、倍角关系证明的方法技巧

解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个角的大

小，来求解其两倍南的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。

4、图册中出行二倍角条件时可以考虑构造等联三角移

类型一倍角关系的证啕和应用

45.（黄冈中学•三模）在锐角△ABC中，内角A,所对的边分别为a,b,c,满足迪*-1=

smC

si./—sidC,且一wc,求证：6=2C.

sin2B

46.在△ABC中，角46、。的对边分别为a、b、c,若人=28,求证：a2-b2=bc；

MS

47.（2024.吉林长春模拟预测）ZVIBC的内角4B、。所对的边分别为a.b,c,a=V3,b=l,A=2B,则c

=（）

A.2B.V3C.V2D.1

48.（2024.全国•模拟预测）在4ABe中，角48,C的对边分别为a,b,c（a,dc互不相等），且满足bcosC

=（2b—c）cos_B,求证：A=2B；

49.在△ABC中，内角A,。所对的边分别为a,b,c,且b=4.若A=28,且△4BC的边长均为正整

数，求a.

50.（2024.全国.模拟预测）在△48。中，角48,C的对边分别为a,b,c（a,b,c互不相等），且满足bcosC

=（2b—c）cosB.

（1）求证：A=2B；

（2）若c=求cos_B.

51.已知a,b,c分别是△ABC的角ABC的对边，bsinB—asinA=sinC（2bcos2B—c）.

（1）求证：A=2B；

（2）求二的取值范围.

a

••

类型二扩角降第

52.（2023•重庆八中二模）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos2-^-+ccos2j1-=-|-6,

证明：sinA+sinC=2sinB

53.在AABC中，内角4B,。所对的边分别a,b,c,且(acos?等+ccos21)(a+c—6)=~|~ac,求角B的

大小；

类型三图形中二倍角的处理

54.(广东省六校2024届第一次联考)在△ABC中，AB=4,。为4B中点，CD=V7,ZBAC=2ZACD,

求人。的长.

55.(2024届•江苏扬州•高三统考)在△4BC中，AC=代48,且8c边上的中线4D长为1.

(1)若BC=248,求△ABC的面积；(2)若AABC=2/DAC,求BC的长.

MS

题型五角平分线相关计算

核心•技巧

△ABC中，AD平分ABAC.

策略一：角平分线定理：黑=岩

证法1（等面积法）变=露*=修*，得端=知

SACDCD'AC'h2ACCD

注：均为A到6。的距离，坛为。到AB,AC的距离.

证法2（正弦定理）

ACCD

如图，而sinZl=sinZ2,sinZ3=sinZ4

sinZ4sinZ2

整理得4S-=BD

,AOCD

第喀二:利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理

11A1A

SLABC=SLABD+SLADC=>—xABxACxsinA=--xABxADxsin--+--xABxADxsin--,

JU喀三：角互补:

/ABD+AADC=兀=>cosZ.ABD+cosZADC=0,

在AABD中，cosZ.ABD—

2DAXDB

加+1X72—402

在XADC中，cos/ADC=

2DAXDC•••

56.（2024•辽宁丹东•二模）在△ABC中，点。在边上，AD平分NR4C,NR4C=120°,AB=273,

人。=当1,则人。=（）

O

A.2B.V3C.3D.2V3

57.已知△ABC中，角4B。所对的边分别为a,b,c,a2=3b2+c?,且sinC=2sinB.

（1）求角人的大小；

（2）若b+c=6,点。在边BC上，且AD平分NA4C,求49的长度.

58.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题T16角平分线相关计算）在△ABC中，NA4C=60°,4B=2,BC

=V6,NBAC的角平分线交于。，则AD=.

59.（2024.厦门第四次质检）记△4BC的内角45。的对边分别为a,b,c,已知8=冬，若6=",c=

2a,。是人。上一点，8。为角3的平分线，求

60.已知△48。的角4B,。的对边分别为a,b,c,且人=|■兀，若4D平分NR4C交线段BC于点。，且

O

AD=1,3。=2CD,求△4BC的周长.

61.在△4BC中，内角48,。的对边分别为a,b,c,a=32，人=看，作角A的平分线与交于点

O

且AD=V3，求b+c.

62.（2024届.云南省昆明市五华区高三上期中）△ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,AO平分乙BAC

且交BC于点D.已知AD=1,AACD的面积为1,若CD=2BD,求tan/BAC.

题型六中线相关计算

核心•技巧

如图，△ABC中，AD为5。的中线，已知AB,AC,及乙4,求中线AD长.

巢喀一：如图，倍长中线构造全等，再用余弦定理即可

第喀二:向量法，AD=y（AB+AG）,等式两边再进行平方

第喀三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cosZADB+cosAADC=0

补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“感=/!”也适用，此时需要倍长等分线构造相似

MS

63.在△ABC中，内角A,。所对边的长分别为a,b,c,且满足A=等，a=，/，屈•芯=3,4D是

O

△ABC的中线，求4D的长.

64.（2023年新课标全国II卷真题：已知中线长）记△4BC的内角ABC的对边分别为a,b,c,已知△48。

的面积为g，。为中点，且40=1.

⑴若Z.ADC=与，求tanB；

O

（2）若〃+/=8,求b,c.

65.（2024•安徽滁州•三模）在△ABC中，角AB。的对边分别为a,b,c,2bcos。—c=2a.

（1）求口的大小；（2）若a=3,且AC边上的中线长为手，求△ABC的面积.

66.在△4BC中，内角4,旦。的对边分别为a,b,c,sinC=,2sinA=3sin2C,

若丛ABC的面积为吗，求A8边上的中线CD的长.

67.在△4BC中，角C的对边分别为a,b,c,已知A=等，〃—+c?+3c=0,△ABC的面积为

o

气3,求边的中线AD的长.

68.ZVLBC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,a=2,。为AB的中点，且CD=

⑴证明：c=（2）若乙4cB=£,求△ABC的面积.

69.记△48。的内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知B=当，若c=3a,。为AC中点，BD=63,求

o

△4BC的周长.

70.ZV18C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=冬，c=2,。为AC的中点，口。=，万。,求

O4

的面积.

题型七高线线相关计算

核心•技巧

策略一：等面积法：人。•BC=AB♦人。•sinZBAC

策略二：AD=AB-sinZABD=AC-sinZACD

策略三：a=c-COSB+b-COSC

71.(2024•山东青岛•三模)设三角形ABC的内角/、5、。的对边分别为a、b、c5.sin(B+C)=

2A/3sin2-^-.

(1)求角A的大小；

(2)若b=3,BC边上的高为亨L,求三角形ABC的周长.

72.已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,a=6,5sin2A=4V5sinB.

(1)若b=l,证明：C=A+^-；

(2)若BC边上的高为甲，求△ABC的周长.

O

•••

a2+c2-62

73.已知△ABC的内角4B,。的对边分别为a,b,c,且c—=-b.

2c

⑴求A;

⑵若b=/c,且BC边上的高为2通,求a.

题型八其它中间线

74.如图，在△ABC中，角的对边分别为a,b,c.已知人=看.若。为线段延长线上一点，且

O

ZCAD=年,80=3CD,求tan/ACB.

75.（2021新高考一卷T20：三等分线相关计算）记△4BC是内角48,C的对边分别为a,b,c.已知〃=

QC,点。在边AC上，BDsmZ-ABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cos/ABC.

•••

76.如图，在△48。中，若48=47,。为边上一点，B0=2OC,4D=2,‘由乙上=存则8。=

smZAG5D

77.（2024•安徽芜湖•三模）已知a,b,c分别为△ABC三个内角ABC的对边，且bcosA+V3bsinA=a+c

⑴求B；

⑵若b=2,△ABC的面积为四，。为AC边上一点，满足CD=2AD,求RD的长.

78.记△4BC的内角/、8、C的对边分别为a、b、c,已知A=谭•，点。在边上，且CD=2BD,cosB=

o

,求tanZBAZ）.

o

79.已知△48。的三内角A,B,C所对边分别是a,b,c,且满足a=b,若点。是边/C上一点，说=

《於+!■说,c=，正，闻|=2四,求边a的大小.

OO

•••

80.已知△48。的内角48,。对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积为sinA=3sinB,点。在边上,

若DC-DA=-^-BC,求cosA.

o

81.如图，在△ABC中，若AB=AC,。为边BC上一点，BD=2OC,AD=2,现0架则BC=

smZACD

82.已知a,b,c分别为△ABC三个内角ABC的对边，且&2=〃+2。2,若人=与，a=3,玩=3屈，求

O

AM的长度.

83.在△4BC中，内角48,。所对的边分别为a,b,c.已知4=看，若点。为边8。上的一个点，且满足

O

cosZBAD=3，求4ABD与&ACD的面积之比.

5

•••

题型九三角形解的个数问题

核心•技巧

三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形

具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

解三角好多解情况

在△ABC中,已知a,b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

4ck

『A

图形

AB\--BA'--……'BAB

AB

关系式a=6sinA6sinA<a<6Q'ba>ba&b

解的个数一解两解一解一解无解

84.在AABC中，c=2,acosC=csinA,若当a=g时的ZL4BC有两解，则x0的取值范围是.

85.设在△ABC中，角48、。所对的边分别为a,b,c,若满足&=心力=如8=等的448。不唯一,则

成的取值范围为()

A.B.(O,V3)C.D.(y,1)

86.若满足4ABe=看，AC=3,BC=巾的A4BC恰有一解，则实数小的取值范围是

O

87.AABC中，已知AABC=^,AC=3,BC=m(m>0).

o

(1)若△ABC恰有一解,则实数m的取值范围是；

(2)若△ABC有两解，则实数小的取值范围是；

(3)若△ABC无解,则实数m的取值范围是；

88.在△48。中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若b=10,/=《，且△4BC有唯一解，则a的取值范

6

围是.

89.在△ABC中，已知AB=x,BC=2V2,。=卞，若存在两个这样的三角形ABC,则力的取值范围是

-2.

90.已知AABC的内角A>B、。所对的边分别是a,b,c,A=60°,若a=V3,fe=m（m>0）,当AABC有且

只有一解时,求实数m的范围及A4BC面积S的最大值.

题型十解三角形的实际应用

核心•技巧

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图

①）.

视线

水

平

塞阿得线

图①

⑵方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.北偏西

a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角夕为坡角）.坡度指坡面的铅直高度与水

平长度之比（如图④，i为坡度，i=tanf）.坡度又称为坡比.

类型一m问题

91.一游客在人处望见在正