2025届高三数学一轮复习：分段函数 专项训练【含答案】

2025届高三数学一轮复习-分段函数专项训练

类型一：分段函数求值

1.已知函数=则/[/©）]的值为（）

A.-1B.早C.CD.3

2.已知函数/(久)=[0尸'久*1'若f(―2)=a,则/(a)=()

llog2(x-1),X>1,

A.1B.2C.3D.4

类型二：分段函数给值求自变量

2X-1,x<1,

3.已知/(%)=)G若f(a)=1,则实数a的值为()

亍，久>

乙1.

A.1B.4C.1或4D.2

p-1

4.已知函数/(%)=卜+1''若f(a)=1,则a=________

lln(x+2),x>—1.

类型三：分段函数的值域（最值）

5.已知a>0且a丰1,若函数/（x）=^~宵。）的最大值不超过1,则实数a的取值范围是

（乙ILCzya人f九乙

A（咽B.品]C,[1,1）D.g,l）

6.已知函数y=Kj二?14a，”<1°的值域为R,则实数a的取值范围是（）

A.（-8,1）B.[-3,+8）C.D.[-

类型四：分段不等式

7.已知函数/（久）=，（：二?'""A若对于任意的实数》,不等式/（*-a）<+1）恒成立，则实数a

IL2,XV1

的取值范围为（）

A.B.（-8,一勺C.（一*,+8）D.[-3,+8）

类型五：分段函数的图像

类型六：分段函数的单调性

—%2—dx-5(xv])

{气久>]一是R上的增函数，贝1U的取值范围是.

10.(多选)已知函数TO)=则下列结论正确的是()

(lOgal%iClJ,XNu

A.若a=J,则f(x)是增函数

B.若=2,则方程f(%)=-3的解为%i=log32和%2=-v

Qo

C.若a=%则f(x)的值域为(一2,+8)

D.若/Q)有最大值，则实数a的取值范围是停,1)

类型七：分段函数的奇偶性

11.若函数"%)=产+4x-x^0，为奇函数，则晨a_1)=_.

12.己知函数/(%)=仔2+2：，“<0则函数f(x)是_____函数(填奇偶性)；若/(/⑷)<-)),则

实数a的取值范围为.

类型八：分段函数的周期性

^,x<0,

13.己知函数/(x)=%-1贝行(2024)=()

、f(x-3),x>0,

A

--lB.-2C.D.-1

类型九：分段函数的零点

14.已知函数f(x)={(t1，X~°,关于％的方程f(x)=a(aeR)有3个不同的实数解，贝Ua的取

值范围是()

A.[1,5)B.(0,1)U{5}C.(0,1]D.(0,1)

15.已知函数/(%)=7+1°g产W—%<1.若/(Q)=f(b)(a<b),则ab的最小值为()

2\1<%<2

ACBicCD小

A・2»・2。43

16.已知函数“无)=°，若a<b<c<d,且/(a)=f(b)=f(c)=f(d),则a+b+c+

2d的取值范围是()

A.(3,牛)B.(1,岩)C.(2°,+8)D.(2V22.1x)

eR+i|,%<o

17.已知函数/(%)={4Qc，函数y=/(%)-Q有四个不同零点，从小到大依次为%L%2，%3，%4,

X4----3,%>0

X

则实数a的取值范围为；%1%2+%3%4的取值范围为-

类型十：分段函数的新定义

18.对于函数y=/(%),若存在%o，使/(%0)=-7'(一比)，则称点Oo./Oo))与点(-Xo，/(-Xo))是函数/0)

的一对“隐对称点”.若函数/⑶=产+,2产：2的图像存在“隐对称点”，则实数小的取值范围是

imx+2,%>0

().

A.[2-2/7,0)B.(-oo,2-2/7]C.(-oo,2+2<7]D.(0,2+2d

19.“肝胆两相照，然诺安能忘。"（保左虞燕京惠诗却寄却寄以，明•朱察卿）若4B两点关于点P（l,l）

成中心对称，则称（48）为一对“然诺点”，同时把（4B）和（B,4）视为同一对“然诺点”.已知a6Z,函

数人万）=[（”—<1的图象上有两对“然诺点”,则a等于（）

{ax—2,%>1

A.4B.3C.5D.2

类型十一：分段函数的嵌套问题

%2—2%,%《0

2%八，若关于x的方程「2（久）一a/（x）+a-1=0恰有四个不同的实数根，则实

{R>0

数a的取值范围为（）

A.[1,誓）B.（1手）C.[1亨）D.（1,詈）

21.已知/⑶=出即久>/,则函数y=2f2（乃-3/（%）+1的零点个数是___

12田，%<0

类型十二：分段函数的实际应用

22.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年

产量为然久eN*）件.当x<20时，年销售总收入为33比-/万元；当X>20时，年销售总收入为260万元.

记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.（年利润=年销售总收入-年总投资）

（1）求y（万元）与x（件）的函数关系式；

（2）当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？

类型十三：分段函数的综合应用

23.定义在R上的函数“为满足""—3)=f(x+1),且"X)='(—}'!!]，则下列说法中正

(2—2\x—2\,xG(1,3]

确的是().

A.f(x)的值域为[0,1]

B.图象的对称轴为直线比=4k(kGZ)

C.当尤e(—3,—2)时，/(%)=2x+6

D.方程3/Q)=x恰有5个实数解

24.(多选)德国数学家狄里克雷(1805-1859)在1837年时提出：“如果对于工的每一个值，y总有一个

完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，

使得取值范围内的每一个羽都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表

格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数DQ),即：当自变量%取有理数时，函数值为1,当自变量x取无

理数时，函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加

认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数D(x)的性质表述正确的是()

A.D⑺=。B.DQ)是奇函数

C.D(x)的值域是{0,1}D.D(x+1)=£»(%)

参考答案与解析

类型一：分段函数求值

1.已知函数/(%)=腾;£谓,则/吗］的值为()

A.-1B.早C.<3D.3

【答案】D

解：由已知，f0=1°§22=—1，

所以用(初=f(T)=3.

2.已知函数f(x)=[G)、'久*1'若f(一2)=a,则f(a)=()

Uog2(x-1),%>1,

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

-2

解：因为/(-2)=(1)=9,所以a=9,贝!J/(a)=/(9)=log2(9-1)=log28=3.

类型二：分段函数给值求自变量

2%-1,%V1,

3.已知f(x)=口‘，’若f(a)=1，则实数a的值为()

亍，久>1.

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

解：•・・函数/(%)=]口、，且/(a)=1，

—,x>1

当a<1时，/(a)=2。-1=1,即a—1=0,・•.a=1(舍去)；

当a21时，/(a)=?=l,即=2,・•・a=4,

综上所述，实数a的值为4.

故选B.

4.已知函数/'(久)=<1'若/'(a)=1,则。=_____

Un(%+2),%>—1.

【答案】"2

解：当。<一1时，

f(a)=售=1，解得a无解，

当a>一1时，

/(a)=ln(a+2)=1,

即a=e-2.

类型三：分段函数的值域(最值)

5.已知a>0且"1,若函数/(x)=j"吃二及、的最大值不超过1,则实数a的取值范围是

A(词B.［制C.g,l)D.［i,l)

【答案】C

解：由题意知，函数y=/(x)在(一8,2］上单调递增，且/(2)=2-3a<1,函数/(x)=2+logM在

r2-

3a1

I0<解得

(2,+8)上单调递减且2+log„2W1,则I2-a<1.故选C.

2+10g

<

6.已知函数丫=14a,”<I。的值域为凡则实数口的取值范围是()

A.(一叫1)B.C.D.

【答案】D

解：当%>10时，y=Igx>IglO=1,

又函数y=If1一-a，%<1。的值域为R,贝临:>：

,(Igx,x>10(10(1-a)+14a>1

解得aE[-3,1).

类型四：分段不等式

7.已知函数/O)=1若对于任意的实数久，不等式-a)<f(7+1)恒成立，则实数a

v乙乙,人X

的取值范围为()

3333

A.(-co,--)B.(-OO,--]C.(--,+oo)D.[--,+00)

【答案】D

解:由题设可作〃)=[(：「的图象，如下图所示：

(2"—2,%<1

所以/(%)在R上单调递增，

则由/(%-a)</(x2+1),得％-a<%2+1在R上恒成立,

即％2-x+a+1>0在R上恒成立，

则△=(-1)2—4x(l+a)W0,即a2—"

4

类型五：分段函数的图像

8.函数/(x)=A-2》的图象大致形状是()

解：••・、=晋=［：：:：：0,当x>0时，其图象是指数函数y=2,在y轴右侧的部分，因为2>1,所

以函数在(0,+8)上单调递增，

当x<0时，其图象是函数y=-2，在y轴左侧的部分，因为2>1,所以函数在(-8,0)上单调递减，

比较各选项中的图象知，B符合题意.

故选2.

类型六：分段函数的单调性

—X2—ax—5,(%<1)

9.已知函数/(%)=是R上的增函数，贝布的取值范围是

【答案】［-3,-2］

(-->1

解：由题意可得上；。

I—1—CL—5Wa

解得一3<a<-2.

故答案为［-3,-2］.

io.(多选)已知函数〃久)则下列结论正确的是()

A.若aJ,则f(x)是增函数

B.若a=2,则方程/(%)=-3的解为%i=log2^Dx=一噂

32O

C.若a=?则f。)的值域为(一2,+8)

D.若/⑺有最大值，则实数a的取值范围是停,1)

【答案】AD

【解答】

：

a=[时，八吟='3—<。

解：4选项,log5(X+|),%>o'

因为x<。时，/(%)=3*—4单调递增，

4

%>0时，/(%)=log§(x+m单调递增，且3°-2=一：<logg、=1,

所以/(%)是增函数，故A正确；

E选项，。=2时，用)=富(式工》0,

当％<0时，/(%)=3X-5=-3,解得x=log32>0,舍去;

当X>0时，/(%)=log(x+2)=-3,解得第=一容舍去；故3错误;

2O

(3%—3,%<0

C选项，a=抖，〃%)=久+Q>0,

当久<0时，/(%)=3X—3<—2,

当x》0时，/(x)=log±(久+§》1,

所以函数/(久)的值域为(-8,-2)U[1,+8),故C错误；

D选项，若/(久)有最大值，且X<0时，/(久)=3,-3a+1单调递增,

所以当x》0时，函数/(©单调递减，

所喘黑；I3a+1，解得*一，

即实数a的取值范围是吟,1),故。正确.

故选AD.

类型七：分段函数的奇偶性

11.若函数/(X)=忙2-。'为奇函数，贝u/(a—1)=.

【答案】3

解：设％<0,-%>0,/(%)是奇函数，

•••/(—x)=—X2—ax,/(x)=x2+4%,/(—x)=—/(%),

・••—x2—ax=—x2—4%,

••・a=4,

2

c,/、W=(x+4%,%40,

•••l-^+4x,x>0

/(a-1)=/(3)=—9+12=3.

12.已知函数f(x)=［%2：2：，“<0则函数f(x)是_____函数(填奇偶性)；若f(f(a))<-)),则

I—xz+2x,x>0

实数a的取值范围为.

【答案】奇,•(-8,-3)

解：当*<0时，一乂>0,所以/(—久)=—(―x)2-2久=—(/+2x)=—/(x),

当久>0时，-x<0,所以/'(—%)=(-%)2-2%=—(―x2+2x)=-f(%),且/'(0)=0,

所以函数/O)是奇函数，

又因为函数在(一8,-1),(1,+8)为减函数，在［一1,1］为增函数，/(-3)=3,f(3)=-3

由/(/(a))</(/(—3))可得/(/(a))<〃3),根据函数单调性可得/(a)>3,

所以a<—3o

类型八：分段函数的周期性

丘，<0,

13.已知函数f(X)=Z-1贝厅(2024)=()

j(x-3),x>0,

A.-1B.-2C.-|D.-1

【答案】D

解：依题意得/(2024)=f(2022+2)=f(674x3+2)=f(2)=/(-l),

而1)=-1,故f(2024)=-1.

类型九：分段函数的零点

14.已知函数/(乃={布[]¥；1'"三()’关于X的方程/(乃=矶。6外有3个不同的实数解，则a的取

值范围是()

A.[1,5)B.(0,1)U{5}C.(0,1]D.(0,1)

【答案】B

解：作出函数的图象，如图：

/(%)=-x2^4x+l,x<0的图象与y轴的交点为(0,1),又f(x)=|lnx\,x>0的图象在(0,1)单调递减，

且图象与y轴无限接近，在(1,+8)单调递增.

关于x的方程/(久)=a(aeR)有3个不同的实数解，即函数/(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点，由

图象可知：a的取值范围是(0,1)U{5}.

2+loPix—VxV1

15.已知函数/(无)=2，8~.若/(a)=f(b)(a<b),则ab的最小值为()

I1<x<2

C1C

2B.2-4

【答案】B

解：函数;■(£)的图象如图1所示,

(1)设/(a)=f(b)=k,则k6(2,4].

由2+log1a=k,2b=k,

得a=G)上一2,b=log2/c.

当k=4时，a=b=2,ab=

4L

k-2k-2fc-3

考虑ab-|=(1)xlog2k=(1)(log2fc-2).

由图(2)可知，当ke(2,4］时，

1

-1即>

fc-3ab-2-

log2fc-2>0,所以ab—2NO,

故时最小值为今

故选艮

16.已知函数f(x)=［蔡［°，若a<b<c<d,且/(a)=f(b)=f(c)=f(d),贝|a+b+c+

2d的取值范围是()

A.(3,瑞)B.(1,察)C.(2<X+8)D.(2V22.tx)

【答案】B

不妨设f(a)=f(b)=f(c)=/(d)=k,

则a,b,c,d为/(%)=k的四个不同的实数根，且Zee(0,1),

于是a,b为方程/+2%+k=0的不同实根，

所以a+b=—2,

由l，gc|=\lgd\,知cd=1,且由于0<Igd<1,知1<d<10,

-1

于是c+2d=2d+—f

a

由对勾函数的性质可知y=2d+［的值随d在(1,10)内的增大而增大,

所以c+2dE（3,^^）,

于是a+b+c+2dE

故选反

Q|%+1|,%40

17.已知函数/（%）=14]、八，函数y=/（%）-a有四个不同零点，从小到大依次为%1，%2，孙，为4,

Xd-----3,%>0

X

则实数a的取值范围为；x1x2+久3久4的取值范围为.

【答案】（（e]

解：函数y=/。）—a有四个不同的零点，即两函数y=/（均与y=a图象有四个不同的交点，如图所

xv*2是方程eW+U=喃勺两根，而图像关于x=—1对称，

+右=—2,且％2e(—1,0],

•••X1-X2=(-2一%2),%2=一(久2-1)2+1

%3，处是方程％+'—3=a的两根，即的+^—3—-I-——3

XX3%4

=

即％3-X4=---=曲/—”4),可得％3支4%

%4x3X3X4

XrX2+%3%4=-(%2+1)2+5,在一1<%240递减，

可得所求范围为[4,5).

类型十：分段函数的新定义

18.对于函数y=/(久)，若存在久。，使fOo)=-/(一比)，则称点Oo"Qo))与点(一汽"(一久0))是函数fO)

的一对“隐对称点”.若函数中)=凭重的图像存在“隐对称点，，，则实数皿的取值范围是

().

A.[2-2c,0)B.(-00,2-2<7]C.(-8,2+2clD.(0,2+2cl

【答案】B

解：由“优美点”的定义，可知若点。0，/(%0))为“优美点”，

则点(一X。,一/Oo))也在曲线y=/(x)上，

作出函数y=/+2x(%<0)的图象关于原点对称的图象，

其解析式为y=-X2+2x(x>0),

2

设过定点(0,2)的直线y=mrx+2与曲线y=-x+2x(x>0)切于点在。1,/'(久J),

如图所示，则巾1=y'xx,=-2%t+2=3+2：2,

解得/=士/攵(负值舍去)，所以巾1=—2，攵+2.

由图可知，若/(久)存在“优美点”，则巾<2-2^1.

故选B.

19.“肝胆两相照，然诺安能忘。”(俅左虞燕京惠诗却寄却寄》，明・朱察卿)若4B两点关于点P(l,l)

成中心对称，则称(4B)为一对“然诺点”，同时把(4B)和(B,4)视为同一对“然诺点”.已知a6Z,函

数〃久)=[(”—<1的图象上有两对“然诺点”，贝ija等于()

Jkax—2,x>l

【答案】A

解：当％>1时，/(%)=ax-2,其关于点P(l,l)对称的函数为y=a%-2a+4(%V1),

由题知y=ax-2a+4与y=(x-2)e一%在1E(一8,1)上有两个交点，

由｛:2a+4

2\e-x，消y得到a%-2a+4=(%-2)?一%,

又工<1,得到一三+a=e

令九（%）=为+a,=e~x,则/i（%）=娱+a和g（%）=在（-8,1）上有两个交点,

在同一坐标系中，作出g（%）=L%和h（%）=膜的图象，如图所示，

i~?+aV?一

由图知《,得到3<a<4+e-l<5,

[―+a>1

又aEZf所以a=4.

故选：A.

类型十一：分段函数的嵌套问题

（X2—2x,x<0

20.函数/（久）=]2xC,若关于X的方程尸（久）-af（久）+a-1=0恰有四个不同的实数根，则实

I资久>。

数a的取值范围为（）

A.[1,誓）B.（1手）C.[1,袈）D.（1,警）

【答案】D

解：因为当x>0时，/（%）=广（久）=当/，

若/'（冗）>0,0<%<1,若f'（%）<0,则%>1,

所以/⑺=£在（°，1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，

x=1时y=x=0时y=0,

%-»+8时丫-»0,可面出/(%)的大致图象,

令/(%)=3g(t｝=t2-at+a-1,先解关于£的方程g(t)=0,

由题知方程必有两不等实根，设为力1，<灰)，

再解/(%)=5/(%)=t2,

2

0V<一

结合/(久)的图象可知，要有4个不等实根只需｛?e,

~<t

e/2

g(°)>。,9

即｛,2、n，解得1<。V-—.

gQ<0e

故选D

21.已知/⑶=已即”>/,则函数y=2产(x)—3/(x)+1的零点个数是

(2四,％40

【答案】5

解:根据题意，令2产(%)-3/(%)+1=0,

解得：/(吗=1或/(X)=(

作出y=/(%)的图象:

由图象可得，函数y=f(x)的图象与y=1的图象有3个交点,

函数y=/(久)的图象与y=:的图象有2个交点，

所以函数y=2升(久)一3/(%)+1的零点个数为5.

故答案为5.

类型十二：分段函数的实际应用

22.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年

产量为x(xeN*)件.当x<20时，年销售总收入为33x-/万元；当X>20时，年销售总收入为260万元.

记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)

(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；

(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】解：(1)由题意，当0<%<20时，y=33x—x2—x—100=—x2+32x—100,

当%>20时，y=260-%-100=-x+160,

._f-X2+32x-100,0<x<20,z

-yv~l-x+160,x>20(xeN),

(2)当0<久W20时，y=-x2+32久-100=-(x-16)2+156.

所以当x=16时，ymax=156.

当x>20时