2025届高三数学一轮复习：导数（切线放缩）讲义

高三数学专题篇：导数6

切线放缩1

题目：.

xx

已知，（冤）=e—xef设，（冤1）=f（冤2）=3冤1/冤2,证明:

冤1+%2,^21--------1*

这次我们来学习切线放缩

何为切线放缩呢？是利用函数的凹凸性得出的恒成立不等式

我们用常用的蜡与Inx来举例

如图：像y=e》这类下凹的函数，我们任意作一条切线，该切线都会在该函数下

方；

像y=仇为这类上凸的函数，我们任意作一条切线，该切线都会在该函数上方.

函数丫=靖过（0,1）的切线可算得y=x+1,因此可得：ex>x+1（当x=0时取等）

函数过（1,0）的切线可算得y=x-1,因此可得：m％W为一1（当x=1时取等）

函数y=e久过原点的切线可算得丫=6*,因此可得：>ex（当x=1时取等）

函数y=bix过原点的切线可算得因此可得：仇久£三（当x=e时取等）

ee

函数的切线有无数条，因此产生的恒成立的不等式也有无数个，至于用哪一个取

决于题目的需求了。但并不是所有的问题都可以用切线放缩解决，因为并不是所

有的切线我们都能解得出来。

凹凸性在答题过程中是不能写的，我们还是要将需要用到的不等式进行证明

例题一：（1）证明：e*之％+1恒成立

证明：设/(%)=ex—x—1

：.ff(%)=ex-l单调递增

当x=0时/，(%)=0

=/(0)=1—0—1=0

.*./(%)>0

.\ex>x+1

(2)证明：恒成立

证明：由(1)得：ex>x+1

.\ex-1>x

/.%—1>Inx

(3)证明：e冗之e元恒成立

证明：由(2)得：ex~r>x

Ae•ex-1>ex

.\ex>ex

(4)证明：Inx<三恒成立

e

证明：设f(汽)=:—Inx

.・./，(%)=工—工单调递增

ex

当x=e时/，(%)=0

/./(x)min=/(e)=1—1=0

.*./(%)>0

Inx<-e

（该丕等式继续可:证;.国此可作比太小题;兀N£e）

例题二：e久之尤+a恒成立，求a的取值范围.

解析：该题是比较简单的，分参求极值点就能做，我们用这简单的题来理解

切线放缩的几何含义及其用法：

我们将不等式两侧分别看成两个函数：

要使e^ZK+a恒成立，就是y=ex恒在y=%+a上方。

临界状态为y=x+a与y=e》相切时，因此我们可在曲线上找到与该直线斜率

相同时的切线，只栗满足该切线在该直线上方或重合即可。

y=e*斜率为1时的切线为y=X+1

.,.x+1>x+a即可

.".a<1

大题还是用原来方法写过程

例题三：e*22%+a恒成立，求a的取值范围.

/

解析：此时直线变成了y=2%+a

方法一：在曲线上找到斜率为2的切线

xx

设/(%)=e9f"(%)=e

当广(%)=2时，x=ln2

切点为(In2,2),所以该切线为：y=2(x-ln2)+2

2(x-ln2)+2^2x+a

2x-2ln2+2^2x+a

，aW2-2ln2

方法二：令斜率相同

Vex>2%+a

QXa

：.->x+-

22

.\ex~ln2>x+

（当时取等）

-：ex-in2>x_Zn2+1x=ln2

/•x—ITLZ+12％+万

/•—ITI2+1>—

，aW2-2ln2

例题四：e%之ax恒成立,求a的取值范围.

方法一

当aVO时，y=e”与y二ax有交点，不成立，舍去

当a=0时，不等式恒成立

当a>0时，我们要在曲线上找到斜率为a的切线

设/(%)=ex,f(%)=ex

当f，(%)=Q时，x=lna

切点为(Ina,a),所以该切线为：y=a(x-lna)+a

.*.a(x-lna)+a^ax

.*.ax-alna+a^ax

/.a^alna

/.l^lna

•'•aWe

Aa的取值范围为[O,e]

方法二：

Vex>ax(a，0)

a>x(a>0时)

•X—ITLCL>%

..ex-lna>x—lna+1

—lna+1>%

/.Ina<1

：.a<e

.,.OWaWe

例题五：e无+a之九—a恒成立，求a的取值范围.

解析：根据唠>x+l,我们可以很快得到靖+a斜率为1时的切线：y=x+a+l

即e^+a>x+a+1

.*.x+a+l^x-a

..a》——

2

对该不等式继续推广：ekx+a>kx+a+1

ekx+lnx之九尢+[nx+1

xekx>kx+Inx+1我们上次讲到的朗博同构

运些东西也丕用理追，最原给的两个切线放缩房隹就可以，—后续接煦需果的

斜率求切线或者进行同构即可。

一定要观察，制数部分，整式部分，对数部分,x前面的系数根丕桐同，.桐

同是可以直接用切线放缩的，若不相同需要找到斜率相同的切线或要通过同构将

其化成斜望相同的形式。_

但并不是所有切线都能求出来（斜率为参数且该参数满足的方程为超越方程）,

求丕出来的时俅还起回到最愿蛤的方法做。

切线放缩的注意事项送基本丕等式的一样:

对一个不等式最好K.用一次基本不等式得出定值，.若用两次基本不等式，.我

们要注意职等条件是杳一致。一一

所以对一个不等式我们也最好只用一次切线放缩得出定值2若用两次切线放

缩，我们要注意两次的取等条件可否一致

举个例子：

例题六：

（1）ex+1>ln（x+a）+1,求a的取值范围。

ex+l>x+1+1（当x+l=o时取等）

ln（x+a）+l<x+a-l+l（当x+a=l时取等）

.'.x+2>x+a

：.a<2（当a取等时与x取等条件一致）

（2）ex+1>ln（x+a）,求a的取值范围。

ex+l>x+1+1（当X+1=O时取等）

Zn（x+a）<x+a—1（当x+a=l时取等）

.*.%+2>%+a—1

.,.a<3（当a取等时与x取等条件不一■致）

对比我们发现（1）是可以的，（2）是不行的，所以不能盲目使用。如果对

（2）只用一次切线放缩，就变成％+2之伍（％+a）并不能直接解出a,取等

情况变得更复杂，当然此题也是解不出精确值的。

如上图，①，切线②，④W切线②，所以①>④（无取等情况）

所以指数2对数情况应是①③的相切状态。第（1）题中，两曲线与切线切

点刚好重合。因此当指对同时出现时一定要检查。

例题七：已知不等式/一力1-2ax>b对任意的实数x恒成立，则

2的最大值为

a------------

1

解析：..•/一£+1—2。%之b

1

：.ex~a+1>2ax+b(a<0不成立，.\a>0)

除以2a:

/一%、.b

---2-a---->---x---+2a—

•X---Fl-Z7l2(l、“1b

..ea>x—

2a

x-a+1~ln2a>_1+1_l2a+1(当x=2n2a+L—1时取

e%ana

等)

之比

•••x—In2a---a--F2H--2--a