2025届新高考数学一轮复习特训：三角恒等变换 （含答案）

2025届新高考一轮复习特训三角恒等变换

一、选择题

2兀।[

1.在△ABC中，。为边上一点,ZDAC=——，AD=4，AB=2BD，且△ADC

3

的面积为46，则sin/AB£)=()

A^/^一百BA/15+V3QA/5—A/3DA/5+A/3

8844

2.sin200cos400+cos20Ocos50。的值是()

A.BB.lc.-lD.l

222

3若a/0兀[，"口"一tan。，则tana()

u•-i—15JU,，一Ldll，入JIdll(JC—\/

I2)2-cosa2

A.BB.JjC.BD正

342

4.已知2+5cos2a=cosa,cos(2a+/?)=[£[o,])£［三,2兀］,则cos/3的值为

()

A—B卫C.一里D.l

51251255

5.已知近sine—cos6=0^Utan2e=()

A.—2啦Bq&C.孝D.受

2

6.已知。为锐角，cos。=,+耳,则sinful)

42

3-6一1+逐3-下D.=^

A.D.Cx.

8844

7.已知sin(a-p)=；,tana=3tan/?如sin(a+R)=()

A.-B.-C.-D.-

6323

8.已知cos（。一己rr则sin12a+S)=()

7C7_22

A.——B.-C.——D.-

9933

二、多项选择题

9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

sin(B-A)+sin(B+A)=3sin2A,且c=",C=j,则。的可能取值为（）

A.lB.叵C.A/2

33

10.下列选项中，值为工的是（）

2

A.2cos215。B.sin27°cos3°+cos27°sin3°

Dtan22.5°

C.2sin15°sin75°

4-tan222.5°

n.下列化简正确是()

B.COS2?—sin2M=3

A.sin45°cos450=1

12122

Dtan22.5°_1

C.—sin40°+cos40°=sin80°

2-

22'l-tan22.5°2

三、填空题

12.已知tane,tan,是方程式―3%—3=0的两个实数根，tan（2a+2^）=

13.（l+tanl30）（l+tan32°）=.

14.已知（4tan4tanB）=17,则tan（A_3）=.

四、解答题

15.已知sincr=:，

（1）求sin[a+£]的值；

（2）若tan尸=g,求tan（2tz-尸）的值.

16.在△ABC中，内角A,3,C所对的边分别为凡仇c.已知

sinC2sinA+sinB

(1)求c；

⑵若3a+〃=2c且a=3,求△ABC的外接圆半径

17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知巴4=1+sinA.

tanB

⑴若A=8,求G

⑵求asinB+bsinA的取值范围.

2bcosB

18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2屈，b=5,

,V5

cosA=——.

5

(1)求&

(2)设。是AB边上点，且通=3而，求证：CDA.AB.

19.在△ABC中，角4民。的对边分别为c且bcosA+=c

2

(1)求3的大小；

(2)若°=百，。+/?=2,求△ABC的面积.

(3)已知sin+；]=[,且a为锐角，求sin,-。的值.

参考答案

1.答案：A

解析：因为5AAM=LAD-ACsinNZMC=Lx4xACx^=46，解得AC=4,

△a。。222

所以△AOC为等腰三角形，则NADC=C，

在△ADB中由正弦定理可得一^—=DB,即丁=sinN2MD，解得

sinZADBsinZBAD-

sinBAD=-，

4

因为NAD3=2，所以/氏4。为锐角，所以cos/BAD=J1-sir?NBAD=巫，

64

所以sinZABD=sin(ZADC-NBAD)=sin-ZBAD^

故选：A

2.答案：A

解析：原式=Sin200cos400+cos20°sin400=sin60°=

故选：A.

3.答案：B

.a-.。a

.sin—2sin-cos—(、

解析：因为tan^=‘mo,所以2=——2—1,又因为0二，所以

22-coscrMGa2—cosaI2)

cos——

2

sin-0，所以2—cosa=,即2—cosa=l+cosa，所以cosa='，又因为

222

aefo,^\所以a=m，所以tane=百.故选B.

4.答案：B

］、3

解析：v2+5cosla-cosa，.\10cos2a-cosa-3=0，•・cos［二一］或y

3

因为,所以cosa=一

5

7

sintz=-,sin2tz=2x-x-=—,cos2tz=cos2tz-sin2（z=-

55525石'

7171

aG

4,2

43

・.・cos（2a+〃）=1,2a+力G（2兀,3兀）sin（2a+/?）=—

cos0=cos（2«+（3-2a）=cos（2«+/7）cos2a+sin（2（z+/7）sin2a

4732444

二—x----1-—x——二---

525525125

故选：B.

5.答案：B

解析：由Osin。-cos6=0,得tan0=

2x叵

则tan2d=2tand=——2=2&.

1—tar?。11

2

故选:B.

6.答案：D

）日

解析：法一：由题意,cosa=1--+------=li—2sm.2—a,得

2

.2a3—y/s

sm一二-----a为锐角’所以、呜所以

28

.a—1+A/5+3生n

sm—=---------,故选D.

24

得三将选项逐个代入验证

法二：由题意，cosa=+=l-2sin2—,sin2?=5,

4228

可知D选项满足，故选D.

7.答案：D

sinacinR

解析：由tana=3tan°，得----=3-----，所以sinacos/?=3cosasin/?,

cosacosB

又sin（a-/）=sinocos/?-cososin尸二^,所以cosasin/?=’,sinacos/?,

2

所以sin（a+尸）=sinacos/?+cosasm/3

8.答案：A

解析：sin（2a+=cos-2a）=cos12a_=cos21a-

=cos2（tz—S）=2cos2（a—£）—l=2x］；］—1=一［.故选:A.

9.答案：AD

解析：因为sin（5—A）+sin（8+A）=3sin2A,所以

sinBcosA-cosBsinA+sinBcosA+cos5sinA=3x2sinAcosA,BP

sinBcosA=3sinAcosA.

当cosA=0,即4=二时，因为c=占，C=-,所以。=」^=马包；

23sinC3

当cosAwO时，sinB=3sinA,由正弦定理可得Z?=3a,由余弦定理可得

30=/+必一。2=/+（3a）2一7」,解得a=i（负值舍去）.

lab2a-3a2

综上，a=］或"故选AD.

3

10.答案：BCD

解析：选项A：280215。=1+（：0530。=1+3，故选项人不符合题意；

2

选项B：sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=L故选项B符合题意；

2

选项C：2sinl5sin75°=2sinl50cosl5°=sin30。=L故选项C符合题意；

2

选项D：tan-.5。=I2tan丁.5。=J_.tan450=L故选项C符合题意.

1-tan222.5°21-tan222.5022

故选：BCD.

11.答案：BCD

解析：A:因为sin45°cos45°=-sin(2x45°)=—sin90°=—,

2'722

所以本选项不正确;

兀A/3

B:因cos2--sin2-=cosI2x-=cos—=——，

12121262

所以本选项正确;

cos40°=cos60°sin400+sin60°cos40°=sin(60°+40°)

22

=sin(180°-80°)=sin800,

所以本选项正确；

D:因为3彳2.5°=4tan(2x22.5。)=1tan45。=」,

1-tan222.5°2,'22

所以本选项正确，

故选:BCD

12.答案：—

7

解析：tana,tan分是方程Y_3%一3=0的两个实数根，

则有tana+tan£=3，tanatan4=-3,

3

2tan(a+/?)]24

因此+m=33+2尸)=

l-tan2(6Z+/5)]_27

16

故答案为：竺.

7

13.答案：2

tan130+tan32°

解析：因为tan45°=tan(13。+32。)=二1，

1-tan13°tan32°

整理得tan130+tan320+tan13°tan320=1,

所以(1+tan13°)(1+tan32°)=1+tan320+tan130+tan32°tan13。=1+1=2.

故答案为：2

14.答案：4

解析：因为（4tanA+l）（l—4tanB）=17,

所以tanA-tan5=4（1+tanA4011B）,

g、i/42tanA-tanB.

所以tan（A_3）=------------------=4，

1+tanA-tanB

故答案为：4

15.答案：（1）述；

10

13

（2）tan（2a-，）=§

解析：（1）因为sina=g，

所以sin|tz+—=sintzcos—+cosasin—,

I44

3V24V27A/2

=—x---F—x----=-----；

525210

3

（2）由（1）tana=』得tan2a=2t血？=_二=马：,

41-tanker「27

-16

241

所以tan（2"⑶Jn2a-ta叨7313

,241~9

1+tan2crtan〃Id--x-

73

16.答案：（1）C=—

3

⑵述

3

解析：（1）因为一--=,gp2sinA+sinB=2sinCcosB,

sinC2sinA+sinB

且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2sinCeosB，则2sinBcosC+sin5=0,

且5£(0,兀卜则sinBwO,可得cosC=-g,

且C«O㈤，所以C=g.

⑵因为3〃+b=2c且〃=3,贝1Jb=2c—9>0,可得。>2，

2

由余弦定理可得cZu^+j—ZabcosC，即。2=9+（2。一为？一2x3（2c—9）x1—；

整理可得c2_]0c+2i=o,解得c=7或c=3（舍去），

D_c_7_7上

所以△ABC的外接圆半径2sinCG3-

2x—

2

17.答案：（1）答案见解析

⑵（0,1）

解析：(1)由A=5，c°s4=1+sinA

tanB

可得cosA

1+sinA,则cos2A=(l+sinA)sinA

tanA

整理得Zsin?A+sinA-l=0,解之得sinA='或sinA=-1

2

又0<A〈工，贝=则8=四，则C=&

2663

（2）A,5为△AB。的内角，则i+sinA>0

则由吧4=l+sinA,可得出>0,则A、3均为锐角

tanBtanB

A

cos2-A---si-n21-tan—

「cosA42

tanB=------=----勺----2二_______________2

A

1+sinA(zsi.n—A+cos1+tan—

2

XO<B<-,O<---<-^'JB=---,O<B<

242442

则A=1-25,则sinA=sin-2BJ=cos2B

asinB+bsinA2bsinA2bcos2B2cos2B-l八八1

-------------------=-----------=------------=--------------=2cosB----------

2。cos52bcosB2bcosBcosBcosB

令t=cosB^0<B<:],则<t<\

又加）=2"；在浮单调递增,/（争=0,/⑴=1

可得0<2"!<1,则2cosB-—二的取值范围为（0,1）,

tcosB

则asinB+bsinA

的取值范围为（0,1）

2bcosB

18.答案：（1）-

4

（2）详见解析

解析：（1）・.•在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA^~>0,

sinA