2025高考数学专项复习：几何体的内接球与外接球阿氏球等17类题型（含答案）

2025高考数学专项复习几何体的内接球与外接球,

阿氏球等17类题型汇总含答案

几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型

热点题型解读（目录）

【题型1】球的截面问题

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

【题型6】球心在高上（圆锥形）

【题型7】圆台，棱台外接球模型

【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）

【题型9】两个外心+中垂线确定球心

【题型10】外接球之共斜边拼接模型

【题型11】外接球之二面角模型

【题型12］内切球之棱锥，圆锥模型

【题型13］内切球之圆台，棱台模型

【题型14】多球相切问题

【题型15】棱切球问题

【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题

【题型17】阿氏球问题

邀题型归类二

【题型1】球的截面问题

基础知识

球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值

半圆绕其直径所在直线旋转一周，如图记作：球。

形成方式

大圆：经过球心的截面圆

球相关概念小圆：不经过球心的截面圆半径।

小圆

结构性质两点间的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长

球的小圆的圆心与球心连线垂直小圆面

L（2020•全国2卷TH）已知△ABC是面积为笄的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O

的表面积为16兀,则O到平面ABC的距离为（）

A.V3B.C.1D.孚

2.（24—25高二上•贵州遵义•阶段练习）已知四点都在球。的球面上，且A,。三点所在

平面经过球心，48=4A后，乙4cB=m则点。到平面ABC的距离的最大值为，球O的表面

积为.

3.（23—24高三下•广东江门•阶段练习）已知正四面体A—BCD的内切球的表面积为36兀，过该四面体

的一条棱以及球心的平面截正四面体A-BCD,则所得截面的面积为.

4.已知△ABC是面积为竽的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为28兀，则

点O到平面ABC的距离为.

5.已知过球面上C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=1,AC=居,则球的

表面积是.

6.（2024.辽宁丹东.一模）已知球O的直径为AB,C,D为球面上的两点，点河在48上，且AM=3MB,

AB±平面MCD,若4MCD是边长为V3的等边三角形，则球心O到平面BCD的距离为.

【题型2】可以科成长方体的外接球模型

基础知识

一、长方体外接球:长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

二、补成长方体

⑴若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示.

图1-1图1-2

(2)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图2-1

注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体

7.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一

“阳马”如图所示，上4,平面ABCD,R4=5,AB=3,4,则该“阳马”外接球的表面积为

A岳「兀

125兀500

A，~3-B.50兀C.100"T"

8.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖膈是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角

AABC中，AD为斜边8。上的高，AB=3,4。=4,现将AABD沿AD翻折成△48，。,使得四面体

AB'CD为一个鳖膈,则该鳖膈外接球的表面积为

AA

B'

9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,8。的中点，将/\AED,/\BEF,/\DCF分别

沿DE,EF,。尸折起，使得ABC三点重合于点H,若三棱锥4—EFD的所有顶点均在球O的球面

上，则球O的体积为（）

D./:

O

10.在四面体ABCD中，若AB=CD=AC=BD=2,40=_8。=四,则四面体ABCD的外接球的

表面积为（）

A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀

11.（24-25高三上•江苏泰州•期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖膈是指四个面都是直角三角

形的四面体.在直角△ABC中，AD为斜边上的高，AB=1,AC=",现将/XABD沿AD翻折

成△48，。,使得四面体A8CD为一个鳖膈，则该鳖膈外接球的表面积为（）

A.粤B.5兀C.3兀D.毕

24

12.将边长为2通的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱

锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

13.（2024•广东揭阳•高二校联考期中）在三棱锥S—ABC中，&4=BC=5,SB=AC=,SC=AB

=收4,则该三棱锥的外接球表面积是（）

A.50兀B.IOOKC.1507TD.200兀

【题型3】直棱柱和脚柱外接球模型

基础知识

汉堡模型（直横柱的外接球、II柱的外接球）

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心。的位置，Q是&4BC的外心，则OQ_L平面ABC;

第二步：算出小圆Q的半径AOi—r,OO1--^-AA1—■九（人4=%也是圆柱的高）;

第三步：勾股定理：04=OiA2+OQ2=不=（与y+产="=.+（与'，解出打

14.已知正三棱柱ABC-45G所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为（）

A.48兀B.60兀C.64兀D.84兀

15.设直三棱柱ABC-4BiG的所有顶点都在一个表面积是40元的球面上,且4B=AC=AAltABAC

=120°,则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+8V3B.8+12V3C.8+1673D.16+1273

16.（24-25高三上・安徽亳州•开学考试）已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积

为当啰元的球面上，该圆柱的侧面积为（）

O

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

17.在三棱锥P-ABC中，出，面ABC,△4BC为等边三角形，且24=4B=四，则三棱锥P-ABC

的外接球的表面积为.

18.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O,球。的表面积为8兀，则该圆柱的体积为（）

A.乎兀B.V2TTC.2兀D.2V27t

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

基础知识

在棱长为Q的正四面体中

设正四面体ABCD的的棱长为a,则有

1、正四面体的高为h=~^-a

2、正四面体外接球半径为R=卓a

3、正四面体内切球半径为『=18°

4、正四面体体积v="2〃

12

19.（2024.湖北宜昌.宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体的表面积为20,且

D四点都在球O的球面上，则球O的体积为.

20.（24-25高三上•广东•开学考试）外接球半径为逐的正四面体的体积为（）

A.g衿B.24

C.32D.48V2

O

21.正四面体的外接球与内切球的半径比为（)

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

22.已知正三棱锥A-BCD,各棱长均为四，则其外接球的体积为（)

A国③兀B巫27TC9V2n9人

A.8兀民167rC.3D-1

23.正四面体P-ABC中，其侧面积与底面积之差为2四，则该正四面体外接球的体积为1

24.一个正四面体的棱长为2,则它的外接球与内切球体积之比为（）

A.3:1B.V3：lC.9:1D.27:1

【题型5】直梭锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

基础知识

题设:如图，_R4,平面ABC,求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

解题步骤：

第一步：将XABC画在小圆面上，4为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,则PD必

过球心。；

第二步：O］为AABC的外心，所以OOi，平面4BC,算出小圆Q的半径OQ=r（三角形的外接圆

直径算法：利用正弦定理，得工=工=f=2r）,OO|=^PA;

smAsmBsmG2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①（2R）2=申2+⑵）2=2五=V^42+（2r）2;

222

@B=r+OOl^R=y/r+OOl.

25.已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且AACB=看.若B4，平面48。,且AB=3,

PA=4,三棱锥P-ABC的所有顶点均在球O的球面上,记球O的体积和表面积分别为V,S,则与

=（）

A.B.C.4D.4

12632

26.已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且AACB=方.若融，平面48。,且4B=3,

PA=4,三棱锥P-ABC的所有顶点均在球O的球面上,记球O的体积和表面积分别为V,S,则总

=（）

A.磊B.C.4D.

27.已知S,A,B,。是球。表面上的不同点，SAL平面ABC,AB±BC,43=1,BC=方,若球O的

表面积为4兀，则SA=（）

®D.V3

A2

28.2023年高考全国乙卷数学（文）T16

已知点S,ABC均在半径为2的球面上，ZVIBC是边长为3的等边三角形，S4±平面ABC,则SA

29.已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SCL平面ABC,若SC=48=2,

乙氏4。=120°,则球。的体积为（）

【题型6】球心在高上（圄律形）

基础知识

如图5-1至5—8这七个图形，P的射影是AAB。的外心o三棱锥P—ABC的

三条侧棱相等o三棱锥P-ABC的底面bABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

图5-3图5-4

p

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心Q,则P,O,Q三点共线；

第二步：先算出小圆Oi的半径AOi=’,再算出棱锥的高POi=/z（也是圆锥的高）;

第三步：勾股定理：04=0/2+0102=五2=（九—五）2+/，解出打互I

方法二:小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.

【注意】:若是巳知外接球半径R和小国半径r求国俸的高，则有2个解

30.（2024•浙江台州•高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的外接球的体积为

31.已知三棱锥P-ABC的各侧棱长均为2瓜,且AB=3,BC=聪、AC=2V3,则三棱锥P-ABC的外

接球的表面积为.

32.已知球。的体积为36兀，圆锥SO1的顶点S及底面圆5上所有点都在球面上，且底面圆5半径为

2四，则该圆锥侧面的面积为（）

A.6V27TB.4祈乃或60兀C.8冲兀或4几兀D.8代兀

33.在三棱锥P—ABC中，_R4=PB=PC=3,AB=AC=2,BC=22，则三棱锥P—ABC的外接球的

半径为.

34.已知三棱锥S-ABC中，顶点S在底面的射影恰好是AABC内切圆的圆心，底面△ABC的最短边长

为6.若三个侧面面积分别为3V29,4V29,5729，则顶点S到底面ABC的距离为；三棱锥S

-ABC的外接球的表面积为.

【题型7】BI台，梭台外接球模型

基础知识

圆台，梭台外界球

不=宿+（土/:其中「,戊分别为圆台的上底面、下底面、高.

基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主

注：若球心位置不确定，也可以直接设=①，若解出来土为负数则说明球心在。2另一侧

35.（2024.云南.高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3,4,母线长为572，若该圆

台的上下底面圆的圆周均在球。的球面上，则球。的体积为（）

250口500门100「125

AA.1~17UJD.—~—KC・—~—7tU.~~~7T

OOOO

36.2022年新高考U卷T7--台体外接球

已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和4代，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积

为（）

A.IOOJIB.128KC.144JID.192兀

37.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台ABCD—是一个侧棱相等、

高为1的“刍童”，其中AB=24E=2,BC=2®O=2《，则该“刍童”外接球的表面积为（）

A.20KB.当兀C.言⑤兀D.5函乃

OO

38.（2024.辽宁.高三校联考期末）正四棱台高为2,上下底边长分别为2和4,所有顶点在同一球面上，则球

的表面积为（）

A.32兀B.33兀C.34兀D.35兀

39.已知圆台的上下底面圆的半径分别为3,4,母线长为5e，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球。的

球面上，则球O的体积为（）

A250口500八100C125

A.---兀B.---兀C.---7TD.---7T

oooo

40.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童45CD-EFGH有外

接球，且=4底AD=4,EH=4瓜EF=4&，点E到平面43co距离为4，则该刍童外接球的表面

积为.

【题型8】检律外接球之切瓜模型（一个面垂直外按圄直径）

基础知识

如图4一1,平面PAC±平面ABC,且AB±BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是AABC的外

心=三棱锥P—ABC的三条侧棱相等。三棱P—4BC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也

是圆锥的顶点.

图4-1

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线；

第二步：先算出小圆01的半径AO】=7■，再算出棱锥的高JO1=九（也是圆锥的高）;

第三步：勾股定理：04=0'+0]02=咫=仇一为2+/，解出R.

事实上，"CP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如图4-2,平面PA。_L平面ABC,且AB_LBC（即AC为小圆的直径），且P4_L47,

•M

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①（27?）2=B42+（2r）2o2R=V-R42+（2r）2;

②62=r2+ooFoR=j/+oog

3.如图4-3,平面_R4O_L平面ABC,且AB_LBC（即AC为小圆的直径）

OC2=OQ2+OQ2=不="+OQ2O人。=2/不—。1。2

4.题设:如图4—4,平面P4C_L平面4BC,且AB_LBC（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心。必是APAC的外心，即△上4。的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r;

第二步：在AR4C中，可根据正弦定理，=£7=21?,求出R.

sinAsmBsmC

41.（2024.广东.惠州一中校联考）已知三棱锥尸—ABC,ZVIBC是以AC为斜边的直角三角形，APAC为

边长是2的等边三角形,且平面ABC±平面PAC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）

12

A2121

A.-16-7tB.C.D.8兀

o兀5"兀

42.（2024.黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8兀，该圆

锥内接于球O,则球。的表面积为.

43.（2024•安徽安庆•校联考模拟预测）三棱锥P—4BC中，上4=PH=PC=2代，AB=24。=6,

/R4C=S则该三棱锥外接球的表面积为

O

44.在三棱锥P-4BC中，平面ABC1.平面PAB,AC_LBC,点。是48的中点，PD，PB,PB=PD

=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

【题型9】两个外心+中垂线确足球心

基础知识

基面模型

如图1所示为四面体P—ABC,已知平面PAB，平面ABC,其外接球问题的步骤如下：

（1）找出和△ABC的外接圆圆心，分别记为Oi和

（2）分别过Oi和。2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.

⑶过Q作AB的垂线，垂足记为。，连接QD,则5。±AB.

（4）在四棱锥力—DO,OO2中，力。垂直于平面，如图2所示，底面四边形DOXOO.2的四个顶点共圆且

OD为该圆的直径.

45.如图，三棱锥A—BCD中，平面ACD，平面BCD,△ACD是边长为2的等边三角形，BO=CD,

NBDC=120°.若C,。四点在某个球面上，则该球体的表面积为.

46.（2024.四川乐山.高二期末）已知正△4BC边长为1,将△4BC绕8。旋转至△DBC,使得平面ABC

，平面BCD,则三棱锥D-4BC的外接球表面积为.

47.（2024.全国•高三校联考开学考试）在三棱锥P-ABC中，平面PAB±平面ABC,底面△ABC是边长

为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15兀,则该三棱锥体积的最大值为.

48.在四棱锥P—ABCD中，平面RLD，平面ABCD,且ABCD为矩形，ADPA=,AD=2^3,AB

=2,E4=P。，则四棱锥尸一ABCD的外接球的体积为（）

P

49.在三棱锥P-ABC中,平面PAB±平面ABC，上4，尸8,且E4==32，△ABC是等边三角

形，则该三棱锥外接球的表面积为.

50.已知正方体ABCD-4BQQ1的棱长为1,P为棱42的中点，则四棱锥P—ABCD的外接球表面

积为（）

A血兀RQkCn

51.（2024・湖北十堰•高一统考期末）如图,在平面四边形ABCD中，AADB=AABC=^,BD=BC=4：,

沿对角线BD将△ABD折起,使平面ADB，平面BDC,连接AC,得到三棱锥A-BCD,则三棱锥

A-BCD外接球表面积的最小值为.

14

A

【题型10】外接球之共斜边拼接模型

基础知识

两直角三角形拼接在一想（*|■边相同，也可看作娃形沿对角线折起所得三检律）模型

题设:如图，/APB=/力CB=90°,求三棱锥P-48。外接球半径（分析:取公共的斜边的中点O,

连接OP,OC,则04=OB=OC=OP=二O为三棱锥P—ABC外接球球心，然后在OCP中

求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角

球半径都为定值.

52.在矩形4BCD中，4B=4,=3,沿47将矩形ABCD折成一个直二面角B—47—。,则四面体

ABCD的外接球的体积为（）

125125c125n125

A.B.一~-7TD.—7T

E兀T兀6o

53.（河北唐山・三模）把边长为V2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D-AC—则三棱锥D

-ABC的外接球的球心到平面BCD的距离为（

A士B.g

3

54.已知三棱锥S-48。的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA±平面SCB,

S4=AC,SB=BC,三棱锥S—ABC的体积为得，则球。的体积为（）

O

兀兀327r

A.4C.6丁

55.在平行四边形ABCD中，2AB2+m2=匕将此平行四边形沿对角线四折叠，使平面

ABDJ_平面CBO,则三棱锥A—8CD外接球的体积是.

【题型11】外接球之二面角模型

基础知识

题设:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）

第一步：先画出如图6所示的图形，将'BCD画在小圆上，找出^BCD和^A'BD的外心田和其；

第二步：过区和区分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE,

OC;

第三步：解AOEH］，算出。乂,在RtXOCH、中,勾股定理：OH?+C瑶=OC2

注：易知O,HI,E,H2四点共面且四点共圆,证略.

56.在四面体中，PA1PB，口48。是边长为2的等边三角形，若二面角P—AB—C的大小为

120。，则四面体PZ8C的外接球的表面积为（）

A13TIB26兀C52兀D1。4兀

9999

57.（2024•四川南充•二模）已知菱形ABCD中，对角线8。=2,将AABD沿着BD折叠,使得二面角A-

BD-C为120°,AC=3，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为.

DC

58.长沙市雅礼中学2024届高三月考（-）T16

已知菱形ABCD中，对角线口。=2遍，将/\ABD沿着BD折叠，使得二面角A—BD—C为120°,

AC=3V3，则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为.

59.在四面体ABCD中,△ABC与△8CD都是边长为6的等边三角形,且二面角A-BC-D的大小为

60°,则四面体ABCD外接球的表面积是（）

A.527tB.54兀C.567rD.607r

60.（2024.广东.校联考模拟预测）已知四棱锥S—ABCD,&4±平面ABCD,AD_LDC,SA=3V3,BC=

4,二面角S—BC—A的大小为看.若点均在球。的表面上，则该球。的表面积为

O

()

A兀兀

152B.527rc160D.54兀

3T-

61.（23—24高三下.重庆沙坪坝.阶段练习）如图，在三棱锥P—ABC中，9=^8=祈，CA.LAB,AB

=47=2,二面角P—AB—C的大小为120°,则三棱锥P—ABC的外接球表面积为.

62.（2024.湖南岳阳.统考三模）已知三棱锥。—ABC的所有顶点都在球。的球面上，ADLBRAC，

BC,ADAB=NCBA=30°,二面角。—4B—。的大小为60°,若球O的表面积等于36兀,则三棱锥D

—ABC的体积等于（）

C.V7D.-

O

【题型12］内切球之糙律,圆锥模型

基础知识

钵体的内切球问慝

1.题设:如图，三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其内切球的半径.

第一步：先现出内切球的截面图，区H分别是两个三角形的外心；

第二步：求DH=^-CD,PO=PH-r,PD是侧面^ABP的高;

O

第三步：由APOE相似于APDH,建立等式：等=黑，解出「

DrlrD

2.题设:如图8—2,四棱锥P—ABC是正四棱锥，求其内切球的半径

第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；

第二步：求侬=。3。，。0=。"一度，。干是侧面山？6的高；

第三步：由APOG相似于APFH,建立等式：隼=挈，解出

Hrrr

3.题设:三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一^步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

弟一步：设内切球的半径为,，建立等式：VP_ABC=Vo-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC=

^P-ABC~gS\ABC'R+g^PAB・r+~^^PAC,r++SpBc(SbABC+l^PAB+^PAC+^APBc)*r

^^P-ABC

第三步：解出丁二

SO—ABC+SO_PAB+SO-PAC+SO-PBC

63.（2024•天津・统考二模）已知一个圆锥的高为4,底面直径为6,其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相

切，则此球的体积为（）

g

A.12兀B.9兀C.5兀D.3兀

64.圆锥1so（其中s为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2：1，则圆锥与它外接球（即顶

点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为

A.9:32B.8:27C.9:22D.9:28

65.已知圆锥的底面半径为2,高为4方,则该圆锥的内切球表面积为（）

A.4兀B.42兀C.8A/2TTD.8兀

66.（2020•全国•统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

67.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为方的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则

该零件表面积的最大值为（）

A生c14兀n256兀

A.§B.2兀°F

【题型13］内切球之国台，枝台模型

基础知识

黄先需要明确，并不是所有的BI台鄢有内切球，如果一个BI台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的

球，无法做到与所有切,国合内切球指的是与■!台上下底面和每条球线均相切的球.如下圉所示：

此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便，采用平面辅

助法，上图的轴截面如下：

A

假设上底面圆半径为小，下底面圆半径为八，内切球半径为五，圆台的高为心母线长为Zo上图轴截面是等腰

梯形的内切圆，点E,F,G为切点，可得如下全等关系：

OG=OE

Rt/\OAG^Rt/\OAE；^Rt/\ODG=Rt/\ODE

OA=OAOD=OD

22

由射影定理可得:AG-DG=OG=>7?=r1r2

68.（2024.广东深圳.统考一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为乃,如且生=2q,若半径为2的球与圆

台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

69.若圆台002的上、下底面圆半径分别为1、2,O］、a分别为圆台上下底面圆心•若该圆台存在内切

球，则该圆台的体积为.

70.（2024.湖北咸宁.统考期末）已知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆

台的上、下底面半径八：r2=2:3,则圆台的体积与球的体积之比为（）

71.（2023汕头一模）如图,在正四棱台48CD-中，45=4，44=2，若半径为r的球O与该正四

棱台的各个面均相切，则该球的表面积S=.

72.一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2,下底面半径为12，母线与底面所成的

角为60°.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体,则此正方体棱长的最大值是（）

A.4V3B.8C.5V3D.10

【题型14】多球相切问题

基础知识

处理多个球的切接问题时一般①通过连球心构造“球心截面”降维解题②通过连球心构造“球心几何体”将抽

象问题具体化.

73.已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球Oi,然后再放入一个球，使得球Q与

球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（）

A.娓RB.2瓜RC.22兀D.瓜R

74.（2024•浙江温州•乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公

路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之

重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABC©的内切球，中等

球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体

ABCD棱长为20，则模型中九个球的表面积和为（）

A.6兀B.97rC.---D.217t

4

75.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为伍的正四棱锥P-ABCD中，大球O,内切于该四棱锥，小球

与大球及四棱锥的四个侧面相切,则小球。2的表面积为

p

76.棱长为23的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个

小球的表面积最大为（）

A.yB.KC.方兀D.V37t

77.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若

12,则该模型中一个小球的体积为（）

A

C

A.3兀B.冬C.V67CD.

216

78.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中记载了“三角垛”.如图，某三角垛最上层有1个球，第

二层有3个球，第三层有6个球,每个球的半径相等,且相邻的球都外切，记由球心48,C,。构成的

四面体的体积为U,记能将该三角垛完全放入的四面体4-BCD的体积为坏，则E的最大值为

22

【题型15】我切球问题

基础知识

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

79.已知正三棱柱ABC-AJBJG的体积为18，若存在球O与三棱柱ABC-的各棱均相切，则球

。的表面积为（）

A.8nB.12nC.16兀D.18兀

80.已知球Oi与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球。2，则球Oi与球5的表面积之比为

（）

A.2：3B.3：2C.V2:V3D,V3:V2

81.已知某棱长为2方的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为

（）

A.4B.4c.D.

2332

82.正四面体P—ABC的棱长为4,若球。与正四面体的每一条棱都相切，则球。的表面积为（）

A.2兀B.8兀C.当2兀D.12兀

83.已知正三棱柱ABC—4氏。1（底面为正三角形且侧棱与底面垂直），它的底面边长为2，若存在一个球

与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为.

84.（广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一个球

23

与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（）

R4A后兀C4A后兀

c4兀D

A力B-

85.（福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱ABC-A15G的侧棱长为

2V3，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切,则球O的体积为.

【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题

基础知识

86.在棱长为2a（a>0）的正方体ABCD-中，点MN分别为棱AB,DC的中点.已知动点

P在该正方体的表面上，且百万•由=0,则点P的轨迹长度为（）

A.12QB.12兀。C.24aD.24兀。

87.（2024•广东深圳一模改）如图，八面体o的每一个面都是边长为4的正三角形,且顶点在同

一个平面内.若点M在四边形BCDE内（包含边界）运动，当ME时，点M到8C的最小值为

88.如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面

EFGH上的动点,若,存在唯一的点P满足AAPM=y,则CG=.

89.已知正四面体ABCD的棱长为2,动点尸满足万.丽=0,且乐•记=0,则点尸的轨迹长为,

24

【题型17】阿氏球问题

基础知识

对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯

球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题.对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题

90.（23-24高三上.江西抚州.阶段练习）设4、口是半径为方的球体。表面上的两定点，且=

球体。表面上动点M满足班4=禽儿阳，则点河的轨迹长度为（）

A,手兀B,绰口兀C,增兀D,记兀

751111

91.（2024.辽宁沈阳.模拟预测）设A,B是半径为3的球体O表面上两定点，且乙408=60°,球体。表面

上动点P满足|R4|=21PBi，则点P的轨迹长度为.

92.已知棱长为3的正方体ABCD-45C1A表面上动点P满足\PA\=2\PB\,则点P的轨迹长度为

93.已知正三棱锥ABCD中，AB=47=4D=3,8。=CD=3四；动点P满足PA=2PD,记

△BCD所在平面为明则平面a截点P的轨迹所形成的图形的周长为.

94.已知正方体ABCD—ABC。的棱长为1，点P为侧面内的动点，且〃=2PB,则点P所

形成的轨迹图形长度为.

95.已知平面上两定点人、则所有满足愕=4（4>0且4¥1）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB

上,半径为—71481的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知

IT一

棱长为3的正方体ABCD-ABQNi表面上动点P满足\PA\=21PBi，则点尸的轨迹长度为