2025届南宁市某中学高三数学上学期10月考试卷（附答案解析）

2025届南宁市一中高三数学上学期10月考试卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答

题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

^4=(xez|-5<x3<10),5=(xly=In(x+14cA

।已知集合i।PLi”,则zn5=()

A,{0,1,2}B.{0,1}C{1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知a,beR,且a幺—33i=i+2i,其中i是虚数单位，则a+6=()

b+i

A.2B.-2C.-4D.-6

3.已知定义域为R的函数/(x)不是偶函数，则()

A.Vxe+f(x)0B.Vxe-f(x)0

C.3x0eR,/(-xo)+/(xo)^OD.3x0eR,/(-x0)-/(x0)0

4.已知一组数据2西+1,2%+l,2w+1,2%+1的平均数是3,方差为%则数据再，9,£，匕的平均数

和方差分别是()

333c

A.1,1B,1,2C.—,—D.一,2

242

5.已知递增的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，/+4=19,4%=70，则以=()

A.70B.80C.90D.100

—»—►1—>2-1—►2—»一3--1—►一2—»5—►

6.在VZ8C中，=—8C，若a=—A8+—ZC,b=—N8+—ZC,c=—A8+—ZC,贝联)

2334477

A.|Z)|>|tz|>|c|B,Ml>Id〉IdC.a>c|>Z?D.c>iz>

7.已知函数/(x)=sin[ox+1■卜0〉0)在区间0,-1

内既有最大值，又有最小值，则。的取值范围是

()

B-c[*

8.不等式(4+4)对所有的正实数XJ恒成立，贝心的最大值为(

A.2B.V2D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.如图，已知48为圆锥S。的底面的直径，SA=2,C为底面圆周上一点，弧5c的长度是弧ZC的

长度的2倍，异面直线S3与ZC所成角的余弦值为:，则().

4

B.圆锥SO的侧面积为2兀

C.直线SO与平面"C所成的角大于30°

D.圆锥SO的外接球的表面积为也

3

2

10.已知抛物线C1：r=4x,C2:y=8x的焦点分别为大,月，若48分别为Q,C2上的点，且直线AB

平行于x轴，则下列说法正确的是()

A.若4F；则B.若|/同=：,△鸟48是等腰三角形

C.若则四边形片£48是矩形D.四边形片鸟48可能是菱形

11.设Q〉0,定义在R上的函数/(x)满足=1,且次歹出/(x+y)=/(x)/(a—y)+/(y)/(a—x),则

()

2

A./(o)=oB.f(2a-x)=f(x)

C./(x)为偶函数D./(2025a)=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(1-2x)。+3x)6的展开式中，含必的项的系数为.(用数字作答)

13.在平面直角坐标系xQy中，若角。的终边过点(-3,-4),角乃的终边与角a的终边关于x轴对称,

则sin(a-/)=

22

14.已知椭圆。：1+3=1(。〉6〉0)的左焦点为片，若片关于直线＞=2x的对称点A恰好在C上,

\BF,|

且直线/月与。的另一个交点为3,则/为=-

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知VABC的内角48,C所对的边分别为a,b,c,bsinA=m(acosB-c).

(D求角A的大小；

(2)求Ji—Z的最大值.

sin25+sin2C

16.如图，在四棱锥P—Z8C。中，平面/BCD,PD=CD=2,AD=AB=1,ABLDA,

ABUCD,点”是棱PC的中点.

(1)求证：BM//平面RID；

(2)求平面与平面BA。所成锐二面角的余弦值.

17.中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩.为了解学生对奥运会的了解情况，某校

组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩(满分：100

分，各年级总人数相等)，统计如下：

3

年级[0,60)[60,100]

一年级4060

二年级2575

三年级1090

学校将测试成绩分为及格(成绩不低于60分)和不及格(成绩低于60分)两类，用频率估计概率，所

有学生的测试成绩结果互不影响.

(1)从一、二年级各随机抽一名学生，记X表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X的分布列和

数学期望；

(2)从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测

试成绩均及格的概率.

22

18.已知双曲线C:三一t=1(。>0,6>0)的两条渐近线方程为x±2y=0,2(2后,1)为C上一点.

a"b"

(1)求双曲线。的方程；

(2)若过点A的直线/与。仅有1个公共点，求/的方程；

(3)过双曲线。的右焦点/作两条互相垂直的直线4,。，且4与。交于"两点，记"N的中点84

与C交于P,。两点，记的中点为£>.若G(0,、6)，求点G到直线8。的距离的最大值.

19.已知函数~~-+6ZX+/?(X-1)3(其中a/wR).

(1)当a〉0]=0时，证明：/(X)是增函数；

(2)证明：曲线=/(x)是中心对称图形；

r\X

(3)已知awO,设函数g(x)=」,—+ex-/(x)+6(x-l)3+(6-l),若g(x)20对任意的xeR恒

2+1

h—ci

成立，求——的最小值.

a

4

2025届南宁市一中高三数学上学期10月考试卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答

题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

^4=(xez|-5<x3<10),5=fx|y=In(x+1)14cA

i.已知集合i।i〃，则zn5=()

A,{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式化简集合A,求出函数的定义域化简集合8,再利用交集的定义求出求解即得.

【详解】依题意，^={xeZ|-V5<x<V10}={-l,0,l,2},S={x|x>-l),

所以/。5={0,1,2}.

故选：A

a—3i

2.已知a/eR,且幺3=i+2i,其中i是虚数单位，则a+6=()

b+i

A.2B.-2C.-4D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果.

【详解】由纥包=l+2i可得a—3i=0+i)(l+2i),即a—3i=伍―2)+(2b+l)i,

b+i

a=b-2[a=-4

所以〈C7o,解得t，则Q+6=—6.

2Z?+1=—3b=-2

故选：D

5

3.已知定义域为R的函数/(x)不是偶函数，则()

A.VxeR,/(-x)+f(x)0B.VxeR,/(-x)-f(x)0

C.3x0eR,/(-xo)+/(xo)^OD.3x0eR,/(-x0)-/(x0)0

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的概念得VxeR,/(-x)-/(x)=0是假命题，再写其否定形式即可得答案.

【详解】定义域为R的函数/(x)是偶函数。VxGR,/(-x)-/(%)=0,

所以/(x)不是偶函数。*oeR,/(-xo)-/(xo)^O.

故选：D.

4.已知一组数据2西+1,2%+1,2七+1,25+1的平均数是3,方差为4,则数据再，匕的平均数

和方差分别是()

A.1,1B,1,2C.D.-,2

242

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由平均数与方差的性质列出方程，代入计算，即可求解.

【详解】设数据再，/%的平均数和方差分别是嚏，$2,

则数据2石+1,2%+1,2遍+1,2x4+l的平均数是(21+1),方差是4s2,

所以(2嚏+1)=3,解得1=1，4s2=4,解得§2=1，

即数据再，x2,%，%的平均数和方差分别是1,1.

故选：A

5.已知递增的等差数列｛%｝的前〃项和为s“，%+牝=19,a2a5=70，则工=()

A.70B.80C.90D.100

【答案】D

【解析】

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,由题意结合等差数列的通项公式求出为,d即可结合等差数列前"

6

项和公式Slt=na.+"("T)d计算得解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

q+41+5d=19,

(d3

则由题得<(%+4)(％+41)=70,解得<_2，

d>0⑼一

Xx7

所以S&=8x2+;一x3=100.

故选：D.

—►—►1--2一1—►2—►一3—►1—►一2—►5—►

6.在VZ8C中，=—8。一，若。=—Z8+—ZC,b=—A8+—ZC,c=—N8+—ZC,贝式)

2334477

A.|Z)|>|tz|>|c|B,|Z?|>|c|>|a|C.同>|c|>例D.|c|>|tz|>|b|

【答案】B

【解析】

-----►------►1------>2___

【分析】先由氏41C=58C求出|荏|=|前唧6=C,接着由余弦定理结合数量积的运算律计算得

—.—.2b2-a2

ABAC=——,再由平面向量模的求法即可计算比较得解.

2

【详解】设V/5C的角/、B、C的对边为0、b、c,

因为方•反；=!■前2,所以_方.(/_在)=3(/_刀了，

-----***21*2**1*2___立.

所以—Z8.ZC+A8=2AC-ab-ac+-ab，故方=元，

所以|西=|祠,即6=c,

—»—►〃+/_/2b2—a2

所以Z8ZC=bccos/=bcx^^——=———,

2bc2

4

+

9-

7

.竺工士i—＞

99299

9——-23——►—►1----►2

=—AB+-AB-AC+—AC——c

小|2网1681616821616

同丁匕益+；就;4——-2zu--------►—//+型.2^+至j-旦2

=——4B+-AB-AC+—AC

494949494924949

因为所以麻＞|己Cl4，即问＞上|＞同.

故选：B.

7.已知函数/（x）=sin；/G＞0）在区间0,］内既有最大值，又有最小值，则口的取值范围是

()

A.1,+4B.m|,+"C.1|,+4D.受\］|,+”

【答案】C

【解析】

TT

【分析】由条件求出GX+—的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.

6

7T

【详解】因为0«x＜—,^＞0,

2

所以女VGX+工＜（3G+1）工,

666

jr3

由已知，（3G+1）—＞一兀，

二762

Q

所以。〉2,

3

所以。的取值范围是||,+力］

故选：C.

8.不等式（4+4）三5声对所有的正实数xj恒成立，贝心的最大值为（）

A.2B.J2C.—D.1

4

【答案】D

8

【解析】

入41-Jx+y八14x+Jy

【分析】由题意可得t＜,令加=、厂〉0,则有一==冷_,

\x+yjyminylx+yjym+v

1='+且，结合基本不等式求得力21,于是有加21,从而得答案.

m22x+y

【详解】解：因为xj为正数，所以&+亦＞0,

一,也.Jx+y、

,则有可（〜厂）

min'

y/x+yjy

万Jx+.y-14x+Jy

令m=—厂'厂>0,则一=厂片』,

<x+y]ym72.*+y

x+y+2y[xy_1历1,历

所以一V二--------------1-----S--1---f=二1,

m2(x+y)2x+y22向

当且仅当％二V时，等号成立,

所以一J"<1，m2>1,

m

又加＞0,所以加＞1,

即毕21,

y/x+yjy

V2-Jx+y

所以--7=----7=~的最小值为1,

7x+7y

所以，VI,

即/的最大值为1.

故选：D.

【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数（代数式）的最值即可得

解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，己知48为圆锥SO的底面的直径，SA=2,C为底面圆周上一点，弧8c的长度是弧ZC的

长度的2倍，异面直线S8与ZC所成角的余弦值为：，则（）.

4

9

s

B.圆锥SO的侧面积为2兀

C.直线S。与平面"C所成的角大于30°

D.圆锥SO的外接球的表面积为回

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，作出辅助线，设底面圆的半径为,，根据异面直线的夹角余弦值和余弦定理得到r=l,

从而得到圆锥的体积；B选项，根据侧面积公式求出答案；C选项，作出辅助线，得到直线S。与平面

所成角的平面角为NOST,并求出其正切值，得到NOST<30°；D选项，找到外接球球心，并根据半

径相等得到方程，求出外接球半径，得到外接球表面积.

【详解】A选项，连接C。并延长交圆于点尸，连接4P,AP,

因为48为圆锥S。的底面的直径，弧3C的长度是弧ZC的长度的2倍，

TTTT

故四边形/CAP为矩形，ZCAB=ZABP=-,ZCBA=ZBAP=-,则AP///C,

36

异面直线SB与BP所成角等于异面直线SB与AC所成角，

因为SA=2,所以SB—SP=2,

设底面圆的半径为厂，则5尸=厂，

故cos'pi”尸-SJ工！

解得厂=1，

2SB-BP4r4

则由勾股定理得50=屈二蠢=A万=6，

故圆锥S。的体积为［兀./.so=但，A正确;

33

10

B选项，圆锥SO的侧面积为兀〃=2兀，B正确；

C选项，取ZC的中点7,连接ST,OT,则O7LZC,STLAC,

又OTnST=T,OT,STu平面SOT,故平面SOT,

过点。作OELST于点E,由于O£u平面SOT,则OEL/C,

又STnZC=T,ST,ZCu平面S/C,故平面S/C,

故ZOST即为直线SO与平面SAC所成的角，

6—

其中07=。。5/巴=火，则^/八@7OT21，

20tan=---二一产=一

32OSM2

由于tan30°=也〉,，且^=1211X在0,‘上单调递增，故NOST<30。，C错误;

32I2；

D选项，由对称性可知，外接球球心。在OS上，连接0C,

设圆锥SO的外接球半径为R,则O0=SO—及=g—R,

由勾股定理得0c2+。。2=。。2,即1+(6—2

=R2,解得R=国’

故圆锥SO的外接球的表面积为4兀氏2=4兀XD正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的

问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点

的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用

勾股定理求得球的半径

2

10.已知抛物线C1：/=4x,C2:y=8x的焦点分别为大,乙，若43分别为G，G上的点，且直线AB

11

平行于X轴，则下列说法正确的是（

A.若4F；则|48|=；B.若△鸟4B是等腰三角形

C.若则四边形片乙48是矩形D.四边形片可能是菱形

【答案】ABC

【解析】

【分析】不妨设/（久1斤）,8（%2，，）（丫>0），则歹2=4%1=8工2，Xj>x2>0,对于A,由题意求出国=1和

%=g即可求解MBI；对于B,由题意得否-％=g，进而可求出45两点坐标，从而求出怩H和火目

即可判断；对于C,由题意先得马=1，接着求出外，进而求出[48|=|片闾，和一轴即可得解；对

于D,先假设四边形片g48是菱形，再推出矛盾即可得解.

【详解】由题意得用（1,0）,月（2,0）,不妨设a（xi，y）,B（x2，y）（y>0），

2

则y=4X]=8X2,Xj>x2>0,

对于A,因为4FJL48,又直线48平行于x轴，所以/々_Lx轴，

所以$=1,故了=J^=2,》2=

£_£_4解得发警

483

[84⑹(44⑹

所以Z

12

所以IM=12-|^+"警)*,I加J(2-：［+"竽)¥

所以优/卜怩却,\F2A\+\AB\>\F2B\,所以△乙48是等腰三角形，故B正确；

对于C,若BF［LB4,又直线28平行于x轴，所以8月，x轴，

所以x?=l,故了=^8X2=2V2,xl==2,

故|/却=忖—引=1=|单』，"口轴，所以四边形片鸟4B是矩形，故C正确；

对于D,若四边形斗348是菱形，则［48|=|G闾=1,即％-%=1即三-二=1，

48

所以y=2后，所以/(2,2亚),8(1,2立)，

所以可得区旬=阳四=2行则四边形片348不是菱形，矛盾，

所以四边形斗348不是菱形，故D错误.

故选：ABC.

11.设a>0,定义在R上的函数/(%)满足/(。)=1,且

Vx,jeR,/(x+y)=/(x)/(a-j)+/(y)/(«-x),则()

A./(O)=OB./(2a—x)=/(x)

C./(x)为偶函数D./(2025a)=1

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,令x=a,y=o,又/(a)=l,即可求得/(0)=0；对于B,令V=。，再由

/(a)=l,/(O)=O,即可推得/(2a—x)=/(x)；对于C,令了=一》，可得/(x)+/(—x)=0,从

而/(x)为奇函数；对于D,可推得/(x+4a)=/(x),即/(x)的周期为4a,则

f(2025a)=f(506x4a+a)=f(a)=1.

【详解】对于A,令x=a,y=0,得/(a)=/(a)/(a)+/(O)/(O),

13

因为/(。)=1，所以/(0)=0,故A正确；

对于B,令了=。，代入可得/(x+a)=/(x)/(O)+/(a)/(a—x),

因为/(。)=1，/(0)=0>所以/(x+4)=/("x),

从而/(2a—x)=/(x),故B正确；

对于C令y=f,代入得/(0)=/(》)/(。+》)+/(-》)/("工)，

又因为对VxeR,/(a+x)=/(a-x)恒成立且不恒为0,

所以/(%)+/(-x)=0,从而/(x)为奇函数,

又/(x)不恒等于0,故C错误；

对于D,因为/(x+2a)=/(-x)=-/(x),

所以/(x+4tz)=-/(x+2a)=/(x),

所以4a为/(x)的周期，

所以/(2025a)=f(506x4a+a)=f(a)=l,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(1-2x)(l+3x)6的展开式中，含¥的项的系数为.(用数字作答)

【答案】99

【解析】

【分析】先求二项式(1+3x)6的展开式的通项，再由乘法法则求出。—2x)(1+3x)6的展开式中含%2的项

即可得解.

【详解】由题意得(1+3尤)6的展开式的通项为£+1=鼠(3x)'=3'鼠£,

22

所以(1-2x)(1+3x)6的展开式中，含炉的项为3废以一2x.3cxi=99x,

所以展开式中含公的项的系数为99.

故答案为：99.

13.在平面直角坐标系xQy中，若角0的终边过点(-3,-4),角尸的终边与角。的终边关于x轴对称，

14

则sin(<z-0)=

24

【答案】—##0.96

25

【解析】

【分析】由条件，根据三角函数定义可求sina,C0S6Z,根据对称性可求sin",cos",结合两角差正

弦公式求结论.

【详解】因为角a的终边过点（-3,-4）,

4-33

所以sina=—cosa=

5，J(—3『+(一4/5'

又角B的终边与角a的终边关于x轴对称,

43

所以sin夕=1，cos0=-w

24

所以sin(a-7?)=sinacosf3-cosasin[3二—

24

故答案为：—

25

22

14.已知椭圆。：*+本=1,〉6〉0）的左焦点为片，若片关于直线＞=2x的对称点A恰好在。上,

且直线/月与。的另一个交点为3,则

M印

【答案】-##0.2

5

【解析】

【分析】求出点耳（-c,0）关于直线＞=2x对称点A的坐标，进而求出|2片|,|^|,再结合椭圆定义及

勾股定理求出I即可.

%二13c

X.+C2Xi=

【详解】设片（―c,0）关于直线＞=2x的对称点2（苞,%），由〈，解得<y

4c

ZL=2J1=-

、2-2T

即衅S,令椭圆右焦点》（。,0），则|，々|=4

15

n3

气c,而点A在椭圆。上，由|/周+以月|=2a,得。=而。

6

设|比"=机，则|8与|=2。—掰=盂。—加，显然/耳团月的中点都在直线歹=2x上,

则/与平行于直线歹=2x,从而2鸟，2片，在RtxNB鸟中,(m+

\BF|

解得加=4＞。，所以匕X、

5V5\AFX\5

故答案为：

5

【点睛】思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的

计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、|尸耳|十|「£|=2。，得到0,c的关系.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知VABC的内角4民C所对的边分别为a,b,c,bsinA=@（acosB-c）.

（D求角A的大小；

（2）求sdZ的最大值.

sin25+sin2C

2兀

【答案】（1）/=胃；

⑵3

2

【解析】

【分析】（1）由题意结合正弦定理和sinC=sinAcosB+cosAsinB即可求解.

222

（2）先由（1）结合余弦定理得a=b+c+bc,接着由正弦定理角化边得一,sm-Z=1+

sin25+sin2C+c2

再结合基本不等式即可求解.

【小问1详解】

16

因为bsinZnV^acosB—c),sinC=sin(+5)=sincosB+cosAsinB,

所以由正弦定理得

sin5sin/=>/3(sin/cosB-sinC)=V3sin^4cosJ3-A/3sin^4cosJ3-V3COSAsinB=一geos/sin5,

又Be(0,n),故sinBwO,所以sin/=-g'cosZ即tanZ=-6，

又/e（O,兀），所以/=^.

【小问2详解】

由（1）^4=—,所以由余弦定理得/=/?2+02-2bccos/=/+02+儿，

sin2Ab2+c2+bc.be.be3

所以由正弦定理得

sin25+sin2Cb2+c2b-+c-Zr+c-2面72

当且仅当b=c时等号成立.

sin2A3

所以的最大值为

sin25+sin2C2

16.如图，在四棱锥P—Z8C。中，PC平面/BCD,PD=CD=2,AD=AB=1,ABLDA,

ABUCD,点〃是棱PC的中点.

（1）求证：BM//平面为D;

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵半

【解析】

【分析】（1）取尸。的中点£,连接ME,AE,根据£是尸〃的中点，得到EM7/48,EM=AB,

从而四边形腔是平行四边形，得到ZE//5M,再利用线面平行的判定定理证明；

（2）以D为坐标原点，DA,DC,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得

17

平面8DW的一个法向量元=Qr,y,z）,平面为5的一个法向量加=（1,3,3）,设平面为3与平面8Mo所

成锐二面角的大小为仇由cos。=cos（〃,加）=匕昌求解.

11网|叫

【小问1详解】

证明：取尸D的中点£,连接ME,AE,

因为E是尸。的中点，”是PC的中点，

所以EA///。。，EM=-DC=l,XABI/CD,AB=1,

2

所以EM//4B,EM=AB,

所以四边形工的屋是平行四边形，所以4E//BM,

又NEu平面为D,8Mz平面为。，所以BM//平面为D

【小问2详解】

解：因为P£）_L平面NBCD,DA,DCu平面/BCD,

所以PDLZD,PDLDC,又4B_LD4,ABHCD,所以

以。为坐标原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

则。（0,0,0）¥（0,0,2）,4（1,0,0）,8（1,l,0）,C（0,2,0）,所以M（0。」）.

设平面50河的一个法向量五=（%,y,z）,又。5=（1,1,0）,DM=（0,1,1）,

n-DB=x+y=0,

所以——.

n-DM=y+z=0,

令x=l,解得V=-1,z=l.

所以平面BMD的一个法向量五二（1,一1,1）.

设平面为3的一个法向量加=（万万，3,又后=（—1,0,2）,28=（0,1,0）,

m•AP=一。+2c=0,

所以4一

m-AB=b=0.

令。=2,解得b=0,c=1,

18

所以平面PAB的一个法向量比=（2,0,1）,

设平面PAB与平面BMD所成锐二面角的大小为仇

।.\n-m\3

所以cos。=cos（w,m）=匕W=.]-I==—

1'71\n\\m\71+1+1x74+15

即平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值为叵.

5

17.中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩.为了解学生对奥运会的了解情况，某校

组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（满分：100

分，各年级总人数相等），统计如下：

年级[0,60)[60,100]

一年级4060

二年级2575

三年级1090

学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所

有学生的测试成绩结果互不影响.

（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记X表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X的分布列和

数学期望；

（2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测

试成绩均及格的概率.

【答案】（1）答案见解析

200

【解析】

【分析】（1）写出X所有可能得取值，然后分别求出其对应概率，列出表格，即可得到分布列，再由期

望的公式代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由互斥事件概率公式代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

一年级学生及格的频率为%=3,不及格的频率为a=2,

10051005

19

753251

二年级学生及格的频率为7^=7,不及格的频率为工=一，

10041004

三年级学生及格的频率为9二0匕9=二，不及格的频率为10上=一1,

1001010010

X的所有可能取值为0,1,2,3,

则尸(X=0)=2xL=_L,p(x=l)=-x-+-x-=—,

\75410\7545420

p(X=2)=-x-=—,

,75420

所以X的分布列为：

X012

199

P

102020

19927

所以X的期望为E（X）=0x—+£=+2*二=」

v710202020

【小问2详解】

由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是一，

3

所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为

„133139139111

JT=—X—X—+—X—X1——X—X—=--------.

35435103410200

18.已知双曲线C:二一与=1（。〉0,6〉0）的两条渐近线方程为x±2y=0,2（2亚,1）为。上一点.

a~b~

（1）求双曲线。的方程；

（2）若过点A的直线/与C仅有1个公共点，求/的方程；

（3）过双曲线C的右焦点F作两条互相垂直的直线4,4，且4与。交于“，"两点，记"N的中点B,12

与C交于P,。两点，记尸。的中点为Z）.若G（0,、6）,求点G到直线AD的距离的最大值.

2

【答案】（1）土