2025高考数学复习必刷题：直线的方程

第57讲直线的方程

知识梳理

知识点一：直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线/与X轴相交，则以X轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角

称为直线/的倾斜角，通常用西分，7,..表示

（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围ee[O,万）

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为夕，则a的正切值称为直线的斜率，记为左=tana

（1）当&=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广

（与直线方程相联系）

（4）网越大，直线越陡峭

（5）倾斜角a与斜率％的关系

当左=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左＞0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随左的增大而增大；

当左＜0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角左随的增大而减小；

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，A（X1,%）,必）贝麟=之——

马一再

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若占=尤2，则直线钻的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。

4、三点共线.

两直线AB,AC的斜率相等-4B、C三点共线；反过来，AB、C三点共线，则直线

AB,AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

知识点二：直线的方程

1、直线的截距

若直线/与坐标轴分别交于（。,0）,（0,》），则称a,6分别为直线/的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾

名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为。的直线为过原点的非水平非竖直直线

2、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-y^k^x-x^不含垂直于无轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y一必二

两点式不含直线元=者（占…）和直线y=x（x片%）

截距式2+2=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+B20)

3、求曲线（或直线）方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直

接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线

方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

4、线段中点坐标公式

若点《，鸟的坐标分别为（占，%）,（%,为）且线段££的中点M的坐标为（尤，y），则

<2，此公式为线段打8的中点坐标公式.

[2

5、两直线的夹角公式

若直线y=0+々与直线y=5瓦的夹角为a,则tan"葭

必考题型全归纳

题型一：倾斜角与斜率的计算

例1.（2024.四川眉山.仁寿一中校考模拟预测）己知a是直线x—2y+3=。的倾斜角，则

A/2sincr+—+sincr,,、

I4）的值为（z）

cosla

A.1B.拽4A/5n375

LJ.--------

3320

【答案】B

【解析】法一：由题意可知=；12

tana（a为锐角）,sm«=-^=cosy,

c^sina+—+sina..“u,/

八2.3I4/sina+cosa+sina454,

cos2a=cosa-sin2a=—,----------------------------=--------------------------=—r=x—=——

5cos2acos2。J533

法二：由题意可知tana=；,（a为锐角）.・.cosa=2sina,sina=[,

A/2sina+—\+sina

I4J_sincr+cosa+sma4sin<7_4_4^/5.

cos2acos2cr-sin2a3sin2a3sina3

故选：B.

例2.（2024.重庆・重庆南开中学校考模拟预测）已知直线/的一个方向向量为

P=lsiny,cos-I,则直线/的倾斜角为（）

71一兀一2兀一4兀

A4.—B.—C.—D.—

6333

【答案】A

兀

cos-h

【解析】由题意可得：直线/的斜率左=-3-=^-=tan^，即直线/的倾斜角为

sin"366

3

故选：A

例3.（2024.江苏宿迁.高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过4-1,3）,3（6,-6）两

点的直线的倾斜角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【解析】经过A（-l,3）,8（6-扬两点的直线的斜率为工=-V3，

-1-V3

因为直线的倾斜角大于等于0。小于180。，

故经过4-1,3）,8（石,-百）两点的直线的倾斜角是120。，

故选：D

变式1.（2024.全国•高二专题练习）如图，若直线4,J4的斜率分别为匕&人，则（）

A.kx<k3<k2B.&<K<右

C.kx<k2<k3D.k3<k2<k{

【答案】A

【解析】解析设直线乙4/的倾斜角分别为

则由图知。°v%<%<90。<a{<\80°,

所以tanax<0,tana2>tan%>0,

即上iv0,左2>%>0.

故选：A

变式2.（2024•全国•高二专题练习）直线>=-6+3的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】C

【解析】直线>=一瓜+3的倾斜角为a,因为直线的斜率为k=tana=-迅,

(F?a180，所以。=120。.

故选：c.

变式3.（2024•全国•高二课堂例题）过两点A（4,y）,3（2,-3）的直线的倾斜角是135。，则

y等于（）

A.1B.5C.—1D.—5

【答案】D

【解析】由斜率公式得心B=2上9=9,且直线的倾斜角是135。，

AB4-22

所以配=tanl35°=-l,即苫1=一1,解得y=-5.

故选：D.

变式4.（2024.高二课时练习）直线/经过4（2,1）,病）两点，那么直线/的斜

率的取值范围为（）.

A.（0,1]B.（-co,l]C.（-2,1]D.[l,+oo）

【答案】B

【解析】勺=*1=1_疗41,故那么直线/的斜率的取值范围为（-②』.

故选：B

变式5.（2024.全国•高三专题练习）函数一尤2的图像上有一动点，则在此动点处

切线的倾斜角的取值范围为（）

「3兀[「兀）「3兀A

A.0,——B.0,—U-r■，兀

L4JLL4）

c-•匕3兀T1Dc.匕「兀彳3兀]

【答案】B

【解析】设切线的倾斜角为则ae[0,兀），•••/'（力=/-2X=（X—1）2—GT,

二切线的斜率左=tanaN-l,则ce。，"|）.

故选：B

【解题方法总结】

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式左=比』，根据该公

xl—x2

式求出经过两点的直线斜率，当占=%，%*%时，直线的斜率不存在，倾斜角为90,求斜

率可用々=tana(aw90),其中a为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割.牢

记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.这可通过画正切

函数在上的图像来认识.

题型二：三点共线问题

例4.(2024・全国•高二专题练习)已知三点(2,-3),(4,3),(5,在同一条直线上，则实数左

的值为()

A.2B.4C.8D.12

【答案】D

幺-3

【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得3-(-3)解得左=12.

4-2-5-4

故答案为：D.

例5.(2024・辽宁营口•高二校考阶段练习)若三点A(0,8),C(〃7,T)共线，贝i]

实数加的值是()

A.6B.-2C.-6D.2

【答案】C

【解析】因为三点4(0,8),8(-4,0),C(机T)共线,

所以^AB=&BC，

可徨8一°O

可侍：0-(Y)--4-,n'

4

即F一=2,解得〃?=-6；

-4-m

故选：C

例6.(2024・重庆渝中•高二重庆复旦中学校考阶段练习)若三点〃(2,2),N(«,

0),Q(0,b),(ab^O)共线，则1+'的值为()

ab

A.1B.—1C.—D.—

22

【答案】C

【解析】因为三点M(2,2),N(〃，0),Q(0,8),(必。0)共线，所以

—,即必=2(°+力，所以故选c.

2-a2-0abz

变式6.（2024•全国•高三专题练习）若平面内三点A（l,-a）,BQ,/）,c（3,/）共线,

则a=（）

A.1±近或0B.三叵或0

C.注^D.竺^或0

22

【答案】A

23

【解析】由题意知fc4B=fc4C,即“,即以区―2。-1）=0,解得。=。或。=1土

2-13-1

故选：A.

【解题方法总结】

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变,

即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.

题型三：过定点的直线与线段相交问题

例7.（2024・吉林・高三校考期末）已知点A（1,3）,B（-2,-1）.若直线/:y=Mx-2）+1与线段

相交，则％的取值范围是（）

A.k>-B.k<-2

2

C.k>-^k<-2D.-2<k<-

22

【答案】D

【解析】由已知直线/恒过定点P（2,l）,

如图所示，若I与线段AB相交，则kPA<k<kPB,

£

2

所以一2必或

故选:D.

例8.（2024・高三课时练习）已知点〃（2,-3）和N（-3,-2）,直线/：>=依-a+1与线段MN

相交，则实数。的取值范围是（）

33

A.—或。B.-4<a<—

44

33

C.-<a<4D.——<a<4

44

【答案】A

【解析】直线/方程可整理为：y=a（x-l）+l,则直线/恒过定点

3

.直线/与线段"N相交，，直线/的斜率aVT或

4

故选：A.

例9（2024.全国.高三专题练习）已知4（2,0）,3（0,2）,若直线y=左（％+2）与线段有

公共点，则k的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[l,+oo）

C.[0,1]D.（-<»,-l]u[l,+oo）

【答案】C

【解析】由于直线>=左"+2）的斜率为后，且经过定点（-2,0）,设此定点为“.

而直线的斜率为输=告9=0,直线MB的斜率为布=o：j：）=l，

要使直线>=%（》+2）与线段A8有公共点，只需。外4L

故选：C.

变式7.（2024・全国•高三专题练习）已知点A（-2,3）,B（3,2）,若直线办+y+2=0与线段

A3没有交点，则。的取值范围是（

54

C.

253

【答案】B

【解析】直线办+>+2=0过定点C（0,—2）,M^c=-|,^c=|,

由图可知直线与线段A3没有交点时，斜率-。满足-弓5<-a<：4,

变式8.（2024.全国•高三专题练习）已知直线x-ay+2a=0和以M（3,5）,N（4,-2）为端点的

线段相交，则实数。的取值范围是（）

A.a<lB.-\<a<\

C.〃4一1或D.。（一1或aZl或a=0

【答案】C

【解析】直线X-金+2“=0,即x+a（2-y）=0,其恒过定点A（0,2）,

根据题意，作图如下:

4

数形结合可知，当直线过点N时，其斜率取得最小值三=-1,

当直线过点M时，其斜率取得最大值1,

故-1W—解得a£（—oo,—1]D[1,+OO）.

故选：C.

变式9.（2024・全国•高三专题练习）已知A（2,-3）,B（-3,-2）,直线/过点尸（1,1）且与线段

相交，则直线/的斜率上的取值范围是（）

33

A.k<-4^k>—B.-4<k<—

44

143

C.k<——或D.——<k<4

434

【答案】A

【解析】如图，%=：其=]，由题可知应满足％同理L=lzV=_4,由题可知

1-（-3）441-2

应满足kWY.

故选：A

变式10.(2024•全国•高三对口高考)已知点尸若直线/：X+,股+帆=0与PQ

的延长线(有方向)相交，则加的取值范围为.

【答案】卜,-g)

【解析】如下图所示，

由题知=百刁二§，

直线x+“y+m=。过点M(0,T).

当机=。时，直线化为兀=0,一定与PQ相交，所以相。0,

当相片0时，k,=--,考虑直线/的两个极限位置.

m

①/经过。，即直线乙，则舄=2-(-1)=3；

1,2-02

②/与直线尸。平行，即直线4,则与=即。=：，

因为直线/与尸。的延长线相交，

所以:解得一3＜根＜一彳，所以机e-3,-彳.

3m23\5J

故答案为：

变式11.(2024•全国•高三专题练习)已知A(-L2),3(2,4),点尸(x,y)是线段AB上的动点,

则上的取值范围是.

X

【答案】(-8,-2][2,+8)

【解析】如图所示：

因为A(-L2),5(2,4),

2-04-0

所以=

-1-02^6

=y-o=y

x-0x

因为点尸（无,＞）是线段AB上的动点，

所以k=-e(—oo,—2][2,+co).

OPx

故答案为：(­，-2][2,+8)

变式12.（2024・全国•高三专题练习）用（%,y）在线段上运动,已知A（2,4）,B（5,-2）,

则空的取值范围是_____.

X+1

【答案】一］3

63

【解析】岑表示线段A3上的点与C（—I,—1）连线的斜率,

,4-(-1)5-2-(-1)1

因为^AC=------=—,=-------=---

AC2-(一1)3BC5-(-1)6

所以由图可知空的取值范围是.

x+163_

故答案为：一

【解题方法总结】

一般地，若已知A（石,%）,5（%2，%），尸（%，%），过尸点作垂直于8轴的直线/'，过P点的

任一直线/的斜率为k,则当/'与线段AB不相交时，上夹在心A与原B之间；当/'与线段AB

相交时，左在左PA与左躅的两边.

题型四：直线的方程

例10.(2024.全国•高三专题练习)过点(1,2)且方向向量为(-1,2)的直线的方程为()

A.2x+y-4=0B.%+y-3=。

C.x-2y+3=0D.x—2y+3=0

【答案】A

2

【解析】由题意可知直线的斜率％=彳=-2,由点斜式方程得，

所求直线的方程为＞-2=-2(》-1),即2x+y-4=0.

故选：A

例11.(2024.全国•高三专题练习)过点4(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该

直线方程为()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或x-y+3=O

【答案】D

【解析】解法一当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y=4x,即4x-y=0；

当直线不过原点时，设直线方程为二+上=1(。二。)，

a—a

因为直线过点4(1,4),所以工-3=1,

aa

解得〃=—3,此时直线方程为尤7+3=0.

故选：D.

解法二易知直线斜率不存在或直线斜率为。时不符合题意.

设直线方程为y-4=k(x-l)(kw0),

4

则x=0时，y=4-k,y=。时，x=l——,

k

4

由题意知1—7+4—％=0,

k

解得左=4或左=1,即直线方程为尸4%或%—y+3=0.

故选：D.

例12.（2024•吉林白山•抚松县第一中学校考模拟预测）对方程二=2表示的图形，下列

叙述中正确的是（）

A.斜率为2的一条直线

B.斜率为-;的一条直线

C.斜率为2的一条直线，且除去点（-3,6）

D.斜率为的一条直线，且除去点（-3,6）

【答案】C

【解析】方程上4=2成立的条件知

当时，方程变形为y-6=2（x+3）,由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,

但要除去点（-3,6）,

故选:C

变式13.（2024・全国•高三专题练习）经过点尸（-1,0）且倾斜角为60。的直线的方程是

（）

A.y/3x—y—1=0B.y/3x-y+=0

C.V3x-y-^3=0D.x-V3_y+1=0

【答案】B

【解析】由倾斜角为60。知，直线的斜率上=若，

因此，其直线方程为y-0=石（x+1）,即氐-y+指=0

故选：B

【解析】当a>0时，直线y=ax+，的斜率a>0,该直线在丁轴上的截距工>0,

aa

故选：A.

变式15.（2024.全国•高三专题练习）已知过定点直线辰-丫+4-左=0在两坐标轴上的截距

都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）

A.x-2y-7=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】C

【解析】直线区-y+4-左=0可变为Mx-l）-y+4=0,所以过定点P（l,4）,又因为直线

日-y+4-左=。在两坐标轴上的截距都是正值，可知左<0,

令x=0,y=4d,所以直线与y轴的交点为4（0,4-％）,

令y=0,x=l-g,所以直线与x轴的交点为

所以4_4+1_\=5+（_4）+[_（）25+2/（_4）[_3[=5+4=9,

4

当且仅当-％=-：即左=-2时取等，所以此时直线为：2x+y-6=0.

k

故选：C.

Z7C

变式16.（2024・全国•高三专题练习）若直线/的方程丫=-丁x-7中，ab>0,ac<0,则

bb

此直线必不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由y=—■—必>0,ac<Q,

bb

知直线斜率左=-/<0,在y轴上截距为-£>0,

bb

所以此直线必不经过第三象限.

故选：c

变式17.（2024.全国•高三专题练习）已知直线/的倾斜角为60,且/在y轴上的截距为

-1,则直线/的方程为（）

A.y=--x-\B.y=尤+1

3.3

C.y=y/3x-1D.y=~j3x+1

【答案】C

【解析】因为直线/的倾斜角为60,所以直线/的斜率k=tan60=百，

又直线I在y轴上的截距为-1,所以直线/的方程为y=氐-1；

故选：C

【解题方法总结】

要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方

程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式.

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题

例13.（2024.全国•高三专题练习）若一条直线经过点4（-2,2）,并且与两坐标轴围成的三

角形面积为1,则此直线的方程为.

【答案】x+2y-2=0或2x+y+2=0

【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，

所以设直线方程为泊=1,因为该直线过点A（-2,2）,

所以有--+2=1n2a-26=,

ab

因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1,

所以有；|国=1=>。〃=2,或次;=一2,

当ah=2时，2a—2b=2na=b+lnb（b+l）=2nb=l,或Z?=—2,

当〃=1时，a=2,止匕时方程为：—+-^—1=>VV+2y—2=0,

当Z?=—2时，〃=—1,止匕时方程为：=1=>2x+y+2=0,

当必=—2时，2a—2b=—2=>a=b—1=>Z?9—1)=—2=>/?£0,

故答案为：x+2y-2=0或2无+y+2=0

例14.(2024・全国•高三专题练习)已知直线/过点加(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴

的正半轴交于A,B两点,。为原点，当△AOB面积最小时，直线/的方程为.

【答案】x+2y-4=0

【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；

法二显然上存在，设/：y-1=%(%-2)(其中左<0)求出A3坐标，然后求解三角形的面积，

再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.法一设直线/：-+^=1,且。>0,b

ab

2121

>0,因为直线/过点所以—I--=1,贝！J1=—F—>2./—,故〃尼8,

abab\ab

故的最小值为g><a6=gx8=4,

当且仅当2=：=；时取等号，此时。=4,6=2,

abz

故直线/：；+5=1，即尤+2厂4=0.

法二设直线/的方程为y—1=网X一2)(左<0),,8(0,1—2与，

SAAOB=^(1—2©(2-£|=44+(7k)+[一：]>|(4+4)=4,

当且仅当一4左=一?，即上=一J时，等号成立，

k乙

故直线I的方程为1=-yQ—2),即x+2y—4=0.

故答案为：x+2.y-4=0.

例15.(2024・全国•高三专题练习)已知直线/的方程为：

(2+7H)x+(l-2〃?)y+(4-3m)=0.

(1)求证：不论加为何值，直线必过定点M；

(2)过点M引直线4,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求4的方程.

【解析】(1)证明：直线/的方程为：(2+〃7)%+。一2〃7)〉+(4-3机)=。

，提参整理可得：(x-2y-3)m+2x+y+4=0.

人[fx2x—+2y—+34==00,可,得[x?==—一\2’

.•.不论加为何值，直线必过定点

(2)设直线《的方程为丫=左(》+1)-2(左<0).

令y=0,贝|]x=一，

-k

令兀=0,.贝|y=Z—2,

・・・直线4与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积

S=曰曰1=小/+3+4卜十卜).臼+4)=4.

4

当且仅当此=<，即々=-2时，三角形面积最小.

-K

此时4的方程为2x+y+4=0.

变式18.(2024.全国•高三专题练习)直线/过点”(L2),且分别与龙,>轴正半轴交于A、B

两点，。为原点.

⑴当_AQ?面积最小时，求直线/的方程；

⑵求|翻+2|0目的最小值及此时直线/的方程.

【解析】(1)设直线/：土+；=1,且。>0力>0

ab

:直线过点(1,2)

.--+1=1^1=-+|>2K

abab\ab

/.公当且仅当±1=*2即。=2/=4时取等号

ab

所以sABO的最小值为;=4,

M/：-+-=l即2x+y-4=0.

24

i2

⑵由⑴一+：=1,

ab

：.\OA\+2\OB\=a+2b=(a+2b)^-+^=5+—+—>9,

当且仅当竺=学即。=>=3时取等号，

ab

・•・止匕时直线/：%+y-3=o,

故|Q4j+2|OB|的最小值为9,此时直线I的方程x+y-3=0.

变式19.(2024•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，直线/过定点尸(3,2),且

与x轴的正半轴交于点与＞轴的正半轴交于点N.

(1)当PATPN取得最小值时，求直线/的方程；

(2)求△MON面积的最小值.

【解析】(1)设直线/的倾斜角为万-6(6为锐角)，

由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E,F,贝|PE=2,PF=3,

PF2PF3

PM=------=-------,PN=-------=-------,

sin6sin6cos0cos0

3212

贝尸=---------=-----,

cos。sin。sin20

n

所以当时，取得最小值，

此时直线/的方程为y=r+5；

20

(2)矩形。"面积为3x2=6,S=------,S=—tanO,

APEMtana&PFN2

92

S&MON=6+—tan61+---^12,

2tan6*

2

当且仅当tan。=：时取等号，

所以△A/ON面积的最小值为12.

变式20.(2024・北京怀柔・高二北京市怀柔区第一中学校考期中)已知直线/经过点

尸(2,2),O为坐标原点.

(1)若直线/过点。(-2,0),求直线/的方程，并求直线/与两坐标轴围成的三角形面积;

(2)如果直线I在两坐标轴上的截距之和为8,求直线I的方程.

72—01i、

【解析】(1)由题意得：直线/斜率左二西百=5，，直线/方程为：y=1(%+2),即

x-2y+2=0；

当％=0时，y=l；当)=。时，x=-2；

与两坐标轴围成的三角形面积S=；x2xl=l.

(2)由题意知：直线/在两坐标轴的截距不为0,可设/:二+；=1,

ab

〃+Z?=8(.

IQ=4xv

则22,解得：7一.•./弓+方=1,即％+y—4=0.

b

变式21.(2024•高二单元测试)已知直线/过点尸(4,3),与x轴正半轴交于点4、与y轴正

半轴交于点B.

(1)求OAB面积最小时直线/的方程(其中。为坐标原点)；

(2)求1PAM尸的最小值及取得最小值时I的直线方程.

【解析】(1)设/的方程为二+；=1(。＞0,6＞。)，由直线过点~4,3)知3+：=i,即

abab

3a+4b=ab,由基本不等式得3〃+4b=22&2〃。，BPab＞48,当且仅当〃=8*=6时

等号成立，

又知A(a,0),B(O,b),所以S224,。=8,6=6时等号成立，

此时/直线的方程为?

oO

即,Q4B面积最小时直线/的方程为3x+4y-24=0.

(2)易知直线/的斜率存在，所以可设直线/的方程为V-3=左(》-4)(左＜0),所以得

《4一*0),B(0,3-4k),所以|尸川=J*+9,|PB|=-6+162,得

\PA\-\PB\=J修+9)(16+16/)=12亚+〉2＞12A/2+2=24,等号成立时有k

E=看,得左=—1,

此时直线的方程为k3=-(尤-4),即x+y-7=0.

故|以|•|1的最小值是24,取最小值时直线I的方程是x+y-7=0.

变式22.(2024.江西吉安•高二吉安一中校考阶段练习)过点M(4,3)的动直线/交x轴的正

半轴于A点，交y轴正半轴于8点.

(I)求ACMBIO为坐标原点)的面积S最小值，并求取得最小值时直线/的方程.

(II)设P是AQ4B的面积S取得最小值时AO4B的内切圆上的动点，求

u=\Pd\+|PA|2+回「的取值范围.

【解析】(I)设/斜率为％,则/:y-3=「(x-4)得4(4—工0),3(0,3—4矽(k<0).

k

1131「9

S=-|OA|.|OB|=-(4--)(3-4Z:)=12+-16(-/:)+-->24,

22k2|_(-k)_

93

由16(-左)=__nk=――,/.5=24,Z:3x+4y-24=0.

k4min

(II)AQ4B面积S最小时,A(8,0),B(0,6),|AB|=10,

直角AQ4B内切圆半径r=g(a+6-c)=2,圆心为0(2,2),

内切圆方程为(L2)2+(y—2)2=4

设P(x,y),贝!]/+/—4丈一4>+4=0,其中0<xV4.

U=\PO^+|PA|2+|PB|2=X2+y2+(x-S)2+y2+x2+(y-6)2=

3£+3/—i6x-12y+100=88—4x(0<x<4),当％=0时，Uma=S8,当无=4时，

〃加=72

.•.U的范围是[72,8司

变式23.(2024•河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知直线/：

kx—y+\+2k=0.

(1)求/经过的定点坐标P;

(2)若直线/交X轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点5.

①「AC®的面积为S,求S的最小值和此时直线/的方程；

②当尸A+；依取最小值时，求直线/的方程.

【角军析】(1)由履一y+1+2k=。可得：上(x+2)+l—y=。，

fx+2=0[x=—2/、

由1_y=0可得jy=l'所以/经过的定点坐标尸(—24)；

(2)直线/：Ax-y+1+2左=0,

—1—7^

令％=0可得y=l+2左；令y=。，可得力=—-—,

k

所以《三竺,0]80,1+2%)

土生＜0

由jk可得：左＞0,

1+2Q0

①，AOB的面积5=；^^|1+2用=["+2](1+24)=；[4+；+4左

ZK乙)Z'/C

当且仅当;=4左即A=:时等号成立，S的最小值为4,

此时直线/的方程为：gx-y+2=0即x-2y+4=0；

JT12

②设直线/的倾斜角为。，则0＜。＜大，可得尸A=—,PB=——

2smacosa

04.1OD1,1sina+cosa

所以PA+—PB=—--------1-----------=-；---------，

2smacosasmacosa

令%=sina+cosa=y/2sin[a+：),

因为0＜。＜巴，可得工va+女〈包，也＜sin[a+Ml,

24442＜4j

t=&sin(a+

将/=sina+cosa两边平方可得：t2=(sina+cos&y=l+2sin2.cosa,

所以sinacosa=------,

2

〜1ccsina+cosatIt2

PA+—PB----------------=-------=-------=------

所以2sinacosat2-It2-1.1,

------i—

2t

因为＞=/」在(1,回上单调递增，所以0＜一〈孝

y=~l-^,所以+2件此时”&sin(a+小=1,

t——t——(4)

TTTT

可得a=—,所以左=tana=tan—=l,

44

所以直线的方程为％-y+3=o.

变式24.（2024.河南郑州.高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线

/:fct-y+2+3A=0经过定点P.

(1)证明：无论上取何值，直线/始终过第二象限;

⑵若直线/交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点8,当;|出|+3形|取最小值时，求

直线/的方程.

【解析】(1)证明：由fcv—>+2+3%=。可得：左(％+3)+2—y=。，

fro_n(Y=—3

由c-n可得_r，所以/经过定点P(-3,2)；

[2->=0[y=2

即直线/过定点(-3,2),且定点在第二象限，

所以无论上取何值，直线/始终经过第二象限.

7T

(2)设直线/的倾斜角为。，贝ijOvav；；,

2

23

可得1PAi—,|PB|=——,

sinacosa

15…111sina+cosa

所以小PA|+彳|P3|=^—+------=---------------,

23smacos。sinacosa

令%=sina+cosa=y/2sin[a+：),

因为Ova<色，可得二〈a+二〈羽，也^<sin[a+工[41,

将/=sina+cosa两边平方可得：t2=(sin<z+cos<7)2=1+2sinor-cosa,

所以sinacosa=------，

2

11pAi+4p5|=sina+cosa='=N=2

所以211311sinacosaZ2-lZ2-l,1,

i—

2------------------t

因为>=/」在(1,五］上单调递增，所以0<一！〈也，

tt2

故0，所以当且仅当时取等号,

tt

止