2025高考数学二轮复习：导数与不等式恒成立九大题型-专项训练【含答案】

2025高考数学二轮专题-导数与不等式恒成立九大题型-专项训练

题型1直接求导型.........................................1

题型2端点赋值法.........................................2

题型3隐零点型...........................................3

题型4分离参数法.........................................4

题型5分离参数法-洛必达法则..............................5

题型6构造辅助函数求参...................................5

题型7绝对值同构求参.....................................6

题型8函数取“整”型.....................................7

题型9“存在”成立问题....................................8

题型1直接求导型

若了(%)在区间D上有最值，则

(1)恒成立：VxGD,/(x)>0Q>0；Vx6D,f(x)<0<=>f(x)max<0；

(2)能成立：BxeD,f(x)〉0=/(x)max>0；Sx6D,f(x)<0=/(x)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：a>/(%)(或a<f(x)),贝

(1)恒成立:a>f(x)<=>a>/(x)max；a<f(x)<=>a</(x)min；

(2)能成立：a>f(x)Qa>/(x)min；a</(%)=a</'(x)max；

【例题11(2023秋•河南•高三校联考开学考试)已知函数f⑺=警，xeD.其中。=(0,1)U(1,+8)

1—X

(1)求函数f(x)在点处的切线方程；

⑵若g(x)=-2，且VxeD,fO)2g(久)恒成立，求a的取值范围.

【变式1-1]1.(2023秋•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)已知函娄好㈤=21nx-|mx2+l(mGR).

.

⑴当血=lBf,证明:f(x)<1;

(2)若关于x的不等式/(久)<(m-2)x恒成立，求整数小的最小值.

【变式1-1]2.(2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试)已知函数/(久)=/一mxlnx+1,meR且小丰0.

(1)当机=1时，求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若关于%的不等式/(久)>:久恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数小的取值范围.

【变式1-1]3.(2023秋•重庆•高三统考阶段练习)已知函数m(x)=t•e，+ln£,n(x)=1-In詈

(1)若函数F(x)=m(x)-n(x),讨论当t=1时函数F(K)的单调性；

(2)若函数爪(x)>2恒成立，求珀勺取值范围.

【变式1-1]4.(2023秋•云南保山•高三统考期末)已知函数f(久)=2ax-sin%.

(1)当a=1时，求曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线方程；

⑵当%>0时，f(x)>aKCOSx恒成立，求实数a的取值范围.

题型2端点赋值法

1.端点赋值法(函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用)

2.为了简化讨论,当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围.注意，开区间不一定

是充分条件.

有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论.

【例题2](2022•河南郑州统考一模)设函数f。)=In%-p(x-l),pER.

(1)当p=1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数。(久)=xf(x)+p(2x2-%-1)对任意x>1都有g(x)<。成立，求p的取值范围.

【变式2-1]1.(2022秋•黑龙江鸡西•高三校考阶段练习)已知函数/(久)=|%2-(a+l)%+alnx+1.

(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(久)的单调性；

(2)若f(久)>1恒成立，求a的取值范围.

【变式2-1]2.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习)设函数f(乃=(x+a)ex-1,已知联、j

y=2x是曲线y=f(x)的一条切线.

⑴求实数a的值；

(2)若不等式/(久)>t[x+ln(x+1)]对任意xe(-1,+8)恒成立，求实数t的取值范围.

【变式2-1]3.(2023春河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习)已知函数f⑺=21nx+fez.(a,b为实数)

(1)当b=2时，求过点(0,-2)的外久)图象的切线方程；

(2)设g(x)=ex-1+|xf(x),若。(久)>0恒成立，求b的取值范围.

2

【变式2-1]4.(2023•四川成都校联考二模)已知函数f⑺=-标+(6-1)久+。在％=0处的切线与y轴垂直.(其

中e是自然对数的底数)

(1)设g(x)=詈，x€(0,+oo),当a=1时，求证：函数/'(x)在xe(0,+8)上的图象恒在函数g(%)的图象的上方；

(2)Vx£[0,+oo),不等式2[e*/(久)-cosx]>ln(x+1)恒成立，求实数a的取值范围.

题型3隐零点型

1,导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根X。但不可解.但得到参数和X。的等量代

换关系.备用

2.知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根X。

3.利用X。与参数互化得关系式，先消掉参数，得出X。不等式，求得X。范围.

4.再代入参数和X。互化式中求得参数范围.

【例题31(2023秋•湖北随州•高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)已知函数f(x)=ax2+xlnx(aeR)图象

在点(1/(1))处的切线与直线x+3y=。垂直.

Q)求实数a的值；

(2)若存在keZ,使得f(x)>k恒成立，求实数k的最大值.

【变式3-1]1.(2023秋•四川成都•高三树德中学校考开学考试)已知函数f⑺=ex-ax,aeR.

⑴讨论f⑺的单调性；______

(2)若当x>一1时，/'(x)>ax,求a的取值范围.

(3)若存在实数a、b，使得f(久)+ax2>b-ax恒成立,求a-b的最小值.

【变式3-1]2.(2022秋•江西抚州•高三临川一中校考期中)已知函数=e久一ax,<p(x)=f(x)+sin2%,(aGR),

其中ex2.71828为自然对数的底数.

⑴讨论函数”久)的单调性，

⑵若aeN*,当久20时，(p(x)>。恒成立时，求a的最大值.(参考数据：e3«20.1)

【变式3-1]3.(2023•福建泉州•校考模拟预测)已知函数f(乃=In%-mx2+(1-2m)x+1.

⑴若m=1,求f(x)的极值；

(2)若对任意x>0,/(%)<0恒成立，求整数m的最小值.

题型4分离参数法

【例题41(2023秋•江苏镇江•高三统考开学考试)已知函数/(久)=In%-%e^+黄e为自然对数的底数).

(1)求函数f0)在x=1处的切线方程；

⑵若/'(%)+%-|-1>ae~x+Inx恒成立，求证：实数a<-1.

【变式4-1]1.(2023秋•广东江门•高三统考阶段练习)已知函数f(乃=0-l)lnx-m(x+1).

(1)若％=1是函数y=f(久)的极值点，求m的值；

⑵若对任意的xe@,+8),/Q)>o恒成立，求实数m的取值范围.

【变式4-1]2.(2023秋•辽宁沈阳•高三沈阳市第一二。中学校考阶段练习)已知函数/⑺=2久3+3(1+m)x2+

67n%(%6R).

Q)讨论函数/(%)的单调性;

⑵若〃-1)=1,函数g(x)=a(lnx+1)-等W0在(1,+8)上恒成立，求整数a的最大值.

【变式4-1]3.(2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试)已知函数f0)=lnx-x+(x-2)e^-m,meZ.

Q)当机=1时，求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若关于%的不等式/(久)<。在(0,1]上恒成立，求小的最小值.

【变式4-1]4.(2023•江西•校联考模拟预测)设函数/(久)=xlnx+1-a久；

(1)若/(久)>0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)在(1)的条件下，证明：elf⑺>a(%2-xe'T).

题型5分离参数法-洛必达法则

1.若分离参数后，所求最值恰好在“断点处"，则可以通过洛必达法则求出"最值"

2.注意"断点”是在端点处还是区间分界处.

【例题5]设函数〃久)=恶.(1)求f⑺的单调区间；

(2)如果对任何x>0,都有f(x)<ax,求a的取值范围.

【变式5-1]1.设函娄好(x)=整一Inx+ln(x+1).

(1)求f。)的单调区间和极值；

(2)是否存在实数a，使得关于X的不等式f(x)>a的解集为(0,+8)?若存在，求a的取值范围；若不存在，试

说明理由.

【变式5-1]2.已知函数/■(久)=ex,曲线y=f(x)在点(久(),尢)处的切线为y=g(久).

(1)证明：对于VxeR,f(x)>g(x)；

(2)当x>。时,f(x)>1+普恒成立，求实数a的取值范围.

题型6构造辅助函数求参

1.含有久1和血型，大多数可以考虑变换结构相同，构造函数解决.

2.可以利用第一问的某些结论或者函数结构寻找构造的函数特征.

【例题6](2023•四川宜宾•四川省宜宾市第四中学校校考三模)已知函数/⑺=aln(久-1)+J%2+1,久久)=/(%)+

(1)当a=-1时，求函数f(x)的极值；

(2)若任意右,乂2G(1,+8)且均丰4，都有必出12>1成立，求实数a的取值范围.

一工1

【变式6-1]1.(2023春•江苏扬州・高三扬州中学校考阶段练习)已知函数f。)=e，+(2-2a)或一以尤+1)(^6

(1)讨论f(行的单调性；

x

⑵设g(x)=xe-In(ex)+mx,若a=1,且对任意x】eR,x2G(0,+oo),%2/(%1)+^(%2)>0恒成立,求实数m的取

值范围.

【变式6-1]2.(2023秋・重庆渝北•高三重庆市渝北中学校校考阶段练习)已知函娄妤0)=；%2+aln(x-1),g(x)=

/⑺+专一+x-

⑴当a=-1时，求函数f(x)的极值；

⑵若任意打、久26(1,+8)且久1中x2,者隋吗工丝>1成立，求实数a的取值范围.

%]一

【变式6-1]3.(2022•陕西西安・西安中学校考模拟预测)已知函数/(久)=之/_(口+J%+也无，其中a>0.

(1)当a=1时，求函数y=f(x)在区间(0,e]上的最大值；

⑵若ae(o,j)，证明对任意xi,久2G[j,l]0丰x2),弋:片<，亘成立.

【变式6-1]4.(2021•甘肃嘉峪关•嘉峪关市第一中学校考三模)已知函数f(%)=ax2-e«aeR).

(1)若曲线y=f(%)在％=1处的切线与y轴垂直，求y=/0)的最大值；

(2)若对任意0<x1<x2,都有/■(久2)+久2(2-21n2)<f(久力+%-2-21n2),求a的取值范围.

题型7绝对值同构求参

1•含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值.

2.去掉绝对值，可以通过"同构"重新构造函数.

【例题7](2023・上海徐汇•位育中学校考模拟预测)已知函数/(久)=/一磔一a,aeR.

Q)判断函数f(x)的奇偶性；

⑵若函数F(x)=x"(久)在x=1处有极值，且关于x的方程FQ)=爪有3个不同的实根，求实数m的取值范围；

z

(3)记g(x)=-e(e是自然对数的底数).若对任意修、%2e[。回且%>冷时，均有-/fe)l<lg(久i)一g(%2)l成

立，求实数a的取值范围.

【变式7-1]1.(2022秋・天津北辰•高三校联考期中)已知函数f(%)=*-(a+£)尤+Inx,其中a>0.

Q)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(l,f(l))处切线的方程

(2)当a丰1时，求函数f(x)的单调区间；

(3)若a£(0.0,证明对任意xi,久2e[|,1]3丰x2),弋;:?)l<]恒成立.

【变式7-1】2.(2022秋•天津东丽・高三校考阶段练习)已知函数f(x)=#-aln久+6(aeR).

⑴若曲线y=f(x)在x=l处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a,b的值；

(2)当a=l时,/(%1)=/(%2)/且%好％2/求证%I+%2>2.

⑶若0<a41,对任意巧，x2&a,2],不等式|人巧)力犯)1，玲恒成立，求小的取值范围；

【变式7-1]3.(2021•吉林长春•吉林省实验校考模拟预测)已知函数f(久)=x-l-alnx.

⑴讨论函数/(久)的单调性；

(2)若对任意比1,久2e(0,1]都有，(久1)—/(X2)|<IgQi)—g(*2)l成立，其中gO)=[且a<o,求实数a的取值范围.

【变式7-1]4.(2020秋•海南海口•高三校考阶段练习)已知函数f(%)=Inx-|a%2+x(aER),g(x)=-2%+3.

(1)讨论函数F(x)=/O)+[ag(久)的单调性；

(2)若-3WaW-1时,对任意修、x2G[1,2],不等式|/31)-/(x2)|<t\g(x^-9(冷)|恒成立,求实数珀勺最小值.

【变式7-1]5.(2021秋•山西长治•高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数f(久)=ax2+21nx.

(1)若f(x)在(0,1]上的最大值为-2,求a的值；

(2)记。(久)=/(x)+(a-l)lnx+1,当a<一2时,若对任意乱与G(。，+00),总有1goi)一9(久2)12<4一冷1，求

k的最大值.

题型8函数取“整”型

讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【例题8](2023秋•辽宁沈阳•高三沈阳市第一二。中学校考阶段练习)已知函数f(久)=2%3+3(1+m)%2+6mx(xe

R).

Q)讨论函数f(x)的单调性；

⑵若f(-1)=1,函数g。)=a(lnx+1)-詈<0在(1,+8)上恒成立，求整数a的最大值.

【变式8-1]1.(2023秋•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)已知函数f⑺=2lnx-jm%2+1(meR)；

(1)当TH=1时,证明：/(%)<1；

(2)若关于x的不等式/(久)<(m-2)对亘成立，求整数机的最小值.

【变式8-1]2.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三校考阶段练习)设函数f(久)=/一3a/+3炉久

(1)若a=l,b=0,求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若0<a<6,不等式f等)〉/6)对任意xe(1,+8)恒成立,求整数k的最大值.

【变式8-1]3.(2023•广西桂林•校考模拟预测)已知函数/(久)=^-ln(x+a).

(1)讨论函数g(x)=f(x)-熹的单调性；

⑵若a=1,且存在整数k使得f(久)>k恒成立，求整数k的最大值.

(参考数据：ln2x0.69,ln3«1.10)

【变式8-1]4.(2022秋•云南•高三云南民族大学附属中学校考期中)已知函数f0)=In%+mx(meR).

⑴讨论函数八支)的单调性；

⑵若m为整数，且关于x的不等式“x)W£/+Q爪—1)久-1恒成立，求整数小的最小值.

题型9“存在”成立问题

1.当不能分离参数时候，要移项分类讨论.

2.确定是最大值还是最小值.

【例题9](2023秋•湖南株洲•高三株洲二中校考开学考试)已知函数/(久)=e--|%2-%-l,

Q)证明:当久>0时，(⑺>0恒成立；

(2)若关于x的方程号+；=asin久在(0,n)内有解,求实数a的取值范围.

【变式9-1]1.(2023秋•内蒙古赤峰•高三统考开学考试)已知函数f(久)=笺，xe(0,川，尸⑺是f⑺的导函数.

(1)证明：尸(久)存在唯一零点；

(2)若关于x的不等式尸(久)+爰+aW0有解，求a的取值范围.

【变式9-1]2.(2023・全国•高三专题练习)设函数f(久)=(a-a2)%+lnx-i(aeR).

小值；若不存在，请说明理由.

【变式9-1】3.(2022•辽宁・校联考一模)已知函数/'(x)=；x3-x2sina+x+l,ae|-£,g],

4LoZJ

⑴讨论函数/(X)的单调性；

⑵证明：存在a6卜?外，使得不等式f(x)>/有解(e是自然对数的底).

【变式9-1]4.(2022秋•北京•高三北京市第十二中学校考阶段练习)已知函数/(%)=ex(x123*+ax+a).

Q)当a=1时，求函数f(x)的单调区间：

(2)若关于x的不等式f(x)<e。在[a,+8)上有解，求实数a的取值范围；

(3)若曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围；(只需直接写出结果)

【变式9-1]5.(2022•北京海淀口01中学统考模拟预测)设函数f(%)=In%+^,g(X)=ax-3.

(1)求函数处久)=/(%)+g(久)的单调递增区间；

(2)当a=1时，记何x)=f(x)g(x),是否存在整数"使得关于X的不等式24>旗久)有解？若存在，请求出4的最小

值；若不存在，请说明理由.

1.(2023•陕西商洛传真安中学校考模拟预测)已知函数f0)=(久-，厂(%)是f(久)的导函数.

⑴设gQ)=/(%)-；,证明：9(%)是增函数；

(2)当％>0时，/(%)>aln(x+1)N?+9n3-工恒成立，求实数a的取值范围.

Z4X

2.(2023•河南开封•统考三模)已知函数f(x)=e«xeR).

(1)若x>0,函数/'(x)的图象与函数y=ax2(a>0)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围；

(2)若m<<n(m,n6R)在xG(0,1)恒成立，求几-爪的最小值.

3.(2023•福建厦门厦门一中校考一模)函数/(久)=手+a(x-1)-2.

(1)当a=0时，求函数f(%)的极值；

⑵若对任意xG(0,1)U(1,+8),不等式鲁<强成立，求实数a的取值范围.

4.(2023•贵州毕节校考模拟预测)已知函数/(久)=a(x-TT)b-sinx+l,%e[n,+<x>)

⑴当b=1时，,若/(%)41恒成立,求a的取值范围；

⑵若b="(x)在卜,河上有极值点配,求证：f(x0)+x0>n+1.

5.(2023•广东深圳•统考二模)已知函数f(x)=竺合的图象在(1"(1))处的切线经过点(2,2e2).

(1)求a的值及函数f(x)的单调区间；

⑵设g(x)=*,若关于x的不等式入阳(久)We2^-1在区间(1,+8)上恒成立，求正实数M勺取值范围.

6.(2023福建福州福建省福州第一中学校考模拟预测)已知函数人久)=asinx,其中a>0.

(1)若/■(久)<久在[0,+8)上恒成立，求a的取值范围；

⑵证明：V久e(0,+co),有2e*>(%+£)[ln(x+1)+sin%].

7.(2022•贵州安顺统考模拟预测)已知函数f(x)=ex+ax2-1.

(1)讨论函数八支)的导函数的单调性；

(2)若a>二",求证：对V*>0,/(x)>|x3+x恒成立.

8.(2023•河南•校联考模拟预测)已知函数f(乃=ex-x2-ax,aeR.

Q)若八久)为R上的增函数，求a的取值范围；

(2)若/(久)>-x2+3x+b在xGR内恒成立,6GR,求2a+b的最大值.

9.(2023•全国•统考高考真题)已知函数f⑶=ax-襄,xe(0彳)

(1)当a=8时，讨论f(x)的单调性；

⑵若/'(久)<sin2vfg成立，求a的取值范围.

10.(2011•北京•高考真题)已知函数/'(X)=1-kx-xlnx(/ceR),g(x)=上(1+1).

(1)若久e(0,1]时，/(久)=0有解,求k的取值范围;

(2)在(1)的条件下k取最小值时，求证：/(%)<g(x)恒成立.

参考答案与解析

题型1直接求导型...............................................................11

题型2端点赋值法...............................................................18

题型3隐零点型.................................................................25

题型4分离参数法...............................................................32

题型5分离参数法-洛必达法则....................................................38

题型6构造辅助函数求参.........................................................42

题型7绝对值同构求参...........................................................50

题型8函数取“整”型...........................................................59

题型9“存在”成立问题.........................................................66

题型1直接求导型

划重点I

若/(X)在区间D上有最值，则

(1)恒成立:Vx6D,/(x)>0<=>/(x)min>0；Vx6D,f(x)<0=f(x)max<0；

(2)能成立：3xGD,f(x)>0=/(x)max>0；3^6D,f(x)<0=/(x)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：a>/(%)(或a<f(x)),贝U

(1)恒成立：a>f(x)oa>/(%)max；a</(x)oa</(x)min；

(2)能成立：a>f(x)=a>/(x)min；a<f(x)=a</(x)max；

【例题1](2023秋•河南•高三校联考开学考试)已知函数f⑺=警，xeD.其中。=(0,1)U(1,+8)

1-X

(1)求函数/(为在点处的切线方程；

⑵若g(x)=-e，且V%eD,f(%)>。(久)恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)(4-41n2)尤-y-2=0

(2)[1,+8)

【分析】(1)利用导数几何意义可求得切线斜率尸G),结合f©=-21n2可求得切线方程；

>0,将恒成立的不等式转化为a>舞,分别在(0,1)和(1,+8)的情况下得到变形后的不等关系；构造函

数%⑴=21nx-a(x-i),分别在a>1和0<a<1的情况下讨论得到h(x)的单调性，结合八(1)=。可确定满足题意

的取值范围.

【详解】(1)「尸3=舒=代(­••/(乡=守=4-41n2,

又/0=牛=-21n2,

2

/(久)在点0)处的切线方程为y+2In2=(4一41n2)-m,即(4-41n2)x-y-2=0.

(2)当％e(0,1)时,f(x)=普<0;当xe(1,+oo)时,f(x)=罟<0;

•••/(%)<0在％e。上恒成立，

当a<0时，g(x)=-^>0,/(x)>g(x)不成立，不合题意；

当a>。时，不等式可变形为：a>舞，

当％E(0,1)时,a(石—专)<Inx=21nV%,即21n«—a—套)>0；

当％e(1,+8)时,a—套)>Inx=21nVx,即21n«—a—专)<0；

令h(%)=21nx—a(%—：),%E(0,4-oo),则九口)=：—a(1+妥)=一""皆"一°；

令m(%)=—ax2+2x—a,则A=4—4a2；

①当A<0,即a21时,m(x)<0恒成立,即"(%)<0恒成立，

・•.九(%)在(0,+8)上单调递减,

则当工£(0,1)时,h(x)>h(l)=0,BP2Inx>Q(%—()21nV%—a{y[x—2)>0；

当％G(1,+8)时,h(x)<八⑴=0,即21n%<a(%—：),21nVx—a—2)<0；

•••f(x)>g(%)恒成立，满足题意；

②当A>0,即0VaV1时，设m(%)=。的两根分别为%1，型(%1<%2)，

2

•・•+%2=1>2,XrX2=1,-0<%!<1<X2,

・•・当％eOi，1)时,m(x)>o,即//(%)>o,八(%)在1)上单调递增，

■■

此时无(久)<屁)=0,即21nx<a(x-1),21nVx-a(y/x-2)<0,不合题意；

:实数a的取值范围为[1,+oo).

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本思路是将

问题转化为含参函数单调性的讨论问题，通过讨论含参函数的单调性，确定符合题意的参数范围即可.

【变式1-1]1.(2023秋•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)已知函数f(x)=2ln%-|mx2+l(meR).

(1)当m=1时，证明：f(x)<1；

(2)若关于x的不等式门久)<(爪-2)x恒成立，求整数小的最小值.

【答案】Q)证明见解析

(2)最小值为3

【分析】(1)先确定函数的定义域，求导得f'(%)=一，根据其正负即可得函数的单调区间，再根据最值证明即可；

(2)构造函数G(x)=21nx-|mx2+(2-m)x+1在区间(0,+oo)内恒成立，再求出G(x)的最大值为G(、)=、一

2lnzn+2ln2-1,

结合函数单调性，即求得整数血的最小值.

【详解】(1)当巾=1时，/(%)=21nx-1%2+1(%>0),

fix')=|—x=(%>0),

令尸(x)=0,得x=&,

当Xe(o,&)时，尸(%)>o,f(x)单调递增；

当%e(V2,+8)时，/(%)<o,f(x)单调递减,

所以/(X)在X=/处取得唯一的极大值，即为最大值，

所以〃%)max=/(V2)=2lnV2-1X2+1=In2,

所以f(x)<In2,

而In2<Ine=1,

所以/'(x)<1.

■I

，(2)令G(x^=/(x)—(m-2)x-21nx-|m%2+(2-m)x+1.

=|-mx+(2-m)=二♦+(j-m)x+2.

当m<0时,因为x>0,所以G<x)>0,所以G(K)在(0,+8)上单调递增,

又因为G(l)=-|m+3>0.

所以关于x的不等式GQ)<0不能恒成立；

当巾>0时，G，(x)=

X

令G，(x)=0,得X=A,所以当xe(0,2)时，G'(x)>0；

当x£佶,+8)时，G'(X)<0.

因此函数G⑶在(0,§上单调递增，在华,+8)上单调递减.

故函数G(x)的最大值为G(')='—2lnm+2ln2-1.

令h(7n)=》2lm+21n2-1，

因为h(l)=1+2ln2>0,h(2)=0,h(3)=2ln2-2ln3-|<0,

又因为八(巾)在(0,+8)上单调递减，所以当巾>3时，/i(m)<0.

所以整数巾的最小值为3.

【点睛】方法点睛：根据不等式直接构造函数，分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数小范围

【变式1-1]2.(2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试)已知函数/'(X)=/_mx\nx+1,meR且小牛0.

Q)当机=1时，求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若关于%的不等式/(久)>:久恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数小的取值范围.

【答案】⑴x-丫+1=0

⑵R—e,0)u(0,e-j]

【分析】(1)求导，利用导数值求解斜率，即可由点斜式求解直线方程，

(2)将问题转化为x+1-minx-|>。在(0,+9)上恒成立，构造函数g(x)=x+--minx--,ft(x)=%+-—

(x-3Inx-j,利用导数求解单调性，即可求解.

(1)由题,当m=1时,ftx)=x2-xlnx+1,/'(x)=2x-Inx-1,

，/'⑴=2,所以切线方程为y-2=x-1,

化简得x-y+l=O,即曲线f(x)在点处的切线方程为x-y+l=O.

(2)/(%)>|x,即/_mxlnx+1>jx,即x+|-minx-|>0在(0,+8)上恒成立，

令g(x)=-+»minx-1,则g(x)=1一2一?=

对于y=x2-mx-l,A=m2+4>0,故其必有两个零点，且两个零点的积为-1,

则两个零点一正一负，设其正零点为比6(0,+0°),则比-mx-1=0,即爪=x~—,

00%0

且在(O,%o)上时y=x2-mx-1<0,则“(x)<0,此时g(x)单调递减，

在Oo,+8)上,y=x2-mx-1>0,g'(x)>0,此时g(x)单调递增,

因此当久=X。时，g(x)取最小值，

故9(320，即&+.-(*。—In%。-|>0.

令/i(x)=x+/-卜-Inx-1,则"⑺=1一2一(1+2)Inx—(1—2)=—(1+—Inx,

当％6(0,1)时，h'{x)>0,当％E(L+8)时，〃(%)<0,

则%0)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，又hQ)=h(e)=0,故久。e[j,e],

显然函数巾=x0-擀在R,e]上是关于通的单调递增函数，则巾eg-e,e-j],

所以实数小的取值范围为日一e,0)u(0,e-j]

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直

接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在

性问题的区别.

【变式1-1]3.(2023秋•重庆•高三统考阶段练习)已知函数向式)=t-ex+ln^,n(x)"—In

(1)若函数R(x)=m(x)-n(x),讨论当t=1时函数F(久)的单调性；

(2)若函数爪(久)>2恒成立，求珀勺取值范围.

【答案】⑴在(-2,ln2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增

(2)(e,+8)

【分析】(1)化简可得F(x)=-2%-1(%>-2),利用导数可求得F(x)单调性；

(2)分析可知t>0且x>-2；令。(久)=e*+x,可将恒成立的不等式转化为g(久+Int)>g(ln(x+2)),结合单调性

可得Int>ln(x+2)-x,令h(x)=ln(x+2)-x,利用导数可求得h(x)单调性和八(x)max，进而得到t的范围.

【详解】(1)当t=1时，F(x)=e*+In+-1+In詈=ex—1+lne-2x=ex—2x—1(%>-2)；

•••F(X)定义域为(-2,+8),F，(x)=ex-2,

二当“£(—2,ln2)时，户(x)<0；当x£(ln2,+8)时，尸'(x)>0;

•••FO)在(-2,ln2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增.

(2)若x+2<0,即x<—2,由累>0彳导：t<0,

则当x=—2+t时，m(—2+t)=te~2+t+Ini=te~2+t<0,则m(x)>2不恒成立,

•••t>。且zn(x)定义域为(一2,+8);

由m(x)>2恒成立可得：t,e*+Int—ln(x+2)>2,

x+lnt

...g+x+Int>ln(x+2)+x+2=e】n(x+2)+in(x+2),

令9(x)=ex+x,贝！|g(x+Int)>g(ln(x+2)),

•••y=e》与y=%均为单调递增函数，;g(x)为单调递增函数,

%+Int>ln(x+2),Int>ln(x+2)-x；

x+1

令八(工)=ln(x+2)—x,则八'(x)=—1

%+2

.•.当xe(-2,-1)时，h'(x)>o;当％e(-1,+8)时，h'(x)<0;

八(X)在(一2,-1)上单调递增，在(-1,+8)上单调递减，二h(X)max=以-1)=1,

•••Int>1,解得:t>e,即实数t的取值范围为(e,+oo).

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调性，恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够采

用同构法，将问题转化为g(x)=e，+x的两个函数值大小关系的比较问题，进而根据g(%)的单调性得到自变量的大小

关系.

【变式1-1]4.(2023秋•云南保山•高三统考期末)已知函数人久)=2ax-sinx.

Q)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0/(0))处的切线方程；

⑵当x>0时，f(x)>aKCOSx恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(l)y=%

⑵U+8)

【分析】(1)求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜率式方程可得切线的方程；

(2)求出导数，令令g(x)=/(x)-axcosx,讨论当a>l,a<0,0<a<1时，函数g(x)的单调性，即可得到所求

范围.

【详解】(1)当a=1时,f(x)=2x-sinx,f'(%)=2-COS%,

切线的斜率为k=r(0)=l,

又切点为(0,0),所以切线方程为y=%.

(2)令g(x)=/(%)—axCOSx,即g(x)=2ax—axCOSx—sinx,

①若a>1,则当x>0时,g(x)>2x—xcosx-sinx,令h(x)—7.x—xcosx-sinx,h'(x)—2—2cosx+xsinx,

当xe时，h'(x)>0,

所以h(x)在(0,用上单调递增,h(x)>h(0)=0,

当xe(TI,+8)时，h(x)=%(1—cosx)+(%—sinx)>0,

所以g(%)>h(x)>0恒成立，符合题意;

②若a<0,则当xE时，g(x)—2ax—axcosx—sinx=ax(l—cosx)+ax—sinx<0,不合题意；

③若0<a<1,注意到g(0)=0,g'(x)=2a—a(COSx—久sinx)—COSx,g'(0)=a—1,

令3(x)=g'(x)=2a—a(cosx—xsinx)—cosx,则d(x)=(2a+l)sinx+axcosx,

eM)时,v'(x)>o,HWG)在(。?)上单调递增,

=a-1<0,gg)=(2+以a>0,

所以存在%。e(0()，使得g'Oo)=0,

当xe(0,沏)时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,沏)上单调递减，g(x)<g(0)=0,不合题意.

综上，a的取值范围为[1,+8).

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数不等式恒成立问题，一种方法为参变分离，一种方法转化为函数的最值来求解,

并通过利用导数分析函数的单调性来得到函数的最值，考查化归与转化思想，属于难题.

题型2端点赋值法

1.端点赋值法(函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用)

2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围.注意，开区间不一定

是充分条件.

有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论.

【例题2](2022•河南郑州•统考一模)设函数f⑺=In%-p(x-l),p£R.

(1)当p=1时，求函数的单调区间；

(2)设函数。(久)=xf(x)+p(2x2-x-1)对任意x>1都有g(x)<。成立，求p的取值范围.

【答案】(1)/(久)的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,+8);(2)pW后.

【分析】(1)求出厂(%),在定义域内，分别令尸0)>。求得x的范围，可得函数f⑺增区间，f'M<0求得x的范围，

可得函数f0)的减区间；

(2)求出“⑺=Inx+1+2px,由(1)得到Inx<%-1,将其代入“(%),然后对p的不同取值进行讨论，分别利用

导数研究函数的单调性，根据单调性求其最值，筛选出符合条件的p的取值范围即可.

【详解】(1)当P=1时，/(x)=In%-%+1,其定义域为(0,+8).

所以尸(X)1,由/0)=：-1>。得。<X<1,

的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8).

(2)由函数g(x)=x/(x)+p(2x2—x—1)=xlnx+p(2_1)得)由)=Inx+1+2px.

由(1)知，当p=1时，〃%)</(l)=0,即不等式Inx<x-1成立.

①当p<—［时，g<x)=Inx+1+2px<(x—1)+1+2Px=(1+2p)x<0,

即g(x)在［l,+8)上单调递减，从而g(x)Wg(l)=0满足题意；

②当一］<p<0时,存在久e(1,一2)使得Inx>0,1+2px>0,

从而g，(x)=Inx+1+2px>0,即9的在(1,一联)上单调递增,

从而存在%。6(1，-味)使得9(&)>g(D=。不满足题意；

③当P>。时,由尤>1知g(x)=xlnx+p(x2-1)>。恒成立,此时不满足题意.

综上所述，实数p的取值范围为P<-1

【点睛】方法点睛:不等式恒成立问题常见方法:①分离参数a>f(%)恒成立(a>f(x)max即可)或a<fO)恒成立(a<

fCOmin即可)；②数形结合8=f(x)图象在丫=9(久)上方即可)；③讨论最值/'COmin?。或/COmax4。恒成立；

④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

【变式2-1］1.(2022秋•黑龙江鸡西•高三校考阶段练习)已知函数f(X)=|%2-(a+l)x+alnx+1.

(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(久)的单调性；

(2)若f(久)>1恒成立，求a的取值范围.

【答案】⑴增区间为(0,1),(3,+8);减区间为(1,3)

(2)(-oo,-|］

【分析】(1)由尸(3)=0求得a的值，再由尸(%)求得f(x)的单调区间.

(2)代入x=1可得a<0,再结合函数单调性确定最值后即可得解.

【详解】(1)f(久)的定义域为(0,+8),尸(x)=x-(a+1)+^,

若久=3是f(x)的极值点,则r(3)=3—(a+l)+：0,解得a=3,

此时.0)号-4+；(>*-3),

间(0,1)U(3,+8)上/⑺>0JQ)单调递增；

在区间(1,3)上尸⑺<0,/(x)单调递减.

此时x=3是f(x)的极小值点，符合题意.

综上所述，/(久)的增区间为(0,1),(3,+8);减区间为(1,3).

(2)/(%)=|x2—(a+l)x+alnx+1(%>0),

由f(x)>1,得之久2—(a+l)x+alnx+1>l,|x2—(a+l)x+alnx>0①，

设g(%)=|x2—(a+l)x+alnx(x>0)

g⑴=|-(a+1)=-a-|,

所以当a>0时，g(l)<0,①不成立，故a<0,

g，(x)=x-(a+l)+?=£『，

所以g(x)在区间(0,1)上g'(x)<0,g(x)单调递减；

在区间(1,+8)上,g\x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)>g⑴=-a-|>0,解得a<

综上所述，a的取值范围是(-8,—1

【点睛】利用导数研究函数的极值点，除了尸(见)=0以外，还需要f(无)在％=与左右两侧的单调性相反.利用导数研究

含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法，也可以直接构造函数，然后利用导数进行研究.

【变式2-1]2.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习)