2025高考数学复习必刷题：直线、平面垂直的判定与性质

第49讲直线、平面垂直的判定与性质

知识梳理

知识点1:直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,那称这条直线和这个平面相互垂直.

知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语

图形语言符号语言

言

一条直

1

线与一个平

面内的两条a,bua

判断定aVI

相交直线都7>n/_La

理b-Ll

垂直，则该acb=P

直线与此平

面垂直

两个平

面垂直，则<

在一个平面aX.(3

面_L面acB=a

内垂直于交>=>Z7±cr

bu/3

=＞线_1面

线的直线与b-La

另一个平面

垂直

一条直a

线与两平行/z

平面中的一

平行与zzalIB]

个平面垂卜=>G_L/

垂直的关系aVa\

直，则该直

线与另一个

平面也垂直

两平行ab

直线中有一

平行与条与平面垂allb}

>=>Z?ldz

垂直的关系直，则另一ala]

条直线与该

平面也垂直

知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

垂直于同?b

性质定alia

一平面的两条7au/31=>〃///?

理acB=b

直线平行

文字语

图形语言符号语言

言

垂直于

a

垂直与同一直线的ala]

z£Z1IB

平行的关系两个平面平al/7J

行zd二

如果一

条直线垂直

于一个平

线垂直

面，则该直J/_L%aua=>/_La

于面的性质

线与平面内三

所有直线都

垂直

知识点4：平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两

条交线互相垂直.（如图所示，若ac0=CD,CDLy,且cy=AB,4c7=BE,BE,

则c_L尸）

一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面一bla]

}na_L/?

过另一个平面hbu队

的垂线，则这两

个平面垂直

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，aIB

ac0=a

则一个平面内垂直>=>6_La

bu(3

于交线的直线与另b-La

一个平面垂直

【解题方法总结】

判定定理,判定定理）

线，线,性质定理线，面,性质定理面,面

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质（aJ_%bu；

⑦平行线垂直直线的传递性(aljaUbnblc).

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(a_Lb,aJ_Gcua,bua,Z?cc=P=>a_La)；

③面面垂直的性质Qa，(3,ac/3=b,a，b,aua=a，/3

平行线垂直平面的传递性(aLa,blla=>bLa)；

⑤面面垂直的性质(a1y,/3Ly,ac0=l=l1y).

(3)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a_L尸,autz=a_L4).

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系

中处于核心位置.

必考题型全归纳

题型一：垂直性质的简单判定

例1.(2024•甘肃兰州•校考模拟预测)设私”是两条不同的直线，氏尸是两个不同的平

面，则下列说法正确的是()

A.若根则mla

B.若,则加la

C.若相则加la

D.若相_L〃_La,则mla

【答案】D

【解析】当机_L〃，〃//a时，可能有掰la,但也有可能m〃a或"?ua,故A选项错误；

当夕_La时，可能有加la,但也有可能加//a或帆u”,故选项B错误;

在如图所示的正方体A38-A4GA中，

取，〃为4G，”为CG，4为平面ABCD,。为平面ADQA,这时满足加上"，nl/3,

B，a,但mla不成立，故选项C错误；

当机_1_夕，尸，〃_La时，必有a〃夕，从而加la,故选项D正确；

故选：D.

例2.（2024•重庆•统考模拟预测）已知/,加，〃表示不同的直线，*ft,7表示不同

的平面，则下列四个命题正确的是（）

A.若〃/a,且加//a,贝!J/_LMB.若a_L〃，掰//a,〃_L尸，则加//“

C.若加〃/,且加la,则/_L（zD.若加1九，mla,〃〃£,则

【答案】C

【解析】对于选项A：若〃/a,且mlla,则/,机可能平行、相交或异面，并不一定垂

直，故A错误；

对于选项B：若a_LQ，掰//a,尸，则比,〃可能平行、相交或异面，并不一定平

行，故B错误；

对于选项C：若加〃/,且加la,根据线面垂直可得：IVa,故C正确；

对于选项D：若机1九，mla,但不能得到“la,

所以虽然“〃?，不能得到a,尸，故D错误；

故选：C.

例3.（2024•陕西咸阳•统考二模）已知〃z是两条不同的直线，a,户是两个不同的

平面，有以下四个命题：

①若m//n,“ua,则〃z〃a,②若mca,mV/3,则a_L6，

③若〃zla,m_L夕，贝1Ja〃），④若a_L〃，〃zua,nua,则加J_"

其中正确的命题是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

【答案】A

【解析】对于①，当神〃"，"<=a时，〃2〃。或利<=*所以①错误，

对于②，当，〃ua,机_L£时，由面面垂直的判定定理可得（Z_L夕，所以②正确,

对于③，当mla，相时，有。〃尸，所以③正确，

对于④，当C夕，mca,"ua时，如图所示，m//n,所以④错误，

故选：A

变式1.（2024•河南•校联考模拟预测）已知。，力是两个不同的平面，加，〃是两条不同的

直线，则下列命题中正确的是（）

A.若则“_L〃B.若a〃/3,mua,nu/3,则加〃〃

C.若m工n,muajiu0,则D.若〃i，a,m〃n,n〃B,则a_L6

【答案】D

【解析】对于A,可能会出现〃〃尸,〃<=「，或〃与尸相交但不垂直的情况，所以A不正

确；

对于B,加,"可能平行、可能异面，所以B不正确；

对于C,若打〃/?,仍然满足mu（z,wu/?且机_|_〃，所以C不正确；

对于D,mVa,m!In,则〃_La,再由"〃尸，可得a_L£,可知D正确.

故选：D.

变式2.（2024•陕西咸阳•统考模拟预测）如图所示的菱形ABCD中，

46=2,/区4。=60。,对角线47,%»交于点0,将沿BD折到△%'班）位置，使平面

A'Ml平面BCD以下命题：

①BD1AC；

②平面A'。。1平面BCD；

③平面ABC1平面ACD；

④三棱锥A-BCD体积为1.

其中正确命题序号为（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

【答案】D

【解析】如图：

因为四边形是菱形，Zfi4D=60°,

所以皿=4。=8。=。0=如，0为8D的中点，

所以BDLA。，BD1C0.AOcCO=O,AO,COu面AOC,

所以班）1面AOC,又A'Cu面A。。，所以3D1AC,即①正确；

由①知班）工面AOC,又BDu面BCD,所以平面A。。1平面BCD,即②正确;

如图：

取AC的中点为E，连接研，DE，依题意，A6=BC=AO=CD,

所BE/AE，DELAC,所以4即是二面角6—AC—。的平面角，

又因为平面ABD1平面3CD，平面48。门平面68=如，BD1AO

所以A'O，面BCD,AA'BD和△BCD是边长为2的正三角形，

所以Ac=℃=J22-F=6,且有AO_LOC,

所以在Rt^AOC中，A'C=V6,

又△ABC和△ADC是两全等的等腰三角形，AB=BC=AD=CD=2,

AC的中点为E，所以BE=DE=

由已知可得△BCD是边长为2的正三角形，得a=2,

则在ABQE中,容易算得如=2,BE=DE=—,BD2BE2+DE2-

2

所以/BEDW90。，所以二面角8-AC—。不是直二面角，故③错误；

由已知可得△BCD是边长为2的正三角形，又由上得A'。，面BCD,

所以三棱锥的高即为AO,A,O=V3,△BCD是边长为2的正三角形，

所以三棱锥A-BCD的体积为％BC/A'O=W2x2x3x6=i,故④正确.

3'BCD322

故选：D.

变式3.（2024•广西南宁•武鸣县武鸣中学校考三模）已知/,加，〃是三条不同的直线，

4是不同的平面，则下列条件中能推出夕的是（）

A.Iua,mu0,且/_1_加

B.lua,mu。,nu/3,且/_1_加，/In

C.%ua,nuB,mlln,且/

D.Iaa,IUm,且〃z_L£

【答案】D

【解析】对于A,lua,mu/3,且/_LM,。，尸可以平行、相交不垂直、垂直，A不

正确；

对于B,lua,机u£,nu0,且/J_M,/I”，当加,“不相交时，/不一定与耳垂

直，贝心不一定与尸垂直，B不正确；

对于c,mua,〃u尸，m//n,且显然直线/与名△无关系，。，）可以平

行、相交不垂直、垂直，C不正确；

对于D,由///加，mV/3,得/，尸，又lua,根据面面垂直的判定知a，夕，D正确.

故选：D

【解题方法总结】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

题型二：证明线线垂直

例4.（2024•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-44G中，

AB^BC,AB】=B、c.

小G

（1）证明：AC±BtB;

【解析】（1）取AC的中点。，连接BD，B.D,

•••AB=BC,ABx=B,c,.-,ACLBD,AC±BtD,

又BDCBQ=D,

而84u平面BBQ,

.-.ACLBXB-

例5.（2024•广东深圳•统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,

241平面488,八4=4。=近48,点板是阳的中点.

（1）证明：AMLPC；

【解析】（1）证明：因为P4=AQ,点根是尸D的中点，所以401PE）.

因为巳41平面ABCRPAu平面以£），所以平面Q4Q1平面48CD,

因为四边形ABCD为矩形，所以CDLAD,

因为平面B4£）c平面ABCD=AD，CDu平面A8CD,

所以CD,平面以£）,所以CDLAM,

因为PDcCD=D,PDCDu平面PCD,

所以平面PCD，

因为PCu平面PCD,所以AMJ_PC.

例6.（2024•河南•校联考模拟预测）己知三棱柱ABC-44C中，

A8=AC=2,44=AB=4C=2,NR4c=90。,E是BC的中点，方是线段上一点.

⑴求证：ABLEF；

【解析】(1)证明：连接4E,AE,EG

vZfi4C=90°,AB=AC=2,£是BC的中点

.-.AE1BC

BC=6AB=26,AE=BE=EC=LBC=&

2

•.•4A=A8=AC=2,£是BC的中点

-.A.E^BC,:.AEMQAB?-BE?=4^=垃

222

A,A=AE+AlE,AE±AtE

；AEcBC=E,AE,BCu平面ABC

.•.4E，平面ABC,「ABu平面ABC，\ELAB,

・•・在三棱柱ABC-A4G中，AG〃AC,

-,-ABLAC,AB±AG,

■.•4ECAG=A,AEAGUAGE

,：AB工平面ACE,

,即u平面AGE,，AB1EF.

变式4.（2024•福建宁德•校考模拟预测）图1是由直角梯形A8CD和以C。为直径的半

圆组成的平面图形，AD//BC,ADIAB^AD=A3=ggC=l.E是半圆上的一个动

点，当△CZJE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD_L平面ABC。，此时的点E

到达点尸的位置，如图2.

⑴求证：BDLPD；

【解析】（1）如下图，过点。作以1交加于点/，连结即，

因为AD〃BC,AD1AB,AD^AB^BC=\.

所以BF=FC=1,BD=^2,DC=y/2,由Br>2+OC2=BC2,

所以BD1CD,

因为平面PCD_L平面A8C£）,平面peon平面ABCD=CD,Mu平面ABCD

所以班）1平面PCD，又PDu平面PCD，

所以BD1PD.

变式5.（2024•河南•校联考模拟预测）如图，己知三棱柱ABC-44Q中，

AB=AC=2,=A^B=\c=2V2,ABAC=90°,E是BC的中点，厂是线段A©上一

⑴求证：ABLEF；

⑵设p是棱AA上的动点（不包括边界），当APBC的面积最小时，求棱锥尸-ABC的体

积.

【解析】（1）连接AE,AE

■：,E为BC中点,：.\EVBC.

又A5=4C,Z£L4C=90°,/.AEIBC,且AE=BE=EC.

•/AiA=A[B=AjC,

.•.△AAE/ZkABE,A^E±AE,

又AE^BC,BCC\AE=E,8C,AEu平面ABC,

.•.AE，平面ABC,又Mu平面ABC,

由已知皿/AC,AC〃4G，，AB_LAG,

又AGcAE=a,AQAEU平面A”，二融/平面ACE.

而reAQ,EFu平面AGE,,加，郎.

(2)由(1)可知4EL8C,AELBC.

又A,EcAE=E,4E,AEu平面AA£,；.BC_L平面耳短，

所以S△尸BC二万BCPE,又♦■•p在棱HA上移动，

;当PE1他时,PE最小,此时APBC面积最小.

兀

在RGAEA中，4A=2V2,AE=①,则4石=&,/34=—,.-.AP=

6

在AAAE中，过户做PM1AE于叔，则尸M〃AE,

PMAP感

•■•—=PM1平面ABC,于是可得PM=2.

,_11_5/6_A/6

■v•VP-ABC=322O2'

变式6.（2024•贵州毕节•校考模拟预测）在梯形ABCD中，ABIIDC,NZMB=90。，

CD=2,AC=AB=4,如图1.沿对角线AC将△D4C折起，使点。到达点户的位置，E为

BC的中点，如图2.

p

图1图2

(1)证明：PE1AC.

【解析】(1)因为M//DC,ZDAB^9Q°,所以/4DC=90。，

DC1

所以cos/ACD=—=—,所以NACD=60°,则NC4B=NACO=60°,

AC2

又AC=AB=4,所以融。为等边三角形，所以6C=4,又£为加的中点,

连接Q石交AC于点0,则OC=CE=2,ZDC(9=ZECO=60°,

所以△。。8△后。。，所以NCOD=NCOE=90°,即。

则折起后AC1OP,ACLOE,OE^OP^O,OE,OPu平面POE,

所以AC1平面POE,PEu平面POE，所以PE1AC.

【解题方法总结】

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面=>勾股定理（题目中线段数据多）

证明4±1先看两直线位置关系

2其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

.异面n考虑用线面垂直推导异面垂直n找重垂线n在重垂线对应平面内找=

题型三：证明线面垂直

13.（2024•陕西榆林•陕西省神木中学校考三模）如图，在四棱柱A58-44G2中,

底面ABCD,底面4BCD满足AD//BC,S.AB=AD=AA1=2,BD=DC=2日

⑴求证：/15_/.平面4。24；

(2)求四棱锥c-8DD禺的体积.

【解析】(1)由底面4BCD,ABU平面ABCD,

所以AB_LA4「

又因为筋=AD=2，BD=2V2.

满足Af+A/y=%)2,可得ABLAD,

又cAD=A,AAj,ADu平面ADDXA^,

所以ABI平面

(2)由(1)中曲_L心，且AD//BC,BD=DC=242,可得6c=4,

因此%)2+。。2=8C?,即皮)1DC,

又A4,，平面48CD,AA.//DD,,

可得DD,1平面ABCD,OCU平面ABCD,

即DR±DC,

又DD、IBD=D,DD、,BDu平面BDD、B、,

所以OC1平面BDR4,即。c为四棱锥c-田的高，

即四棱锥C-出力)内的体积.匕_8即4=g-BD•DC=gx2x2&x2&=g

例7.(2024•云南•校联考模拟预测)如图，在四棱锥尸-Q钻。中，已知

717r7T

OA=OP=1,CP=2,AB=4,^CPO=-,ZABC=-,ZAOC=-.

362

TV

【解析】(1)在△POC中，ZCPO=-,CP=2,OP=\,

所以CO2=Cp2+Op2-2CP-OP-cos/CPO=4+l-2x2xlx』=3.

2

所以CO=8，故CC^+OL=cp2,则CO1OP.

71

又/4。。=不，即G91Q4.

2

"<^04=0,0尸,04匚平面人。尸,

所以C01平面AOP.

例8.（2024•云南昭通•校联考模拟预测）如图，在三棱锥C-中，CD1平面

ABD,E为AB的中点，AB=BC=AC=2,CG=2EG.

【解析】（1）因为CD1平面的，Mu平面”，所以CD1AB,

又因为AB=BC=AC,E为此的中点，所以CE是加。的中线，

所以CE/M,且CEcCD=C,CECDu平面CED,

所以平面CED.

例9.（2024•内蒙古赤峰•赤峰二中校联考模拟预测）如图1,在五边形ABCDE中，四边

形MCE为正方形，CD1DE,CD=DE,如图2,将△可沿坛折起，使得A至A处，且

AB_LAJD.

图1图2

⑴证明：平面ABE；

7TTT

【解析】（1）由题意得/BEC=/CEZ）=：,/BED）,DE1BE>

42

因为AB1AE，则

又AEnAQ=4，AE，4Du面A。，所以AbJ.面a”，

又DEu面AE。，则DE_LAB,

又DE1BE，ABCBE=B,平面AJBE,跖匚平面ABE,

所以DE/平面HBE.

变式7.（2024•重庆巴南•统考一模）如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知/N1平面

ABC,平面PAB1平面PBC.

p

w

R

⑴证明：BCl平面

【解析】（1）过点A作他1尸8于点£,

因为平面Q4B1平面P8C,且平面B48c平面PBC=PB，AEu平面B4B，

所以AE1平面P8C，

又BCu平面PBC,所以

又B11平面ABC，BCu平面必C,

所以B416C,

又因为AEnPA=A,AE，以u平面必B，

所以6C1平面

变式8.（2024•广东广州•统考三模）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEV所在平面

与平面ABCD互相垂直，UAB^BC=BF=1,AD=CD=BEF=2-

BC

⑴求证：BC1平面CDE；

【解析】（1）在矩形或）郎中，DELBD，

又平面平面48CZ）,平面ABCDQ平面8/无产=即，DEu平面BDEF，

所以上平面ABCD，

又BCu平面ABCD,

所以OE1BC,

在矩形BDEF中，BD=EF=2,

又BC=I,CDW，所以应）2=4=叱+。。2,

所以8cleD.

又DEcCD=D,DE,CDu平面CDE,

所以平面CDE；

变式9.（2024•天津津南•天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱

ABC-A4G中，平面ACGA，平面ABC,AC=BC=CG=2,。是AA的中点，且

^ACB=90°,ND4c=60\

B

⑴证明：平面CBD；

【解析】（1）连接累，

由题意可知：△AC4,为等边三角形，且。是AA的中点，

所以CDLA4，

因为平面ACGA，平面ABC,平面ACCdn平面脑C=AC,AC1BC,

所以平面ACGA,

且AAu平面ACG4,可得BOL4,,

CDcBC=C,CD,BCu平面CBD,

所以A4,，平面CBD.

【解题方法总结】

垂直关系中线面垂直是重点.

,①垂直两条相交线；

②垂直里面作垂线；

线垂面哪里找4

③直（正）棱柱的侧棱是垂线；

、④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.

心—①垂直面里所有线（证线线垂直）；

线垂面有何用

[4②过垂线作垂面（证面面垂直）.

证明线面垂直常用两种方法.

方法一：线面垂直的判定.

线线垂直二线面垂直，符号表示为：a_Lb,a.Lc,b（^a,c（^,oc,bi^c=P>那么al.a.

方法二：面面垂直的性质.

面面垂直二线面垂直，符号表示为：=b,a<^a,aLb,那么a_L尸.

题型四：证明面面垂直

例10.（2024•山西运城•山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱ABC-44G中，

侧面54CC为菱形，NCB乩=60。，AB=BC=2,AC=AB1=V2.

（1）证明：平面AC8I平面;

【解析】（1）如图，连接3G,交4c于0,连接40.

因为侧面84G。为菱形，所以4C，2?G,且。为BG的中点.又AC=A4=V^,故

AO1BtC.

又AB=BC=2,且NCB4=60。，所以CO=1,BO=如，所以8,=1.又

AB=2,所以4笈=502+4。2,所以AO1B。.

因为3O,C4U平面54GC,BOC\CBt=o,所以AO1平面54GC.

又AOu平面ACB1,所以平面AC4J_平面58]G。.

A4

例11.（2024•贵州贵阳•校联考三模）如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为

直角梯形，ABI/CD,AB=^CD,CDLCE,ZADC=/EDC=45。,AD=y/2,

⑴求证：平面平面ABCD；

【解析】（1）•.•四边形ABCD为直角梯形，ABI/CD,:.CDLBC,

又CD1CE,BC[\CE=C,BC,CEu平面BCE,\。。人平面BCE,

又BEu平面BCE,CD1BE；

作AF1CD,

■.•ZADC=45°,AD=y[2,/.AF=b：.BC=1,

又NEDC=45。，：.CD=CE=2,

•；BE=6BC2+BE2=CE2,：,BEVBC,

•.•BCnCD=C,8<?,仪>匚平面48。。，：,8E，平面48。。，

「BEu平面4£组，;平面ABE1平面ABCD.

例12.（2024•西藏日喀则•统考一模）如图，已知直角梯形ABCD与ADEF，

2DE=2BC=AD^AB=AF=2,AD1AF，ED//AF,AD±AB,BC//AD,G是线段

B尸上一点.

⑴平面A3CDJ_平面ABE

【解析】(1)因为AD1AF，AD1AB>AF^AB=A,AF、AM平面ABF,

所以AD_L平面ABF,又A£)u平面ABC。，

所以平面ABCD_L平面ABF.

变式10.(2024•广东梅州•统考三模)如图所示，在几何体E45CD中，451平面

，点C在平面H4B的投影在线段尸E上(5Cv尸c),BP=6,AB=AP=2#,

DC=2,CD//平面PAB-

(1)证明：平面PCD_L平面E4D.

【解析】(1)由题知，平面3CP，平面％B，过点C作PB的垂线，垂足为E，连接品,

又因为平面BCPC平面如B=pg，所以CE_L平面RIB.

因为4)1平面R4B，所以CE〃DA,则C,D,A,E共面.

因为CD〃平面9，CDu平面⑦4£,平面CDAE。平面加=刚，

所以CD〃E4,则四边形AECD为平行四边形，所以AE=£C=2.

因为BP=6,AB=AP=2,所以cosNAPE=—,

202

IFJT

因为0</APE<—,所以/APE=—,

26

ApAE2g_2

由正弦定理得-./“D=.〃好，即sin/AE。—1，

sin/AEPsin/APE一

2

所以sinNA研=且，因为0<44£尸〈三，所以乙4砂=二,

223

JT

所以NE4P=5,即

因为4)1平面尸AB，AEu平面以B，所以A£1AD，

又因为A£)nAP=A,AD,APU平面以D，所以AE1平面ADR

因为CD〃E4,所以CD1平面W.

因为CDu平面PCD,所以平面PCD1平面MD.

变式11.(2024•河北张家口•统考三模)如图，在三棱柱ABC-44G中，侧面34GC

为菱形，NCBB、=60。，AB=BC=2,AC=AB1=J1.

(1)证明：平面AC81平面58℃;

【解析】(1)连3G、4c交于。，则。为80、4。的中点，连AD，

因为AC=A4，所以A£＞，4C,

因为侧面为菱形，^CBB,=60°,AB=BC=2,AC=AB、=0,

所以加=有，AD=1，所以Afi2=B£)2+A£)2,即AD1M，

因为4Cp|8D=8,5c,3Du平面54CC,

所以AD_L,F面,因为ADu平面AC4,

所以平面AC4_L平面BB£C.

变式12.(2024•陕西西安•西安市大明宫中学校考模拟预测)如图，在长方体

ABCD-\BXCXDX中，AB=2BC=2,AA,=4,P为棱的中点.

(1)证明：平面尸平面

(2)画出平面O/C与平面AA。〃的交线，并说明理由；

⑶求过A，P，C三点的平面a将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比.

【解析】(1)在长方体ABC。—A4G2中，AB=2BC=2,

,•,△4)尸与△BPC都是等腰直角三角形，

ZAPD=ZBPC=45°,NDPC=90°,:.DPLPC,

QDDt±平面ABCD,PCu平面ABCD,0A±PC,

又DDQDP=D,DD-DPu面PDR,..CP上面PDR,

又PCU平面PCD,，，平面PCR±平面PDDt；

(2)延长CP与方的延长线相交于2，连接M2，

则MD,即为平面。/C与平面AAO2的交线，理由如下：

M&AD,：.M&平面A,ADDt,M&CP,Me平面DtPC,

二平面RPC与平面AAOA的交线为D,M.

(3)令加2与Ad的交点为N,

则三棱台APN-DCD、的体积为以“四-VM-ANP,

•・•P为棱AB的中点，为CM的中点，

A是人m的中点，N是的中点，

:.MD=2AD^2,AN=-AAi=2,

11.”.8”11C,,1

VM^DCD,=~x-x2x4x2=-,=-x-x2x1x1=-,

D乙JD乙D

7

...三棱台APN—OCA的体积为％-

717

.••过2/C三点的平面a将四棱柱分成的上部分的体积为2x1x4-7

33

17

V17

.••过2,RC三点的平面a将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为年=7.

3

AC1

变式13.（2024•云南•云南师大附中校考模拟预测）如图，？为圆锥的顶点，A,B为底

27c

面圆0上两点，ZAOB=­,£为心中点，点方在线段AB上，且AF=2FB.

（1）证明：平面AOPL平面0EF；

【解析】（1）设圆。的半径为厂，

2冗7T

在斜。8中，OA=OB=r,ZAOB=--,ZOAB=~,

36

故48=百.，又AF=2FB，故4?=也，

3

在AAOF中，由余弦定理得0尸2=OA2+AF2-2OA.AF.cosZOAF=-O^=-r2,

33

所以042+0/2=4/2,即0A10F；

圆锥中，P01底面OO,OFu底面OO,故尸斤，

又。4cop=0,所以。/1平面AOP,

又OFu平面OEF,所以平面A0P1.平面。郎.

变式14.（2024•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体

中，AACD与△ACB均是等边三角形，直线印上平面ACD,直线EB1平面A3C,

DELBE.

（1）求证：平面ABC1平面ADC；

【解析】（1）

图1

如图1,设平面或坦与直线AC的交点为0,连接80,DO.

因为直线皿上平面ACD,直线EB1平面ABC,ACu平面AC。，ACu平面ABC,

所以OE工AC,BE1AC.

因为DEcBE=E，DEu平面BDE，BEu平面BDE，

所以AC,平面8瓦.

因为BOu平面8班，DOu平面BDE，

所以BO/AC,DO1AC.

又因为AACD与△ACB均是等边三角形，

所以。为AC中点，且二面角B-AC-。的平面角为

在平面四边形BODE中，

因为ZBED=ZEDO=NEBO=90°,

所以"00=90。，

所以平面平面A0C.

【解题方法总结】

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直=面面垂直）.证明时，先从现有

的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.

题型五：垂直关系的综合应用

例13.（2024•贵州铜仁•统考二模）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，ZBAC=9Q°,

AB=AC=1.

为

（1）试在平面ABC内确定一点反，使得AH1平面A5C,并写出证明过程；

【解析】（1）取棱8C的中点。，连接A。，AD.在等腰直角AABC中，AD1BC,

又8C_LAA],ADn^A=AA3A4,u平面,故平面4网.

又BCu平面A3C,故平面ABC,平面从刈，这两个平面的交线为A。.

在中，作则有AH,平面A/C；

例14.（2024•全国•校联考模拟预测）如图，在正三棱柱A8C-A4G（侧棱垂直于底

面，且底面三角形ABC是等边三角形）中，BC=ca,M、N、尸分别是CG，AB，台4

的中点.

⑴求证：平面NPC〃平面A4M；

（2）在线段34上是否存在一点。使Ag,平面4MQ?若存在，确定点。的位置；若不存

在，也请说明理由.

【解析】（1）（1）证明：:M、N、?分别是CG，AB>3月的中点.

：.NPUAB},四边形MCPg为平行四边形，可得"//"4,

因为NP仁平面A8[M；AB]U平面

.•.肥//平面A4M；

同理可得CP//平面AgAT；

又CPRNP=P,CP,NPu平面NPC,

;平面NPC//平面.

(2)假设在线段34上存在一点。使A4,平面AMQ.

•.•四边形A54A是正方形，因此点B为点0.

不妨取6c=2,如图建立空间直角坐标系，则河(。,-1，1),。(0,1,0),A(73,o,o),

4(0,1,2),4(疯0,2)

函=卜＞/^,1,2),M2=(o,2,-1),m=卜若,-1,-1)

•••AB^MQ=0,福.^7=卜君卜［君)+lx(-l)+2x(-l)=0.

所以鬲，夜，码，亚，又平面AMQ,所以48,平面

\MQ,

;在线段上存在一点°,使A4,平面AMQ,其中点B为0点.

例15.(2024•天津•耀华中学校考二模)如图，在三棱锥A-8C。中，顶点A在底面

8CQ上的射影。在棱8。上，AB=AD=y/2,BC=BD=2,/CBD=90。,E为CD的中

点.

A

C

(1)求证：A£)_L平面ABC；

(2)求二面角8-AE-C的余弦值；

(3)已知P是平面A3。内一点，点。为AE中点，且尸。_L平面ABE,求线段P。的长.

【解析】(1)因为顶点A在底面28上的投影。在棱2。上，

所以A。，平面BC。，

因为AOu平面A8。，

所以平面平面BCD,

因为NCBO=90。，

所以

因为平面A2£)n平面BCD=BD,BCu平面BCD,

所以8CL平面ABD,

又AOu平面A2£),

所以BCU。，

由AB=AD=拉，BD=2,得BO?=筋?十池?，

所以AZ)_LA8,

因为A8riBC=B,A8u平面ABC,BCu平面ABC,

所以4。_L平面ABC.

(2)连接0E,因为。为3。的中点，"为CD的中点，OEHBC,所以

如图，以。为坐标原点，分别以OE,OD,0A为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直

角坐标系，

则O(0,0,0),A(0,0,