2025高考数学复习必刷题：原函数与导函数混合还原

第19讲原函数与导函数混合还原

知识梳理

1、对于对>'(%)+/(x)>0(<0),构造g(%)=X•7(%),

2、对于犷'(%)+勺'(x)>0(<0),构造g(%)=f•/(%)

3、对于x"'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=/区,

X

4、对于尤.尸(元)一外'(尤)>0(<0),构造8(%)=军

5、对于尸(x)+/(*)>0(<0),构造g(x)=e'"(x),

6、对于f(x)+、(x)>0(<0),构造g(x)=*"(x)

7、对于/'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=驾，

e

8、对于广⑴一妙(%)>。(<0),构造g(%)=/詈

e

9、对于sin%•/'(X)+cosx・/(x)>0(<0),构造g(x)=/(])•sin兄，

10>sinx-f\x)-cosx-f(x)>0(<0),构造g(x)=

sinx

11>对于cos%"'(%)—sinx"(%)>0(<0),构造g(x)=/(%)•cos%,

12、对于cos%・/'(%)+sinx"(%)>0(<0),构造g(x)=

cosx

13>对于尸(%)—/(%)>>(<0),构造g。)=e""(x)-灯

14、对于/'(x)Inxd———>0(<0),构造g(x)=lnx"(x)

15、f(x)+c=[f(x)+cx]r；f(x)+gf(x)=[/(x)+g(x)y；

fM-g'(x)=g(x)]f；

16、/，(x)g(x)+〃x)g，⑴力⑴g(x『小售产宜=[缁]、

必考题型全归纳

题型一：利用x"(x)构造型

例L(安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题)已知/(无)的定义

域为(0,+?),八尤)为Ax)的导函数，且满足则不等式

+的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【解析】根据题意，构造函数y=4(x),xe(O,心)，贝uy=f(x)+/(x)<。，

所以函数y=4(x)的图象在(0,+8)上单调递减.

又因为〃X+1)>(无一1)/(/一1),所以(尤+1)/。+1)>卜2-1)/卜2-1),

所以0v%+1v%2-1,解得了〉2或x<—1(舍).

所以不等式”》+1)>(犬-1)/1-1)的解集是(2,+8).

故选：B.

例2.(河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数

/(X)的定义域为(0,y)，且满足f(x)+^(x)>。是/(x)的导函数)，则不等式

(》一1)/k2-1)<"》+1)的解集为()

A.(fo,2)B.(1,+co)C.(1,2)D.(-1,2)

【答案】C

【解析】令g(x)=」(x),则g'(x)="x)+V'a)>0,即g(x)在(0,.)上递增，

又x+l>0,贝U(xT)/(尤尤+1)等价于(/一1)/(/-1)<(》+1)/(》+1)，即

g，-l)<g(x+l),

x2-l>0

所以，x+l>0,解得1<%<2,原不等式解集为(L2).

x~—1<X+1

故选：C

例3.(黑龙江省大庆实验中学2024届高三下学期5月考前得分训练(三)数学试题)已

知函数/(x)的定义域为(O,+e),尸(X)为函数〃尤)的导函数，若无2尸(力+犷(力=1,

/(1)=0,则不等式/(2,3)>0的解集为()

A.(0,2)B.(log23,2)C.(log23,+ao)D.(2,+oo)

【答案】D

【解析】由题意得，矿(x)+/(x)=J,

即=(liir+c)'，

所以犷(x)=lnx+c,即/(尤)=生土+£,

又了⑴=0,所以c=0,故/■(x)=¥,

广(无)=^^=0,可得X=e,

X

在(0,e)上，f'(x)>0,/(x)单调递增；

在(e,+8)上，f'(x)<0,/(x)单调递减，

所以的极大值为/(e)=L.简图如下：

所以/(x)>0，2A-3>1,x>2.

故选：D.

变式1.(2024届高三第七次百校大联考数学试题(新高考))已知定义在R上的偶函数

>=/(耳的导函数为丫=((耳，当x>0时，")+”>)>0,且"2)=1,则不等式

2

/(2x-l)<-~；的解集为()

2x-l

A.［一00,［山1+4B.1|,+1

D

c段)-

【答案】C

【解析】当x＞0时，矿（x）+〃x）＞o,所以当彳＞0时，#'（x）+/（x）＞0,

X

令p（x）=v（x）,则当x＞0时，/（x）=v（x）+/（x）＞o,

故网x）=#（x）在（0,+巧上单调递增，

又因为y=/（x）在R上为偶函数，所以尸（力=犷（同在R上为奇函数，

故P（x）=W（x）在R上单调递增,因为"2）=1,所以产⑵=2〃2）=2,

当尤时，/（2x-l）＜——可变形为（2龙_（/（21）＜2,即网2x—1）〈网2）,

22x—1

313

因为R（x）=4（x）在R上单调递增，所以2x-l＜2,解得x＜\,故3Vx＜；；

12

当尤〈上时，/（2x-l）＜-------可变形为（2xT）〃2x-l）＞2,即尸（2尤-1）＞“2）,

22%—1

因为尸⑺二步'⑺在R上单调递增，所以2彳-1＞2,解得尤＞j故无解.

综上不等式/（2x-l）＜/匚的解集为.

2x—1122J

故选：C.

变式2.（四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在

o3

（0,e）上的函数〃尤）满足2#（力+/尸（“＜0,/（2）=|,则关于x的不等式〃x）＞一的

4x

解集为（）

A.（0,4）B.（2,-HK）C.（4,+oo）D.（0,2）

【答案】D

【解析】令/2（x）=V〃x）,贝旷/（%）=2犷（*）+只［"）＜0,所以/2（x）在（0,”）单调递

减，

不等式“无）＞/■可以转化为尤2〃x）＞4xa=22〃2）,即/z（x）＞/z（2）,所以0＜x＜2.

故选：D.

变式3.（河南省豫北重点高中2024学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知

函数的定义域为（0,+8）,其导函数是1（x）,且2/（力+矿（x）＞x.若"2）=1,则

4

不等式37（%）-%-7＞0的解集是（）

A.（0,2）B.（2,+oo）

C-(°4)D.

【答案】B

【解析】构造函数g(x)=r7(x)Tx3,其中工>0,

则g'(x)=2犷1(x)+尤2r(x)—V=尤[2〃X)+矿(x)—尤]>0,

1Q4

故函数g(x)=f〃x)-在(0,+功上为增函数，且g⑵=4/(2)-|=二

因为x>0,由3/(x)-x-*>0可得尤2/(%)一：％3,即g(x)>g(2),解得x>2.

故选：B.

变式4.(广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷(一)数学试题)已

知Ax)是定义在R上的偶函数，其导函数为尸(x)J(-1)=4,且3/(x)+犷，(x)>3,则不

等式〃x)<1+3的解集为()

x

A.(f-1)51,+s)B.(-1,O)U(O,1)C.(0,1)D.(LE)

【答案】C

【解析】设g(X)=x3/(X)-V,

则g(x)在R上为奇函数,且g(0)=0.

又g'(x)=3x2/«+x?'(x)-3/=x2[3/(x)+xf\x)-3],

当x>0时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上为增函数，

因此g(x)在R上为增函数.

又/(—1)=/(1)=4,当x>0时，不等式/(冗)<1+_化为//⑴一/交，

即g(x)vg⑴，

所以Ovxvl；

当xvO时,不等式/。)<1+石化为//1)〉/+3,即g(x)>3=g⑴，

x

解得工〉1,故无解，

3

故不等式/(x)<1+—的解集为(0,1).

故选：C

【解题方法总结】

1、对于J/'(X)+/(%)>0(<0),构造g(x)=%•/(%),

2、对于对>'(x)+妙(x)>0(<0),构造g(%)=%*•/(%)

题型二：利用幽构造型

例4.(河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题)已知定

义在(0,+?)的函数外力满足：Vxe(O,y)J(x)-矿(x)<0,其中第x)为〃x)的导函

数，则不等式(2x-3)/(x+l)>(x+l)〃2x-3)的解集为()

A.g/]B.(4,+8)

C.(-1,4)D.(f,4)

【答案】A

【解析】设g介中g，⑺=矿([丁⑺,

因为Vxe(0,+oo),〃x)-靖(x)<0,

所以在(0,+?)上g«x)>0,

所以g(x)在(0,+?)上单调递增，

由已知，f(x)的定义域为(。,+?),

所以％+1>0,2%—3>0,

所以(2>3)〃了+1)>(尤+1)/(2%—3)等价于“^>小匚3,

x+12x-3

即g(x+l)>g(2%-3),

x+l>0

3

所以2x-3>0,解得9c<4,

x+1>2x-3

所以原不等式的解集是(I，4).

故选：A.

例5.已知定义域为｛扑¥0｝的偶函数/(%),其导函数为了⑴，对任意正实数%满足

xf(x)>2f(x),若g(x)="：),则不等式g(x)<g(l)的解集是()

x

A.(-00,1)B.(-1,1)

C.(-00,0)U(0,l)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】因为1x)是定义域为｛x|#0｝的偶函数，所以八—x)=/(x).对任意正实数无满足

xf\x)>2/(x),

所以苗(x)-2/(x)>0,

因为g(x)=/(N,所以g(x)也是偶函数.

X

,W)-2/W

当x£(0,+00)时,g(x)=>0,

所以g(x)在(0,十刃)上单调递增，在(-8,0)单调递减,

若g(x)<g⑴,则闻<1(#0),解得0<x<1或一1<x<0,

故g(x)<g⑴的解集是(一1,0)U(0,1),

故选：D

例6.(江苏省苏州市2024届高三下学期3月模拟数学试题)已知函数/(x)是定义在R上

的奇函数，/(2)=0,当x>0时，有才(尤)-〃力>0成立，则不等式#(x)>0的解集是

()

A.^-oo,一2)D(2,+8)B.(―2,0)D(2,+00)

C.^-oo,一2)口(。，2)D.(2,+oo)

【答案】A

【解析】矿⑺-〃力>。成立设8⑺:勺，

则g，(x)=[①]=r(x)x-f(x)>Q)即x>。时g⑺是增函数，

当x>2时,g(x)>g⑵=0,此时〃尤)>。；

0<x<2时，g(x)<g⑵=0,此时/(x)<0.

又了(X)是奇函数，所以一2(尤<0时，/(x)=-/(-x)>0；

了<-2时f(x)=-f(f)>0

则不等式『/(/"\>。等价为f/(x)>0或f/(口x)<。0

IJi，U［人(U

可得%>2或1<一2,

则不等式犷（另＞0的解集是（f，-2）u（2,+s）,

故选：A.

变式5.（西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题）已知函数/（X）是定义在

（-卜,0）（0,+?）的奇函数，当xe（O,+8）时，＜/（%）,则不等式

V（2-x）+（x-2）〃5）＜0的解集为（）

A.（―oo,—3）u（3,+8）B.（―3,0）＜J（0,3）

C.（-3,0）0（0,7）D.（f-3）u（2,7）

【答案】D

【解析】令8（司=乎，

•.,当xe（0,+oo）时，xf\x）＜

.,.当xe（0,+s）时，g，（x）="

，g（x）在（。，+8）上单调递减；

又“X）为（-卜,0）（。，+?）的奇函数，

.：g（_x）=2BD=z£H=/（U=g（x）,即且⑶为偶函数，

一X-XX

，g（x）在（—,0）上单调递增；

又由不等式》（2—x）+（x—2）/（5）＜0得T（2—同＜（2-力/（5）,

当2-x＞0,即x＜2时，不等式可化为'（2一"＜工区,即g（2-x）＜g（5）,

2-x5

由g（无）在（。，+8）上单调递减得2-x＞5,解得x＜—3,故x＜-3；

当2r＜0,即X＞2时，不等式可化为了（2-X）＞/包,即g（2-x）＞g（5）=g（-5）,

2-x5

由g（x）在（y,0）上单调递增得2f＞-5,解得x＜7,故2＜x＜7；

综上所述，不等式5〃2-司+@-2）〃5）＜0的解集为：（--3）口（2,7）.

故选：D.

【解题方法总结】

1、对于x"'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=""，

x

2、对于尤•/'(尤)-妙(尤)>0(<0),构造g(x)=^学

x

题型三：利用e""(x)构造型

例7.(河南省2024学年高三上学期第五次联考文科数学试题)已知定义在R上的函数

〃x)满足“x)+J(x)>0,且有"3)=3,则/(x)>3e3T的解集为()

A.(3,+oo)B.(l,+oo)C.(-^o,3)D.

【答案】A

【解析】设尸(x)=〃x)d,贝IJ9(x)=1(x).e，+f(x).e，=e，"(x)+_f(x)]>0,

.,.P(x)在R上单调递增.

又"3)=3,则尸⑶=〃3"3=3e3.

Vf(x)>3e3T等价于f(x).ex>3e3,即产(x)>尸(3),

.•.x>3,即所求不等式的解集为(3,+8).

故选：A.

例8.(河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题)已知定义在R上的函数/(可满

111一X

足]/(%)+/⑺>0,且有/⑴=5,则的解集为()

A.(-^o,2)B.(l,+oo)

C.(-oo,l)D.(2,+QO)

【答案】B

X£1£牙I-

【解析】设/⑺=〃“&，则P(x)=«f(x)・e2+5“％)・e2=e2-/(x)+/(x)>0,

i1i1

所以函数/(%)在H上单调递增，又/(1)=不，所以尸(1)=/(1)・添=5次.

乙乙

又2〃力>苫等价于即尸(x)>尸⑴，所以x〉l,

即所求不等式的解集为。,内>).

故选：B

例9.(广东省佛山市顺德区北洛镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题)己知尸(x)是

函数y=/(x)(xeR)的导函数，对于任意的xeR都有r(x)+/(x)>l,且“0)=2023,

则不等式。"(了)>/+2022的解集是()

A.(2022,-KO)B.(-00,0)u(2023,+oo)

C.(-oo,0)U(0,+co)D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】法一：构造特殊函数.令〃x)=2023,则解(x)+f(x)=2023>l满足题目条件,

把外力=2023代入e"(x)>1+2022得20231>1+2022解得x>0,

故选：D.

法二：构造辅助函数.令g(x)=e"(x)-1，则g〈x)=e，(〃x)+r(x)—l)>0,

所以g(x)在R上单调递增，

又因为g(0)=/(0)-1=2022,所以e"(x)>e'+2022og(x)>g(0),所以尤>0,

故选：D.

变式6.(宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题)函数/'(X)的定义域是R,

〃。)=2,对任意尤eR,/(x)+r(%)>l,则不等式：/〃力>1+1的解集为()

A.{x|x>。}B.{x|x<。}

C.{x|x<-l或无>1}D.或0<x<l}

【答案】A

【解析】构造函数g(x)=e/(x)—e-l,贝心(0)=〃0)-2=0,

g，(无)=e[〃x)+((尤)-1]>0,则函数g(尤)在R上单调递增，

由ex-/(%)>e*+1可得g(x)=eA/(x)-eA-1>0=g(0),可得x>。，

因此，不等式e，等(力>子+1的解集为{小>0}.

故选：A.

【解题方法总结】

1、对于尸(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=eJ/(x),

2、对于/'(X)+姑(x)>0(<0),构造g(x)=*•/(》)

题型四：用绰构造型

例10.(安徽省六安市第一中学2024学年高二下学期期末数学试题)定义在(-2,2)上的函

数F(x)的导函数为了⑺,满足：/(x)+e4'/(-x)=0,〃l)=e2,且当尤>0时,

广(x)>2/(x),则不等式e2"(2-x)<e4的解集为()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(L”)D.(0,1)

【答案】A

【解析】令g(x)=誓，贝Ie"g(x)+(—x)=0可得g(x)+g(-x)=0

所以8(力=誓是(-2,2)上的奇函数，

r=r(x)-2"x),

e4xe2x

当x>0时，f(x)>2f(x),所以g，(x)>0,

g(x)=《!2是(0,2)上单调递增，

所以8(力=誓是(-2,2)上单调递增，

因为g⑴=/^=彳=1，

ee

由e2V(2-x)<e4可得e2xe2(2-x)g(2-x)<?BPg(2-x)<l=g(l),

f(%)|—2<2—%<2

由g(x)=5是(-2,2)上单调递增，可得解得:l<x<4,

、/e2-x<l

所以不等式e?"(2-x)</的解集为(L4),

故选：A.

例11.(广东省汕头市2024届高三三模数学试题)已知定义在R上的函数/(x)的导函数为

尸(无)，且满足//(2O21)=e2021,则不等式/、lnx卜质的解集为()

20212021

A.（e,+oo）B.（O,e）C.1叫+oo）D.（0］加）

【答案】D

【解析】4?=-ln.r,则》=濯，

e

所以不等式/1in，〈质等价转化为不等式/⑺<叱=£,即乎<1

构造函数g⑺=40,则g，⑺=—⑺,

ee

由题意，g'⑺=/（—（。>0,所以g⑺为式上的增函数，

e

又/（2021）=e2021,所以g（2021）=7尊Li,

e

所以g（r）=g!<l=g（2021）,解得f<2021,即fnx<2021,

所以0<X<评3,

故选：D.

例12.（陕西省安康市2024届高三下学期4月三模数学试题）已知函数/（X）的定义域为

R,且对任意xeR,〃x）--（x）<0恒成立，贝托"（彳+1）>，了（2彳一3）的解集是（）

A.（4,-KO）B.（-1,4）

C.（-8,3）D.（-«,4）

【答案】D

【解析】设8（力=竽，该函数的定义域为R,

贝.8,（同=广（尤）1）（力>0,所以g（x）在R上单调递增.

由e"（x+1）>e7（2x-3）可得"：丁）>"?（）,gpg（x+i）>g（2x-3）,

ee

又g（x）在R上单调递增，所以x+l>2x-3,解得x<4,

所以原不等式的解集是（0,4）,

故选：D.

变式7.（新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题）定义在R上的函数Ax）的导函数为

/'（x）,/（-1）=-1,对于任意的实数尤均有如3"（此<八月成立，且y=/（x-；）+l的图像

关于点(；，1)对称，则不等式〃x)-3A2>0的解集为()

A.(1,+8)B.(—1,+co)C.(—co,—1)D.(—oo,1)

【答案】A

【解析】因为y=的图像关于点(：，1)对称，

所以y=/(x)是奇函数，

因为对任意的实数》均有ln3./«<f'M成立，

所以对任意的实数x均有ln3.f(x)-f'(x)<0成立，

令g(x)=孚，

r(x)3*_"x)3，ln3_r(x)-"x)ln3>0

所以g(x)在R上递增，

因为g(l)="

又/(X)-3*-2>0o^2-g>Oo^^>gog(x)>g⑴,

所以无>1,

故选：A

变式8.(浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题)若定义在

R上的函数/⑶的导函数为了'(X),且满足广(">/(“,”2022)=e的,则不等式

/[lnx]<也的解集为()

A.(O.e6066)B.(O,e2022)

C.廿。22,+句D.@吗+动

【答案】A

【解析】由题可设尸(%)=等,因为/'(力一/(乃>0,

贝IJ尸⑴=尸(x)e：/(无心=f'M-fM>0,

eex

所以函数方(%)在R上单调递增,

又尸(2022)=/£)=1,不等式/ginx]<近可转化为_J

e-°-13)”，

e3

/.F(；lnx]<l=F(2022),

所以glnx<2022,解得0<x<e6°66,

所以不等式/，山力〈也的解集为(0"。66).

故选：A.

变式9.(吉林省长春市吉大附中实验学校2024学年高三上学期第四次摸底考试数学试

题)设尸⑺是函数/⑺的导函数，且广(力>3/⑺(xeR),=e(e为自然对数的

底数)，则不等式/(lnx)<x3的解集为()

A.LB.I,+sjC.(0,%)D.(泥,+s)

【答案】C

【解析】令g(x)=空，则g，(x)

因为/'(x)>3/(x)(xeR),

所以gG)=1'(x))：〃x)>o,

所以函数g(%)在R上为增函数,

7(M<I

不等式"Inx)<x3即不等式x3

x>0

/(Inx)_/(Inx)

又g(lnx)=

所以不等式/(lnx)<x3即为g(lnx)<gI

即Inx<g,解得0<x<Ve，

所以不等式/。向<三的解集为伍，网.

故选：C.

变式10.(四川省绵阳市南山中学2024学年高三二诊热身考试数学试题)已知定义在R上

的可导函数〃尤)的导函数为,(X),满足/'(x)<〃x),且"T)=/(2+X),/(2)=1,

则不等式/(x)<e*的解集为()

A.B.(2,+oo)C.D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】因为/(T)=F(X+2),所以y=/(x)的图像关于直线x=l对称，所以

/(0)=/(2)=1,

设g(x)="，则g(x),因为尸(x)<〃x),所以g[x)J(x)："x)<0,

eee

所以g(x)在R上为减函数，

又g(o)=与=1，因为f(x)<e",所以g(x)<l,,g(x)<g(0),所以x>0.

故选：D.

变式IL(山东省烟台市2024届高三二模数学试题)已知函数了(%)的定义域为R,其导

函数为尸⑺，且满足/'(x)+〃x)=eT,f(0)=0,则不等式卜2:1)/3<6-1的解集

为().

C.(-1,1)D.(-l,e)

【答案】C

【解析】由/'(x)+/(x)=eT得e"'(x)+e"(x)=l,即[e"(x)]'=l，

可设e"(x)=x+m,

当x=0时，因/(。)=。得m=0,

所以/(%)=屁一”,

(e2x—l)/(x)ve—'可化为(e?x—L

即xe「xer<e-L

e

设g(x)=xe"_xeT,

因g(-%)=-%0+xe*=g(x),故g(x)为偶函数

g'(x)=ex+xex+xeTx-e~x,

当xNO时，因泥工+止-*20,eA-e-x>0,

故g'(x)=e'+xex+Ae-'-e-x>0,所以g(x)在区间［0,+向上单调递增,

因g(l)=e—J,

所以当x20时g(无)=xe，-配一*<e-5的解集为［0,1),

又因g(x)为偶函数，故g(x)<e-J的解集为(-1,1).

故选：C

变式12.(江西省九江十校2024届高三第二次联考数学试题)设函数/(x)的定义域为R,

其导函数为尸(%),且满足/«>r(x)+1,/(O)=2023,则不等式「了⑴>/+2022

(其中e为自然对数的底数)的解集是()

A.(2022,+8)B.(-8,2023)C.(0,2022)D.(-8,0)

【答案】D

【解析】设8(幻=萼匚，

e

・・・/(%)>/。)+1,即f\x)-/(x)+l<0,

.g，(九)=「，一<0,

e

・••g(%)在R上单调递减，又『(0)=2023,

不等式仁"。)>e-x+2022o2Mzi>2022=f(0)-1=当紧，

exe

即g(x)>g(0),;.x<0,

原不等式的解集为(-8，。).

故选：D

【解题方法总结】

1、对于/''(*)-/(x)>0(<0),构造g(x)=/学，

e

2、对于/'(x)-4(尤)>。(<0)，构造g(元)=^^

e

题型五：利用sinx、tanx与/(x)构造型

7171

例13.(江西省2024届高三教学质量监测数学试题)定义在区间上的可导函数

2；2

关于〉轴对称，当时，f\x)cosx>/(x)sin(-x)恒成立，则不等式

的解集为()

71717171

B.C.D.

4,?412吟

【解析】因为f(x)cosx>/(x)sin(-x),化简得/z(x)cos^+/(x)sinx>0,

构造函数/")=犯，尸(X)/'(%)cosx+/(%)sinx

COSXcos2x

即当xe(0,3时,F'(x)>0,F(x)单调递增,

71

--X

>0^>/(x)>

tarixcosxsiru

71.因为尸⑺为偶函数且在x[o，S上单调递增,

即F(x)>F--X

7171

—<X<—，且xw0

22

717171

所以---<----X<——，解得XW

222

71

——X

w>2

故选：C.

例14.(天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题)已知可导函数/(x)是定义

71兀上的奇函数.当工中微

在时，/(x)+r(x)tan.r>0,则不等式

252

COSX+sinx./(—x)>0的解集为(

71兀兀71

A.~29~6B.C.29~4D.

【答案】D

【解析】当时，/(%)+/,(x)tanx>0,贝!]cos^f(x)+r(x)sinx>0

则函数sin犷（力在[0,2上单调递增，又可导函数/（X）是定义在7171

上的奇函数

2；2

上的偶函数，且在层可单调递减,

则sin叶（尤）是

7171

——<x+—<—

222，可得％卜,。），贝（71，71

由,6Jx+aw[°

71兀2

——<-X<—

I22

71

则苫€卜§,0卜寸，不等式cosx-《x+]+sinx-/(-x)>0

2

7171

可化为sin|.x+彳­/x+->sin(-x)./(-^)

22

又由函数sin（x）在（0,2上单调递增，且-xe（0,,71

XH---

2

则有+无＞0,解之得一£＜x＜0

故选：D

7171

例函数/（尤）对任意的尤满足％+2f(x)+f\x)sin2x=ex~x(其中f(x)是

15.y=e万'5

函数/（X）的导函数），则下列不等式成立的是（

71

B.>3/

A.f~4

C.D.

【答案】D

【解析】令尸（％）=/（%）tan光,

sin%1/'(x)sinxcosx+/(x)f(x)sin2x+2/(x)

一⑴八）+〃x)

cos%cos2Xcos2X2cos2x

又由已知可得，2/(x)+f(x)sin2x=ex-l-x>Q,所以尸'(x)部,

7171

所以尸（%）在上单调递增

5'5

7171「57171

因为三＜ll,所以了tan—<ftan—,

31212

故，D正确,

故选：D

变式13.已知可导函数〃x）是定义在上的奇函数.当尤时,

+tan%>0,则不等式cosxqx+^J+sinx"（-尤）＞0的解集为（）

7171

A.B.C.

24

【答案】D

【解析】当xw时，/(^)+/r(x)tanx>0,则cosj(f(x)+f(A:)sinA:>0

则函数sin犷(x)在,3上单调递增，又可导函数〃x)是定义在上的奇函数

则sin犷(力是「会鼻上的偶函数，且在单调递减，

兀兀兀

——<x+—<—

222可得问一加，贝心+芸0微

由<

——71<-x<—兀

22

则xe1-5,oJ时，不等式cosx"[尤+5]+sinx.f(-x)>0

可化为sin[x++^]>sin(-x)-/(-^)

又由函数sin#(x)在]O..上单调递增，且x+|-efo,|

贝I有g>x+5>一尤>。,解之得谭<x<。

故选：D

【解题方法总结】

1、对于sinx"'(x)+cosx"(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)•sinx,

2、对于sinx"'(x)-cosx，/Xx)>0(<0),构造g(x)=""

sinx

3、对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

题型六：利用cosX与/(龙)构造型

例16.(重庆市九龙坡区2024届高三二模数学试题)已知偶函数/■(*)的定义域为

(一号与］'其导函数为(⑺’当0Wx<］时，有r(x)cosx+/(x)sinx>0成立,

则关于

x的不等式〃x)>2/|j}cosx的解集为(

【答案】C

【解析】构造函数g(x)="D,OVx<W，

cos尤2

/、f\x)cosx-f(x)(cosxYfr(x)cosx+f(x)sinx八

g(x)=----------2——------=----------2--------〉0'

cosXcosX

所以函数g(x)=3在10,小单调递增，

cosxLZ)

因为函数/■(“为偶函数，所以函数g(x)=3也为偶函数，

cos%

且函数g(x)=42在10,小单调递增，所以函数g(x)=9在1-R。］单调递减,

cosxLz)cosx\1)

(-JTTT\

因为无€【一5，不/所以COSX>0,

关于X的不等式“X)>2/住］.cosx可变为工区

I〃cosX

w>-一一一

3解得S<x<g或一gcxv-g,

所以g(kl)>，贝

u兀兀3223

——<x<—

122

故选:C.

例17.已知偶函数的定义域为卜合办其导函数为f(x)，当0<尤苦时，有

/'(%)cosx+/(%)sin%<0成立,则关于x的不等式/(%)<•COSX的解集为

B.

D.

【答案】B

［解析】由题意，设g(无)=0,则gG)=7'⑶c°sx：/(x)sinx,

cosXcosX

当0<x<£时，因为/'(x)cosx+/(x)sinx<0,则有g'(x)<0,

所以g(x)在上单调递减,

可得g(-x)=幻、==g(),

又因为/(x)在上是偶函数,X

cos(-x)cosX

所以g(x)是偶函数,

由/(无)<COSX,可得亚了(生)，即g(x)<

cosx4cosxcosn—

4

TT

又由g(x)为偶函数，且在°，f上为减函数，且定义域为'则有⑶

ATJ/x=\冗冗「TCTC

解得一不<尤<---^(，―<X<—,

2442

即不等式的解集为

故选：B.

例18.设函数在R上存在导数尸⑺，对任意的xeR,有〃x)+〃-x)=2cosx,

且在［0,+8)上有/'(x)>—sin%,则不等式〃X)一/仁一"“。5%一$皿%的解集是(

71

A.B.——,+8

4

【答案】B

【解析】设尸(X)=/(%)—COSX,

V/(%)+/(-%)=2cosx,HP/(x)-cosx=cosx-/(-x),即尸(x)