2025高考数学复习必刷题：弦长问题

第70讲弦长问题

知识梳理

1、弦长公式的两种形式

①若A,3是直线、=履+机与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二

次方程/2+/+r=0,则方@="7记也-司=川+公•四.

②若A,3是直线x=〃9+”与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二

必考题型全归纳

题型一：弦长问题

例1.（2024•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）己知直线/与圆0:/+/=1相

切，且交椭圆C:3+q=l于4&,乂）,3（尤2，%）两点，若%%=-小贝力4或=

【答案】《回

77

【解析】设直线/：x=，"y+t,

.直线/与圆。：/+丁=1相切，

将直线/方程与椭圆方程联立，得（4+3/n2）/+6：亚y+3/-12=0,

6

所以必必="|，因为

7-

4+3m

二匚［、［3/—12622c

所以-----y=—m=l,t=2,

4+3疗7

由对称性，不妨取m=

6历

..%+%=----z-,A51=J1+1

故答案为：粤

例2.（2024・全国•高三对口高考）已知椭圆!+必=1,过左焦点尸作倾斜角为台的直线交

96

椭圆于A、8两点，则弦的长为.

【答案】2

【解析】在椭圆：+y=1中，a=3,b=l,贝Uc=J7万=20，故点尸卜20,0）,

设点A&,%）、3（W,为），由题意可知，直线AB的方程为y

x=y/iy-2A/2,

x=6y-25/2

联立可得12y2-4岛-1=0,A=16X6+4X12=144>0,

x2+9y2=9

由韦达定理可得％+为，%%=一0'

2

所以，|阴=J1+3.J(M+%)2.

故答案为：2.

22

例3.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆C:二+与=1（。＞匕＞0）,C的上顶点为A,两

ab

个焦点为《，工，离心率为3.过月且垂直于的直线与C交于。，E两点，VAZ）E的

周长是13,则|凶=

【答案】6

【解析】如图，连接AR。耳,时,

c

因为C的离心率为J1,所以上=1：,即a=2c,

2a2

所以加=。2一/=3/,

因为|A用忖A囿=a=2c=闺用,所以△明居为等边三角形,

又皿AF。,所以直线。E为线段AK的垂直平分线，

所以|AD|=|D同，|AE闫理

则VADE的周长为|451+1他1+1。£|=|陷|+|明|+|。£|=|期|+|巡|+|可|+|3|

4

13

/.c=—,

8

而NE£B=30。，所以直线DE的方程为y=#（x+c）,

22

代入椭圆C的方程5+g=1,得13尤2+8cx-32c2=o,

设D（X],yJ,E（x2,y2）,则占+%=一^|,阳％=一^-，

432,48c,

所以DE|=J，+][（%——二6,

~iT13

故答案为：6.

变式L(2024.全国•高三专题练习)已知双曲线C：—-/=1,若直线/的倾斜角为

3

60°,且与双曲线。的右支交于M,N两点，与x轴交于点P,若=则点尸的坐

标为.

【答案】("0)

【解析】双曲线双曲线C：1-丁=1的渐近线方程为>=坐了，

而直线/的倾斜角为60。，则直线/的斜率为石，可设直线/的方程为>=瓜+利，

与双曲线方程;一y2=l联立，化简可得8Y+6括必+3»?+3=0,

由A=108/zz2-32（3m2+3）=12m2-96>0,得加〉2亚或〃？<-272.

3m3

设N（x2,y2）,则%+%=-2兽>0,-x2=^~>o,

贝所以加<-2行，

|MN|=J1+（回归一无21=2,（尤|+%）2—4尤|.%=

=’3"一上=近,解得：m=3（舍去）或〃2=-3,

22

所以直线/的方程为y=Qr-3,令y=0,可得x=«.

故点尸的坐标为（百,。）.

故答案为：（6,0）.

变式2.（2024.贵州・统考模拟预测）已知双曲线C:f一咋;2=1（加>0）的左、右焦点分别为

K，B，点A,8分别在双曲线C的左支与右支上，且点A,8与点瑞共线，若

|AB|:|AF；|:|B^|=2:2:3,贝.

【答案】I

【解析】因为前|：忸耳|=2:2:3,设|知卜|明|=乙怛周=]f,

由双曲线定义可得所以怛耳卜忸阊+2=4,

OQQ

即万/=4,?=|,即恒同=；.

故答案为：

变式3.（2024.四川巴中.高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛

物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经

抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线V=4x的焦点为尸，一条平行于x轴的光线

从点A（5,4）射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则

W=.

25

【答案】v

4

【解析】如图，由题意可知AB〃x轴，4（5,4）,

将'=4代入V=4尤中得x=4,即3（4,4）,

4-044

又尸(1,0),则=故BC的方程为y=；(x-l),联立y2=4x,

4—133

可得417x+4=。，解得A；,或』（此时C与2关于x轴对称’不合题意）,

则C(*l),故忸c|=J(4-；)2+(4+1)2=等,

故答案为：:.

变式4.（2024•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线y=8式的焦点为

F,准线与*轴的交点为C,过点C的直线/与抛物线交于A,8两点，若

ZAFB=ZCFB,则IA尸1=

【解析】由题意得，F（2,0）,C（-2,0）,当直线/的斜率为。时，与抛物线只有1个交点,

不合要求,

故设直线/的方程为尤=：町-2,不妨设机＞0,

联立y2=8x,可得,2-8冲+16=0,易得A>0,

设4（/乂）,8仇，％），则%＞。,%＞。，

则%+%=8"?,%%=16,

则ABuJl+m2，

2

BC=71+m•|y2|=Jl+苏•y2,

,_CFBCAFAB

由正弦定理Z得R--------=---------,---------=---------

sinZCBFsinZCFBsinZABFsinZAFB

因为ZAFB=NCFB,/CBF+ZABF=n,

2

b,、，、CFBCnn471+m-|y2|%

所以%>%，—=->i

BP——r2,,=——

A尸ABAFy/\+m-y2\%

又由焦半径公式可知A尸=玉+2=阳1—2+2=9%，

则嬴='即my'%=例-4%=44%+%『一二跖，

即16机=4J64病—64＞解得m=j，

16

则芳+y2=与号=，解得％=4垂1,

故|AF|=my=手、4—=8,

当机＜0时，同理可得到|AF|=8.

故答案为：8

变式5.(2024•新疆喀什•校考模拟预测)已知双曲线C两条准线之间的距离为1,离心率

为2,直线/经过C的右焦点，且与C相交于4、8两点.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/与该双曲线的渐近线垂直，求的长度.

【解析】(1)因为直线/经过C的右焦点，

所以该双曲线的焦点在横轴上，

因为双曲线C两条准线之间的距离为1,

又因为离心率为2,

所以有£=2n@=,代入式=,中，可得a=l,c=2nk=c2一/=4-1=3,

ac2c2

2

••.C的标准方程为：尤2-匕=1；

3

(2)

由上可知：该双曲线的渐近线方程为y=±gx,

所以直线/的斜率为土弓，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称,

所以两条直线与双曲线的相交弦相等.

又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，

所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线/的斜率为正，

3

方程为y=g(x-2)与双曲线方程联立为：

2V2

/_乙=1

3

\二9=8炉+4%-13=0,

y=")

113

设4(石,乂)3(%2，%),则有％+%2=-彳'再入2=一~~»

2o

网=}+£X卜一%|=W义J(X|一/J=竿义J(X[+%)2_=子XJ；一4义(一。]=3.

变式6.(2024.湖南邵阳•高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习)已知抛物线

V=2内(？>0)的准线方程是尤=.

(1)求抛物线的方程；

⑵设直线'=左。-2)(丘0)与抛物线相交于M,N两点，若阿凶=2亚，求实数上的值.

【解析】(1)因为抛物线>2=2px(p>0)的准线方程为x=-勺

所以-£=-1，解得。=1，

22

所以抛物线的方程为V=2x.

(2)如图，

设"(%,%),N(%2，%).

将y=k(x-2)代入y2=2x,

消去>整理得左2f—2Q左2+1h+4左2=().

当A=4(2公+1)2-4k2・4左2>0时,

2(2二+1)止+2.…

x+x=

l2k1k2

|A/A^|=Jl+k~[无]_x2|=Jl+k-J(%+*2)2—4国尤2

(4左2+2丫

\MN\=y]l+k2-16=2710'

化简得：(1+左2)(16/+4)=40〃，解得代=1，

经检验，此时A>0,故％=±1.

题型二：长度和问题

22

例4.(2024•宁夏银川・银川一中校考一模)如图所示，由半椭圆£：?+方=i(y40)和两

个半圆G：(x+1)2+9=1(”0)、G：(无一1)2+丁=1(二。)组成曲线C：b(x,y)=0,其中

点A，4依次为G的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点与月依次为G的左、右焦点.若

点4,用分别为曲线的圆心.

⑴求G的方程;

⑵若过点耳，K作两条平行线//分别与C|,C2和C1,C3交与M,N和P,。，求|MN|+1PQ|的

最小值.

【解析】(I)由两圆的方程知：圆心分别为G(TO)，G(1,O)，即耳(—1,0),1(1析),

2

；./?+1=4,解得：从=3,G:?+《=l（y40）.

（2）由题意知：\MN\+\P^=\MF\+\PF^+2.

22

Q4〃4，.•.由对称性可知：W蜀+|尸阊为椭圆宁+《_=1截直线4的弦长,

22

设/2：x=〃zy+l,其与椭圆?+=1交于点(看,无)和伍，外)

x=my+1

由工+匚1得:（3加2+4）丁+6冲-9=0,则A=48（3机2+3）＞0

143

6m9

•二%+%=一一

3m2+4x%=3m2+4

y+%）2-例%」2（疗+1）=4_

,阿用+|p周=Ji+.2

"R"23M+43m+4

当〃z=0时，阿胤+|「可取得最小值4-1=3,.•.|MN|+|PQ|的最小值为3+2=5.

例5.（2024.河南安阳.安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当九>0且4旬时，我们

2222

把方程左+齐=X（a>b>0）表示的椭圆C，称为椭圆2+a=1（a>6>0）的相似椭圆.已

知椭圆C:土+y2=l,椭圆Cz（4>0且2大1）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆Cz上异

4

于其左、右顶点",N的任意一点.

（1）当2=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线。4恰好相交于点尸，直线4,4的

斜率分别为《&，求用伤的值;

（2）当彳=e?（e为椭圆C的离心率）时，设直线与椭圆C交于点48,直线PN与椭圆

C交于点D,E,求|A5|+|DE|的值.

【解析】⑴设户值,几），则直线4的方程为y—%=尢（》一%），即y=5+%-也，

记/=%-左遇0，则人的方程为，=《x+f,

将其代入椭圆C的方程，消去兀得（4k+1）尤2+8勺江+4/—4=0,

因为直线\与椭圆C有且只有一个公共点，

所以A=（8A"）?—4（4左：+1）（4产-4）=0,即46一/+1=0,

将r=%-飙代入上式，整理得（片-4）6—2尤0%勺+y；-1=0,

同理可得，（*-4）后-2尤0%左2+y；-1=。，

所以匕,融为关于m的方程（片-4）加2・2%%加+y；-1=0的两根，

所以，

无。-4

22

又点P（%几）在椭圆G：土+匕=1上，

82

所以北=2-

（2）由椭圆C:土+y2=i,得其离心率e=——,

42

3工+匕-1

所以当2=e2,即彳=：时，椭圆C，的标准方程为可+后一I

44

所以，M（-V3,0）,TV（73,0）,恰好为椭圆C的左、右焦点，

易知直线尸M,PN的斜率均存在且不为0,

所以二仁.高rF'

X2

/\°I-1Qr

因为户（气,几）在椭圆C/上，所以33一，即¥=三一工

4

所以总心=-；-

设直线的斜率为％,则直线PN的斜率为-，

4k

所以直线PM的方程为丁=/1+百'

,得（1+4左2）尤2+8辰2%+1242—4=0,

12左2-4

=---------T

设4&，乂），3（々，%），则占+%=；8坐12

1十4/C1+4左2

所以|AB|=J1+万门

4（1+左2）

1+4左2

1+16〃

同理可得|Z）E|=

1+4/

4。+公）1+16公

所以|Aa+|OE卜=5-

1+4左21+4标

22

例6.（2024.江西九江・统考一模）如图，已知椭圆£*+}=l（a>b>0）的左右焦点分

别为耳，F2,点A为G上的一个动点（非左右顶点），连接A耳并延长交G于点8,且

△AB鸟的周长为8,△△耳工面积的最大值为2.

⑴求椭圆G的标准方程；

⑵若椭圆C2的长轴端点为耳耳，且C?与G的离心率相等，尸为与C2异于月的交点,

直线尸£交G于两点，证明：IABI+I跖VI为定值.

【解析】（1）AB月的周长为8,由椭圆的定义得4a=8,即a=2,

又△△£与面积的最大值为2,=2,即bc=2,

a2=b2+c2,.-.b2+c2=4,•,-Z?2+^=4,解得6=0，

22

椭圆G的标准方程为土+工=1.

42

（2）由（1）可知耳卜后,0）,心（忘,0）,椭圆G的离心率e=f=¥，

设椭圆c?的方程为，+,=i,则有或=忘，,解得少=1,

椭圆C2的标准方程为5+丁=1,

设尸（%，%），A（占,%）,3。2，%），,点尸在曲线C2上，.•.x；+2y；=2,

依题意，可设直线A3,的斜率分别为％,质,

则AB,MN的方程分别为y=匕1+后），V=用［―后），

1

于是k.k=%%=%=______

2

'x0+V2X.-41%-2片-22

y=%](x+0)

联立方程组尤2：,2,消去＞整理，得（2婷+1优+4岳）+4片—4=0,

——+—=1

142

%+4

2储+1

同理可得：|地|=猾3

Z/C?II

8%；+2

k、=----

-2kJ24+1

..■I4公+48k：+2.

由.r上加+加=6为r定值.

丫2«1

变式7.(2024.全国・高三专题练习)已知椭圆三+方=l(a>b>0)的离心率为且点

〃[1，j在椭圆上.

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆右焦点尸?作两条互相垂直的弦A8与CD,求|AB|+|CD|的取值范围.

【解析】(1)•.%=£==，所以

a2a4

设椭圆方程为工+汇=2,将代入，得X=L

43V2；

22

故椭圆方程为上+匕=1.

43

(2)①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，

易得其中一条弦为长轴2a=4,另一条弦长为椭圆的通径为里=3,BP|AB|+|CD|=7；

a

②当两条弦斜率均存在且不为0时，设4(芯,y)，B(x2,y2),

设直线AB的方程为y=%(x-l),则直线CD的方程为y=-y(x-l),

将直线A3的方程代入椭圆方程中，并整理得：

（3+442）了2一8人2了+442-12=0,

8k24k2-12

国+当XX,=---------丁

3+4左2123+4左2

12俨+1）

,,|AB|=\Jl+k2\x—x,|=

x3+4k2’

耳*"12&+1）

同理,

\CD\=-

.43^+4

,,n（k2+i）n（ic+\\84（F+I）

\AB\+\CD\^--——J+—------=----~；——，

11113+4k-3k2+4（3+4灯（3左2?+4）

令f=F+l,则，>1,

lABhm-84』84184

.J'।।（4?-1）（3Z+1）⑵2+1,1]+49,

'：t>l,Z.0<-<1,

1

.•强----<一

4912,

+一

4

.­.y<|AB|+|CD|<7,

48

综合②可知，|AB|+|CD|的取值范围为y,7.

题型三：长度差问题

例7.（2024•浙江•高三校联考阶段练习）已知抛物线C:;/=2px经过点（2,-26），直线

4:丁=履+加（人270）与C交于A,3两点（异于坐标原点。）.

⑴若。4・。2=0，证明：直线4过定点.

（2）已知k=2,直线4在直线人的右侧，〃/4，4与4之间的距离d=J?,4交C于M,N

两点，试问是否存在“J使得IW|A8|=1O?若存在，求垃的值；若不存在，说明理

由.

【解析】（1）证明：将点（2,-2"）代入/=2px,得24=4°,即。=6.

V2=121

联立｛'得_12y+12m=0,

[y=kx+m,

由物7#。，设4（百,％）,B（x2,y2）,则乂%=空，%%=日戈="必）=*

k121212144k2

因为。4-OB=0，所以&々+%%=勺+*^=°恒成立，贝!1加=一12左，

kk

所以4的方程为y=Mx-12）,故直线4过定点（12,0）.

x+x=-m

（y2=12Xi2+3,

（2）联立＜'得4f+（4机一12江+加=0,则＜m2

[y=2x+m,石马----,

且A=（4加一12）2-16加2=48（3—2加）＞0,即机

|AB|=J1+2~上-%|=Jl+2~+%2）-4XJ%2=-'/5,。9-6rn，

^l2:y=2x+n,同理可得|MN|=，.j9-6〃.

m—TIr~

因为直线4在4的右侧，所以〃〈根，则=辨,即〃=加一5.

所以|的|一|4例=括［,9-6（加一5）-19-6”“=10,即J39-6"?=2^^/^嬴,解得

31331

因为五.，所以满足条件的加存在，加―.

例8.（2024•云南保山•高三统考阶段练习）已知抛物线G：V=4尤的焦点为椭圆C?：

22

二+当=1（〃>5>0）的右焦点E点尸为抛物线G与椭圆Q在第一象限的交点，且

Ia”b.

⑴求椭圆G的方程；

⑵若直线/过点凡交抛物线G于A,C两点，交椭圆C?于2,。两点（A,B,C,。依次

排序），且M。-怛。|=石，求直线/的方程.

【解析】（1）由抛物线丁=4x可知：F（l,0）,

CCQ

故由阳=15得：附=s+l=],/=;,故第=],则尸

3

a2-b2=l

22a2=4

则对于土7+2=1有:，解得

424,2

a"b讶+b=3'

22

故椭圆方程为：—+^=1;

43

1>2

（2）过点/的直线/的斜率不存在时，/:x=l,

3

所以直线/在点P的右侧，与两曲线的交点顺序变成A,B,D,C的顺序,

不满足题意，如下图；

所以过点厂的直线/的斜率存在，

故设直线/的斜率为k,则直线方程为y=k（x-l）,

联立抛物线方程：0加'整理得：-心+4）"=。,

,4

设A(X]，M),C(x2,y2),贝Ux+XzuZ+i"

故|AC[=%+N+2=4+,

y=k{x-X)

联立y2,整理得(3+4%2)/-8左2尤+4/-12=。，

—+—=1

8F4/-12

设8（W，%），。（了4，”），则$+%=

3+4左23+4F

则IBD\=J(%3-%)2+(%-%)2=J[+左2•'(演+又)2―4龙3%

虱3+4/J3+4k23+4/

又|AC|-怛&=耳，

即4+:」2（1+%：）=处,整理得38/—43公一66=0,

七3+4s11

解得/=2,因为「：，¥，尸（1，°），而1>|，

且A,B,C,。依次排序，所以々>0,如下图,

故左=加，故直线/的方程为y=J5（尤-1）.

题型四：长度商问题

例9.（2024・重庆•校联考模拟预测）已知双曲线0£-4=1（°>0力>0）的离心率是出，点

ab

F是双曲线C的一个焦点，且点尸到双曲线C的一条渐近线的距离是2.

（1）求双曲线C的标准方程.

⑵设点M在直线x上，过点M作两条直线4,，直线4与双曲线C交于A3两点，直

线4与双曲线C交于。E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明：—

【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设歹（G。），其渐近线方程为法±3=0,

因为焦点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.

-Md

所以2=/11,,

Jb+a

因为双曲线C的离心率是逐，

上=逐

a

\bc\仿=1,

所以，2=r^,解得匕；

yJb2+a23=2.

c2=a2+b2

2

所以，双曲线C的标准方程为V一匕=1.

4

设Mg"），

（2）证明：由题意可知直线4的斜率存在,

直线4：＞=/[了-口+人必看,％）,"%，%）.

1~)

7/1、

y=k(x-—)+t

4)x2+12H—；左2)x+\上2—；笈+产+4=0,

联立2整理得伊-

X----------1

14

1

二匚a2kt—k9—k2--kt+t2+4

所以'r+r2rr._162________.

2

人1十人2—k—4，々人21k2-4

广代+1)卒2-4&+々)+16」4|L4|)

—

故|A/A|,|Affi|Xj——x2*

(小+1)(4/+15)

设直线，2的斜率为玄，同理可得MD\-\ME\=-----i-L.

1114小_4

因为直线AB与直线DE的倾斜角互补,

所以左=—《，所以廿=心，

贝।伊+产:0=1）（4入15）,

BPAM-MB=.A/E,

M4|ME

所以=•

MD\MB

例10.（2024・全国•高三专题练习）已知圆A：（X+2）2+/=9,圆3：（x-2）?+/=l,

圆C与圆A、圆B外切，

⑴求圆心C的轨迹方程民

⑵若过点B且斜率上的直线与E交与/、N两点，线段的垂直平分线交x轴与点p,

\MN\

证明谒的值是定值.

【解析】（1）因为圆C与圆A、圆8外切，

设C点坐标（X，V）,圆C半径为r,

则|C4|=r+3,|CB|=r+l,

所以|C4j-|CB|=2<4,

所以点C的轨迹是双曲线的一支，

又2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2—c2—a2=3,

22

所以其轨迹方程为[-]=1,xe（l,+。）；

（2）设直线为丫=左（彳一2）,Af（与另），N（X2,%），

y=k^x-2）

2

联立2y，消去y得：（3-灯炉+4/尤-软2_3=0,

13

-4k2

X+X,=---7

123-k2

所以

-(4)t2+3))

“也=3-E'

’2k26k)

设中点坐标为G,则G2_3,12—3J

22

所以\MN\=yjl+k|xj—x2\=Jl+左J(X]+%4-4元1/，

6+6k2

3-k2

直线GP的方程为:y-居一把-恚:

当『时,

所以附=磊一2，

6+6人之

所以\M胃N\=3-k2

-8p~~=1.

k2-3-

22

例11.（2024.全国•高三专题练习）已知双曲线C:0-去=l（a>0力>0）的右焦点为

厂（6,0）,过点尸与x轴垂直的直线4与双曲线C交于跖N两点，S.\MN\=4.

⑴求C的方程;

（2）过点4（0,-1）的直线4与双曲线C的左、右两支分别交于。，E两点，与双曲线C的两条

渐近线分别交于G,H两点，若心”|=川£»同，求实数4的取值范围.

34-

了一铲一1

【解析】（1）由题意得

a2+b2=3

a2=1,

解得

b1=2.

2

故C的方程为一一匕=1.

2

（2）显然直线4率存在，设直线4的方程为产质-1，。（小乂），双孙％），

y=kx-1

联立2,^（2-k2）x2+2kx-3=0

%2---=1f

2

因为4与双曲线C的左，右两支分别交于。，E两点,

2-廿wo

3

故，x,x.=—；-<-0-,

'2甘-2

=8（3-左2）>:0

解得-应＜k＜插,

2k

此时有再+%2=-5-.

K一，

I。目=，1+/,,-%21=J1+-2，石+兀2)—4国入2，

y=kx-l11

由，y=g解得%==‘同理可得%二U7T

1120J+/

所以|6"|="平

k-亚k+丘~2—k2

,,..GH\1

因为6川=40同，^2=—=

因为一&＜/＜及，故等4九＜1,

故实数彳的取值范围是#，1]

变式8.(2024.全国•高三专题练习)已知双曲线C的渐近线方程为y=±百x,右焦点

尸9,。)到渐近线的距离为g.

(1)求双曲线C的方程;

(2)过厂作斜率为左的直线/交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交无轴于。，求

工四1%土梏

证：|即|为超瓦

【解析】(1)设双曲线方程为'一丁=处彳＞0)

2

由题知c=2「.§+X=4n2=3

2

•••双曲线方程为：/—匕=1

3

2

(2)设直线/的方程为k依-2)代入尤2一匕=i

3

整理得(3-左24+4左2彳一4左2-3=0,设4(%,乂),8(%,%)

4k2-4k2-3

所以：%+尤2=_（3_.），占尤2=

由弦长公式得：I+k2-J（X]+々）2-4占.=:f；：）

设A8的中点P（x0,九）

贝微。=?一番，代入/得：L盘

AB的垂直平分线方程为y=-_L（x+，）—_J

k3-k3-k

―8左之..—8k26（1+左之）AB

令广。得程=美，即|如上蓬-2=U，所以：方=1为定值•

22

变式9.（2024•河南郑州•郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆C:j+与=1（。>b>0）

ab

的左、右焦点分别为耳心，且⑶阊=4.过右焦点工的直线/与C交于A,B两点，Am的

周长为8后.

（1）求椭圆C的标准方程；

|AB|

⑵过原点。作一条垂直于I的直线4,4交c于P,。两点，求留的取值范围.

【解析】（1）由忸6|=2c=4,得c=2,

又，4期的周长为8应，即4a=80，

a=2-\/2,c=2,护=a2—c~=8—4=4,

22

椭圆C的标准方程为乙+二=1.

84

（2）设人（不，％）,6（%2，%），。（%3，%），。（九4，%），

当直线A3的斜率不为0时，设直线A8：x="+2,直线P0:y=Vx,

联立直线AB和椭圆C的方程，并消去x整理得

(/2+2)y2+4ry-4=0,

A=16r+4・4(/+2)=32»+32>0.

由根与系数的关系得%+%4=t-*,%必=-4六，

所以|A.=J(1+/)[(X+%)—%%]=4，(：J)•

联立直线PQ和椭圆c的方程，并消去y整理得

(1+2产卜?_8=0,由根与系数的关系得无3+.%=0,$匕=一事^，

令〃=/+2(〃22),则/二〃-2,

不妨设〃")=工产-3)

w>2,

1I-

••一£°，3，

“12」

\AB\「1~\

综上可得，留的取值范围为匕,0r.

22

变式10.（2024.陕西.统考一模）在椭圆C：A+《=l（a>b>0）,c=2,过点（0,6）与

cib

（a,0）的直线的斜率为-

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设尸为椭圆C的右焦点，尸为直线x=3上任意一点，过尸作PF的垂线交椭圆C于

\MN\

N两点，当寻取最大值时，求直线MN的方程.

|P典

【解析】（1）过点（0㈤与（。,0）的直线的斜率为-3，所以2=-3，即一后，

3-a3

又c=2,BP6Z2=Z?2+4,解得/=2,〃2=6.

22

所以椭圆C的标准方程是土+工=1.

（2）如图所示

由题知尸（2,0）,设点尸（3,〃z）,则直线FP的斜率为％=，〃.

当力冲0时，直线MN的斜率左的=-一，直线的方程是*=-冲+2；

当％=0时，直线MN的方程是x=2,也符合龙=-冲+2的形式，

22

将直线MN的方程％=_根）+2代入椭圆二+二=］方程得2+3）3；2_4妙_2=0,且

62

A=（-4m）2+8（m2+3）=24m2+24>0,

设"（％,另），N（X2，%），则%+%=~2Qf%%=2o9

m+3m+3

所以|MN|=，（七一%）2+（%-为>=J（*+1）（%一%）2

=J"+i）［（M+yJ-4yH=卜2+1>^^**

,_____,_____|MN|可t@一扃.

又阳=荷+i,令7疗+i”i）,则「刊一“尸石一"？一？应一^，

t

2._____

当且仅当r=7,即r=0时等号成立，由r="H=JL解得病=1,

\MN\

即当相=±1时取最大值时，此时直线MN的方程为尤+y-2=0或x